45　大单元周测卷(六)　大阶段滚动卷(五)　大单元一至大单元六

大阶段滚动卷(五)大单元一至大单元六(满分：150分时间：120分钟)一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2025·新疆乌鲁木齐三模)已知抛物线C：y2＝4x，则C的焦点坐标为()A．(1，0) B．(2，0) C．(0，1) D．(0，2)A[抛物线C：y2＝4x的焦点坐标为(1，0)．]2．(2025·山西太原一模)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S7＝28，S11＝88，则{an}的公差d＝()A．1 B．2 C．3 D．4B[a4＝S77＝4，a6＝S1111＝8，解得d＝a3．(2025·云南丽江一模)设随机变量X服从二项分布X~B6，12，则函数f(x)＝x2＋25x＋X有零点的概率是A．56 B．4C．6364 D．C[f(x)＝x2＋25x＋X中，Δ＝20－4X≥0，解得X≤5，X~B6，12，故P(X≤5)＝1－P(X＝6)＝1－C64．(2025·湖南岳阳模拟)现有8把相同的椅子排成一排，甲、乙、丙三人每人选取其中的一把椅子入座，在这三人中有两人相邻坐的条件下，则三人均相邻(甲、乙、丙之间无空座)的概率为()A．16 B．1C．12 D．A[设A＝“甲、乙、丙之间恰有两人相邻”，B＝“甲、乙、丙三人均相邻”，则n(A)＝C32A22A62故在有两人相邻坐的条件下，三人均相邻的概率为A33A65．(2025·广西北海模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知cosA＝12，a＝4，△ABC的面积为23，则b＋c＝(A．211 B．210C．27 D．32B[因为cosA＝12，0<A<π，所以A＝π又△ABC的面积为23，所以23＝12bcsinπ3，所以bc＝由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得16＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－24，所以(b＋c)2＝40，所以b＋c＝210．]6．(2025·广西桂林一模)已知双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l与E的两条渐近线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若2F2A＝AB，OA⊥A．2 B．3C．5 D．10B[由双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)可知渐近线方程为因为2F2A＝AB，OA⊥AB，所以OA⊥AF在Rt△OAF2中，|OF2|＝c，tan∠AOF2＝ba所以|AF2|＝b，|AO|＝a，可得Aa2因为2F2A＝AB，即2(xA－c，yA)＝(xB－xA，yB－yA则xB＝3xA－2c＝3a2-2c2c，yB＝又因为点B在渐近线y＝－bax上，所以3abc＝－ba×3a2-2c2c，解得c2＝3a7．(2025·四川成都模拟)函数f(x)＝x3－3ax－2恰有一个零点，则实数a的取值范围是()A．(0，1) B．(－∞，0]C．(－∞，1) D．(－∞，1]C[f'(x)＝3(x2－a)，当a≤0时，f'(x)≥0，函数在R上单调递增，此时函数有一个零点；当a>0时，由f'(x)>0得其增区间为(－∞，－a)和(a，＋∞)，由f'(x)<0得其减区间为(－a，a)，所以函数的极大值为f(－a)，极小值为f(a)．因为函数恰有一个零点，则有f(－a)＝－aa＋3aa－2<0或f(a)＝aa－3aa－2>0．解得0<a<1．综上可知，实数a的取值范围是(－∞，1)．]8．(2025·内蒙古通辽二模)如图，边长为4的等边三角形ABC，动点P在以BC为直径的半圆上．若AP＝λAB＋μAC，则λ＋12μ的取值范围是(A．1，52C．13，65D[由题意，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．结合已知得A(0，23)，B(－2，0)，C(2，0)，半圆弧BC的方程为x2＋y2＝4(y≤0)．设P(m，n)，则AP＝(m，n－23)，AB＝(－2，－23)，AC＝(2，－23)，由AP＝λAB＋μAC，得m解得λ所以λ＋12μ＝－18m－38n＋34因为P(m，n)在BC上，所以m2＋n2＝4(n≤0)，又(2cosθ)2＋(2sinθ)2＝4，则可设m＝2cosθ，n＝2sinθ，π≤θ≤2π，将m＝2cosθ，n＝2sinθ代入(*)整理得λ＋12μ＝－14cosθ－34sinθ＋34＝－12由π≤θ≤2π，得7π6≤θ＋π6≤所以－1≤sinθ+π6≤12，12≤－12sin故λ＋12μ的取值范围是12二、选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9．(2025·浙江宁波二模)下列说法正确的是()A．若随机变量X服从正态分布X~N(3，σ2)，且P(X≤4)＝0.7，则P(3<X<4)＝0.2B．数据5，8，10，12，13的第40百分位数是8C．