新人教版八年级数学上册教案第十五章轴对称

新人教版八年级数学上册教案第十五章轴对称

第十五章轴对称

15.1图形的轴对称

15.1.1轴对称及其性质

一、教学目标

【知识与技能】

1.通过丰富的生活实例能够就别简单的轴对称图形、认识轴对称及其对称轴，并能作出轴

对称图形和成轴对称的图形的对冰轴；

2.说出轴对称图形与两个图形关于某条直线对称的区别与联系.

3.掌握轴对称的性质和线段垂直平分线的概念.

【过程与方法】

在丰富的现实情境中，经历观察生活中的轴对称现象，探索轴对称现象共同特仟等活动，进

一步发展空间观念.

【情感、态度与价值观】

欣赏现实生活中的轴对称图形，体会轴对称在现实生活中的广泛运用和它的丰富文化价

值.

二、课型

新授课

三、课时

第1课时，共1课时。

四、教学重难点

【教学重点】

掌握轴对称图形和两图形关于直线对称的概念，识别轴对称图形和对称轴.

【教学难点】

理解轴对称图形和两个图形关于直线对称的区别.

五、课前准备

教师：课件、三角尺、直尺、轴对称图形等.

学生：三角尺、直尺、轴对建图形.

六、教学过程

（一）导入新课

对称现象无处不在，从自然景观到艺术作品，从建筑物到交通标志，甚至日常生活用品中,

都可以找到对称的例子，对称给我们带来美的享受！

（出示课件2）

（二）探索新知

1.创设情境，探究轴对称图形的有关概念

教师问1：如图是3种美丽的窗花，它们都是通过把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处

不要完全剪断），再打开这张对折的纸得到的.观察这些窗花，你能发现它们有什么共同的特

点吗？（出示课件4）

学生观察后回答：它们左右两边的图形一样，对折后能够重合.

教师总结点拨：（出示课件5）

如果一个平面图形沿一条直设折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对

称图形，这条直线就是它的对称地，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点.这时，也说这个

图形关于这条直线对称.

教师问2：请举出一些轴对称图形的例子.

师生活动：给学生一定的思考交流时间，鼓励学生从自己的生活经验出发，列举符合对称

特征的物体，并进行广泛交流，进一步体会轴对称图形的特点.

出示课件6,教师引导学生判断轴对称图形，找出其对称轴.

出示课件7,学生独立思考后解答，教师给出答案.

2.创设情境，探究轴对称的有关概念

教师问3：观察下面每对图形（如图），你能类比前面的内容概括出它们的共同特征吗？

（出示课件8）

A

B

学生回答：共同特征：每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形都能与右边的图形重合.

教师问4：观察每组图案，你发现和刚才的轴对称图形是一回事吗？

学生讨论后：不一样，这是两个图形重合.

教师总结点拨：（出示课件9）

把一个图形沿着某一条直线而叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关

于这条直线成轴对称.同样地，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点.

教师问5：概念中的“重合”是什么意思？

学生回答：全等.

教师问6：出示下边的图形，这两个图形关于某直线对称吗？

八八

学生回答：不关于某直线对你

教师问7：那么全等的两个图形一定关于某直线对称吗？

学生回答：两个全等图形不一定关于某直线对称.

教师问8：你能再举出一些两个图形成轴对称的例子吗？

师生活动：给学生一定的思考交流时间，鼓励学生从自己的生活经验出发，列举一些两个

图形成轴对称的例子，并进行广泛交流，进一步体会成轴对称的两个图形的特点.

教师问9：认识了轴对称图形，探讨了两个图形关于直线对称的特点，那么轴对称图形和

两图形关于直线对称是不是一回事？它们有什么区别和联系？

师生活动：先让学生自由发言，畅谈两个概念的区别和联系，从而进一步体会和明确概念

的本质.

教师总结如下：（出示课件10T1）

两者的区别：

轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后，这个图形的两部分能完全重合，而两个图形

成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够重合.

两者的联系：

把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形.把一个轴对称图形沿对称

轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称.

霾轴对称图形两个图开缄轴对称

区别二个图形里个图形

1.沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合.

2.都有对称轴,轴对称图形可能不止一条对称轴，

联系轴对称只有一条________________.

3.如果把一个轴对称困形沿对称轴分成两个图形，那么

这两个图形关于这条直线对称：如果把两个成轴对称

的图形看成一个图形，那么这个图形就是轴对称图形.

出示课件12,学生独立思考后解答，教师给出答案.

3.探索成轴对称的两个图形的性质

教师问10：如图，ZXABC和AA'B'C'关于直线MN对称，点A',B',C'分别是点A,

B,C的对称点，线段AA',BB',CC'与直线MN有什么关系？其他对称点呢？（出示课件

13）

学生尝试回答，并相互补充，最后得出：

AA'与MN垂直，BB',CC'也与MN垂直，同时MN平分线段AA',BB',CCZ.

