上海市青浦区2026届高三下学期期中质量调研（二模）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1上海市青浦区2026届高三下学期期中质量调研（二模）数学试题一.填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.已知集合，集合，则_______.【答案】【解析】因为集合，集合，所以2.设抛物线的准线方程为__________.【答案】【解析】由抛物线方程可得，则，故准线方程为.故答案为．3.在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合、始边与轴的正半轴重合，其终边经过点，则_______.【答案】【解析】因为角的顶点与坐标原点重合、始边与轴的正半轴重合，其终边经过点，所以，由三角函数终边上点的定义，.4.已知复数，则_______.【答案】【解析】由题意得，所以.5.已知函数，则曲线在点处的切线方程为_______.【答案】【解析】由题设，，所以函数在点处的切线方程为，即.6.某电子元件厂有甲、乙两条互不影响的生产线生产同型号元件，甲生产线的产量占全厂总产量的，其产品次品率为；乙生产线的产量占全厂总产量的，其产品次品率为.若从全厂产品中随机抽取1件，抽到次品的概率为_______.【答案】【解析】设抽到的产品来自甲生产线为事件，来自乙生产线为事件，抽到次品为事件，则，所以.7.已知，若，则_______.【答案】【解析】二项式展开式的通项公式为，为的系数，令，解得，此时；，，解得.8.若函数（常数）在区间没有最值，则的取值范围是__________.【答案】【解析】因为，，所以，又因为函数（常数）在区间没有最值，所以，解得，所以的取值范围是.故答案为：.9.已知为等腰三角形，且，则_________.【答案】【解析】在中，令内角所对边分别为，由及正弦定理，得，显然为底边，否则不能构成三角形，由余弦定理得.故答案为：.10.已知点是双曲线的左焦点，经过原点的直线与双曲线交于、两点，若且，则双曲线的离心率为______.【答案】【解析】设是右焦点，由双曲线的对称性得是平行四边形，，所以，又，即，，则，因为，所以，由余弦定理得，即，得，即，所以离心率.11.若数列共10项，其中，，且，，，则这样的不同数列共有______个.（用数字作答）【答案】84【解析】数列共10项，因此共有个相邻差，每个只能取或，由，，，，相加可得：，即所有​的总和为，设个差中有个1，个，由题意：，​

解得，即9个差中恰好有3个1、6个2，不同的排列顺序对应不同的数列，问题等价于从9个位置中选3个位置放1，剩余放2，因此不同数列个数为组合数：

.即这样的不同数列共有84个.12.已知平面内的三个非零向量，满足：，，，则当取得最大值时，______.【答案】【解析】设分别为的终点，为中点，由，得，又，故的终点在的中垂线上，且由勾股定理得.如图所示，建立坐标系：，，，，公共起点（即）.在中，由正弦定理可得，为外接圆半径，故，令外接圆圆心为，易知在线段垂直平分线上，可设为，根据对称性，以，为例，可得所在圆的方程为，，令，则，代入，得：，令，由基本不等式得：，当且仅当等号成立，即，故，由对称性可知当，圆的方程为时，同理可得最大值为.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.下列说法中错误的是（）A.平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的统计量B.极差、方差、标准差都是描述一组数据的离散程度的统计量C.一组数据中比中位数大的数和比中位数小的数一样多D.总体的数据都分布在样本的极差范围内【答案】CD【解析】对于A，平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量，所以A正确，对于B，极差反映的是一组数据最大值与最小值的差，方差和标准差反映了数据分散程度的大小，所以极差、方差、标准差都是描述一组数据的离散程度的统计量，故B正确，对于C，取，这组数据的中位数是，比小的数有个，比大的有个，所以C错误，对于D，样本的极差是数据最大值与最小值的差，是数值不是范围，且总体数据通常不都在样本数据的最大值和最小值之间，故D错误.14.设是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（）A. B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】因为是定义在R上的奇函数，所以，所以，又周期为2，故，所以，又，所以，所以，所以.15.已知垂直竖在水平地面上相距20米的两根旗杆的高分别为10米和15米,地面上的动点到两旗杆顶点的仰角相等,则点的轨迹是（）A.