2027届山东省淄博市博山区数学八年级第一学期期末达标测试试题含解析

2027届山东省淄博市博山区数学八年级第一学期期末达标测试试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题(每小题3分,共30分)1．某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校．图中描述了他上学的途中离家距离（米）与离家时间（分钟）之间的函数关系．下列说法中正确的个数是（）（1）修车时间为15分钟；（2）学校离家的距离为4000米；（3）到达学校时共用时间为20分钟；（4）自行车发生故障时离家距离为2000米．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．某电子元件厂准备生产4600个电子元件，甲车间独立生产了一半后，由于要尽快投入市场，乙车间也加入该电子元件的生产，若乙车间每天生产的电子元件是甲车间的1.3倍，结果用33天完成任务，问甲车间每天生产电子元件多少个？在这个问题中设甲车间每天生产电子元件x个，根据题意可得方程为A． B．C． D．3．若，的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（）A． B． C． D．4．若，则的值为()A．2020 B．2019 C．2021 D．20185．如图是根据某校学生的血型绘制的扇形统计图，该校血型为型的有人，那么该校血型为型的人数为（）A． B． C． D．6．如图，中，，，在直线或上取一点，使为等腰三角形，则符合条件的点共有（）A．个 B．个 C．个 D．个7．在长为10cm，7cm，5cm，3cm的四根木条，选其中三根组成三角形，则能组成三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．48．定义运算“⊙”：，若，则的值为（）A． B．或10 C．10 D．或9．下列计算正确的是（）.A． B． C． D．10．如图，已知MB=ND,∠MBA=∠NDC，下列哪个条件不能判定△ABM≌△CDN（

）A．∠M=∠N B．AB=CD C．AM∥CN D．AM=CN二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，中，是的中点，则________________度．12．与最简二次根式是同类二次根式，则__________．13．已知等腰三角形的一个外角是80°，则它顶角的度数为______．14．方程的根是______。15．已知等腰三角形的一个内角是，则它的底角是__________．16．如图所示，于点，且，，若，则___．17．在实数范围内规定一种新的运算“☆”，其规则是：a☆b=3a+b，已知关于x的不等式：x☆m>1的解集在数轴上表示出来如图所示．则m的值是________．18．点（−1，3）关于轴对称的点的坐标为____．三、解答题(共66分)19．（10分）补充下列证明，并在括号内填上推理依据.已知：如图，在中，平分交于点，交于点，且，求证：.证明:，().，.()，________________.平分，()，，，________________，.().20．（6分）已知，请化简后在–4≤x≤4范围内选一个你喜欢的整数值求出对应值．21．（6分）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品--圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，∠A=40°，则∠ABX+∠ACX等于多少度；

②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=40°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数；

