北京中学2026-2027学年九年级（上）阶段性调研数学试卷（9月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年北京中学九年级（上）阶段性调研数学试卷（9月份）一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是（）A.s=2t2-2t+1 B.y=ax2+bx+c C.y=3x-1 D.y=2.一元二次方程x2=2x的根为（）A.x=0 B.x=2 C.x=0或x=2 D.x=0或x=-23.用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程变形为（）A.（x+1）2=6 B.（x-1）2=6 C.（x+2）2=9 D.（x-1）2=94.某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1892张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（）A.x（x+1）=1892 B.x（x-1）=1892×2

C.x（x-1）=1892 D.2x（x+1）=18925.在同一坐标系内，二次函数y=ax2+5x+b的图象与一次函数y=ax+b可能是（）A. B.

C. D.6.若M（-4，y1），N（-3，y2），P（1，y3）为二次函数y=x2+4x-5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A.y1＜y2＜y3 B.y2＜y1＜y3 C.y3＜y1＜y2 D.y1＜y3＜y27.将抛物线y=-5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（）A.y=-5（x+1）2-1 B.y=-5（x-1）2-1 C.y=-5（x+1）2+3 D.y=-5（x-1）2+38.在二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，a≠0）中，x与y的部分对应值如表所示.x-2-4y-0-给出下列结论：①abc＜0；②（a+c）2＜b2；③若+bm1=+bm2，且m1≠m2，则m1+m2=2；④若点，均在二次函数图象上，则y1＞y2.其中正确的是（）A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。9.已知抛物线y=ax2与y=2x2的形状相同，则a=

．10.已知m是方程x2-2x-1=0的一个根，则2m2-4m=

.11.设x1、x2是方程x2-3x+2=0的两个根，则x1+x2-x1•x2=

．12.二次函数y=（k+1）x2的图象如图所示，则k的取值范围为

．

13.二次函数y=ax2+bx（a＜0）过点（-1，m），（1，m+2），则m的取值范围为

.14.已知二次函数y=2026x2的图象上有两个不同点，，则t1+t2的值为

.15.抛物线y=（x+2m）2-1，当x＜4时，y随x增大而减小，则m的取值范围是

.16.在平面直角坐标系中，过原点O的抛物线y=a（x+m）2+n（a＜0）与x轴交于另一点A（点A与点O不重合），顶点为P.当△OAP为等腰直角三角形时，an的值为

.三、计算题：本大题共3小题，共19分。17.解下列方程：(1)2（x-1）2=18(2)x2+2x-3=0(3)4x2-2x=x+1(4)（2x+1）2=4x+218.2026年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪CP”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套40元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套58元的价格出售．经统计，2026年1月份的销售量为256套，2026年3月份的销售量为400套(1)求该组合套装1月份到3月份销售量的月平均增长率(2)从2026年4月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价1元，月销售量就会在3月份销售量的基础上增加20套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为4800元？19.如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m,宽为22m.停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为595m2，求车道的宽度.四、解答题：本题共9小题，共49分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。20.(本小题5分)

已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2-2（n-1）x+n2-2n=0的两个根，第三边BC的长是10(1)求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根(2)当n为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？21.(本小题5分)

已知二次函数的表达式为：y=-2x2+4x+5.

（1）将该二次函数配方成顶点式；

（2）写出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.22.(本小题5分)已知二次函数y=-2（x+1）2+2x……y……（1）在所给网格中建立平面直角坐标系并直接画出此函数的图象.（标准图）

（2）根据函数图象写出顶点坐标、对称轴，并写出图象的开口方向和增减性.23.(本小题5分)

抛物线y=x2+bx+c经过（-1，3），（2，6）两点．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）求这条抛物线的顶点坐标；

（3）将此抛物线向上平移1个单位长，再向左平移2个单位长，得到抛物线C1，写出抛物线C1的解析式．24.(本小题5分)

如图，在矩形ABCD中，AB=10cm,BC=12cm,点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动.如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动.设运动时间为t秒，（0＜t＜3）.

