能力专题16 数据处理能力

能力专题16数据处理能力

探究1：利用统计图表进行数据处理

【典例剖析】

例1.(2022•湖南省•月考)某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是必考科目，考生还须从物理、化学、

生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.若一名考生从六个科目中选出了三个科目作为

选考科目，则称该考生的选考方案确定；否则，称该考生的选考方案待确定.例如，考生甲选择“物理、化学和生

物,，三个选考科目，则考生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物〃为其选考方案.某校为了解高一年级900名学生

选考科目的意向，随机选取3。名学生进行调查，统计选考科目人数如下表：

性别选考方案确定情况物理化学生物历史地理政治

选考方案确定的有8人884211

男生

选考方案待确定的有6人430100

选考方案确定的有10人896331

女生

选考方案待确定的有6人541001

(I)估计该校高一年级确定选考化学的学生人数，并给出选考方案确定的8名男生中具体的选科组合及其相应人数;

(U)从选考方案确定的8名男生中随机造出2名，求这2名男生的选考方案不同的概率；

(IH)若以该校高一学生的选考情况估计该市所有高一学生的选考情况，则在全市选考方案确定的女生中任选5人，

记这-5人中-选考物-理的-人数为-X,求-X的分-布列以-及数学-期望.-------、

\选题意图：利用统计图表进行数据整理和分析是概率统计部分历年高考必考知识点，要求学生会从复杂的文字■

!信息和图表中提取关键解题信息的能力.本题以学生熟悉的新高考选科为背景素材，看懂统计表表1

达的含义，结合数据表格考查古典概型的计算与应用，得散型随机变量的分布列与期望，二项分布：

i的应用.1

;思维引导：(I)计算出高一年级确定选考化学的学生有900X17/30=510,可得选科组合及其相应人数；；

\(II)考查古典概型的计算公式进行运算；；

【变式训练】

练1-1.(2022•湖北省•月考)自中华人民共和国成立以来，我国共进行了七次全国人口普查，下图为我国历次全国

人口普查人口性别构成及总人口性别比(以女性为100,男性对女性的比例)统计图，则下列说法正确的是

万人

90000120

80000

70000116

60000

50000--------------—I112

107.S6-1054b-JH--IB-

40000108

-1j^]io-J|OS07-

30000

20000-104

10000

0100

1953196419821990200()20H)202。年

□再■女性别比

A.近三次全国人口普查总人口性别比呈递减趋势

B.我国历次全国人口普查总人口数呈逐次递减

C.第五次全国人口普查时，我国总人口数已经突破14亿

D.第七次全国人口普查时，我国总人I」性别比最高

练1-2.(2022•全国•联考)多年来，某市持续推动创建文明城市工作，通过净化出行环境，改造生活设施，扩建

园林绿化等，空气质量稳步提升.如图是空气质量指数与相应等级对照表以及该市12月21口至第二年1月10口的空

气质量指数图，下面结论中不正确的是()

空气质量指数空气质量等级200

165

150150

0-50优137

卬1151

：iii112

51-100良100册1°i11

88|8785

101-150轻度污染

151-200中度污染

201-300重度污染iiiiillliliii.

V--------------------------------------------------------------------------k

(n(n[n(n(n(n(n(n(n(n(n[n[n(n(n(n(n(n(n(n(n

>300严重污染■zm=s9rs8so

A.1月上旬的空气质量等级总体优于12月下旬的空气质量

B.1月上旬空气质量指数比12月下旬的波动性更大

C.以上21天中12月30日空气质量等级为优，空气质量最佳

D.以上21天中空气质量指数的中位数对应的等级为良

练1-3.(2022•湖北省黄冈市•模拟)农村饮水安全是关系亿万农民切身利益的大事，为了实现全国农村自来水村村

通的目标，国家将继续加大农村饮水安全工程投入.某农村为了保证饮水充足，建立了甲、乙两个蓄水池，并统

计了两蓄水池2021年月平均水深的相关数据，得到如下折线图，贝!下列描述中错误的是()