③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC=133°，∠BG1C=70°，求∠A的度数．22．（8分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=6cm，若点P从点A出发以每秒1cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在AC上，且满足PA=PB时，求出此时t的值；（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上（但不与A点重合），求t的值．23．（8分）（1）计算：;（2）因式分解：3mx2－3my2.24．（8分）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；（3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．25．（10分）我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“湘一四边形”．（1）已知：如图1，四边形是“湘一四边形”，，，．则，，若，，则（直接写答案）（2）已知：在“湘一四边形”中，，，，．求对角线的长（请画图求解），（3）如图（2）所示，在四边形中，若，当时，此时四边形是否是“湘一四边形”，若是，请说明理由：若不是，请进一步判断它的形状，并给出证明．26．（10分）如图，已知．（1）按以下步骤把图形补充完整：的平分线和边的垂直平分线相交于点，过点作线段垂直于交的延长线于点；（2）求证：所画的图形中．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【分析】（1）根据图象中平行于x轴的那一段的时间即可得出答案；（2）根据图象的纵轴的最大值即可得出答案；（3）根据图象的横轴的最大值即可得出答案；（4）根据图象中10分钟时对应的纵坐标即可判断此时的离家距离．【详解】（1）根据图象可知平行于x轴的那一段的时间为15-10=5（分钟），所以修车时间为5分钟，故错误；（2）根据图象的纵轴的最大值可知学校离家的距离为4000米，故正确；（3）根据图象的横轴的最大值可知到达学校时共用时间为20分钟，故正确；（4）根据图象中10分钟时对应的纵坐标为2000，所以自行车发生故障时离家距离为2000米，故正确；所以正确的有3个．故选：C．本题主要考查一次函数的应用，读懂函数的图象是解题的关键．2、B【解析】试题分析：因为设甲车间每天能加工x个，所以乙车间每天能加工1.3x个，由题意可得等量关系：甲乙两车间生产2300件所用的时间+乙车间生产2300件所用的时间=33天，根据等量关系可列出方程：．故选B．3、D【分析】分别写出、都扩大3倍后的分式，再化简与原式比较，即可选择．【详解】当、都扩大3倍时，A、，故A错误．B、，故B错误．C、，故C错误．D、，故D正确．故选D．本题考查分式的基本性质，解题关键是熟练化简分式．4、A【分析】根据已知方程可得，代入原式计算即可．【详解】解：∵∴∴原式=故选：A这类题解法灵活，可根据所给条件和求值式的特征进行适当的变形、转化．5、B【分析】根据A型血的有200人，所占的百分比是40%即可求得被调查总人数，用总人数乘以AB型血所对应的百分比即可求解．【详解】∵该校血型为A型的有200人，占总人数为40%，∴被调查的总人数为200÷40%=500（人），又∵AB型血人数占总人数的比例为1-（40%+30%+20%）=10%，∴该校血型为AB型的人数为500×10%=50（人），故选：B．本题考查的是扇形统计图的运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．6、B【分析】分别以A为顶点、B为顶点、P为顶点讨论即可．【详解】以点A为圆心，AB为半径作圆，交AC于P1，P2，交BC与P3，此时满足条件的等腰△PAB有3个；以点B为圆心，AB为半径作圆，交AC于P5，交BC与P4，P6，此时满足条件的等腰△PAB有3个；作AB的垂直平分线，交BC于P7，此时满足条件的等腰△PAB有1个；∵，∴∠ABP3=60°，∵AB=AP3，∴△ABP3是等边三角形；同理可证△ABP6，△ABP6是等边三角形，即△ABP3，△ABP6，△ABP7重合，综上可知，满足条件的等腰△PAB有5个．故选B．本题考查了等腰三角形的定义，等边三角形的判定，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键．7、B【分析】根据任意两边之和大于第三边判断能否构成三角形．【详解】依题意，有以下四种可能：（1）选其中10cm，7cm，5cm三条线段符合三角形的成形条件，能组成三角形（2）选其中10cm，7cm，3cm三条线段不符合三角形的成形条件，不能组成三角形（3）选其中10cm，5cm，3cm三条线段不符合三角形的成形条件，不能组成三角形（4）选其中7cm，5cm，3cm三条线段符合三角形的成形条件，能组成三角形综上，能组成三角形的个数为2个故选：B．本题考查了三角形的三边关系定理，熟记三边关系定理是解题关键．8、B【分析】已知等式利用题中的新定义分类讨论，计算即可求出的值．【详解】当时，，即：解得：；经检验是分式方程的解；当时，，即，解得：；经检验是分式方程的解；故答案为：或故选：B本题考查了解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键，注意检验．9、A【解析】请在此填写本题解析!A.∵,故正确；B.∵,故不正确；C.∵a3与a2不是同类项，不能合并,故不正确；D.∵,故不正确；故选A.10、D【分析】A、在△ABM和△CDN中由ASA条件可证△ABM≌△CDN，则A正确，B、在△ABM和△CDN中由SAS可证△ABM≌△CDN则B正确，C、AM∥CN，得∠A=∠C，在△ABM和△CDN中AAS△ABM≌△CDN，则C正确，D、只有在直角三角形中边边角才成立，则D不正确．【详解】A、在△ABM和△CDN中，∠M=∠N，MB=ND，∠MBA=∠NDC，△ABM≌△CDN（ASA），则A正确；B、在△ABM和△CDN中，MB=ND，∠MBA=∠NDC，AB=CD，△ABM≌△CDN（SAS），则B正确；C、AM∥CN，得∠A=∠C，在△ABM和△CDN中，∠A=∠C，∠MBA=∠NDC，MB=ND，△ABM≌△CDN（AAS），则C正确；D、AM=CN，MB=ND,∠MBA=∠NDC≠90º，则D不正确．故选择：D．本题考查在一边与一角的条件下，添加条件问题，关键是掌握三角形全等的判定方法，结合已知与添加的条件是否符合判定定理．二、填空题(每小题3分,共24分)11、62【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，根据等腰三角形的性质可知，进而即可得解.【详解】∵在中，D是的中点∴∴是等腰三角形∴∵∴∵∴故答案为：62.本题主要考查了直角三角形斜边上中线的性质，以及等腰三角形性质等相关知识，熟练掌握三角形的相关知识是解决本题的关键.12、1【分析】先把化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义得到m＋1＝2，然后解方程即可．【详解】解：∵，∴m＋1＝2，∴m＝1．故答案为1．本题考查了同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．13、100°．【分析】三角形内角与相邻的外角和为180，三角形内角和为180，等腰三角形两底角相等，100只可能是顶角．【详解】等腰三角形一个外角为80，那相邻的内角为100，三角形内角和为180，如果这个内角为底角，内角和将超过180，所以100只可能是顶角．故答案为：100．本题主要考查三角形外角性质、等腰三角形性质及三角形内角和定理；判断出80的外角只能是顶角的外角是正确解答本题的关键．14、0或-1【解析】由得+x=0,x(x+1)=0,x=0或x=-1故答案为：0或-115、50°或80°．【分析】等腰三角形一内角为80°，没说明是顶角还是底角，所以分两种情况讨论．【详解】（1）当80°角为底角时，其底角为80°；（2）当80°为顶角时，底角=(180°﹣80°)÷2=50°．故答案为：50°或80°．本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；涉及到等腰三角形的角的计算，若没有明确哪个是底角哪个是顶角时，要分情况进行讨论．16、27°【分析】连接AE，先证Rt△ABD≌Rt△CBD，得出四边形ABCE是菱形，根据菱形的性质可推导得到∠E的大小.【详解】如下图，连接AE∵BE⊥AC，∴∠ADB=∠BDC=90°∴△ABD和△CBD是直角三角形在Rt△ABD和Rt△CBD中∴Rt△ABD≌Rt△CBD∴AD=DC∵BD=DE∴在四边形ABCE中，对角线垂直且平分∴四边形ABCE是菱形∵∠ABC=54°∴∠ABD=∠CED=27°故答案为：27°本题考查菱形的证明和性质的运用，解题关键是先连接AE，然后利用证Rt△ABD≌Rt△CBD推导菱形.17、-2【分析】根据新运算法则得到不等式3，通过解不等式即可求的取值范围，结合图象可以求得的值．【详解】∵☆，