教师问11:你能说明其中的道理吗？

学生独立思考，学生代表汇表，师生共同交流，得到如下答案：

AP=A,P,ZMPA=ZMPAZ=90".

教师问12：上面的问题说明“如果AABC和AA'B'C'关于直线MN对称，那么，直线

MN垂直于线段AA',BB'和CC',并且直线MN还平分线段AA',BB'和CC'.如果将其

中的“三角形”改为“四边形”“五边形”……其他条件不变，上述结论还成立吗？（出示课

件14）

学生回答：上述结论还成立

教师问13：你能用数学语言概括前面的结论吗？

师生活动：学生尝试概括，并相互补充.

教师总结：（出示课件15）

轴对称的性质：成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分.

4.探索轴对称图形的性质

教师问14：下图是一个轴对称图形，你能发现什么结论？能说明理由吗？（出示课件16）

学生回答：直线1垂直于线段AA',BB',直线1平分线段AA',BB'.

教师问15：你能用数学语言概括前面的结论吗？

师生活动：学生尝试概括，并相互补充，最后得出轴对称图形的性质：轴对称图形中，连

接对称点的线段被对称轴垂直平分.（出示课件17）

教师总结：（出示课件18）

1.经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线.

2.由轴对称的性质可知，无论是成轴对称的两个图形，还是轴对称图形，其对称轴都是其

任意一对对称点所连线段的垂直平分线.

出示课件19,教师引导学生根据轴对称的性质解题.

出示课件20,学生独立思考后解答，教师给出答案.

（三）课堂练习（出示课件23-28）

1.被誉为全国第三大露天碑林的“涪溪碑林”，摩崖上铭刻着500多方古今名家碑文，其

中悬针篆文具有较高的历史意义和研究价值，下面四个悬针篆文文字明显不是轴对称图形的是

［九浦■汽4

2.如图所示的图形是轴对称图形，它的对称轴共有（）

A.1条B.3条C.5条D.无数条

3.ZUEC和aA'B'C'关于直线1对称，则NC的度数为（）

A.30°R.50°C.80°0.100°

4.下面的图形是否是轴对称图形，如果是，有几条对称轴？画画看.

5.英文26个大写字母中哪些是轴对称图形？

6.你能列举出三个是轴对称图形的几何图形吗？

7.如图，ZkABC和AAB'C'关于直线1对称J交CC'于点D,若AB=4,B'C=2,CD=0.5,

求五边形ABCC'B'的周长.

8.小强站在镜子前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子钟，其读数如图所示，则电子

钟的实际时刻是.

参考答案：

1.C

2.B

3.A

4.解：如下图:

图1有3条对称轴，图2有4条对称轴.

5.解：A、B、C、D、E、H、I、K、0、T、U、V、1'、X、Y是轴对称图形.

6.解：正方形、长方形、圆.(答案不唯一)

7.解：:△ABC和AAB'C关于直线1对称,

.,.△ABC^AAB/C',C'D=CD.

・・・AB'=AB,BC=BZC'=2.

・•・五边形ABCC'B’的周长为2(AB+BC+CD)=2X(4+2+0.5)=13.

8.10：21

(四)课堂小结

今天我们学了哪些内容：

1.轴对称图形和轴对称的定义及性质，两者的区别与联系。

2.垂直平分线的相关概念.

(五)课前预习

预习下节课(15.1.2)教材65页到67页的相关内容。

知道线段的垂直平分线的性质和判定

七、课后作业

1、教材69-71页习题15.1第1,2,3,7,H题.

2、一辆汽车的牌号在水中的倒影如图所示，则这辆汽车的牌号应为（）

45^

A.W17609B.W17906

C.Ml7609D.Ml7906

八、板书设计：

对称轴是任意一对对称点

所连线段的垂直平分线

九、教学反思：

本节内容看似简单，却是今后学习相关知识的重要基础.没计时，内容上基本保留原有教

材中的主要资源，设计生活化、情趣化的引入情境，运用多媒体形象展现，引起学生兴趣，激

发学生的求知欲.在教学过程中，让学生以独立思考为主，并在必要时进行互助交流，让学生

经历得出结论的过程，培养学生解决问题的能力.

第十五章轴对称

15.1图形的轴对称

15.1.2线段的垂直平分线

第1课时

一、教学目标

【知识与技能】

1.理解线段垂直平分线的性质和判定.

2.能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理及进行应用.

3.了解互逆命题、互逆定理的概念.

【过程与方法】

经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力.

【情感、态度与价值观】

在数学活动中体会获得成功的体验，锻炼克服困难的意志,建立学习的自信心.

二、课型

新授课

三、课时

第1课时，共2课时。

四、教学重难点

【教学重点】

线段的垂直平分线性质定理和判定定理证明及其应用；了解互逆命题、互逆定理的概念.

【教学难点】

线段的垂直平分线判定定理的证明；会写一个命题的逆命题并判断是否成立.

