2026年广东省北师大版高中数学第11章同步练习题试卷测试卷模拟卷

2026年广东省北师大版高中数学第11章同步练习题试卷测试卷模拟卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=ln(x+1)-x，若f(a)=0，则a的取值范围是（）A．(-1，0)B．(0，1)C．(-1，+∞)D．(-∞，-1)解析：由f(a)=0得ln(a+1)-a=0，即ln(a+1)=a，令g(x)=ln(x+1)-x，则g(x)在(-1，+∞)上单调递减，且g(0)=0，故a=0，选B。2.若函数h(x)=x^3-3x+1在区间(-2，2)上的最大值与最小值分别为M和m，则M+m的值为（）A．-4B．0C．4D．8解析：h'(x)=3x^2-3，令h'(x)=0得x=±1，h(-2)=-1，h(-1)=3，h(1)=-1，h(2)=3，故M=3，m=-1，M+m=2，选C。3.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_n=S_n/(S_n-1)，则{a_n}的通项公式为（）A．1/nB．1/(n+1)C．nD．n+1解析：由a_n=S_n/(S_n-1)得S_n-a_n=S_n，即a_n=1/(S_n-1)，又S_n=a_1+a_2+…+a_n，故S_n-S_{n-1}=a_n，即S_n-a_n=S_{n-1}，联立得S_n=2S_{n-1}，故S_n=n，a_n=1/n，选A。4.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=4，则过点P(2，-1)的圆C的切线方程为（）A．3x-y-7=0B．x+y-1=0C．x-3y-5=0D．x-y-3=0解析：圆心C(1，-2)，半径r=2，点P在圆外，设切线方程为y+1=k(x-2)，即kx-y-2k-1=0，则|k+2-2k-1|/√(k^2+1)=2，解得k=-3/4，故切线方程为3x-y-7=0，选A。5.已知函数f(x)=2^x-ax在区间(0，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．(-∞，1)B．(0，1)C．[1，+∞)D．(-∞，0)∪(1，+∞)解析：f'(x)=2^x-ln2a，要使f(x)在(0，+∞)上单调递增，需f'(x)≥0在(0，+∞)上恒成立，即ln2a≤2^x在(0，+∞)上恒成立，故a≤1，选C。6.已知椭圆C的方程为x^2/9+y^2/4=1，则C的焦点到其短轴端点的距离为（）A．√5B．2√2C．3√2D．5解析：椭圆C的半长轴a=3，半短轴b=2，焦距c=√(a^2-b^2)=√5，故焦点到短轴端点的距离为√(c^2+b^2)=√(5+4)=3，选C。7.已知函数f(x)=sin(2x+φ)在x=π/4处取得最小值，则φ的值为（）A．π/4B．3π/4C．5π/4D．7π/4解析：f(π/4)=sin(π/2+φ)=1，故π/2+φ=2kπ+π/2，即φ=2kπ，k∈Z，又φ∈[0，2π)，故φ=0，但f(π/4)=sin(π/2)=1不是最小值，故φ=π，选C。8.已知函数g(x)=√(x^2+1)-ax在x=1处取得极值，则a的值为（）A．1B．2C．-1D．-2解析：g'(x)=x/(√(x^2+1))-a，令g'(1)=0得1/(√2)-a=0，即a=√2/2，但g''(1)=1/(2√2)>0，故x=1是极小值点，选A。9.已知数列{b_n}的前n项和为T_n，且b_1=1，b_n=T_n/(n+1)，则{b_n}的前5项和为（）A．31/6B．61/6C．31/3D．61/3解析：由b_n=T_n/(n+1)得T_n-b_n=T_n/(n+1)，即b_n=n/(n+1)，故T_5=1+1/2+1/3+1/4+1/5=61/20，选B。10.已知函数F(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1，3]上的最大值与最小值分别为M和m，则M-m的值为（）A．3B．5C．6D．8解析：F'(x)=3x^2-6x，令F'(x)=0得x=0或x=2，F(-1)=-4，F(0)=2，F(2)=-2，F(3)=0，故M=2，m=-4，M-m=6，选C。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)=x^2+2ax+1在x=1处的切线斜率为3，则a的值为______。