九年级数学菱形的性质与判定

《第1章菱形的性质与判定》

一、选择题

1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）

A.对边相等B,对角相等

C.对角线互相平分D.对角线互相垂直

2.如图，菱形ABCD的周长为24cm,对角线AC、BD相交于。点，［:是AD的中点，连接。匚，则线段

0E的长等于（）

AEn

A.3cmB.4cmC.2.5cmD.2cm

3.如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120cm2,对角线AC=24cm,则四边形ABCD的周长为（）

A.52cmB.40cmC.39cmD.26cm

4.如图，在。ABCD中，对角线AC与BD交于点0,若增加一个条件，使口ABCD成为菱形，下列给

出的条件不正确的是（）

A.AB=ADB.AC±BDC.AC=BDD.ZBAC=ZDAC

5.如图，菱形ABCD中，NB=60°,AB=2cm,E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF,则4

AEF的周长为（）

A.2^/3cmB.3yJ~2cmC.4^/^cmD.3cm

6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,若A3=2,ZABC=60°,则BD的长为（）

A.2B.3C.V3D.2的

7.如图，在菱形ABCD中，AC=8,BD=6,则AABD的周长等于（）

A.18B.16C.15D.14

8.某校的校园内有一个由两个相同的正六边形（边长为2.5m）围成的花坛，如图中的阴影部分所

示，校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示，并在新扩充的部分种上草

坪，则扩建后菱形区域的周长为（）

A.20mB.25mC.30mD.35m

9.如图，将AABC沿BC方向平移得到ADCE,连接AD,下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是

（）

A.AB=BCB.AC=BCC.ZB=60°D.ZACB=60°

10.如图，四边形ABCD是菱形，AC=8,DB=6,DH_LAB于H,则DH等于（）

A

9412

A.gB.¥C.5D.4

55

二、填空题

11.如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6,BD=10,则菱形ABCD的面积为

12.如图，在菱形ABCD中，AB=4,线段AD的垂直平分线交AC于点N,Z\CND的周长是10,则AC

的长为—.

13.如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点0,请你添加一个适当的条件—使其成为

菱形（只填一个即可）.

14.如图，将两张长为9,宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条

垂直时，菱形的面积有最小值9,那么菱形面积的最大值是.

15.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,AC=8,BD=6,0E±BC,垂足为点E,则0E=

16.菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点0,E,F分别是AD,CD边上的中点，连接EF.若EF=加,

BD=2,则菱形ABCD的面积为.

17.在菱形ABCD中，NA=30°,在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形

BDE,则NEBC的度数为.

18.如图，菱形ABCD中，AB=4,ZB=60°,E,F分别是BC,DC上的点，ZEAF=

60°,连接EF,则4AEF的面积最小值是.

三、解答题

19.已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接AE,CF,求证：

△CDF.

20.如图，四边形ABCD是菱形，CEJ_AB交AB的延长线于点三，CF_LAD交AD的延长线于点F,求证:

DF=BE.

-RE

21.如图，△ABCgZXABD,点E在边AB上，CE/7BD,连接DE.求证：

(1)NCEB:NCBE；

(2)四边形BCED是菱形.

C

D

22.如图，在ZSABC中,ZACB=90°,D,E分别为ACAB的中点，BF〃CE交DE的延长线于点F.

(1)求证：四边形ECBF是平行四边形；

&(2)当NA=30°时，求证：四边形ECBF是菱形.

23.如图，AE/7BF,AC平分NBAE,且交BF于点C,BD平分NABF,且交AE于点D,AC与BD相交

于点0,连接CD

(1)求NA0D的度数;

(2)求证：四边形ABCD是菱形.

ADE

丁

BCF

24.如图，在口ABCD中，BC=2AB=4,点E、F分别是BC、AD的中点.

(1)求证：ZkABEgACDF；

(2)当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积.

《第1章菱形的性质与判定》

参考答案与试题解析

一、选择题

1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）

A.对边相等B.对角相等

C.对角线互相平分D.对角线互相垂直

【考点】菱形的性质；平行四边形的性质.

【分析】由菱形的性质可得：菱形的对角线互相平分且垂直；而平行四边形的对角线互相平分；则

可求得答案.

【解答】解：:菱形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；

平行四边形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分；

二菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直.

故选D.

【点评】此题考查了菱形的性质以及平行四边形的性质.注意菱形的对角线互相平分且垂直.

