逻辑斯蒂方程logisicssh的应用

逻辑斯蒂方程logisicssh的应用

1对马尔萨斯malthist人口模型的检验

1838年，数学教育家魏罗斯提出了著名的人口增长模型。逻辑斯蒂方程：。

dydt=ky(l-yK)(1)

从其问世以来，它的应用从人口增长模型拓展到很多领域,广泛应用于生物学、医学、经济

管理学等方面。

其实最早给出人口模型方程的是英国统计学家马尔萨斯(Malthus)在1798年《人U原理》

中所提出的马尔萨斯(Malthus)人口模型：

dydt=ky(2)

该模型建立在人口增长率dydt和人口数量y(t)成正比，并且处于理想状态(如没有天敌、

免丁疾病等)下，而且只考总出生率和死亡率，没有考虑环境因素。事实上，更有实际意义的

模型应该能反映限定环境的情况,这是由于很多种群开始时是呈指数增长的，但数量接近

K(K为环境容纳量,也称为承载能力)时增长率逐渐下降,显然方程(2)只能反映第一种趋势,

而方程(1)则考虑了上述两个趋势，因此逻辑斯蒂方程的应用就更加广泛。一般而言，如果

客观事物的数量特征是:在时间t很小时，事物呈指数型增长,而当t增大时，增长速度逐渐

下降，且越来越接近于一个确定的值(即承载能力K),此类问题可用逻辑斯蒂方程加以解决。

2y-ydy,kt

逻辑斯蒂方程dydt=ky(l-yK)是可分离变量的常微分方程，利用此类微分方程的一般求解

方法即可求得其解。

对方程(1)作变换：

dyy(l-yK)=kdt,

继续变形可得：

Ky(K-y)dy=kdto

对上式两边同时积分可得：

fKy(K-y)dy=kfdt,

变形后为:

f(ly+1K-y)dy=kfdt。

对该积分求解得到：

In|K-yy|=-kt+c,

从而K-yy=±ec-e-kto令n=±cc,由上式可解得：

y=Kl+ne-kt(3)

设t=0时，y=yO(也就是初始种群数量)，代入(3)式可得：

y0=Kl+n,于是n=K-yOyO,

将n代入(3)式得到逻辑斯蒂方程的解为：

y(t)=K1+K-yOyOe-kt(4)

实际应用中,结合问题建立了逻辑斯蒂模型后，可直接利用(4)式求解。

3人口增长模型

逻辑斯蒂方程建立时是Verhulst提出的人口增长模型，因此该方程在人M增长和预测方面

应用较多,但在其它方面的应用也非常广泛。下面通过两个案例的描述来阐述逻辑斯蒂方

程在生物学和医学中的实际应用。

3.1大比目鱼群增长已完全符合逻辑斯蒂方程，其典型特征当为

案例1太平洋某区域大比目鱼群的增长可用如下微分方程建模:dydt=ky(l-yK),其中y(t)

表示时刻1(以年为单位)时的生物质量(该群种的全部个体质量之和)，单位为kg,承载能力

为K=8X107kg,k=0.71/年。

(1)如果y(0)=4X107kg,求1年后的生物质量。

(2)需要多长时间生物质量可达6X107kg?

分析:此案例已明确大比目鱼群的增长满足逻辑斯蒂方程,直接应用即可解决案例中所提问

题。

解(1)方程dydt=ky(l-yK)为逻辑斯蒂方程,其解为(4)式。将

K=8X107,k=0.71,y(0)=3X107代入(4)式可得:

y(l)=8X1071+8X107-4X1074X107-e-0.71^5.36X137。

因此1年后的生物质量大约为5.36X107kgo

⑵设需t年生物质量可达6X107kg,则由(4)式可得:

6X107=8X1071+6-0.711,

于是：

eO.71t=3,0.71t=ln3,

从而：

t=ln3O.71=1.55,

即约1.55年后生物质量可达6X107kgo

太平洋大比目鱼是世界上最大的鱼种之一。由于大比目鱼出色的质地适合于从清蒸到油炸

的多种烹饪方式,其厚而雪白的鱼片很受顾客欢迎，同时也是某些昂贵鱼如智利海妒的极好

替代品，因此卜分畅销,全世界年捕捞量超2.5万吨。从上述案例可看出，在该区域捕捞时

可结合逻辑斯蒂方程预测的数据合理安排捕捞量，不仅使种群保持稳定,还可为人类源源不

断地提供美食。

3.2有被感染传染病患者的人所占比率计算

在传染病传播初期，被感染的人很少,但随着时间的推移、病毒的传播以及感染人员的传染,

被感染的人越来越多。到一定时间，由于治疗和控制，感染人群趋于稳定,此时的数量关系

可用逻辑斯蒂方程来描述,

案例2以下是对传染病传播过程建立的模型:传染病传染初期传播速度和已经感染传染病

的人所占比率y(t)(为时间t的函数)与没有被感染传染病的人所占比率的乘积成正比。

(1)写出y(t)满足的微分方程。

(2)解此微分方程。

(3)某小镇有1000个居民，发现首例传染病患者当天有5人被传染,5天后有50人患病，10

天后、15天后、20天后、30天后预计会有多少人被感染？

分析：由题y(t)是已经感染传染病的人所占比率,它是时间t的函数，传播速度为dydt,没

有被感染传染病的人所占比率为-y(t),结合题设可得：

dydt=ky(1-y)(5)

显然感染传染病的人所占比率最大值为1,即K=l0方程(5)为K=1时的逻辑斯蒂方程。

解(D由所建模型,设己感染传染病的人所占比率为y(t),t为时间，则没有被感染传染病

的人所占比率为by(t),传播速度为dydt,比例系数为k,于是y(t)满足的微分方程为：

dydt=ky(1-y)o

(2)感染传染病的人所占比率最大为1,即容纳量为K=l,(5)式可变形为：

dydt=ky(l-yl),

上式为K=1时的逻辑斯蒂方程。由(4)式直接可得所求解为：

y(t)=K1+K-y0y0e_kt=y0y0+(1-yO)e-kt(6)

(3)将发现传染病患者当天看成t=0的时刻，则yO=51000=0.005,5天后有50人即t=5

时,y(5)=0.05,代入(6)式可得:

0.05=0.0050.005+(1-0.005)e-5k,e5k=10.47,于是k=lnl0.475^0.47。从而：

y(1)=0.0050.005+(1-0.005)e-0.47t=0.0050.005+0.995e0.47t(7)

将t=10,t=15,t=20,t=30分别代入(7)式可得:

y(10)=0.0050.005+0.995e0.47X10^0.357,y(15)=0.0350.005+0.995e0.47X15^0.853,

y(20)=0.0050.005+0.995e0.47X20Po.984,y(30)=0.0350.005+0.995e0.47X30^0.99980

因此，10天后、15天后、20天后、30天后预计感染人数分别为357人,853人,984

人,1000人。

由上述计算数据可看出该传染病的传播预计在前15天速度较快,20天后被感染人数相对较

少。由此根据相应的预测数据可对传染病的传播速度进行估计，以便从药品的供给、易感

人群的布控和预计传播区域的预防等方面做好充分的准备，将传染病的传播控制在最低程

度。

4更多因素的模型

上述讨论的为逻辑斯蒂方程的两个简单应用，它