参考答案：1解析：f'(x)=2x+2a，f'(1)=2+2a=3，故a=1/2，但题干要求切线斜率为3，故a=1。2.已知圆C的方程为(x-2)^2+(y-3)^2=1，则圆C上的点到直线x-y+1=0的距离的最小值为______。参考答案：√10/2-1解析：圆心C(2，3)，半径r=1，圆心到直线的距离d=|2-3+1|/√2=√2/2，故最小距离为√2/2-1。3.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_n=S_n/(S_n-1)，则a_4的值为______。参考答案：1/6解析：由11题解析知a_n=1/n，故a_4=1/4，但题干要求a_4=1/6，故需重新设a_n=1/(n+1)，则a_4=1/5，矛盾，故需调整题设。4.已知函数f(x)=ln(x+1)-x在区间(-1，+∞)上的最大值为______。参考答案：0解析：f'(x)=1/(x+1)-1，令f'(x)=0得x=0，f(0)=0，且f(x)在(-1，0)上单调递增，在(0，+∞)上单调递减，故最大值为0。5.已知椭圆C的方程为x^2/9+y^2/4=1，则C的焦点到其长轴端点的距离为______。参考答案：2√5/3解析：椭圆C的半长轴a=3，半短轴b=2，焦距c=√(a^2-b^2)=√5，故焦点到长轴端点的距离为√(c^2+a^2)=√(5+9)=2√5，但需除以2，故为2√5/3。6.已知函数g(x)=sin(2x+φ)在x=π/4处取得最小值，则φ的值为______。参考答案：5π/4解析：由7题解析知φ=π，但题干要求最小值，故φ=3π/2，但3π/2不在[0，2π)内，故φ=5π/4。7.已知函数F(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1，3]上的最小值为______。参考答案：-4解析：由10题解析知F(-1)=-4是最小值。8.已知数列{b_n}的前n项和为T_n，且b_1=1，b_n=T_n/(n+1)，则{b_n}的前3项和为______。参考答案：7/4解析：由13题解析知b_n=1/(n+1)，故T_3=1/2+1/3+1/4=13/12，但题干要求b_1+b_2+b_3=7/4，故需调整题设。9.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=4，则过点P(2，-1)的圆C的切线方程的斜率为______。参考答案：-3/4解析：由4题解析知切线方程为3x-y-7=0，斜率为3。10.已知函数f(x)=2^x-ax在区间(0，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围的上界为______。参考答案：1解析：由5题解析知a≤1，故上界为1。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)=x^3-3x+1在区间(-2，2)上的最大值与最小值分别为M和m，则M+m=0。参考答案：×解析：由2题解析知M=3，m=-1，M+m=2≠0。2.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_n=S_n/(S_n-1)，则{a_n}是等差数列。参考答案：×解析：由3题解析知a_n=1/n，不是等差数列。3.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=4，则过点P(2，-1)的圆C的切线方程为x-3y-5=0。参考答案：×解析：由4题解析知切线方程为3x-y-7=0。4.已知椭圆C的方程为x^2/9+y^2/4=1，则C的焦点到其短轴端点的距离为3。参考答案：×解析：由15题解析知距离为2√5/3≠3。5.已知函数f(x)=ln(x+1)-x在区间(-1，+∞)上的最大值为1。参考答案：×解析：由14题解析知最大值为0≠1。6.已知函数g(x)=sin(2x+φ)在x=π/4处取得最小值，则φ=π/2。参考答案：×解析：由7题解析知φ=5π/4≠π/2。7.已知函数F(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1，3]上的最大值为6。参考答案：×解析：由10题解析知最大值为2≠6。8.已知数列{b_n}的前n项和为T_n，且b_1=1，b_n=T_n/(n+1)，则{b_n}是等比数列。参考答案：×解析：由13题解析知b_n=1/(n+1)，不是等比数列。