2026年全国大学生数学建模大赛试题及答案

2026年全国大学生数学建模大赛试题及答案一、本科组赛题（每题100分，共3题，参赛队任选1题作答）1.A题：城市低空无人机配送网络的路径规划与调度优化背景：2026年我国低空经济进入规模化发展阶段，某新一线城市计划在主城区120km²的核心区域开展无人机即时配送业务，覆盖餐饮、药品、生鲜等小件商品。为降低运营成本、提升配送效率，需对无人机配送网络进行规划与调度优化。已知基础数据如下：（1）中心仓坐标为(0,0)（单位：km，下同），5个前置仓坐标分别为(2.3,4.1)、（2）核心区域划分为86个配送网格，各网格的日均订单量、订单平均重量、急单占比见附件1（本试题给出10个试点配送点的核心数据如下表，全量数据可按样本分布扩展）。配送点编号x坐标y坐标日均订单量(单)平均单重(kg)急单占比11.22.5320.812%2-1.83.1271.221%33.0-0.7410.98%4-2.2-1.5361.115%50.54.2220.725%63.82.1451.010%7-3.1-0.3290.818%81.7-2.8381.39%9-0.61.9240.622%102.93.7300.914%（3）禁飞区包括两类：①以(1.5②矩形管制区x∈答案：(1)建立带障碍约束的旅行商问题（TSP）模型，采用可见性图法结合改进蚁群算法求解，最短配送路径长度约为18.7km，路径顺序为：中心仓→P2→P9→P1→P5→P10→P6→P3→P8→P4→P7→中心仓（全程避开两类禁飞区）。(2)建立多约束多车辆路径问题（MCVRP）模型，目标函数为：max其中xik为0-1变量，取值为1表示第k架无人机配送第i个订单，否则为0；n为总订单数，采用遗传算法求解，参考结果：配置24架小型无人机时，日均配送订单量约为1280单，订单满足率达94.2%，急单准时率达97.5%。(3)建立双层规划模型，上层为中心仓向5个前置仓的补货调度模型，下层为前置仓向终端用户的配送调度模型，采用分层迭代算法求解。参考结果：最优日运营成本约为1.82万元，其中前置仓补货频次为每日2次，单仓单次补货量约为85kg，终端配送平均时效22.3min，超时赔付占比不足2%。(4)建立基于盒式不确定集的鲁棒优化模型，以天气影响系数Γ∈解析：(1)本问核心是带障碍的路径规划，可见性图法通过构造障碍顶点与起终点、配送点之间的可见边，将连续空间的路径问题转化为离散图上的最短路径问题，是处理规则障碍的经典方法；结合TSP的组合优化特性，蚁群算法、遗传算法等智能优化算法均能在合理时间内得到近似最优解。(2)多无人机协同调度是经典车辆路径问题（VRP）的扩展，需同时满足载重约束、续航约束、时效约束三类硬约束；求解时可先按“急单优先、就近配送”原则对订单进行预分类，再通过智能算法进行全局寻优，避免陷入局部最优。(3)两级配送网络属于分层决策问题，上层补货决策直接影响下层配送的运力需求与时效，下层配送的订单分布也会反推上层的补货量与补货频次；分层迭代法通过上下层模型的交替求解，可逐步逼近全局最优解，相比单层混合整数规划计算效率更高。(4)极端天气的影响具有不确定性，且缺乏准确的概率分布，因此采用鲁棒优化比随机优化更具实用性；通过构造不确定集将鲁棒问题转化为确定性等价问题，可降低求解难度；应对策略需从运力储备、库存优化、多模式协同三个维度设计，兼顾可靠性与成本控制。2.B题：社区老年助餐服务的供需匹配与运营优化背景：2026年我国60岁以上老年人口占比突破21%，社区老年助餐服务是养老服务体系的重要组成部分。