∴，

根据图示知，已知不等式的解集是，∴，

故答案为：．本题主要考查了数轴上表示不等式的解集及解不等式，本题的关键是理解新的运算方法．18、（-1，-3）．【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．【详解】解：点（-1，3）关于x轴对称的点的坐标为（-1，-3），

故答案是：（-1，-3）．此题主要考查了关于x轴的对称点的坐标，关键是掌握点的坐标变化规律．三、解答题(共66分)19、三角形内角和等于；等量代换；；角平分线的定义；；内错角相等，两直线平行.【分析】由已知条件,先求出∠ABC的度数，因为DB平分∠ABC,得∠CBD=∠BDE，即可得出结论．【详解】证明:，(三角形内角和等于).，.(等量代换)，，平分，(角平分线的定义)，，，，.(内错角相等，两直线平行).故答案为三角形内角和等于；等量代换；；角平分线的定义；；内错角相等，两直线平行.本题主要考查平行线判定和性质的知识，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．20、；当x=1时，原式=1.【分析】先计算括号内的部分，再将除法转化为乘法，得出结果，再【详解】解：原式====，∵–4≤x≤4且为整数，∴x=±4，±3，±2，±1，0，又根据题目和计算过程中x≠0，2，4，当x=1时，原式=1.本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式化简的运算法则，同时注意x不能取的值.21、（1）详见解析；（2）①50°；②85°；③63°．【分析】（1）连接AD并延长至点F，根据外角的性质即可得到∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD，即可得出∠BDC=∠A+∠B+∠C；（2）①根据（1）得出∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，再根据∠A=40°，∠BXC=90°，即可求出∠ABX+∠ACX的度数；②先根据（1）得出∠ADB+∠AEB=90°，再利用DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，即可求出∠DCE的度数；