（1）当t为何值时，点B在PQ的垂直平分线上？

（2）当t为何值时，PQ的长度等于10cm？

（3）连接PC，是否存在t的值，使得△PQC的面积等于32cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由.25.(本小题6分)

某物理实验小组在课上做了如下实验：在一条笔直的滑道上有一个黑球以一定的速度从A处开始向前滚动，并且均匀减速，测量黑球减速后的滚动速度vt（单位：cm/s）随滚动时间t（单位：s）变化的数据，整理得下表．滚动时间t/s01234滚动速度vt/（cm/s）87654(1)探究发现，黑球的滚动速度vt与滚动时间t之间成一次函数关系．直接写出vt关于t的函数解析式．（不要求写出自变量的取值范围）(2)黑球在滑道上滚动14cm用了多少秒？(3)求黑球在滑道上滚动的最远距离．（提示：本题中，距离s=平均速度×时间t,，其中v0是开始时的速度，vt是ts时的速度）26.(本小题6分)

已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为（-1，0），M（2，9）为二次函数图象的顶点.

（1）求二次函数的表达式；

（2）求△MCB的面积.27.(本小题6分)

阅读材料

材料1：如果实数m,n满足m2-m-1=0，n2-n-1=0，且m≠n,则可利用根的定义构造一元二次方程x2-x-1=0，将m,n看作是此方程的两个不相等的实数根．

材料2：如果实数m,n满足（m+1）2+4（m+1）+2=0，，且m+1≠，则可利用根的定义构造一元二次方程x2+4x+2=0，将m+1，看作是此方程的两个不相等的实数根．

材料3：如果实数m,n满足m+n=-，mn=，则可利用一元二次方程根与系数的关系构造一元二次方程ax2+bx+c=0，将m,n看作是此方程的两个实数根．

请根据上述材料，解决下面问题：(1)已知实数m,n满足m2+4m-2=0，n2+4n-2=0，且m≠n,求m2+n2的值(2)已知实数p,q满足p2-3p-2=0，1-3q-2q2=0，且pq≠1，求p+的值(3)已知实数a,b,c满足a+b+=0，ab+=0，求c的最大值28.(本小题6分)

平面直角坐标系中，点（1，m），（2，n）在函数y=x2+bx+c（b,c是常数）的图象上.

（1）若m=2，n=1，求该函数的表达式；

（2）若m=2n,求证：该函数的图象经过点（3，2）；

（3）已知点（3，0），（-2，y1），（5，y2）在该函数图象上，若m＞0，n＜0，试比较y1，y2的大小，并说明理由.

1.【答案】A

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】C

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】A

8.【答案】A

9.【答案】±2

10.【答案】2

11.【答案】1

12.【答案】k＞-1

13.【答案】m＜-1

14.【答案】0

15.【答案】m≤-2

16.【答案】-1

17.【答案】【小题1】2（x-1）2=18，

（x-1）2=9，

x-1=±3，

所以x1=4，x2=-2【小题2】x2+2x-3=0，

（x+3）（x-1）=0，

x+3=0或x-1=0，

所以x1=-3，x2=1【小题3】方程化为一般式为4x2-3x-1=0，

（4x+1）（x-1）=0，

4x+1=0或x-1=0，

所以x1=-，x2=1【小题4】（2x+1）2=4x+2，

（2x+1）2-2（2x+1）=0，

（2x+1）（2x+1-2）=0，

2x+1=0或2x+1-2=0，

所以x1=-，x2=

18.【答案】【小题1】设该组合套装1月份到3月份销售量的月平均增长率为x,

根据题意得：256（1+x）2=400，

解得：x1=0.25=25%，x2=-2.25（不符合题意，舍去）．

答：该组合套装1月份到3月份销售量的月平均增长率为25%【小题2】设该组合套装的售价为y元，则每套的销售利润为（y-40）元，月销售量为400+20（58-y）=（1560-20y）套，

根据题意得：（y-40）（1560-20y）=4800，

整理得：y2-118y+3360=0，

解得：y1=48，y2=70（不符合题意，舍去）．

答：当该组合套装的售价为48元时，月销售利润为4800元

19.【答案】解：设车道的宽度为xm,

由图可得，（40-x）（22-x）=595，

整理，得：x2-62x+285=0，

（x-5）（x-57）=0，

解得x1=5，x2=57（不符合题意，舍去），

答：车道的宽度为5m.