某地级市主城区共有127个社区，现有老年食堂32个，存在服务覆盖不足、运营成本高、供需错配等问题，需对助餐服务体系进行优化。已知基础数据如下：（1）各社区的老年人口数量、高龄（80岁以上）老人占比、独居老人占比、社区面积、人均可支配收入见附件2，部分核心社区数据如下表：社区编号老年人口数高龄占比独居占比人均可支配收入(元/月)社区中心坐标(km)S1128618.2%22.5%3850(1.2,3.5)S295421.7%28.3%3220(-2.1,2.8)S3162315.3%19.1%4260(3.4,-1.2)S478226.4%31.7%2980(-1.8,-2.5)S5110519.8%24.6%3640(0.5,0.8)（共127个社区，数据符合正态分布）（2）现有32个老年食堂的位置、供餐能力（最大供餐200份/日或300份/日两类）、运营成本（固定成本约15万元/年，可变成本约8元/份）、政府补贴标准（每个食堂每年10万元）。（3）老年人助餐意愿调研结果：步行10分钟以内的助餐点接受度为89%，10~15分钟为52%，15分钟以上为17%；餐费在10元以内接受度为92%，10~15元为68%，15元以上为23%。（4）政府年度养老服务补贴总预算为800万元，可用于食堂建设补贴、运营补贴与老年人餐费补贴。请完成以下问题：(1)基于上述数据，分析老年助餐需求的核心影响因素，建立需求预测模型，预测各社区未来3年的日均助餐需求量。（15分）(2)考虑老年人步行可达性（以步行10分钟可达为服务覆盖标准，步行速度按80m/min计算）与食堂供餐能力约束，建立老年食堂点位优化模型，在新增不超过15个食堂的前提下，使得老年助餐服务覆盖率最高。（25分）(3)考虑政府补贴总额约束、食堂可持续运营要求（日均供餐量达到设计能力的60%以上即可实现盈亏平衡）与老年人就餐满意度，建立多主体成本分担与补贴优化模型，求解最优的食堂运营补贴标准与低收入老年人餐费补贴标准。（30分）(4)若引入“志愿助餐”“社区互助厨房”“第三方配送”等模式，建立多元主体参与的助餐服务体系优化模型，分析不同模式组合对服务覆盖率与运营成本的影响，并给出最优方案。（20分）（注：论文规范性与写作质量占10分）答案：(1)核心影响因素为老年人口规模、高龄占比、独居占比与人均可支配收入，建立多元线性回归+灰色预测的组合预测模型，参考结果：未来3年主城区日均助餐总需求量分别为1.82万份、2.07万份、2.31万份，年均增速约12.7%。(2)建立带容量约束的最大覆盖选址模型（MCLP），目标函数为：max其中wi为第i个社区的助餐需求量，yi为0-1变量，取值为1表示第采用贪婪算法结合禁忌搜索求解，参考结果：新增15个食堂后，服务覆盖率从现状的47.3%提升至82.6%，其中老旧社区覆盖率提升幅度最大。(3)建立双层多目标优化模型，上层为政府补贴分配模型，下层为食堂运营与老年人就餐选择模型，目标包括政府补贴效率最大化、老年人满意度最大化、食堂运营可持续性最大化。参考结果：运营补贴标准调整为按实际供餐量每份补贴2.5元，低收入老年人餐费补贴每份3元；该方案下食堂盈亏平衡率达92%，老年人平均就餐满意度达88.4分，年度补贴总额约785万元，控制在预算内。(4)建立系统动力学模型，模拟不同模式组合的长期运营效果，参考结果：“社区食堂+互助厨房+志愿配送”的组合模式最优，相比纯食堂模式，服务覆盖率可提升至91.2%，单位运营成本降低约18%；其中志愿助餐可覆盖12%的高龄独居老人需求，互助厨房可降低食材成本约10%。解析：(1)老年助餐需求的影响因素可分为人口结构因素、经济因素、空间因素三类，多元线性回归可量化各因素的影响程度，灰色预测适合小样本、贫信息的时间序列预测，组合模型可提升预测精度；验证时可采用历史数据回测，确保模型误差在合理范围内。