2.如图，菱形ABCD的周长为24cm,对角线AC、BD相交于。点，E是AD的中点，连接0E,则线段

0E的长等于（）

AEn

---------------VC

A.3cmB.4cmC.2.5cmD.2cm

【考点】菱形的性质.

【分析】根据菱形的四条边都相等求出AB,再根据菱形的对角线互相平分可得OB=0D,然后判断出

0E是4ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得0E二三AB.

【解答】解：...菱形ABCD的周长为24cm,

AB=24-r4=6cm,

;对角线AC、BD相交于0点,

.•.OB=OD,

♦E是AD的中点,

二.OE是aABD的中位线,

/.0E=-AB=—X6=3cm.

22

故选A.

【点评】本题考查了菱形的对角线互相平分，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半,

熟记定理和性质是解题的关键.

3.如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120cm2,对角线AC=24cm,则四边形ABCD的周长为（）

A

A.52cmB.40cmC.39cmD.26cm

【考点】菱形的判定与性质.

【分析】可定四边形ABCD为菱形，连接AC、BD相交于点0,则可求得BD的长，在RtZXAOB中，利

用勾股定理可求得AB的长，从而可求得四边形ABCD的周长.

【解答】解：

如图，连接AC、BD相交于点0,

•.•四边形ABCD的四边相等，

二.四边形ABCD为菱形，

.'.AC_LBD,S四边形ABCD=IAC・BD,

.,.^-X24BD=120,解得BD=10cm,

.".0A=12cm,0B=5cm,

在RtZkAOB中，由勾股定理可得由刃122+5伸3(cm),

•••四边形ABCD的周长=4X13=52(cm),

故选A.

【点评】本题主要考查菱形的判定和性质，掌握菱形的面积分式是解题的关键，注意勾股定理的应

用.

4.如图，在口ABCD中，对角线AC与BD交于点0,若增加一个条件，使^ABCD成为菱形，下列给

出的条件不正确的是()

B----------------------77

A.AB=ADB.AC±BDC.AC=BDD.ZBAC=ZDAC

【考点】菱形的判定；平行四边形的性质.

【分析】根据菱形的定义和判定定理即可作出判断.

【解答】解：A、根据菱形的定义可得，当AB二AD时门ABCD是菱形；

B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判断，DABCD是菱形；

C、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，命题错误；

DsNBAONDAC时，

•.七ABCD中，AD/7BC,

/.ZACB=ZDAC,

ZBAC=ZACB,

「.AB二AC,

•••oABCD是菱形.

ZBAC=ZDAC.故命题正确.

故选C.

【点评】本题考查了菱形的判定定理，正确记忆定义和判定定理是关键.

5.如图，菱形ABCD中，ZB=60°,AB=2cm,E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF,则4

AEF的周长为()

B'D

A.2^/3cmB.3^/^cmC.4^/^cmD.3cm

【考点】菱形的性质；三角形的角平分线、中线和高；勾股定理.

【分析】首先根据菱形的性质证明△ABEgz^ADF,然后连接AC可推出AABC以及4ACD为等边三角

形.根据等腰三角形三线合一的定理又可推出4AEF是等边三角形.根据勾股定理可求出AE的长继

而求出周长.

【解答】解：.••四边形ABCD是菱形，

.0.AB=AD=BC=CD,ZB=ZD,

•・EF分别是BC、CD的中点.

.-.BE=DF,

在4ABE和4ADF中，

'AB二AD

,ZB=ZD

BE=DF

/.△ABE^AADF(SAS),

.,.AE=AF,ZBAE=ZDAF.

连接AC,

VZB=ZD=60°,

/.△ABC与4ACD是等边三角形，

.,.AE±BC,AF±CD(等腰三角形底边上的中线与底边上的高线重合)，

ZBAE=ZDAF=30°,

ZEAF=60°,

.,.△AEF是等边三角形.

「.AE=

•■•周长是3J^cm.

故选B.

B0

E

【点评】此题考查的知识点：菱形的性质、等边三角形的判定和三角形中位线定理.

6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,若A3=2,NABC=60°,则BD的长为（）

A.2B.3C.V3D.273

【考点】菱形的性质.

【分析】首先根据菱形的性质知AC垂直平分BD,再证出AABC是正三角形，由三角函数求出B0,

即可求出BD的长.

【解答】解：.・•四边形ABCD菱形，

.-.AC±BD,BD=2B0,

,/ZABC=60°,

.,.△ABC是正三角形，

ZBA0=60°,

「.BD二2近.