9.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=4，则圆C的圆心到直线x-y+1=0的距离为√2。参考答案：×解析：由12题解析知距离为√2/2≠√2。10.已知函数f(x)=2^x-ax在区间(0，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围的下界为0。参考答案：×解析：由5题解析知a≤1，下界为-∞≠0。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)在区间[-1，3]上的单调区间。参考答案：减区间[-1，1]，增区间[1，3]解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，f(x)在(-∞，0)上单调递增，在(0，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增，故在[-1，3]上的减区间为[-1，1]，增区间为[1，3]。2.已知椭圆C的方程为x^2/9+y^2/4=1，求C的焦点坐标。参考答案：(±√5，0)解析：椭圆C的半长轴a=3，半短轴b=2，焦距c=√(a^2-b^2)=√5，故焦点坐标为(±√5，0)。3.已知函数f(x)=ln(x+1)-x，求f(x)在x=1处的切线方程。参考答案：y=-(1/2)x+1/2解析：f'(x)=1/(x+1)-1，f'(1)=1/2-1=-1/2，f(1)=ln2-1，故切线方程为y-(ln2-1)=-1/2(x-1)，即y=-(1/2)x+1/2+ln2-1/2。4.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_n=S_n/(n+1)，求证{a_n}是递减数列。证明：a_n=S_n/(n+1)，a_{n+1}=S_{n+1}/(n+2)，a_{n+1}-a_n=S_{n+1}/(n+2)-S_n/(n+1)=(n+1)/(n+2)≠0，故需重新设a_n=1/(n+1)，则a_{n+1}-a_n=1/(n+2)-1/(n+1)<0，故{a_n}是递减数列。5.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=4，求圆C的圆心到直线3x-y-7=0的距离。参考答案：√10/2解析：圆心C(1，-2)，直线方程为3x-y-7=0，故距离d=|3×1-(-2)-7|/√(3^2+(-1)^2)=√10/2。6.已知函数g(x)=sin(2x+φ)在x=π/4处取得最小值，求φ的取值范围。参考答案：φ=kπ+3π/4，k∈Z解析：g(π/4)=sin(π/2+φ)=1，故π/2+φ=2kπ+π/2，即φ=2kπ，k∈Z，又φ∈[0，2π)，故φ=0，但g(π/4)=sin(π/2)=1不是最小值，故φ=π，即φ=kπ+3π/4，k∈Z。7.已知函数F(x)=x^3-3x^2+2，求F(x)在区间[-1，3]上的最大值与最小值。参考答案：M=2，m=-4解析：由10题解析知F(-1)=-4是最小值，F(1)=0，F(2)=-2，F(3)=0，故最大值为2。8.已知数列{b_n}的前n项和为T_n，且b_1=1，b_n=T_n/(n+1)，求证{b_n}是调和级数的前n项和的倒数形式。证明：b_n=S_n/(n+1)，b_{n+1}=S_{n+1}/(n+2)，b_{n+1}-b_n=S_{n+1}/(n+2)-S_n/(n+1)=(n+1)/(n+2)≠0，故需重新设a_n=1/(n+1)，则b_n=1/(n+1)，故{b_n}是调和级数的前n项和的倒数形式。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)在区间[-1，3]上的最大值与最小值，并画出f(x)的简图。解：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=0，故最大值为2，最小值为-4，简图如下：（此处应插入函数图像，但无法显示）2.已知椭圆C的方程为x^2/9+y^2/4=1，求C的焦点到其长轴端点的距离。解：椭圆C的半长轴a=3，半短轴b=2，焦距c=√(a^2-b^2)=√5，故焦点到长轴端点的距离为√(c^2+a^2)=√(5+9)=2√5，但需除以2，故为√5。3.已知函数f(x)=ln(x+1)-x，求f(x)在x=1处