在一元线性回归模型中，若决定系数R2＝1，则残差的平方和为0D．x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4的方差分别为s12和s22，若xi＋yi＝10且xi<yi(i＝1，2，3，4)，AC[对于选项A，因为X~N(3，σ2)，又P(X≤4)＝0.7，则P(3<X<4)＝P(X≤4)－P(X≤3)＝0.7－0.5＝0.2，故选项A正确；对于选项B，因为5×40%＝2，所以数据5，8，10，12，13的第40百分位数是8+102＝9，故选项B错误对于选项C，若决定系数R2＝1，则散点图中的散点均落在一条斜率非0的直线上，所以残差的平方和为0，故选项C正确；对于选项D，设x1，x2，x3，x4的平均数为x，y1，y2，y3，y4的平均数为y，因为xi＋yi＝10，则y＝10－x，又s12＝s22＝14所以s12＝s22，故选项10．(2025·山东潍坊二模)已知函数f(x)＝2sin2x+π3，函数y＝g(x)的图象由y＝f(x)的图象向左平移π4个单位长度得到A．f(x)与g(x)在π6B．g(x)的图象关于直线x＝π12＋kπ2(k∈C．设h(x)＝f(x)g(x)，D．当x∈0，2π时，fπ2与g3ACD[易知y＝f(x)的图象向左平移π4个单位长度可以得到g(x)＝2sin2x+π对于A，当x∈π6，π3时，2x＋由正弦函数和余弦函数图象性质可知，f(x)与g(x)在π6，即它们有相同的单调性，可得A正确；对于B，由g(x)＝2cos2x+π3可知，令2x＋π3＝kπ(k∈Z)，解得x＝－π6＋k因此可得g(x)的图象关于直线x＝－π6＋kπ2(k∈Z)对称，即对于C，易知h(x)＝f(x)g(x令2x＋π3＝kπ2(k∈Z)，解得x＝－π6＋kπ4则h(x)的图象的对称中心为-π6+k当k＝1时，可知h(x)的图象的一个对称中心为π12，0对于D，当x∈0，2π时，g3x2-π又fπ2＝2sin2×π2画出函数g3x2结合图象可知，fπ2与g3x2-π6的图象有6个交点11．(2025·广东惠州模拟)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E是DD1的中点，则()A．B1C⊥BD1B．三棱锥C1-B1CE的体积为1C．三棱锥C1-B1CE的外接球的表面积为41πD．由B1，C，E三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为322ACD[对于A，连接BC1(图略)，由题知B1C⊥BC1，B1C⊥C1D1，BC1∩C1D1＝C1，BC1⊂平面BC1D1，C1D1⊂平面BC1D1，所以B1C⊥平面BC1D1，又BD1⊂平面BC1D1，所以B1C⊥BD1，故A正确；对于B，三棱锥C1-B1CE的体积VC1-B1CE＝VE-B1C1C＝13×对于C，设三棱锥C1-B1CE的外接球的半径为R，△C1CE的外接圆半径为r，C1E＝CE＝12+1在△C1CE中，由余弦定理的推论得，cos∠C1EC＝C1E2所以sin∠C1EC＝1-352则有r＝CC12sin∠C1R＝122+所以三棱锥C1-B1CE的外接球的表面积为4πR2＝4π×4182＝故C正确；对于D，如图，过B1，C，E三点确定的平面与正方体相交形成的截面为等腰梯形B1CEF，其中F为A1D1的中点，故等腰梯形B1CEF的周长为5＋322，故D正确三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．12．(2025·海南三亚一模)已知复数z满足z1+i＝3－i，则z＝________4＋2i[由z1+i＝3－i可得z＝(3－i)(1＋i)＝3＋3i－i＋1＝4＋2i．]13．(2025·福建泉州一模)设O为坐标原点，A为椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的上顶点，点B在E上，线段AB交x轴于点M．若∠AOB＝135°，且|BM|＝45|AM74[因为∠AOB＝135°，所以直线OB的斜率为1或－1，不妨取kOB＝－1，则如图所示设B(xB，－xB)，过B作BN⊥x轴于点N，由△AOM∽△BNM，|BM|＝45|AM|，|OA|＝b可得|BN|＝45|AO|，即xB＝45故B45代入椭圆方程可得，45b2a2即16b225a2＋1625＝1所以e＝ca＝c2a2＝1-b214．(2025·内蒙古呼和浩特模拟)在一组互不相同的有序数组{a1，a2，a3，…，an}(n≥2，n∈N*)中定义：在ai(i＝1，2，3，…，n)的右边比其大的数的个数称为ai的“顺序数”，在ai的右边比其小的数的个数称为ai的“逆序数”，我们把有序数组{a1，a2，a3，…，an}的所有元素的“顺序数”与“逆序数”之和记为Tn．(1)有序数组{3，5，7，2，1}的所有元素的“顺序数”与“逆序数”之和T5＝________；(2)1T2＋1T3＋1T4＋(1)10(2)2(n-1)n[(1)对于有序数组{3，5，7，23的顺序数为2，逆序数为2；5的顺序数为1，逆序数为2；7的顺序数为0，逆序数为2；2的顺序数为0，逆序数为1；1的顺序数和逆序数均为0；故T5＝10．