水深/米

A.甲蓄水池前3个月的月平均水深高于10米

B.甲蓄水池的月平均水深的最大值小于乙蓄水池的月平均水深的最大值

C.甲蓄水池年平均水深大于乙蓄水池年平均水深

D.甲蓄水池月平均水深的方差大于乙蓄水池月平均水深的方差

练1-4.（2022•北京市•模拟）A,B,C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得

了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：

4班66.577.58

B班6789101112

C班34.567.5910.51213.5

（I）试估计C班的学生人数；

（II）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙.假设所有学生

的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；

（川）再从4B,C三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7,9,8.25（单位：小时），这3个新数

据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为〃1，表格中数据的平均数记为〃°，试判断〃°和〃1的大小.（结论不

要求证明）

【规律方法】

熟练掌握常见的柱状图、条形图、折线图、雷达图、频率分布直方图、等高条形图等图表，从统计图表中收集数

据、整理数据，提取信息，进行推断，得出结论。

探究2：回归分析和独立性检验中的数据处理

【典例剖析】

例2.（2022•广东•联考）手机芯片是一种硅板上集合多种电子元器件实现某种特定功能的电路模块，是电子设备中

最重要的部分，承担着运输和存储的功能.某公司研发了一种新型手机芯片，该公司研究部门从流水线上随机抽

取100件手机芯片，统计其性能指数并绘制频率分布直方图（如图1）：

年助售万件）

80

0102030403060

军营铜费用用万元）

192

产品的性能指数在［50,70）的称为4类芯片，在［70,90）的称为B类芯片，在［90,110］的称为C类芯片，以这100件芯片

的性能指数位于各区间的频率估计芯片的性能指数位于该区间的概率.

（I）在该流水线上任意抽取3件手机芯片，求C类芯片不少于2件的概率；

（II）该公司为了解年营销费用工（单位：万元）对年销售量y（单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用占和年销售

量%（i=1,2,345）数据做了初步处理，得到的散点图如图2所示.

（0利用散点图判断，丫=。+"和、=一无气其中。，d为大于0的常数）哪一个更适合作为年营销费用和年销售量

的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）；

5）对数据作出如下处理：令％vt=lnyit得到相关统计量的值如下表：

S5s£3，s5s

A，W*

i=li=li=li=li=li=ii=li=l

15072555001575016255682.4

根据⑴的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程；

（市）由所求的I可归方程估计，当年营销费用为100万元时，年销量y（万件）的预报值.（参考数据：e34=30）

参考公式：对于一组数据（%,%）,（u2,v2）»•••，Qn，%），其回归直线y=a+0〃的斜率和截距的最小二乘估计分

别为“一罚一£%而一疝/，a=v-pu.

选题意图：利用丰富的图表展示题目信息是概率统计题目常用的载体，要求学生看懂图表，并对图表中的数据进

行分析处理，回归分析和独立性检验中对数据处理能力的要求较高，本题利用频率分布直方图判断各

类芯片所占的频率，利用效点图分析两个变量相关关系，并进行回归分析，并利用回归方程进行预测，

思维引导：本题考查频率分布直方图和可线性化的回归分析，属于中档题.

（I）由频率分石直方图，可得取出。类芯片的概率为右设“抽出C类芯片不少于2件”为事

件儿P⑷=（!>+或（渭=亮

用y=c•d更适合；

（ii）lny=Inc+d\nx,令〃=Inx,v=Iny,则u=Inc+du,再利用可线性化的回；

【变式训练】

练2-1.（2022•湖北省•模拟）某高科技企业为确定下一年度投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x（单位：

千万元）对年销售量yC单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用阳与年销售量y4=1,2,3,…,10）的

数据，经分析数据发现用函数丫=。+加11%（其中a,b均为大于。的常数）拟合效果较好，并对数据作出如下处理，

得到相关统计量的值如卜.表所示：

10101010

工（例-和乏（期一初仍一历2（在一好仪一历

Xy

i=li=li=li=l

9.429.723665.5439.255

其中也=ln勺,石求1”.根据数据预测投人的年研发费用为4.5亿元时的年销存量为（）

2

（少考数据及公式：ln3®1.10,ln5«1.61,p-四〃?_叫2—一（u__„）-，a=v-6团

A.4.78亿件B.3.68亿件C.47.8亿件D.36.8亿件

练2-2.（2022•浙江省•联考）在新高考改革中，浙江省新高考实行的是7选3的3+3模式，即语数外三门为必考科

目，然后从物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术（含信息技术和通用技术）7门课中选考3门.某校高二学