③由②得∠BG1C=（∠ABD+∠ACD）+∠A，设∠A为x°，即可列得（133-x）+x=70，求出x的值即可.【详解】（1）如图（1），连接AD并延长至点F，根据外角的性质，可得∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD，又∵∠BDC=∠BDF+∠CDF，∠BAC=∠BAD+∠CAD，∴∠BDC=∠A+∠B+∠C；（2）①由（1），可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，∵∠A=40°，∠BXC=90°，∴∠ABX+∠ACX=90°-40°=50°；②由（1），可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，∴∠ADB+∠AEB=∠DBE-∠DAE=130°-40°=90°，∴（∠ADB+∠AEB）=90°÷2=45°，∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，∴，，∴∠DCE=∠ADC+∠AEC+∠DAE,=（∠ADB+∠AEB）+∠DAE,=45°+40°,=85°；③由②得∠BG1C=（∠ABD+∠ACD）+∠A，∵∠BG1C=70°，∴设∠A为x°，∵∠ABD+∠ACD=133°-x°∴（133-x）+x=70，∴13.3-x+x=70，解得x=63，即∠A的度数为63°.此题考查三角形外角的性质定理，三角形的外角等于与它不相邻的内角的和，，根据此定理得到角度的规律，由此解决问题，此题中得到平分角的变化规律是解题的难点.22、（1）；（2）.【分析】（1）根据中垂线性质可知，作AB的垂直平分线，与AC交于点P，则满足PA=PB，在Rt△ABC中，用勾股定理计算出AC=8cm，再用t表示出PA=tcm，则PC=cm，在Rt△PBC中，利用勾股定理建立方程求t；（2）过P作PD⊥AB于D点，由角平分线性质可得PC=PD，由题意PC=cm，则PB=cm，在Rt△ABD中，利用勾股定理建立方程求t.【详解】（1）作AB的垂直平分线交AB于D，交AC于P，连接PB，如图所示，由垂直平分线的性质可知PA=PB，此时P点满足题意，在Rt△ABC中，cm，由题意PA=tcm，PC=cm，在Rt△PBC中，，即，解得（2）作∠CAB的平分线AP，过P作PD⊥AB于D点，如图所示∵AP平分∠CAB，PC⊥AC，PD⊥AB，∴PC=PD在Rt△ACP和Rt△ADP中，∴∴AD=AC=8cm∴BD=AB-AD=10-8=2cm由题意PD=PC=cm，则PB=cm，在Rt△ABD中，即解得本题考查了勾股定理的动点问题，熟练运用中垂线性质和角平分线性质，找出线段长度，利用勾股定理建立方程是关键.23、（1）;（2）3m(x+y)(x-y);【分析】（1）先根据整数指数幂的运算法则计算，再根据有理数的加减运算即可；（2）先提公因式3m，再利用平方差公式因式分解即可．【详解】解：（1）=1+（-2）-=；（2）3mx2－3my2=3m(x2-y2)=3m(x+y)(x-y)．本题考查了整数指数幂的运算以及因式分解，掌握基本运算法则和公式是解题的关键．24、（1）证明见解析；（2）15，26，37，48，59；（3）．【解析】试题分析：（1）对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），找出m的最佳分解，确定出F（m）的值即可；（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，由“吉祥数”的定义确定出x与y的关系式，进而求出所求即可；（3）利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出F（t）的最大值即可．试题解析：（1）对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），∵|n﹣n|=0，∴n×n是m的最佳分解，∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）==1；（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，∵t是“吉祥数”，∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=36，∴y=x+4，∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，∴满足“吉祥数”的有：15，26，37，48，59；（3）F（15）=，F（26）=，F（37）=，F（48）==，F（59）=，∵＞＞＞＞，∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值为．考点：因式分解的应用；新定义；因式分解；阅读型．25、（1）85°，115°，1；（2）AC的长为或；（1）四边形ABCD不是“湘一四边形”，四边形ABCD是平行四边形，理由见解析【分析】（1）连接BD，根据“湘一四边形”的定义求出∠B，∠C，利用等腰三角形的判定和性质证明BC=DC即可．

（2）分两种情形：①如图1-1，∠B=∠D=90°时，延长AD，BC交于点E．②如图2-1中，∠A=∠C=60°时，过D分别作DE⊥AB于E，DF⊥BC于点F，分别求解即可解决问题．

（1）结论：四边形ABCD不是“湘一四边形”，四边形ABCD是平行四边形．如图2中，作CN⊥AD于N，AM⊥CB于M．利用全等三角形的性质证明AD=BC即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，连接BD．

∵四边形ABCD是湘一四边形，∠A≠∠C，

∴∠B=∠D=85°，

∵∠A=75°，

∴∠C=160°-75°-2×85°=115°，

∵AD=AB，

∴∠ADB=∠ABD，

∵∠ADC=∠ABC，

∴∠CDB=∠CBD，

∴BC=CD=1，

故答案为85°，115°，1．

（2）①如图1-1，∠B=∠D=90°时，延长AD，BC交于点E