《工程流体力学基础第2版》-第2章

第1节质量力、流体静压强及其特性作用在静止流体质点上的力有质量力和表面力。假想你变成一个流体微团，沉浸在水中，那么你会觉得受到哪些力的作用呢？当然地球有吸引力，还有水会产生浮力。地球的吸引力是由于你本身具有质量，这个力的大小就是质量与重力加速度的乘积。浮力就是周围的水作用在你身体表面的合力。这也就是说，一个流体微团所受到的力有两种：一是质量力，是由于流体质点本身具有质量而产生的力，如重力和离心力等；二是表面力，是质点外界的流体通过质点表面作用给流体质点的力。下一页返回第1节质量力、流体静压强及其特性1.质量力及其表示方法由于流体质点具有质量，在绝对静止状态会受到地心引力——重力的作用；在做匀加速直线运动或匀角速旋转运动时，还具有惯性力和离心力的作用，这些力都与流体质点的质量有关，统称为质量力。根据牛顿第二定律，质量力的大小与质量和加速度有关。设质量为m的流体受到的质量力为F，则单位质量流体所具有的质量力为式中，X、Y、Z分别为单位质量所具有的质量力沿x，y，z轴的三个分量。上一页下一页返回第1节质量力、流体静压强及其特性对于只有重力场作用的绝对静止流体，质量力为mg=−kF，负号表示力的方向向下。沿水平方向的分力X=0,Y=0，沿垂直向上的坐标方向Z，有Z=−g，则单位质量力为f=0i+0j−gk。2.流体静压强的定义在静止流体中取出一个作用面ΔA，其上的作用力为ΔP，当ΔA→0时，平均压强的极限就定义为该点处的静压强，即在国际单位制中，压强的单位为N/m2

，也用Pa、kPa或bar表示。上一页下一页返回第1节质量力、流体静压强及其特性3.静止流体中压强的特征作用于微团表面的静压强具有如下两个特性：（1）静压强的方向垂直指向作用面；（2）静压强的大小与作用面的方位无关。上一页返回第2节流体静平衡微分方程及其积分1.流体平衡微分方程在静止流体中任取一边长分别为dx、dy、dz的平行六面体（如图2−3所示）。（1）受力分析。所取质点所受到的力有质量力和表面力。质量力为作用在平行六面体表面上的力都是垂直指向作用面的，故作用在垂直于y轴和z轴的面上的力在x轴上的投影均为0。沿x轴的表面力就只有在A面上的力和在B面上的力。在A面上的压强为p

(x,y,z)，在B面上的压强为p(x+dx,y,z)，则由泰勒公式，有上一页下一页返回第2节流体静平衡微分方程及其积分则沿x方向表面力的合力为（2）列出平衡方程。沿x轴列出平衡方程，由式（2−3）和式（2−4）有上一页下一页返回第2节流体静平衡微分方程及其积分同理，可得到沿y轴和z轴的平衡方程，最后有也可写成向量的形式上一页下一页返回第2节流体静平衡微分方程及其积分这就是流体平衡微分方程，是瑞士数学家和力学家欧拉于1755年导出的，故也称为欧拉流体静力学微分方程。2.平衡微分方程的全微分形式将式（2−5）中的各式分别乘以dx、dy、dz，然后相加，得到上式左侧为压强p的全微分，即有上一页下一页返回第2节流体静平衡微分方程及其积分式（2−26）就是欧拉平衡微分方程的全微分表达式，也称为平衡微分方程的综合式。当质量力为已知时，即可由式（2−6）积分得到静压强的分布。对于不可压缩流体，密度为常数，则式（2−6）中的右侧括号内的三项也应是某个函数W的全微分，即应有则应有上一页下一页返回第2节流体静平衡微分方程及其积分满足式（2−7）这个关系的函数称为势函数，当质量力可以用这样的函数表示时，称质量力为有势的。对于仅有重力作用的重力场来说，由于X=0,Y=0,Z=−g，代入式（2−7），得到质量力势函数W=−gz。将式（2−7）代入式（2−6），得到由此可见，只有在有势的质量力作用下流体才可以处于平衡状态。3.等压面压强相等的空间点构成的面称为等压面，由于在等压面上p=C，则dp=0。由式（2−6）可得等压面方程为上一页返回第3节流体静压强的分布规律1.静压强基本方程设装有液体的容器在质量力为重力的作用下处于平衡状态，其自由表面压强为p0。试研究容器中液体内的压强分布规律。由于质量力只有重力，则有X=0,Y=0,Z=−g，代入式（2−6），有对于不可压缩均质流体，密度为常数，对上式积分，得到ρ=−pgz+c上一页下一页返回第3节流体静压强的分布规律式中，c为待定常数。当z=z0