五、课前准备

教师：课件、三角尺、直尺等。

学生：三角尺、直尺。

六、教学过程

（一）导入新课

1.甲乙两位同学在玩一个游戏，甲在点A处，乙在点B处，把宝物放在什么地方对两人是公

平的，除线段AB的中点外还有别的地方吗？（出示课件2）

2.在某路段的同侧，有两个工厂A,B,为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边

上修建一所医院，使得两个工厂到医院的距离相等，问医院的院址应选在何处？（出示课件3）

B

•A

（二）探索新知

1.探究线段垂直平分线的性质定理

教师问1：如图，直线1垂直平分线段AB,P,,P”P）……是1上的点，请猜想点R,P”

P：,……到点A与点B的距离之间的数量关系.（出示课件5）

先让学生量一下并猜想P.A与P.B的数量关系，再量一下并猜想P2A与P2B及P：1A与EB的

数量关系后回答：PiA=P.A,P2A=PBP3A=PB

教师问2：猜想线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离有何数量关系？

学生回答：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.

教师问3：我们如何证明猜想是否正确呢？

师生共同讨论如下：（出示课件6）

已知：如图，直线1_LAB,垂足为C,AC=CB,点P在1上.

求证：PA=PB.

师生共同解答如下：（出示课件7）

证明：当点P与点C不重合时，

V11AB,

ZPCA=ZPCB.

又AC=CB,PC=PC,

AAPCA^APCB（SAS）.

.,.PA=PB.

证明完成后，老师用多媒体展示线段垂直平分线的性质应用时的符号语言（即解题时的书

写步骤）：•・•CA=CB,11AB,/.PA=PB,并强调学生注意.

教师总结如下：（出示课件8）

线段垂直平分线的性质：

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.

出示课件9,教师引导学生，利用线段垂直平分线的性质解题.

出示课件10,由学生讨论，并解答，教师给出答案。

2.探究线段垂直平分线的判定定理

教师问4：把线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如

果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？（出示课件11）

学生讨论后回答：成立.点P在线段AB的垂直平分线上.

教师问5：如何证明我们的猜想是否正确呢？

师生共同讨论后总结如下：

已知：如图，PA=PB.

求证：P点在线段AR的垂直平分废上.

师生共同解答如下：（出示课件12）

证明：过点P作线段AB的垂线PC,垂足为C.

则NPCA=ZPCB=90°.

在RtAPCA和RtAPCB中，

VPA=PB,PC=PC,

ARtAPCA^RtAPCB（HL）.

AAC二BC.

又PC_LAB,

・••点P在线段AB的垂直平分线上.

教师总结点拨：（出示课件13）

用数学符号表示为：

VPA=PB,

.••点P在AB的垂直平分线上.

文字语言：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

教师问6：你能再找一些到线段AB两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB两

端点距离相等的点？（出示课件14）

学生讨论后回答：到线段AB两端点的距离相等的点有无数个.

教师问7：这些点能组成什么几何图形？

学生回答：这些点组成一条直线.

教师总结点拨：

在线段AB的垂直平分线1上的点与A,B的距离都相等；反过来，与A,B的距离相等

的点都在直线1上，所以直线1可以看成与两点A,B的距离相等的所有点的集合.

例：如图，已知：在△ABC中，AB=AC,0是aABC内一点，且OB=OC,求证：AO_LBC.£出

示课件15）

师生共同解答如下：

证明：：OB=OC,

...点。在BC的垂直平分线上.

又AB=AC,

...点A在BC的垂直平分线上，

即A,0均在BC的垂直平分线上，

AA01BC.

出示课件16-17,由学生讨论，并解答，教师给出答案。

3.探究互逆命题与互逆定理的概念

教师问8：分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？

（出示课件18）

学生回答.教师总结：

这两个命题的题设、结论正好相反，我们把具有这种关系的两种命题叫作互逆命题.如果

把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题.

教师问9：你还学习过其他具有类似关系的命题吗？请举例.

师生活动：给学生一定的思考交流时间，鼓励学生会议以前学习的知识，列举复核类似关

系的命题，并进行广泛交流，进一步体会互逆命题的特点.

教师讲解：（出示课件19）

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定

理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理.

出示课件20,由学生讨论，并解答，教师给出答案并总结。

（三）课堂练习（出示课件23-28）

1.如图，在AABC中，AB=AC=20cm,DE垂直平分AB,垂足为E,交AC于点D,若也

DBC的周长为35cm,则BC的长为（）

A.5cmB.10cm

C.15cmD.17.5cm

2.如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（）

A.锐角三角形B.钝角三角形

C.直角三角形D.不能确定

3.下列命题:①若a>b+l,则a>b；②若ab=0,则a二。或b=0；③若a=b,则|a|二|b］；④若

a>b,则a2>b2.其逆命题是真命题的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.如图，CD是AB的垂直平分线，若AC=1.6cm,BD=2.3cm,则四边形ACBD的周长为

cm.

5.如图，在△ABC中，D为BC上一点，且BC=BD+AD,则点D在线段的垂

直平分线上.