生选课情况如下列联表一和列联表二（单位：人）

选物理不选物理总计选生物不选生物总计

男生340110450男生150300450

女生140210350女生150200350

总计480320800总计300500800

表一表二

试根据小概率值a=0.005的独立性检验，分析物理和生物选课与性别是否有关（）

Kfr.2Mad-bcf

y=7i=a+b+c+d.a=P(x2>x)

A~(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)a

a0.150.100.050.0250.01C.0050.001

xa2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

A.选物理与性别有关，选生物与性别有关B.选物理与性别无关，选生物与性别有关

C.选物理与性别有关，选生物与性别无关D.选物理与性别无关，选生物与性别无关

练2・3.（2022•全国•联考）某学校为了调查高中男生和女生在英语单词记忆能力上是否存在差异，从高一年级选取

了50名同学，其中男女生各25人，调查他们一周内能准确记忆的单词量（单位：个），将所得数据从小到大排列如

下：

男生：37383939434345474747484849494950525354545758586062

女生：37394047484849495052525353535354545456575960606163

（1）根据上述数据判断哪个群体在一周内准确记忆的单词量更大，请说明理由.

（2）记这50名同学在一周内准确记忆的单词量的中位数为将这5。人中单词量超过6的记为'‘优秀"，不超过

m的记为“一般”，完成下面的2x2列联表，依据a=0.05的独立性检验，能否认为男生女生的单词记忆能力有

差异？

单位：人

单词记忆能力

性别合计

优秀•般

男生

女生

合计50

2

际,•y2n(adfc)

=n=a+b+c+d

z-(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.150.100.050.0050.001

xa2.0722.7063.8417.87910.828

练24(2022•山东省滨州市•月考)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的甲,

乙两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组

工人用甲种生产方式，第二组工人用乙种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如表

格：

完成任务工作时间(60,70](70,80](80,叫(90,100]

甲种生产方式2人3人10人5人

乙种生产方式5人10A4人1人

(1)将完成生产任务所需时间超过80min和不超过80min的工人数填入如表的列联表:

工作时间

生产方式合计

超过80min不超过80min

甲

乙

合计

(2)根据(1)中的列联表，依据小概率值a=0.01的独立性检验，能否认为甲，乙两种生产方式的效率有差异？

(3)若从完成生产任务所需的工作时间在(60,70］的工人中选取3人去参加培训，设X为选出的3人中采用甲种生产

方式的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.

附：〜(a+b)(Z)(Q+)c)(b+d)'n。+匕+c+d.

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.89710.828

【规律方法】

数据处理能力要求运用基本的统计方法对数据进行整理和分析，如建立一元线性回归模型，并利用统计图表和问

归模型解释和预测随机现象；分析两个分类变量的独立性，并建立独立性检验的方法进行统计推断。要求学生关

注时事，能通过对数据的分析、整理从中抽取对研究问题有用的信息，利用概率思想或统计思想分析和解决问题。

能力专题16数据处理能力——答案与解析

例1.【解析】解：（I）高一年级确定选考化学的学生有900x^=510,

选科组合为“物理、化学、生物”的共4人,

选科蛆合为“物理、化学、历史”的共2人,

选科生合为“物理、化学、地理”的共1人,

选科组合为“物理、化学、政治”的共1人;

以(或+以)+由2+1_3

(H)概率为

(HI)由题意得X〜8(51),

所以/乂=0)=〈)5=强,

P(X=1)=心&'◎=短，

「3=2)=量(款(胡=建，

P(X=3)=端2鼾噜

P(X=4)=")Y)4=||

故X的分布列为:

X012345

14321282561024

P

31256256256256253125

数学期望5xg=4.