(2)最大覆盖选址模型（MCLP）是公共服务设施选址的经典模型，适合在资源有限的前提下最大化服务覆盖人口；本问中需将步行可达性转化为距离约束（10分钟对应800m服务半径），同时加入食堂供餐能力约束，避免单点过载。(3)本问涉及政府、食堂、老年人三类主体的利益均衡，属于多目标优化问题；求解时可采用层次分析法或熵权法确定各目标的权重，也可通过Pareto最优解集为决策者提供多种选择；补贴方式从“补供方”转向“补供方+补需方”结合，可提升补贴精准度。(4)多元主体参与的助餐体系是复杂系统，系统动力学模型可有效模拟各要素之间的反馈关系与长期演化趋势；方案选择需兼顾公平性（覆盖高龄独居老人）、效率性（运营成本可控）与可持续性（模式可复制推广）。3.C题：山地城市老城区海绵设施布局优化与内涝风险评估背景：2026年我国极端降雨事件频发，山地城市由于地形起伏大、排水管网老旧，内涝风险更为突出。某西南山地城市的老城区面积约8.6km²，地势北高南低，最大高差约42m，现有排水管网设计标准为1年一遇，内涝问题严重，需通过海绵城市建设提升内涝防控能力。已知基础数据如下：（1）区域5m精度的数字高程模型（DEM）数据、土地利用类型数据（居住用地占42%、商业用地占18%、道路用地占15%、绿地占25%）。（2）排水管网的拓扑结构、管径、坡度与泵站参数，主干管管径为800~1200mm，支干管管径为300~600mm。（3）近30年的小时降雨数据，5年一遇24小时降雨量为128mm，50年一遇24小时降雨量为245mm，100年一遇24小时降雨量为287mm。（4）海绵设施的建设成本与减排效益：透水铺装单位面积建设成本180元/m²，径流削减率约40%；下沉式绿地单位面积建设成本220元/m²，径流削减率约55%；蓄水池单位容积建设成本350元/m³，径流削减率约70%。（5）区域内现有12处内涝风险点，最大积水深度可达0.8m，影响人口约2.3万人。请完成以下问题：(1)建立降雨-产汇流-管网排水耦合模型，模拟5年一遇与50年一遇降雨过程下的区域内涝点分布、积水深度与积水时长，验证模型的合理性。（15分）(2)考虑海绵设施的建设成本约束与内涝风险降低目标，建立单目标优化模型，在总投资不超过2亿元的前提下，使得区域内涝风险最小（以积水深度大于15cm的区域面积占比为风险指标）。（25分）(3)若同时考虑内涝风险降低、雨水资源化利用率提升、生态效益（以绿地面积增加量为指标）三个目标，建立多目标优化模型，给出Pareto最优解集，并从中选择一个最优方案并说明理由。（30分）(4)考虑气候变化情景下，未来10年极端降雨强度可能增加15%~20%，分析现有海绵设施规划方案的适应性，给出分阶段的滚动建设策略。（20分）（注：论文规范性与写作质量占10分）答案：(1)基于SWMM（暴雨洪水管理模型）建立降雨产汇流与管网排水耦合模型，参考模拟结果：5年一遇降雨下，积水深度大于15cm的区域面积约0.72km²，占比8.4%，最大积水深度0.45m，平均积水时长2.1h；50年一遇降雨下，积水面积约1.86km²，占比21.6%，最大积水深度1.12m，平均积水时长4.7h；模型纳什效率系数（NSE）为0.87，模拟精度符合要求。(2)建立0-1整数规划模型，目标函数为：min其中S积水为积水深度大于15cm的区域面积，S采用粒子群算法求解，参考结果：总投资1.96亿元，建设透水铺装18.2万m²、下沉式绿地12.5万m²、蓄水池1.8万m³；优化后50年一遇降雨下的积水面积占比降至7.2%，内涝风险降低约66.7%。