6.如图，点A,B,C表示某公司三个车间的位置，现要建一个仓库，要求它到三个车间

的距离相等，则仓库应建在什么位置？

7.如图，已知E为NAOB的平分线上一点，EC±OA,ED10B,垂足分别为C,D.求证：0E

垂直平分CD.

8.如图，已知AB比AC长2cm,BC的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,Z\ACD的

周长是14cm,求AB和AC的长.

参考答案:

1.C

2.C

3.A

4.7.8

5.AC解析：VBC=BD+AD,

又・・・BC=BD+DC,

，AD二DC.

••・点D在线段AC的垂直平分线上.

6.答：AABC三边垂直平分坡的交点上.

7,证明：•・•点E在NAOB的平分线上，ED_LOB于点D,EC_LOA于点C,

AED=EC.

在RtAEDO和RtAECO中，ED=EC,OE=OE,

ARtAEDO^RtAECO.(HL)

.\OD=OC.

AO,E都在CD的垂直平分线上.

AOE垂直平分CD.

8.解:8DE垂直平分BC,

ADB=DC.

VAC+AD+DC=14cm,

/.AC+AD+BD=14cm.

即AC+AB=14cm.

设AB=xcm,AC=ycm.

x+y=14,Jx=8，

根据题意，得卜一)'=2.解得［y=6.

/.AB长为8cm,AC长为6cm.

（四）课堂小结

今天我们学了哪些内容：

1.线段垂直平分线的性质：

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.

A

用符号语言表示为：

：PC垂直平分AB（CA=CB,1±AB）,.\PA=PB,

2.线段垂直平分线的判定：

与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上

用符号语言表示为：

YPA=PR,

・••点P在线段AB的垂直平分线上.

3.互逆命题的概念：

题设、结论相反的两个命题叫作互逆命题.

（五）课前预习

预习下节课（15.1.2）教材67页到68页的相关内容。

了解垂直平分线的作法，知道如何作出轴对称图形的对称轴和轴对称的对称轴.

七、课后作业

1、教材69-71页习题15.1第4,5,6,8,13题.

2、如图，兔子的三个洞口A,B,C构成△ABC,猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相

等，则猎狗应蹲守在（）

A.三条边的垂直平分线的交点

B.三个角的角平分线的交点

C.三角形三条高的交点

D.三角形三条中线的交点

八、板书设计:

线性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等

段

与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线

的判定

垂上

直

线段的垂直平分线的集合定义：

平集合

线段的垂亘平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的

分定义

所有点的集合

线

I互逆命题题设、结论相反的两个命题叫作互逆命题

九、教学反思：

这节课在设计过程中有几个埼色：

1.每个探究活动都能至少针对一个教学目标，各探究衔接自然，前后呼应.

2.活动中用多媒体展示解答史程，既有利于提高学生解题的严密性，又能充分利用多媒体

资源.

3.本节是线段的垂直平分线的教学，在教学中要善于引导学生从问题出发，根据观察、实验

的结果，先得出猜想的性质以及判定，然后再进行证明，要求学生掌握证明的基本要求和方法,

注意数学思想方法的强化和渗透，从集合的观点理解线段的垂直平分线.

第十五章轴对称

15.1图形的轴对称

15.1.2线段的垂直平分线

第2课时

一、教学目标

【知识与技能】

1.能用尺规作已知线段的垂直平分线，经过直线外一点作这条直线的垂线.

2.能够作出轴对称图形以及他对称的对称轴，明确对称轴是直线.

【过程与方法】

1.经历探索、猜测、动手操作的过程，进一步发展学生的动手操作能力；

2.体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神.

【情感、态度与价值观】

通过积极参与数学学习活动，在数学活动中获得成功的体验，建立学习的自信心.

二、课型

新授课

三、课时

第2课时，共2课时。

四、教学重难点

【教学重点】

线段的垂直平分线的作法.

【教学难点】

探索轴对称图形对称轴的作法.

五、课前准备

教师：课件、三角尺、直尺、圆规等。

学生：三角尺、直尺、圆规。

六、教学过程

（一）导入新课

如图，A,B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站，使两个小区到车站

的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？（出示课件2）

------------------公路

（二）探索新知

1.师生互动，探究作线段的垂直平分线

教师问1：什么是线段的垂直平分线？

学生回答：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线是这条线段的垂直平分线.

教师问2：线段的垂直平分线有哪些性质？

学生回答：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.

教师问3：如何利用直尺和圆规作线段的垂直平分线？（出示课件4）

学生讨论后，教师讲解：如图，已知线段AB,要作线段AB的垂直平分线.

^B

师生共同分析得到：

由于“两点确定一条直线”，所以作线段AB的垂直平分爱，关键是确定所作的垂直平分

线上的两个点.根据与A,B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，可以作出这样的点.

师生共同解答如下：（出示课件5）

作法：（1）分别以点A,B为圆心，大于女B的长为半径作瓠，两瓠交于C,D两点；

木

T

（2）作直线CD.CD就是线段AB的垂直平分线.