时，p=p0，代入上式，得到c=

ρ0+pgz0，则有p=p0+pg(z0-z)p=p0+pgh此式就是流体静力学基本方程，表明在重力作用下的静止流体中，压强随深度呈线性变化。上式还可写成上一页下一页返回第3节流体静压强的分布规律2.推论（1）由式（2−10）可明显看出，静压强的大小与流体的体积无直接关系，容器不同，液体重量不同，只要深度相同，其压强也相同。在图2−7中液面高度相同，则容器底部的压强也相同。（2）液体内两点的压差等于两点间竖直方向单位面积液柱的重量。在图2−8所示的容器中，任取A、B两点，则根据式（2−10），有pA=p0+pghApB=p0+pghB得到A、B两点的压差为pB-pA=p0+pghAB上一页下一页返回第3节流体静压强的分布规律（3）帕斯卡(Pascal)原理：处于平衡状态下的不可压缩流体中，任意一点处（包括边界上）的压强变化，能等值地传递到其他各点上去。由于液体内任意点处的压强为pB=pA+pghAB在平衡状态下，当A点的压强增加pΔ时，B点的压强变为即A点压强的变化等值地传递到其他各点，这就是著名的帕斯卡原理。上一页下一页返回第3节流体静压强的分布规律3.测压管高度对式中各项的物理意义参照图2−9进行如下讨论。z——某点在基准面以上的高度，称为位置高度或位置水头，其物理意义是单位重量液体所具有的（相对于基准面）位置势能，简称位能。ρ/pg——压强水头，其物理意义是单位重量液体所具有的压强势能，简称压能。z+ρ/pg——测压管高度或测压管水头，是单位重量液体所具有的总势能。上一页下一页返回第3节流体静压强的分布规律液体静力学基本方程式（2−11）表示在均质连通的静止液体中，各点的测压管水头相等，在图中可明显看到其物理意义就是，静止液体中各点处单位重量液体具有的总势能相等。4.真空高度当某点的压强小于当地大气压时，称该点处于有真空的状态，该点压强小于当地大气压的值（绝对值）称为该点的真空度，记为pν。测量pν的方法是在该点接一根竖直向下插入容器内的玻璃管（如图2−10所示），容器内的液体在大气压的作用下将沿玻璃管上升高度hν，且有式中，hν

称为真空高度。上一页返回第4节压强的计算标准和度量单位1.压强的计算标准由于计算压强起点的不同，压强可分为绝对压强、相对压强和真空度，如图2−11所示。绝对压强——以无气体分子存在的完全真空为基准的压强，记为pabs。相对压强——以当地大气压为起点计算的压强，记为p。绝对压强与相对压强之间相差一个大气压强patm，二者的关系为pabs=p+patm

（2−13）注：本书如无特别说明，压强都是指相对压强。真空度——当地压强小于当地大气压时，相对压强为负值，又称为负压，值的大小称为真空度，用符号pν

表示。pν=pabs-patm=-p

（2−14）上一页下一页返回第4节压强的计算标准和度量单位2.压强的度量单位压强的度量单位通常有如下三种。（1）应力单位——其单位为Pa，或直接用N/m2

或kN/m2

表示，如果压强很高，常采用MPa（兆帕，1MPa=106Pa）表示。（2）液柱单位——压强也常用液柱高计量，单位是m水柱、mm水柱或汞柱。测量血压的计量方法就是典型的用液柱高表示的压强。（3）大气压单位——用大气压的倍数来计量。国际上规定标准大气压用符号atm表示，1atm=101325N/m2

。应力单位也可用bar表示，定义1bar=105Pa，约为一个大气压。上一页下一页返回第4节压强的计算标准和度量单位另外，工程上常用工程大气压，符号为at，1at=98000N/m2

