广东省广州市越秀区2025-2026学年高二第一学期期末诊断性调研数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省广州市越秀区2025-2026学年高二第一学期期末诊断性调研数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.经过，两点的直线的一个方向向量为，则实数t的值为（）A. B.2 C. D.6【答案】C【解析】由题意，，则.故选：C.2.抛物线的准线方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由方程，则，则，所以抛物线开口向下，所以准线方程为.故选：C.3.已知，为椭圆的两个焦点，点M在C上，则的周长为（）A10 B.12 C.16 D.20【答案】C【解析】由椭圆，得，则的周长为.故选：C.4.已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（）A.内切 B.相交 C.外切 D.外离【答案】B【解析】化简，则其圆心，半径，化简，则其圆心，半径，则，而，则，故两圆相交.故选：B.5.已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，则公差（）A.2 B.3 C. D.【答案】A【解析】由成等比数列，则，设等差数列的公差为，而，则，解得.故选：A.6.在棱长为2的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点，则直线到平面的距离为（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】建立如图所示空间直角坐标系，

则，所以，设平面的一个法向量为，由，取，得，则，即，又平面，则平面，所以直线到平面的距离等于到平面的距离，则到平面的距离为，所以直线到平面的距离为.故选：D.7.双曲线的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称、若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】依题意，，设，则，，由直线AP，AQ的斜率之积为，得，解得，所以双曲线C的离心率为.故选：D.8.在正四棱锥中，，.若平面AEF与直线PC相交于点Q，且，则的值为（）A.4 B.5 C. D.【答案】A【解析】连接交于点，连接，在正四棱锥中，且为的中点，则，，即，则，即，则，由题意，四点共面，则，解得.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知数列的前n项和公式为，则（）A. B.是递增数列 C. D.是等差数列【答案】AD【解析】由，当时，；当时，，显然满足上式，则，故A正确；由，则，所以是递减数列，故B错误；由于，，则，故C错误；由于，则，所以是等差数列，故D正确.故选：AD.10.在直三棱柱中，，，分别是，的中点，则（）A B.平面C.平面 D.平面平面【答案】ABD【解析】对于A，在直三棱柱中，平面，因为平面，所以，又为的中点，，所以，因为平面，所以平面，又平面，所以，故A正确；对于B，连接交于点，连接，因为分别是，的中点，所以，又，所以，则四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，故B正确；对于C，若平面，而平面，则，在矩形中，，则四边形为正方形，而，矛盾，故C错误；对于D，由于，，且为的中点，则与为全等的等腰直角三角形，则，又为的中点，则，而，则，因平面，所以平面，又平面，所以平面平面，即平面平面，故D正确.故选：ABD.11.已知圆，直线，则（）A.当时，直线与圆C相交B.当时，直线被圆C截得的弦长为C.当时，圆C上恰有三个点到直线l的距离都等于1D.当时，圆C上存在A，B两点，直线上存在点P，使得【答案】BCD【解析】由圆，则圆C的圆心为，半径为.对于A，当时，直线，即，则圆心到直线的距离为，则直线与圆相离，故A错误；对于B，当时，直线，即，则圆心到直线的距离为，所以直线被圆C截得的弦长为，故B正确；对于C，当时，直线，即，则圆心到直线的距离为，而圆C的半径为所以圆C上恰有三个点到直线l的距离都等于1，故C正确；对于D，当时，因为直线上任意一点，点A，B是圆C上两点，当分别与圆相切时，最大，当运动到与圆心之间的距离最小时，即时，最大，而圆心到直线的距离为，因为在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得，所以当时，满足条件，此时，解得，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知数列的通项公式为，则数列的前5项中的最大值是______.【答案】【解析】由，得，则数列的前5项中的最大值是.故答案为：.13.把正方形ABCD沿对角线AC折成大小为的二面角，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为______.【答案】##0.75【解析】设的中点为，连接，在正方形中，，因此折叠后，即为二面角的平面角，故，设分别为的中点，连接，则，即（或其补角）为异面直线AB与CD所成角，设正方形的边长为2，则，又，，则，则，在中，由余弦定理得，所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为.故答案为：.14.设抛物线的顶点为，经过点的直线与抛物线C相交于A，B两点，直线OA与直线相交于点D，则点A到直线BD的距离的取值范围是______.【答案】【解析】显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，，联立，得，则，，而，则直线的方程为，联立，解得，即，此时轴，则点A到直线BD的距离为，当且仅当，即时等号成立，则点A到直线BD的距离的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.动点与定点的距离和点M到定直线的距离的比是3，记点M的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）过点且倾斜角为的直线与曲线C相交于A，B两点，求.解：（1）由点与定点的距离和点M到定直线的距离的比是3，得，整理得，所以曲线C的方程为.（2）由过点且倾斜角为的直线，得直线的方程为，由消去得，解得，所以.16.已知数列的首项，且满足.（1）求证：是等比数列；（2）求数列的前n项和.（1）证明：由，得，又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.（2）解：由（1）得，，则，所以.17.如图，在四棱锥中，，，E，F分别为AB，PD的中点.（1）若为PE的中点，证明：平面PBC；（2）若平面ABCD，，，，求直线AP与平面AEF所成角的正弦值.（1）证明：连接，因为分别为的中点，所以，而，，为的中点，则，，所以四边形为平行四边形，则，即，又平面PBC，平面PBC，所以平面PBC.（2）解：连接，因为，，为的中点，，所以，又平面ABCD，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，所以，设平面AEF的一个法向量为，则，取，得，设直线AP与平面AEF所成角为，则.即直线AP与平面AEF所成角的正弦值为.18.如图，两个正方形ABCD，ABEF的边长都是1，平面平面，，，其中，.（1）当时，证明：平面BEM；（2）是否存在实数，使得平面AMN与平面ABN夹角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（3）求的最小值.（1）证明：当时，，则为的中点，连接，在正方形ABCD中，，因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面，又平面，所以，因为平面BEM，所以平面BEM.（2）解：以为原点，以所在直线轴建立空间直角坐标系，则，所以，，，则，即，，，设平面AMN的一个法向量为，则，取，得，易得平面ABN的一个法向量为，因为平面AMN与平面ABN的夹角为，所以，解得，所以存在实数，使得平面AMN与平面ABN的夹角为.（3）解：由（2）知，，，，，则，所以，函数（看作关于的二次函数）开口向上，对称轴为，则时，函数取得最小值为，此时函数（看作关于的二次函数）开口向上，对称轴为，则时，函数取得最小值为，所以的最小值为.19.已知椭圆的一个焦点坐标为，双曲线的一条渐近线方程为.（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于不同的两点，.当点M运动时，记动点的轨迹为曲线C.（i）求曲线C的方程；（ii）已知O为坐标原点，，，，直线DE，DF分别与曲线C相交于P，Q两点，过点D作直线PQ的垂线，垂足为H.试问：是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由.解：（1）对于椭圆，已知一个焦点坐标为，则，.对于双曲线，一条渐近线方程为，所以，即，联立，解得，，所以椭圆的方程为.（2）（i）联立，消去y得.因为直线l与椭圆有