教师问4：在上述作法中，为什么要以“大于的长”为半径作瓠？

学生以小于或等于挪的长为半径作瓠，然后回答：如果以小于祁的长为半径作弧没有

交点，如果以等于的长为半径作瓠，两弧相切，只有一个交点，并且实际作图时用圆规取

：AB的长容易有偏差..

教师问5：根据上面作法中的步骤，请你说明CD为什么是AB的垂直平分线，并与同伴进

行交流.

学生讨论并回答.

老师进行小结：

连接AC、BC、AD、BD,由作图可得AC=BC,AD=BD.

所以得到：CD是AB的垂直平分线.

教师问6：如图，A,B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站.使两个小

区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？（出示课件6）

师生共同分析得到:

增设的公共汽车站要满足到两个小区的路程一样长，应在线段AB的垂直平分线上，又要

在公路边上，所以找到AB垂直平分线与公路的交点即可.

例1：如图，已知点A、点B以及直线1.（出示课件7）

（1）用尺规作图的方法在直线1上求作一点P,使PA=PB.

（保留作图痕迹，不要求写出作法）；

（2）在（1）所作的图中，若AM=PN,BN=PM,求证：ZMAP=ZNPB.

AB

>

MN

师生共同解答如下：（出示课件8）

（1）解：如图所示：

（2）证明：在△AMP和aBW中，VAM=PN,AP=PB,PM=BN,

，AAMP^APNB（SSS）.「•ZMAP=ZNPB.

出示课件9,学生独立思考后解答，教师给出答案.

例2：如图，某地有两所大学和两条交叉的公路.图中点M,N表示大学，OA,0B表示公

路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相

等，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计.（尺规作图，不写

作法，保留作图痕迹）（出示课件10）

师生共同解答如下：（出示课件11）

解：如图所示：

总结点拨：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在两点连线的垂

直平分线上.两线的交点即为所求.

出示课件12,由学生讨论，并解答，教师给出答案.

2.作成轴对称的两个图形和他对称图形的对称轴

教师问7：轴对称的性质是什么？

学生回答：成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分..

教师问8：那怎样作出成轴对称的两个图形的对称轴呢？

学生回答：我们只要找到任意一对对称点，作出这对对称点连线的垂直平分线，就可以得

到它们的对称轴.

教师问9：如图，△ABC和AA'B'C'关于直线1对称，请作出它们的对称轴.（出示课

件13）

师生共同解答如下：

作法：

（1）找出一对对称点A和A',连接AA'.

（2）作出线段AA'的垂直平分线1.则1就是它们的对卷轴.

教师总结点拨：（出示课件14）

对于成轴对称的两个图形，只要找到任意一对对称点，作出对称点所连线段的垂直平分发,

即能得到它们的对称轴.

出示课件15,学生独立思考后解答，教师给出答案.

教师问10：轴对称图形的性质是什么？

学生回答：轴对称图形的对体轴是其任意一对对称点所连线段的垂直平分线.

教师问11：下图中的五角星有几条对称轴？如何作出这些对称轴呢？（出示课件16）

师生共同解答如下：

作法：

（1）找出五角星的一对对称点A和B,连接AB.

（2）作出线段AB的垂直平分线1.则1就是这个五角星的一条对称轴.

用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五条对称轴.

教师总结点拨：（出示课件17）

对于轴对称图形，只要找到任意一组对称点，作出对称点所连线段的垂直平分线，即能得

此图形的对称轴.

出示课件18,由学生讨论，并解答，教师给出答案.

3.探究过直线外一点作已知直线的垂线

教师问12：如何用尺规作图的方法经过直线外一点作已知直线的垂线？（出示课件19）

师生共同探究后解答如下：

作法：

（1）以点C为圆心，适当长为半径作弧，交直线AB于点D和E.

-2-DE

（3）分别以点D和点E为圆心，大于2的长为半径作弧，两瓠相交于点F.

（4）作直线CF.直线CF就是所求作的垂线.

C

DE

AB

iF

-DE

教师问13：为什么要以大于2的长为半径作瓠？（出示课件20）

学生回答：如果以小于弛的长为半径作弧没有交点，如果以等于扣E的长为半径作弧，

两弧相切，有一个交点，但实际作图时用圆规取约E的长容易有偏差.

教师问14：为什么直线CF就是所求作的垂线？

学生回答：由作图可知，点C,F在线段DE的垂直平分线上，所以CFJ_AB.

出示课件21,学生独立思考后解答，教师给出答案.

（三）课堂练习（出示课件23-28）

1•尺规作图要求：I、过直发外一点作这条直线的垂线；II、作线段的垂直平分线；III、

过直线上一点作这关直线的垂线；IV、作角的平分线.如图是按上

述要求排乱顺序的尺规作图：

则正确的配对是（）

A.①-IV,②—II,③一I©-III

B.①一IV,②一HI,③-II,④-I

C.①—II,②—IV,③—HI,I

D.①—iv,②—i,③—n,@-m

2.如图，已知线段AB的垂直平分线CP交AB于点P,且AP=2PC,现欲在线段AB上求作两

点D,E,使其满足AD二DC二CE=EB,对于以下甲、乙两种作法：

APB

甲；分别作NACP、NBCP的T■分线，分别交AB于D、E,则D、E即为所求；

乙:分别作AC、BC的垂直平分线，分别交AB于D、E,则D、E两点即为所求.