【点评】本题主要考查解直角三角形和菱形的性质的知识点，解答本题的关键是熟记菱形的对角线

垂直平分，本题难度一般.

7.如图，在菱形ABCD中，AC=8,BD=6,则4ABD的周长等干（）

A,D

RC

A.18B.16C.15D.14

【考点】菱形的性质；勾股定理.

【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO=OD,AO=OC,在Rtz^AOD中，根据勾股

定理可以求得AB的长，进而AABD的周长.

【解答】解：菱形对角线互相垂直平分，

.*.B0=0D=3,AO=OC=4,

.'.AB=5,

/.△ABD的周长等于5+5+6=16,

故选B.

【点评】本题考查了菱形面积的计算，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长

相等的性质，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键.

8.某校的校园内有一个由两个相同的正六边形（边长为2.5m）围成的花坛，如图中的阴影部分所

示，校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示，并在新扩充的部分种上草

坪，则扩建后菱形区域的周长为（）

A.20mB.25mC.30mD.35m

【考点】菱形的性质.

【专题】应用题.

【分析】根据题意和正六边形的性质得出△BMG是等边三角形，再根据正六边形的边长得由

BG=GM=2.5m,同理可证出AF=EF=2.5m,再根据AB=BG+GF+AF,求出AB,从而得出扩建后菱形区域的

周长.

【解答】解：如图，:花坛是由两个相同的正六边形围成，

「.NFGM二NGMN=120°,GM=GF二EF,

・•・NBMG二NBGM二60°,

.'.△BMG是等边三角形，

/.BG=GM=2.5(m),

同理可证：AF=EF=2.5(m)

/.AB=BG+GF+AF=2.5X3=7.5(m),

扩建后菱形区域的周长为7.5X4=30(m),

【点评】此题考查了菱形的性质，用到的知识点是等边三角形的判定与性质、菱形的性质和正六边

形的性质，关键是根据题意作出辅助线，找出等边三角形.

9.如图，将aABC沿BC方向平移得到aDCE,连接AD,下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是

A.AB=BCB.AC=BCC.ZB=60°D.ZACB=60°

【考点】菱形的判定；平移的性质.

【分析】首先根据平移的性质得出AB&CD,得出四边形ABCD为平行四边形，进而利用菱形的判定

得出答案.

【解答】解：•••将4ABC沿BC方向平移得到△DCE,

.,.AB£CD,

•••四边形ABCD为平行四边形，

当AC=BC时，

平行四边形ACED是菱形.

故选：B.

【点评】此题主要考查了平移的性质和平行四边形的判定和菱形的判定，得出ABgCD是解题关键.

10.如图，四边形ABCD是菱形，AC=8,DB=6,DH_LAB于H,则DH等于（）

【考点】菱形的性质.

【分析】根据菱形性质求出A0=4,0B=3,ZA0B=90°,根据勾股定理求出AB,再根据菱形的面积公

式求出即可.

二•四边形ABCD是菱形，

/.A0=0C,B0=0D,AC±BD,

'."AC=8,DB=6,

二.AO=4,0B=3,ZA0B=90°,

由勾股定理得：AB=1/32+42=5,

S芟形ABCD=yXACXBD=ABXDh

/Ax8X6=5xDE,

故选A.

【点评】本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用，能根据菱形的性质得出S委形

ABCD二;xACxBD二ABxDF是解此题的关键.

乙

二、填空题

11.如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6,BD=10,则菱形ABCD的面积为3.

【考点】菱形的性质.

【分析】由在菱形ABCD中，对角线AC=6,BD=10,根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得

答案.

【解答】解：:在菱形ABCD中,对角线AC=6,BD=10,

二菱形ABCD的面积为：AOBD=30.

故答案为：30.

【点评】此题考查了菱形的性质.注意菱形的面积等于对角线积的一半.

12.如图，在菱形ABCD中，AB=4,线段AD的垂直平分线交AC于点N,aCND的周长是10,则AC

的长为6

【考点】菱形的性质；线段垂直平分线的性质.

【分析】由菱形性质AC=CD=4,根据中垂线性质可得DN二AN,继而由ACND的周长是10可得

CD+CN+DN=CD+CN+AN=CD+AC.

【解答】解：如图,

•・•四边形ABCD是菱形,AB=4,

「.AB二CD二4,

VMN垂直平分AD,

.,.DN=AN,

•••△CND的周长是10,

/.CD+CN+DN=CD+CN+AN=CD+AC=10,

*'•AC=6,

故答案为：6.