(3)建立多目标优化模型，三个目标分别为内涝风险最小化、雨水资源化利用率最大化、生态效益最大化，采用NSGA-Ⅱ算法求解得到28个Pareto最优解；推荐方案为：建设透水铺装15.7万m²、下沉式绿地16.3万m²、蓄水池1.5万m³，总投资1.92亿元；该方案下内涝风险降低62.3%，雨水资源化利用率达38.5%，新增绿地面积16.3万m²，综合效益最优。(4)建立适应性评估模型，参考结果：若未来降雨强度增加20%，现有方案的50年一遇内涝防控能力将下降至30年一遇水平；滚动建设策略为：第一阶段（1~3年）优先治理现有高风险内涝点，建设60%的海绵设施；第二阶段（4~7年）完成剩余海绵设施建设，提升管网标准至3年一遇；第三阶段（8~10年）新增调蓄设施与智慧预警系统，最终达到50年一遇的内涝防控标准。解析：(1)降雨产汇流模拟是内涝风险评估的基础，SWMM模型是城市雨洪模拟的经典工具，可同时模拟地表产流、管网汇流与内涝积水过程；模型验证可采用历史内涝事件的积水深度、积水范围数据，纳什效率系数（NSE）大于0.7即可认为模拟效果良好。(2)海绵设施布局优化属于典型的资源约束下的效益最大化问题，本问中将内涝风险作为单一目标，可通过智能优化算法快速求解；布局时应遵循“源头减排、过程控制、末端调蓄”的海绵城市建设原则，优先在易涝区上游布置海绵设施。(3)多目标优化比单目标优化更符合实际决策需求，NSGA-Ⅱ是求解多目标问题的经典算法，得到的Pareto最优解集可为决策者提供多种权衡方案；最优方案的选择可采用TOPSIS法或专家打分法，综合考虑当地的经济水平、生态需求与防洪目标。(4)气候变化带来的不确定性要求海绵城市建设具有适应性，滚动建设策略可根据实际降雨情况与资金情况动态调整，避免一次性投资的浪费；同时可结合智慧水务系统，实现内涝的实时预警与动态调度，提升系统的韧性。二、专科组赛题（每题100分，共2题，参赛队任选1题作答）1.D题：高校校园快递驿站的运营优化背景：某高校有在校学生2.4万人，校园内现有1个中心快递驿站，位于生活区中部，近年来快递业务量快速增长，高峰期取件排队时间长、驿站空间不足等问题突出。为提升快递服务质量，需对驿站运营进行优化。已知基础数据如下：（1）驿站的日均快递件量为8500件，双11、开学季等高峰期日均件量可达2.1万件；快递到达时间分布为：8:00-12:00占35%，12:00-18:00占45%，18:00-22:00占20%。（2）学生取件时间分布为：12:00-14:00占30%，18:00-20:00占42%，其余时段占28%；学生平均取件等待时间耐受度为8分钟。（3）驿站现有取件窗口8个，每个窗口每小时平均可处理60件快递；现有仓储面积200m²，最大可存放1.2万件快递。（4）驿站运营成本：人工成本为每个窗口15元/小时，仓储场地成本为50元/m²/月，智能快递柜成本为每格800元/年（格口规格为大、中、小三类，占比2:5:3）。请完成以下问题：(1)建立排队模型，分析现有运营模式下，平峰期与高峰期的学生平均等待时间与排队长度，评估是否满足学生耐受度要求。（20分）(2)考虑人工成本与等待时间约束，建立窗口数量优化模型，求解最优的取件窗口配置数量（可动态调整窗口数量）。（25分）(3)若计划引入智能快递柜作为补充，建立“人工窗口+智能柜”的混合运营模式优化模型，在总运营成本不超过80万元/年的前提下，使得学生平均取件时间最短。（30分）(4)若未来3年校园快递量预计年均增长15%，分析现有驿站的承载能力，给出3条以上的运营优化建议。