下列说法正确的是（)

A.甲、乙都正确B.甲、乙都错误

C.甲正确，乙错误D.甲错误，乙正确

3.如图，两个正六边形关于直线1成轴对称，画出它们的对称轴.

4.尺规作图：如图，已知/AOB,请作出它的对称轴0C（不写作图步骤，保留作图痕迹）

5.如图，有A,B,C三个村庄，现准备要建一所希望小学，要求学校到三个村庄的距离

相等，请你确定学校的位置.

••C

A

6.如图，在4X3的正方形网格中，阴影部分是由4个正方形组成的一个图形，请你用两

种方法分别在如图方格内填涂2个小正方形，使这6个小正方形组成的图形是轴对称图形，并

画出其对称轴.

参考答案：

1.D

2.D

3.解：如图所示:

4.解:如下图所示:

角是轴对称图形，角平分线所在的直线就是角的对称轴.

（四）课堂小结

今天我们学了哪些内容：

1.线段垂直平分线的作图

2.作成轴对称的两个图形和他对称图形的对称轴

3.过直线外一点作已知直线的垂线

(五)课前预习

预习下节课(15.2)教材72-73页的相关内容。

知道画轴对称的图形的方法

七、课后作业

1、教材第69页练习13,教材第70-71页习题15.1第7,9,10,12题.

2、如图，校园，内有两条路OA、OB,在交,叉口附近有两.块宣传牌CD,学校准备在这里安装

一盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你帮忙画

出灯柱的位置P,并说明理由.

八、板书设计:

照于基本作图之一，必须熟熟练掌握.

线段的垂直

平分线的

有关作图⑴将图形对折；

作对称轴的⑵用尺规作图；

常见方法

⑶用刻度尺先取一对对称点注线的

中点，然后作垂线.

九、教学反思：

1.本节课从复习线段的垂直平分线的定义切入，学习了线段的垂直平分线的作图，并利用

线段的垂直平分线的作图解决生活中的位置的确定问题，同时，学习了过直线外一点作已知直

线的垂线，通过这两种尺规作图的集中讲解和学生的亲自动手作图，使学生对尺规作图的要求

有了进一步的认识.

2本节的内容是画成轴对称的两个图形和轴对称图形的对称轴，在设计上可以通过给出图

形，让学生通过小组合作交流，探究、讨论，归纳出画对称轴的方法，体现学生自主学习和合作交

流的学习方式，空间想象能力得到加强，创新意识得到培养，并且体验到成功的快乐.

第十五章轴对称

15.2画轴对称的图形

第1课时

一、教学目标

【知识与技能】

能画出简单平面图形作轴对你之后的图形，了解画一般轴对称图形的方法.

【过程与方法】

让每个学生在生动具体的问题情境中参与数学活动，通过积极主动的探索，加深自己的理

解和认识.

【情感、态度与价值观】

让学生体验到成功的喜悦，树立自信心，体验合作交流的重要性，感受数学美，明白数学来

源于生活又服务于生活的道理.

二、课型

新授课

三、课时

第1课时，共2课时。

四、教学重难点

【教学重点】

1.轴对称变换的定义.

2.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形.

【教学难点】

利用轴对称进行一些图案设计.

五、课前准备

教师：课件、三角尺、直尺等。

学生：三角尺、直尺。

六、教学过程

（一）导入新课

观察思考，欣赏美丽图案，思考这些图案是怎样形成的？你想学会制作这种图案的方法吗？

（出示课件2）

我们前面学习了轴对称图形以及轴对称图形的一些相关的性质.如果有一个图形和一条直

线，如何画出这个图形关于这条直线对称的图形呢？（出示课件3）

（二）探索新知

1.创设情境，探究轴对称变换的应用

教师讲解：如图，在一张半透明的纸的左边，画一只左脚印，把这张纸对折后描图，打开

对折的纸，就可以得到与左脚印对称的右脚印，折痕所在直线就是它们的对称轴，并且连接任

意一对对称点的线段被对称轴垂直平分.（出示课件5）

学生问：这个如何做呢？

出示下边的图案

教师问2：认真观察，左脚臼和右脚印有什么关系？（出示课件6）

学生回答：成轴对称

教师问3：对称轴是折痕所在的直线，即直线1,它与图中的线段PP'是什么关系？

学生回答：直线1垂直平分线段PP'

例1：将一张正方形纸片按如图①，图②所示的方向对折，然后沿图③中的虚线剪裁得到

图④，将图④的纸片展开铺平，得到的图案是（）（出示课件7）

师生共同解答如下：

动手剪一剪，亲自操作后得到答案：B.