练1T.【答案】A

【解析】解：由图可知，近三次全国人口普查总人口性别比逐次下降，呈递减趋势，故选项A正确；

由图可知，我国历次全国人口普查男女人数逐次递增，即总人口数呈逐次递增，故选项4错误；

由图可知，第五次普查为2000年，该年的人口数低于14亿，故选项。错误；

由图可知，第七次普查时，我国总人口性别比最低，故选项。错误.

练1-2.【答案】B

【解析】解:4因为空气质量指数越高，质量等级越低，故1月上旬的空气质量等级总体优于12月下旬空气质量

等级，故A正确；

日因为12月下旬空气质量有优，良，轻度污染，中度污染，空气质量波动较大，

1月上旬除4日外空气质量指数都在100以下50以上，空气质量为良，波动较小，故8错误；

C.以上21天中12月30号空气质量指数为48,则空气质量等级为优，空气质量最佳，故C正确：

D以上21天空气质量指数的中位数为85,对应的等级为良，故。正确.

故选B.

练1-3.【答案】4c

【解析】解：由折线图可知，甲蓄水池在前三个月的月平均水深低于10米，故A错误；

甲，乙蓄水池都在7月取得月平均水深的最大值，故甲蓄水池的月平均水深的最大值小于乙蓄水池的月平均水深

的最大值，故8正确；

乙蓄水池月平均水案的折线图多在甲蓄平水池月平均水深的折线图的上方，

故甲蓄水池年平均水深小于乙蓄水池年平均水深，故C错误：

由折线图走势可知，甲蓄水池的月平均水深波动比乙蓄水池的月平均水深波动大，

故甲蓄水池月平均水深的方差大干乙蓄水池月平均水深的方差，故。正确.

故选AC.

练1-4.【解析】解：(I)由题意得：三个班共抽取20个学生，其中C班抽取8个，

故抽样比为器=1

故C班有学生8+"=40人，

(U)从4班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，

共有5x8=40种情况，而且这些情况是等可能发生的，

当甲锻炼时间为6时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有2种情况；

当甲锻炼时间为6.5时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3种情况：

当甲锻炼时间为7时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3种情况：

当甲锻炼时间为7.5时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3种情况：

当中锻炼时间为8时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有4种情况；

故该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率为社噜虫=

408

(III)根据平均数的定义，可判断出〃0＞生.

例2.【解析】解：(I)由频率分布直方图，4、B、。类芯片所占频率分别为0.15,0.45,0.4,

取出C类芯片的概率为"

设“抽出C类芯片不少于2件”为事件4,

p⑷=(1)3+以/i=q

(H)(i)用y=c•，更适合：

(ii)lny=Inc+dlnx,

令〃=Inx,v=Iny,

则u=Inc+du,u=3.2,v=5,

由表中数据可得，2=浮=七二六:产=':

£=]Uj—5u56—5x3.2%、乙

则Inc=v—du=5-3.2=3.4»

所以，0=3.4+0.5〃，

x

34]

即iny=3.4+0.5/nx=Zn(ez

因为/.4、30,所以夕=30聂

(iii)当％=100,y=30V100=300.

所以年销售量的预报值为300万件.

练2-1.【答案】月

【解析】解：令3=lnx,建立y关于3的经验回归方程，

3=啮%—初写刃10,

£昌(”海5.5

a=y-ba)=29.7-10x2=9.7,

所以y关于3的经验回归方程为？=9.7+103,

因此y关于卞的回归方程为9=9.7+10lnx,

当x=45时,y=9.7+101n45=9.7+10(21n3+In5)

«9.74-2OX1.10+10x1.61=47.8千万件=4.78亿件.

练2-2.【答案】C

_800(340x210-110x140)2

【解析】解：选物理：2

z__480x320x350x450x103.7>7.879,

所以选物理与性别有关,

800x(150x200-150x300/

选生物：,x7.619<7.879,

300x500x350x450

所以选生物与性别无关,

故选C.

练2-3.【解析】解；(1)根据题意，男生的数据为

37383939434345474747484849494950525354545758586062,其平均数五=

49.04,

女生的数据为3739404748484949505252535353535454545657