【点评】本题主要考查菱形的性质和中垂线的性质，熟练掌握菱形的四边相等及中垂线上的点到线

段两端的距离相等是关键.

13.如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点0,请你添加一个适当的条件人0,8口或/

A0B=90°或AB=BC使其成为菱形（只填一个即可）.

AB

【考点】菱形的判定；平行四边形的性质.

【专题】计算题；矩形菱形正方形.

【分析】利用菱形的判定方法确定出适当的条件即可.

【解答】解：如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点0,添加一个适当的条件为：AC±

BD或NA0B=90°或AB=BC使其成为菱形.

故答案为：AC_LBD或NAOB=90°或AB=BC

【点评】此题考查了菱形的判定，以及平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解本题的关

键.

14.如图，将两张长为9,宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条

垂直时，菱形的面积有最小值9,那么菱形面积的最大值是一15.

【考点】菱形的性质.

【分析】当两张纸条如图所示放置时，菱形面积最大，然后根据勾股定理求出菱形的边长，然后根

据菱形的面积公式计算即可.

此时菱形ABCD的面积最大.

设AB=x,EB=9-x,AE=3,

则由勾股定理得到：3?+(9-x)2=x2,

解得x=5,

S最大=5X3=15；

故答案为：15.

【点评】本题考查了菱形的性质，难度较大，解答关键是怎样放置纸条使得到的菱形的面租最大和

最小，然后根据图形列方程.

15.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,AC=8,BD=6,0E±BC,垂足为点E,则0E二

12

V-,

【专题】计算题.

【分析】先根据菱形的性质得AC_LBD,0B=0D"BD=3,0A=0C=^-AC=4,再在RtZ\OBC中利用勾股定

理计算出BC=5,然后利用面积法计算0E的长.

【解答】解：•・•四边形ABCD为菱形，

.-.AC±BD,0B=0D=^-BD=3,0A=0C=^AC=4,

乙乙

在RtaOBC中,V0B=3,0C=4,

/.BC=732+42=5^

•/OE±BC,

...0E二受卷

55

故答案为早.

5

【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的

两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.也考查了勾股定理和三角形面积公式.

16.菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点0,E,F分别是AD,CD边上的中点，连接EF.若EF二圾,

BD=2,则菱形ABCD的面积为,b

【考点】菱形的性质；三角形中位线定理.

【分析】根据EF是aACD的中位线，根据三角形中位线定理求的AC的长，然后根据菱形的面积公

式求解.

【解答】解：二任、F分别是AD,CD边上的中点，即EF是4ACD的中位线，

二.AC=2EF二2加，

贝US芟形ABC广,AC・BD=4X2后乂2=2近・

故答案是：2。^.

【点评】本题考查了三角形的中位线定理和菱形的面积公式，理解中位线定理求的AC的长是关键.

17.在菱形ABCD中，NA=30°,在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120。的等腹三角形

BDE,则NEBC的度数为45°或105°.

【考点】菱形的性质；等腰三角形的性质.

【分析】如图当点E在BD右侧时，求出NEBD,NDBC即可解决问题，当点E在BD左侧时，求出N

DBE,即可解决问题.

【解答】解：如图，•.•四边形ABCD是菱形，

.-.AB=AD=BC=CD,ZA=ZC=30",

ZABC=ZADC=150°,

/.ZDBA=ZDBC=75°,

VED=EB,ZDEB=120°,

/.ZEBD=ZEDB=30°,

/.ZEBC=ZEBD+ZDBC=105°,

当点■在BD右侧时，・.・NDBE'=30°,

.•.NE'BC=NDBC-NDBE'=45°,

/.ZEBC=105o或45°,

故答案为105°或45°.

【点评】本题考查菱形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确画出图形，考虑问题

要全面，属于中考常考题型.

18.如图，菱形ABCD中，AB=4,NB=60°,E,F分别是BC,DC上的点，NEAF二

60°,连接EF,则4AEF的面积最小值是」加

【考点】菱形的性质.

【分析】首先由4ABC是等边三角形，即可得AB二AC,以求得NACF二NB=60°,然后利用平行线与三

角形外角的性质，可求得NAEB二NAFC,证得4AEB注AAFC,即可得AE=AF,证得4AEF是等边三角

形，当AE_LBC时得出4AEF的面积最小值即可.