出示课件8,学生独立思考后解答，教师绐出答案.

例2：如图，将长方形ABCD沿DE折叠，使A点落在BC上的F处，若NEFB=50°,则/

CFD的度数为（）（出示课件9）

A.20°B.30°C.40°D.50°

师生共同解答如下：

由折登知道：NEFD=NA=90°,VZEFB=50°,

/.ZCFD=180°-90°-50°==40°.

答案：C.

总结点拨：折叠:是一种轴对称变换，折叠前后的图形形状和大小不变，对应边和对应隹相

出示课件10,学生独立思考后解答，教师给出答案.

2、运用新知，作轴对称图形

教师讲解：几何图形都可以看作由点组成.对于一些规则的几何图形，与画平移后的图形

类似，只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到

与原图形成轴对称的图形.（出示课件11）

教师问4：如何画一个点的轴对称图形？（出示课件12）

学生回答：画出点A关于直线,1的对称点A'.

教师问5：如何画呢？

师生共同解答如下：

作法：（1）过点A作1的垂线，垂足为点0.

（2）在垂线上截取0A'=0A.

点A'就是点A关于直线1的对称点.

/

干”

教师问6：为什么点A'是点A的对称点？

学生回答：由作图可知，直设1是线段AA'的垂直平分线.

教师问7：如何画一条线段的对称图形？（出示课件13）

师生共同解答如下：已知线段AB,画出AB关于直线1的对称线段.

教师问8：

例3：如图，已知△ABC和直线1,作出与△ABC关于直线1对称的图形.（出示课件14）

师生共同分析如下:

△ABC可以由三个顶点的位置确定，只要能分别画出这三个顶点关于直线1的对称点，连

接这些对称点，就能得到要画的图形.

师生共同解答如下：（出示课件15）

作法：（1）过点A画直线1的垂线，垂足为点0,在垂发上截取0A'=0A,A'就是点A

关于直线1的对称点.

（2）同理，分别画出点B,C关于直线1的对称点B',C’.

（3）连接A'B',B'C'，C'A',则^A'BzC'即为所求.

例4：在3X3的正方形格点药中，有格点△ARC和△（）噂,且ZXARC和△DEF关于某直线成

轴对称，请在下面给出的图中画出4个这样的ADEF.（出示课件16）

珏

4B

皿RE)

教师总结点拨：（出示课件17）

作一个图形关于一条已知直峻的对称图形，关键是作出图形上一些点关于这条直线的对称

点，然后再根据已知图形将这些点连接起来.

出示课件18,由学生讨论，并解答，教师给出答案.

（三）课堂练习（出示课件20-24）

1.作已知点关于某直线的对年点的第一步是（）

A.过已知点作一条直线与已知直线相交

B.过已知点作一条直线与已知直线垂直

C.过已知点作一条直线与已知直线平行

D.不确定

2.把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠后，B,D两点落在B',D'点处，若得/

AOB1=70°,则NB'0G的度数为_______.

3.如图，把下列图形补成关于直线1的对称图形.

tI

4.如图给出了一个图案的一半，虚线1是这个图案的对称轴.整个图案是个什么形状？请

准确地画出它的另一半.

5.如图，画△ABC关于直线m的对称图形.

B

参考答案：

1.B

2.55°

3.解：如下图:

4.解：如下图:

5.解：如下图:

（四）课堂小结

今天我们学了哪些内容：

1.轴对称变换的应用。

2.作已知图形关于已知直线对称的图形的一般步骤：

（D找点;（2）画点；（3）连线.

（五）课前预习

预习下节课（15.2）73页-74页的相关内容。

知道点在直角坐标系内关于x轴、y轴对称点坐标的变化规律.

七、课后作业

1、教材第73页练习第2题，教材第75-76页习题15.2第1,2,7题.

2、如图（左图），一轴对称图形画出了它的一半，请你以点画线为对称轴画出它的另一半.

八、板书设计:

言墨.对称事是对称点连接的线段的垂直平

轴

画

稔

对

彩

图I

作图Q）作垂线

方法上）截取等长

（4）依次皿

九、教学反思：

本节课体现了以学生为主体，学生自己动手操作、演示，自己在画图中总结规律，学生动

手、动口说得多，老师主要是以引导、启发为辅.

本节的内容是画轴对称的图形，重点要求学生理解轴对称的性质，根据性质得到画法.学生

对保留作图痕迹理解不到位，部分学生是把对称图形做完后再来补充垂线，这样的作图不科学,

要在今后作图讲解时多强调.

第十五章轴对称

15.2画轴对称的图形

第2课时

一、教学目标

【知识与技能】

1.探索平面直角坐标系中的点关于x轴、y轴对称点的坐标的规律，并能运用这一规律写

出平面直角坐标系中的点关于x地、y轴对称的点的坐标；

2,能利用坐标的变换规律在平面直角坐标系中作出一个图形的轴对称图形.

【过程与方法】

1.经历轴对称变换的画图、观察、交流等活动理解其基本性质的定义；

2.结合实例总结出点与其对称点的坐标之间的规律.