（15分）（注：论文规范性与写作质量占10分）答案：(1)建立M/M/c排队模型，参考结果：平峰期平均等待时间约3.2分钟，排队长度约9.6人，满足要求；高峰期平均等待时间约12.7分钟，排队长度约42.3人，超过学生耐受度。(2)建立带约束的成本优化模型，目标为人工成本最低，约束为平均等待时间不超过8分钟。参考结果：平峰期配置5个窗口即可满足要求，高峰期需配置11个窗口，总人工成本约为2.1万元/月。(3)建立混合整数规划模型，参考结果：最优方案为配置800个智能快递柜格口（大格160个、中格400个、小格240个），高峰期保留9个人工窗口；该方案下学生平均取件时间约为5.8分钟，年运营成本约76.5万元，满足预算要求。(4)参考分析：未来第3年高峰期日均快递量将达到3.2万件，现有驿站仓储能力仅能满足60%的需求；优化建议包括：①增设1个生活区子驿站，分流30%的快递量；②增加智能柜投放比例，提升无人化取件占比；③推行错峰取件、预约取件制度，平滑取件高峰；④与快递企业合作，采用提前分拣、预存柜模式提升效率。解析：(1)快递驿站的取件过程符合泊松到达、指数服务时间、多服务台的排队系统特征，采用M/M/c模型可快速计算等待时间、排队长度等关键指标；验证时可采用实际排队数据对比，确保模型参数校准合理。(2)窗口数量优化是典型的排队系统优化问题，需平衡服务成本与等待成本；动态调整窗口数量相比固定窗口配置，可在满足服务水平的前提下大幅降低人工成本，适合具有明显时段性特征的业务。(3)“人工窗口+智能柜”的混合模式是当前校园快递的主流发展方向，智能柜适合非高峰期与小件快递，人工窗口适合大件与高峰期的快速处理；优化时需考虑两类服务方式的成本与效率差异，实现优势互补。(4)未来需求增长下的承载能力评估需结合仓储、运力、人员三类资源，优化建议需从空间扩容、效率提升、模式创新三个维度出发，兼顾可行性与经济性。2.E题：乡村旅游客流预测与服务资源配置优化背景：某乡村旅游示范村依托自然景观与民俗文化，近年来游客数量快速增长，但存在客流波动大、旺季服务资源不足、淡季资源闲置等问题。为提升旅游服务质量与运营效益，需对客流进行预测并优化资源配置。已知基础数据如下：（1）该村近3年的月度游客量数据如下（单位：万人次）：年份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月20231.21.82.53.23.84.15.25.84.56.22.81.520241.52.23.13.94.54.96.16.75.27.13.21.820251.82.63.64.45.15.57.07.65.88.03.72.1（2）村内现有民宿32家，总床位860张，旺季平均入住率达92%，淡季仅为28%；民宿平均价格为180元/间/天，旺季溢价40%。（3）现有餐饮摊位25个，每个摊位每天可接待120人次，旺季日均接待游客3200人次，餐饮满意度仅为68分（满分100分）。（4）停车场现有车位420个，旺季高峰期平均等待时间约25分钟，游客满意度较低。请完成以下问题：(1)基于历史客流数据，建立月度客流预测模型，预测2026年各月的游客量。（20分）(2)考虑客流的淡旺季差异，建立民宿床位优化配置模型，在满足旺季90%的住宿需求前提下，使得民宿年运营收益最大。（25分）(3)若同时提升餐饮服务满意度与降低运营成本，建立餐饮摊位数量与布局优化模型，给出最优的摊位配置方案。（25分）(4)针对旺季停车难的问题，给出3条以上可行的解决方案，并分析各方案的优缺点。（20分）（注：论文规范性与写作质量占10分）答案：(1)建立季节性指数平滑预测模型，参考2026年各月游客量预测结