2026-2027学年福建省厦门市信成火炬高级中学高二（上）第一次月考数学（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年福建省厦门市信成火炬高级中学高二（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知a=(1,5,−1),b=(−3,2,3)，则aA.(−4,−3,4) B.(4,3,−4) C.(−4,3,−4) D.(4,3,4)2.过两点A(m,4)，B(0,3)的直线的倾斜角为60°，则实数m的值为(

)A.233 B.33 3.已知三点(2,−3),(4,3),(5,k2)在同一条直线上，则实数k的值为A.2 B.4 C.8 D.124.如图：在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M为A1C1，A.−12a+12b−c5.已知向量a=(−2,1,3),b=(−1,1,x)，若a与b垂直，则|A.2 B.52 C.26.如图，在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为BC的中点，P为D1A.5

B.3

C.227.已知n1=(−1,9,1)，n2=(m,−3,2)，n3=(0,2,1)，若A.3 B.1 C.5 D.78.直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(−3,3)，则其斜率的取值范围是(

)A.−1<k<15 B.k>1或k<12 C.k>15或二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知直线l：3x+y−2=0，则下列选项中正确的有A.直线l的倾斜角为5π6 B.直线l的斜率为3

C.直线l不经过第三象限 D.直线l10.已知两个不重合的平面α与平面ABC，若平面α的一个法向量为n1=(2,−3,1)，向量AB=(1,0,−2)，AC=(1,1,1)A.AB⊥AC B.AB//平面α

C.平面ABC⊥平面α D.平面ABC//平面11.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M，N分别是A.四点A1，M，N，C共面

B.直线A1D与平面BCD1平行

C.异面直线CN与D1C1所成角的余弦值为33

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知直线l的一个方向向量为d=(1,−1,3)，平面α的一个法向量为u=(−2,m,n)，若l⊥α，则m+n=

．13.已知过点(0,−1)的直线l与以点A(4,2)，B(−3,1)为端点的线段AB相交，则直线l的斜率的取值范围为

．14.已知O(0,0,0)，A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，当QA⋅QB取最小值时，点Q的坐标是

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知直线l经过点(1,6)和点(8,−8)．

(1)求直线l的截距式方程；

(2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积．16.(本小题15分)

已知a=(λ+1,1,2λ)，b=(6,2m−1,2)．

(1)若a/​/b，分别求λ与m的值；

(2)若|a|=17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为棱PA的中点，PD=AD=2．

(1)证明：PC//平面BDE；

(2)求直线EB与平面ABCD所成角的正弦值．18.(本小题17分)

直线l的方程为y=−(a+1)x+a−2(a∈R)．

(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值；

(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．19.(本小题17分)

如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动．

(1)求证：D1B⊥A1D；

(2)当点E为棱AB的中点时，求点

1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】D

6.【答案】D

7.【答案】B

8.【答案】D

9.【答案】CD

10.【答案】BD

11.【答案】AC

12.【答案】−4

13.【答案】(−∞,−214.【答案】(415.【答案】x4+y8=116.【答案】解：(1)由a//b，得(λ+1,1,2λ)=k(6,2m−1,2)，

所以λ+1=6k1=(2m−1)k2λ=2k，

解得λ=15，m=3；

(2)|a|=5，且a⊥c，

所以a⋅c=0，即2(λ+1)−2λ−2λ2=0，

化简得λ2=1，解得λ=±117.【答案】证明：因O为正方形ABCD的对角线AC与BD的交点，则OA=OC，

又因E为棱PA的中点，则OE//PC，

由PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，可得PC//平面BDE

618.【答案】解：(1)当l过坐标原点时，2−a=0，解得：a=2，满足题意，

当l不过坐标原点时，即a≠2时，

若a+1=0，即a=−1时，y=−3，不符合题意，

若a+1≠0，即a≠−1时，方程可整理为：xa−2a+1+ya−2=1，

∴a−2a+1=a−2，解得a=0，

综上所述，a=0或2．

(2)当a+1=0，即a=−1时，l：y=−3，不经过第二象限，满足题意，

当a+1≠0，即a≠−1时，方程可整理为：y=−(a+1)x+a−2，−(a+1)>0a−2≤0，解得a<−1，

19.【答案】解：(1)证明：如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，AD=AA1=1，AB=2，

则D(0,0,0)，D1(0,0,1)，A1(1,0,1)，B(1,2,0)，B1(1,2,1)，C(0,2,0)，

即D1B=(1,2,−1)，A1D=(−1,0,−1)，

因为D1B⋅A1D=1×(−1)+2×0+(−1)×(−1)=0，

因此D1B⊥A1D；

(2)如图，当E为棱AB的中点时，E(1,1,0)，

EC=(−1,1,0)，ED1=(−1,−1,1)，

设平面ECD1的法向量为m=(x,y,z)，

则m⋅EC=−x+y=0m⋅ED1=