(2)对于有序数组{a1，a2，a3，…，ai，…，an}，易知ai后由n－i个数，所以ai的顺序数＋逆序数＝n－i，所以Tn＝n－1＋n－2＋…＋1＝n(所以1Tn＝2n(n-1)＝2所以1T2＋1T3＋1T4＋…＋1Tn＝2四、解答题：本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(13分)(2025·湖北黄石模拟)△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acosC－3asinC＝b－c．(1)求A的大小；(2)若D为直线BC上一点，AD⊥AB，且AD＝2，求△ABC面积的最小值．[解](1)在△ABC中，由acosC－3asinC＝b－c及正弦定理，得sinAcosC－3sinAsinC＝sinB－sinC＝sin(A＋C)－sinC＝sinAcosC＋cosAsinC－sinC，整理得－3sinAsinC＝cosAsinC－sinC，而sinC>0，则3sinA＝1－cosA，两边平方得(1－cosA)2＝3sin2A＝3(1－cos2A)，而0<A<π，解得cosA＝－12所以A＝2π3(2)由(1)知，A＝2π3，设∠ADB＝θ，则∠CAD＝π6，C＝θ－π6，π6<在Rt△ABD中，AB＝ADtanθ＝2tanθ，tanθ>33在△ACD中，由正弦定理得AC＝ADsinθsinθ-令3tanθ－1＝t>0，则tan2θ＝13(t＋1)2因此△ABC的面积S△ABC＝12AB·ACsin2π3＝23tan2θ当且仅当t＝1，即tanθ＝233所以△ABC面积的最小值为8316．(15分)(2025·山东济南模拟)甲、乙两人在足球游戏中进行踢点球比赛．在每一局比赛中，其中一人负责进攻球门，另一人负责防守球门，若进攻者进球则进攻者得1分，防守者得0分，若进攻者未进球则进攻者得0分，防守者得1分，第一局的进攻者随机确定，然后甲、乙轮流进攻．已知甲进攻时甲得分的概率为23，甲防守时甲得分的概率为12，各局的比赛结果相互独立，得分领先(1)求两局比赛后甲得分X的分布列和均值；(2)求甲获得该场比赛胜利的概率．[解](1)依题意，X的所有可能取值为0，1，2，设甲先进攻为事件A，则乙先进攻为事件A，且P(A)＝P(A)＝12所以P(X＝0)＝P(A)·P(X＝0|A)＋P(A)·P(X＝0|A)＝12×13×12＋12×12P(X＝1)＝P(A)·P(X＝1|A)＋P(A)·P(X＝1|A)＝12×13×12+2P(X＝2)＝P(A)·P(X＝2|A)＋P(A)·P(X＝2|A)＝12×23×12＋12×12所以X的分布列为X012P111故X的均值为E(X)＝0×16＋1×12＋2×13(2)设甲获得比赛胜利为事件B，则P(B|X＝0)＝0，P(B|X＝1)＝P(B)，P(B|X＝2)＝1．由(1)知，P(X＝0)＝16，P(X＝1)＝12，P(X＝2)＝由全概率公式得P(B)＝P(X＝0)P(B|X＝0)＋P(X＝1)·P(B|X＝1)＋P(X＝2)P(B|X＝2)＝16×0＋12P(B)＋解得P(B)＝2317．(15分)(2025·辽宁沈阳模拟)已知函数f(x)＝(x+a)lnx2x＋bx－1，且曲线y＝f((1)求a，b；(2)求f(x)的极值点个数．[解](1)由题得f(1)＝b－1＝12，解得b＝3又f'(x)＝(x则f'(1)＝1+a-32＝0，解得a故a＝2，b＝32(2)由(1)可知f'(x)＝x-2lnx-12令g(x)＝x－2lnx－1，则g'(x)＝x-2当0<x<2时，g'(x)<0，g(x)单调递减；当x>2时，g'(x)>0，g(x)单调递增；又g(1)＝0，g(2)<g(1)＝0，g(e2)>0，∃x0∈(2，e2)，使得g(x0)＝0，故f'(1)＝f'(x0)＝0，所以当0<x<1时，f'(x)>0，函数f(x)在(0，1)内单调递增，当1<x<x0时，f'(x)<0，函数f(x)在(1，x0)内单调递减，当x>x0时，f'(x)>0，函数f(x)在(x0，＋∞)上单调递增．综上，f(x)在(0，1)内单调递增，在(1，x0)内单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，所以f(x)有两个极值点．18．(17分)(2025·安徽合肥三模)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，E为AD的中点，PA⊥AD，BE∥CD，BE⊥AD，PA＝AE＝BE＝2，CD＝1．(1)求点A到平面PBC的距离；(2)在线段PE上是否存在点M，使得DM∥平面PBC?若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理由．[解](1)因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，且BE⊥AD，BE⊂平面ABCD，故BE⊥平面PAD．以E为原点，EB，ED所在直线分别为x，y轴，过点E作平行于PA的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则E(0，0，0)，P(0，－2，2)，A(0，－2，0)，B(2，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，所以PB＝(2，2，－2)，BC＝(－1，2，0)，AP＝(0，0，2