【解答】解：当AEJLBC时,

VAABC是等边三角形，

/.AB=AC,NACB=60°,

/.ZB=ZACF=60°,

VAD//BC,

/.ZAEB=ZEAD=NEAF+ZFAD=60°+ZFAD,

NAFC=ND+NFAD=600+ZFAD,

ZAEB=ZAFC,

在aABE和AACF中，

rZB=ZACF

,ZAEB=ZAFC,

AB=AC

/.△ABE^AACF(AAS),

.,.AE=AF,

VZEAF=60°,

/.△AEF是等边三角形，

•.•当AE_LBC时，AB=4,

.*.AE=2正，

/.△AEF的面积最小值V义炳XA/3X二为反，

故答案为：脑.

【点评】此题考查了菱形的性质，关键是根据等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质

解答.

三、解答题

19.已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接AE,CF,求证：z^ADEg

△CDF.

【考点】菱形的性质；全等三角形的判定.

【专题】证明题.

【分析】由菱形的性质得出AD=CD,由中点的定义证出DE=DF,由SAS证明4ADEg4CDF即可.

【解答】证明：•••四边形ABCD是菱形，

/.AD=CD,

•・•点E、F分别为边CD、AD的中点,

.\AD=2DF,CD=2DE,

.'.DE=DF,

rAD=CD

在AADE和aCDF中，ZADE=ZCDF,

DE=DF

/.△ADE^ACDF(SAS).

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定、菱形的性质；熟练掌握菱形的性质，证明三甬形全等

是解决问题的关键.

20.如图，四边形ABCD是菱形，CE_LAB交AB的延长线于点E,CF_LAD交AD的延长线于点F,求证:

【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质.

【专题】证明题.

【分析】连接AC,根据菱形的性质可得AC平分NDAE,CD=BC,再根据角平分线的性质可得CE=FC,

然后利用HL证明RtACDF^RtACBE,即可得出DF=BE.

【解答】证明：连接AC,

.・.四边形ABCD是菱形，

二•AC平分NDAE,CD=BC,

VCE±AB,CF±AD,

/.CE=FC,ZCFD=ZCEB=90°.

在RtZXCDF与RtACBE中，

/CD=CB

<CF=CE'

/.RtACDF^RtACBE(HL),

.'.DF=BE.

D,

ABE

【点评】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且

每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.同时考

查了全等三角形的判定与性质.

21.如图，Z\ABC空^ABD,点E在边AB上，CE/7BD,连接DE.求证：

(1)NCEB二NCBE；

(2)四边形BCED是菱形.

【考点】菱形的判定；全等三角形的性质.

【专题】证明题.

【分析】(1)欲证明/CEB=/CBE,只要证明/CEB=/ABD,/CBE:/ABD即可.

(2)先证明四边形CEDB是平行四边形，再根据BC=BD即可判定.

【解答】证明；(1)VAABC^AABD,

ZABC=ZABD,

,/CEZ/BD,

/.ZCEB=ZDBE,

NCEB=NCBE.

(2))VAABC^AABD,

/.BC=BD,

,/NCEB=NCBE,

「.CE二CB,

/.CE=BD

•.CE//BD,

，四边形CEDB是平行四边形,

VBC=BD,

四边形CEDB是菱形.

【点评】本题考查全等三角形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定等知识，熟练掌握全等三角

形的性质是解题的关键，记住平行四边形、菱形的判定方法，属于中考常考题型.

22.如图，在aABC中，NACB=90°,D,E分别为AC,AB的中点，BF〃CE交DE的延长线于点F.

(1)求证：四边形ECBF是平行四边形；

【考点】菱形的判定；含30度角的直角三角形；平行四边形的判定与性质.

【分析】(1)利用平行四边形的判定证明即可；

(2)利用菱形的判定证明即可.

【解答】证明：(1)VD,E分别为边AC,AB的中点，

/.DE/7BC,即EF〃BC.

又•「BF〃CE,

•••四边形ECBF是平行四边形.

(2)TNACB=90°,NA=30°,E为AB的中点，

/.CB=-^AB,CE=-^AB.

22

.-.CB=CE.

又由(1)知，四边形ECBF是平行四边形,

二•四边形ECBF是菱形.

【点评】此题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定与性质，利用平行四边形的判定以及菱

形的判定是解题关键.

23.如图，AE/7BF,AC平分NBAE,且交BF于点C,BD平分NABF,且交AE于点D,AC与BD相交

于点0,连接CD

(1)求NA0D的度数；

(2)求证：四边形ABCD是菱形.

【考点】菱形的判定.

【分析】(1)首先根据角平分线的性质得到NDAC二NBAC,ZABD=ZDBC,然后根据平行线的性质得

到