【情感、态度与价值观】

用轴对称变换的方式去认识和构建几个图形，发展形象思维，并尝试用轴对称变换去从事

推理活动.

二、课型

新授课

三、课时

第2课时，共2课时。

四、教学重难点

【教学重点】

1.直角坐标系中的点关于x纳、y轴对称点的坐标变化规律.

2.利用坐标变换规律在平面直角坐标系中作一个图形的轴对称图形.

【教学难点】

利用点的坐标变化规律，确定能代表轴对称图形的关键点.

五、课前准备

教师：课件、三角尺、直尺等。

学生：三角尺、直尺。

六、教学过程

（一）导入新课

（1）观察上图中两个圆脸有什么关系？

（2）已知右边图脸右眼的坐标为（4,3）,左眼的坐标为（2,3）,嘴角两个端点，右端点的坐标

为（4,1）,左端点的坐标为（2,1）。你能根据轴对称的性质写出左边圆脸上左眼，右眼及嘴角两端

点的坐标吗？（出示课件2-3）

（二）探索新知

1.创设情境，探究平面直角坐标系内点的对称

教师问1：已知点A和一条直线MN,你能画出这个点关于已知直线的对称点吗？（出示课

件5)

学生回答：可以作出，过点A作AO_LMN,垂足为点0,延长A0至A',使A'0=A0即可.

AA,就是点A关于直线MN的对体点.

教师问2：如果在平面直角坐标系内，又该如何做呢.我们看下边的问题

如图，在平面直角坐标系中你能画出点A关于x轴的对称点吗？（出示课件6）

师生共同解答如下：过点A作x轴的垂线至点A',使点A与点A'到x轴的距离相等.

教师问3：你能说出点A与点A'坐标的关系吗？

学生观察后回答：横坐标相同，纵坐标相反..

教师问4：在平面直角坐标系中画出下列各点关于x轴的对称点.（出示课件7）

关于x轴对称的点的坐标的痔点是：

横坐标相等，纵坐标互为相反数.（简称：横同纵反）

教师问5：点P（-5,6）与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标为.

学生回答：（-5,-6）.

教师问6：点M（a,-5）与点必-2,b）关于x轴对称，则a=,b=,

学生回答：a=-2,b=5.

教师问7：如图，在平面直角坐标系中你能画出点A关于y轴的对称点吗？（出示课件9）

学生动手作出下边的图形:

教师问9：在平面直角坐标系中画出下列各点关于y轴的对称点.（出示课件10）

师生共同总结如下：（出示课件11）

关于y轴对称的点的坐标的埼点是：

横坐标互为相反数，纵坐标相等.（简称：横反纵同）

教师问10:点P（-5,6）与点Q关于y轴对称，则点Q的坐标为.

学生回答：（5,6）.

教师问11:点M（a,-5）与点N（-2,b）关于y轴对称，则a=,b=.

学生回答：a=2,b=-5.

教师总结如下：

点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,—y);点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(一X,

y).

例1：如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-5,l),B(-2,D,C(-2,5),D(-5,4),

画出与四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形.(出示课件12)

教师总结点拨：(出示课件13)

对于这类问题，只要先求出已知图形中的一些特殊点(如多边形的顶点)的对称点的坐标,

描出并连接这些点，就可以得到这个图形的轴对称图形.(一找二描三连)

出示课件14-15,学生独立思考后解答，教师给出答案.

例2：已知点A(2a-b,5+a),B(2b-1,-a+b).

(1)若点A、B关于x轴对称，求a、b的值；

(2)若A、B关于y轴对称，求(4a+b)Q的值.(出示课件16)

师生共同解答如下：

解：(1)•・•点A、B关于x轴对称,

2a-b=2b-1,5+a-a+b=O,

解得a=-8,b=-5.

(2)VA.B关于y轴对称，

/.2a-b+2b-1=0,5+a=-a+b,

解得a=-1,b=3,

・・.(4a+b产=-1.

教师总结点拨：解决此类题可根据关于x轴、y轴对称的点的特征列方程(组)求解.

出示课件17,学生独立思考后解答，教师给出答案.

例3：已知点P(a+1,2a-l)关于x轴的对称点在第一象限，求a的取值范围.(出示课

件18)

师生共同解答如下：

解：依题意得点P在第四象限，

a+1>0,

2a-l<0.

A<a<-

解得2

\<a<-

即a的取值范围是2

教师总结点拨：解决此类题，一般先写出对称点的坐标或判断已知点所在的象限，再由各

象限内点的坐标的符号，列不等式(组)求解.

出示课件19,学生独立思考后解答，教师绐出答案.

(三)课堂练习(出示课件22-28)

1.平面直角坐标系内的点A(-1,2)与点B(-1,-2］关于()

A.y轴对称B.x轴对称

C.原点对称D.直线y二x对称

2.若点A(1+m,1-n)与点B(-3,2)关于y轴对称，则m+n的值是()

A.-5B.