，也可用1at=0.1MPa。几种计量单位的关系见表2−1。上一页返回第5节静压强的测量1.测压管图2−12所示为静压强的测量，左侧为一密封容器，右侧接一个上端开口通大气的细玻璃管，这个玻璃管称为测压管。测压管内液体通向大气，表面上作用着大气压强，是自由液面。容器内液体表面的压强为p0，在等压面上列方程，得到容器内液体表面压强为p0=pghB点处的压强为上一页下一页返回第5节静压强的测量2.U形管测压计测量较大的压强可采用水银测压计（如图2−13所示）。设水的密度为ρ，汞的密度为ρG，由于1点和2点位于同一个等压面上，故有上一页下一页返回第5节静压强的测量3.压差计压差计可直接测量两点之间的压强差，而不涉及两点压强的大小。压差计可分为空气压差计、油压差计和水银压差计等。4.倾斜式微压计当测量较小压强时，为提高精度，可将测压管倾斜某一角度θ（如图2−16所示）。用倾斜式测压管测量的压强为p=ρglsinθ常用的θ值为10°～30°，这样可使压强读数放大2～5倍。上一页返回第6节作用于平面上的静压力根据固壁形状特点，静止流体作用于固壁上的力分为作用于平面上的力和作用于曲面上的力两类，本节讨论静止流体作用于平面固壁上作用力的大小及作用点的计算方法。1.总压力的大小和方向设任意形状平板的面积为A，平板与水平面的夹角为α，如图2−18

所示。取竖直平面与平板所在平面的交线为y轴，交线与液面的交点为坐标原点O。过O点做垂直于Oy的x轴，使平板位于Oxy平面内。把平板绕Oy轴旋转90°，所显示的受压平面如图2−18所示。上一页下一页返回第6节作用于平面上的静压力在点A（液面下h，距O点为y）处取微元面积dA，液体作用在dA上的微小压力为则作用在平板上的总压力为上一页下一页返回第6节作用于平面上的静压力式中，pC为作用在形心处的压强。上式表明，任意形状平面上的静水总压力的大小，等于作用在形心处的压强pC乘以受压面的面积A，其方向总是指向作用面，即沿受压面的内法线方向。2.总压力的作用点设总压力作用点（压力中心）D到Ox轴的距离为yD

，对Ox轴列力矩平衡方程，应有上一页下一页返回第6节作用于平面上的静压力上一页下一页返回第6节作用于平面上的静压力式中，xD为压力中心到Oy轴的距离；xC为受压面形心到Oy轴的距离；yC为受压面形心到Ox轴的距离；IxyC为受压面对平行于x、y轴的形心轴的惯性矩。上一页返回第7节作用在曲面上的液体压力作用于曲面上的压强总是垂直指向作用面的，由于曲面上各点的法线方向不同，因此，不能采用直接积分的方法求和，一般是将总压力分解为水平方向和垂直方向两个分力，分别求出后再合成。1.曲面上的液体总压力设曲面AB的母线垂直于图面，曲面的面积为A。设坐标的xOy平面与液面重合，Oz轴向下，如图2−20所示。在曲面AB的任意点处取一微元面积dA，微元面积上的压力可分解为水平方向和铅垂方向两个分力下一页返回第7节作用在曲面上的液体压力上一页下一页返回第7节作用在曲面上的液体压力这个力相当于体积为VP的液体的重量。液体作用在曲面上的总压力的合力为总压力作用线与水平面夹角为2.压力体积分

所表示的体积称为压力体，是一个虚拟的体积，压力体内可以有液体，也可以没有液体，随液体与曲面的相对位置的不同，压力体大致可分为以下几种情况。上一页下一页返回第7节作用在曲面上的液体压力（1）实压力体。压力体和液体在曲面的同侧。此时压力体内充满液体，称为实压力体，液体在曲面的上方，Pz方向向下，如图2−21（a）所示。（2）虚压力体。压力体和液体在曲面的异侧，其上底面为自由液面的延伸面，此时压力体内无液体，称为虚压力体，液体在曲面的下方，Pz方向向上，如图2−21（b）所示。上一页下一页返回第7节作用在曲面上的液体压力（3）压力体叠加。对于水平投影有重叠的曲面，可分段确定压力体，然后相叠加。例如图2−21（c）中半圆柱面ABC的压力体，可分别按曲面AB、BC确定，叠加后得到虚压力体ABC，Pz方向向上。上一页返回第8节相对静止状态下的流体静压强分布相对静止是指流体质点与质点之间、流体和容器之间没有相对运动，而整个系统对地球来说是有相对运动的。1.匀加速直线运动容器中液体的平衡在如图2−25所示的系统中，容器内最初装有深为H的液体。设容器以固定加速度a沿水平方向做直线运动，其稳定状态就属于相对静止问题。选取坐标原点O位于液面中心如图所示，由平衡微分方