20.【答案】【小题1】证明：∵对于一元二次方程x2-2（n-1）x+n2-2n=0，

∴Δ=[-2（n-1）]2-4×1×（n2-2n）

=4（n2-2n+1）-4n2+8n

=4n2-8n+4-4n2+8n

=4＞0．

∴无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根【小题2】解：∵AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2-2（n-1）x+n2-2n=0的两个根，

∴AB+AC=2（n-1），AB•AC=n2-2n,

∴（AB+AC）2=4（n-1）2，即AB2+AC2+2AB•AC=4（n-1）2，

∴AB2+AC2=4（n-1）2-2（n2-2n）

=4（n2-2n+1）-2n2+4n

=4n2-8n+4-2n2+4n

=2n2-4n+4，

∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，

∴AB2+AC2=BC2，

∵第三边BC的长是10，

∴2n2-4n+4=102，

整理得n2-2n-48=0，即（n-8）（n+6）=0，

解得n1=8，n2=-6，

当n=8时，AB+AC=2（8-1）=14＞10，符合题意；

当n=-6时，AB+AC=2（-6-1）=-14＜0，不符合题意；

∴当n=8时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形

21.【答案】解：（1）y=-2x2+4x+5

=

=

=

=-2（x-1）2+7；

（2）∵-2＜0，

∴开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，7）．

22.【答案】（1）填表如下，

x…-3-2-101…y…-6020-6…；

（2）顶点坐标（-1，2），对称轴是直线x=-1，开口向下，当x＜-1时，y随x增大而增大，当x＞-1时，y随x增大而减小．

23.【答案】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过（-1，3），（2，6）两点，

∴，

解得，

∴这条抛物线的解析式为y=x2+2；

（2）∵y=x2+2；

∴这条抛物线的顶点坐标为（0，2）；

（3）∵将此抛物线向上平移1个单位长，再向左平移2个单位长，得到抛物线C1，

∴抛物线C1的解析式为y=（x+2）2+3．

24.【答案】解：（1）∵点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动，设运动时间为t秒，

∴BQ=4tcm,AP=2t

cm,

∵AB=10cm,

∴PB=AB-AP=（10-2t）cm,

∵B在PQ的垂直平分线上，

∴PB=BQ，

∴10-2t=4t,

解得，

∴当时，点B在PQ的垂直平分线上；

（2）∵点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动，设运动时间为t秒，

∴BQ=4t

cm,AP=2t

cm,

∵AB=10cm,

∴PB=AB-AP=（10-2t）cm,

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=90°，

由勾股定理得PQ2=PB2+BQ2，

∴（10-2t）2+（4t）2=102，

解得t1=0（舍去），t2=2，

∴当t=2时，PQ的长度等于10cm；

（3）由题意得，CQ=BC-BQ=（12-4t）cm,

∵△PQC的面积等于32cm2，

∴，

∴，

∴t=1或t=7（舍去），

∴当t=1s时，使得△PQC的面积等于32cm2．

25.【答案】【小题1】设vt关于t的函数解析式为vt=kt+b（k≠0），

根据题意，得，

解得，

∴vt关于t的函数解析式为vt=-t+8【小题2】∵v0=8cm/s,vt=（-t+8）cm/s,黑球均匀减速，

∴黑球的平均速度为，

∴黑球所走的路程，

当s=14cm时，则，

解得t=2或t=14，

当t=14时，vt=-t+8=-14+8=-6＜0，不符合题意；

当t=2时，vt=-t+8=-2+8=6＞0，符合题意；

∴t=2，

答：黑球在滑道上滚动14cm用了2秒【小题3】∵，

∴0≤t≤8，

由（2）得黑球所走的路程，

∵-1＜0，

∴当t-8=0，即t=8时，s有最大值，最大值为32，

答：黑球在滑道上滚动的最远距离为32cm.

26.【答案】解：（1）函数的表达式为：y=a（x-2）2+9，

将点A（-1，0）代入上式得：0=a（-1-2）2+9，

解得：a=-1，

故抛物线的表达式为：y=-（x-2）2+9，即y=-x2+4x+5；

（2）由y=-x2+4x+5可知点C（0，5），

∵A点坐标为（-1，0），对称轴为直线x=2，

∴B（5，0），

∴则直线BC函数表达式为：y=-x+5，

把x=2代入得y=3，

过点M作y轴的平行线交BC于点H，

则点H（2，3），

S△MCB=HM×BO=×5×6=15．

27.【答案】【小题1】∵实数m,n满足m2+4m-2=0，n2+4n-2