椭圆 B.圆 C.双曲线 D.抛物线【答案】B【解析】如图，建立直角坐标系依题意可得，，则，设，因为，所以，则，即，化简可得，即，所以点轨迹为圆，故选B.16.对于数列，若存在，使得对任意，有，则称为“有界变差数列”有以下两个结论：①若各项均为正数的等比数列为“有界变差数列”，则其公比的取值范围是；②若数列均为“有界变差数列”，且，则数列是“有界变差数列”．则以下选项正确的是（）A.①是假命题，②是真命题B.①是假命题，②是假命题C.①是真命题，②是假命题D.①是真命题，②是真命题【答案】A【解析】对于命题①，因为的各项均为正数，所以，，又，当时，，，任取即可，所以为有界变差数列．当时，，若，则，令即可，所以为有界变差数列，若，则，当时，，显然不存在符合条件的，故不是有界变差数列．综上，的取值范围是，故命题①是假命题；对于命题②，因为，因为，所以，所以，又数列为“有界变差数列”，则存在，使得对任意，有，又，所以，故命题②是真命题，综上，①是假命题，②是真命题.三．解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤.17.在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：潜伏期（单位：天）人数501502003002006040（1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均数值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果四舍五入为整数）；（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过8天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断，能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为潜伏期与患者年龄有关．潜伏期天潜伏期天总计50岁以上（含50）10050岁以下65总计200附：，其中．0.050.0250.0103.8415.0246.635解：（1）（天）．（2）由题设知：潜伏期天数在的频率为0.7，潜伏期天数在的频率为0.3，故200人中潜伏期在上有140人，在上有60人．列联表如下：潜伏期天潜伏期天总计50岁以上（含50）752510050岁以下6535100总计14060200∴，故在犯错误的概率不超过5%的前提下，不能认为潜伏期与患者年龄有关．18.已知函数，其中.（1）若，求的值；（2）若方程在区间上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围及的值.解：（1），，，所以，，可得，所以，则.（2）因为，，令，函数与直线在区间上恰有两个不同的零点，在区间的图象特征：函数与直线恰有两个不同的交点，所以，即在区间和各有一个交点，且关于对称，，即，可得.19.如图，在三棱锥中，AB是外接圆的直径，是边长为2的等边三角形，E，F分别是PC，PB的中点，，.（1）求证：平面平面ABC；（2）求直线AB与平面AEF所成角的正弦值.（1）证明：由题意知，则，所以.又，所以，所以，又，所以平面PAC，又平面ABC，所以平面平面ABC.（2）解：以C为坐标原点，CA，CB在直线分别为x轴，y轴，过C且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以.设平面AEF的法向量为，则则，取，得.设直线AB与平面AEF所成的角为，则，所以直线AB与平面AEF所成角的正弦值为.20.已知椭圆与椭圆，椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上异于其左、右顶点的任一点，直线均过点.（1）求面积的最大值.（2）若过点且与交于两点，过点且与交于两点，当直线的斜率满足时，证明:为定值；（3）是否存在点，满足均与相切，且?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.（1）解：对于椭圆中，，则，所以，焦点，设点在上，所以，因为的面积，所以当时，面积取到最大值为1.（2）证明：设直线，联立方程组，整理得：，其中，设，所以，所以，同理，设，代入得：，已知，所以，代入得：，所以，即为定值.（3）解：假设存在，若，则，此时直线不垂直，因此直线的斜率存在，分别为，由，得.若直线，即，联立方程组，整理得：，若与相切，则，化简得：，此方程的两根为，且，所以，由，得：，即，又因为在上，联立方程组，解得或或或，即存在点，满足题意.21.函数和有相同的定义域，导函数分别为，，若在定义域内均有，则称是的“函数”.（1）判断是否为的“函数”，并说明理由；（2）已知函数和都是定义