广东省广州市增城区2025届高三下学期5月模拟测试数学试题

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省广州市增城区2025届高三下学期5月模拟测试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，则（）A. B. C. D.2.满足等式的集合X共有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.已知是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（）A.30° B.60° C.90° D.120°4.已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（）A. B. C. D.5.生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2提高到3，则（）A. B.C. D.6.设甲：“函数在单调递增”，乙：“”，则甲是乙的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.若函数有最大值，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.8.已知椭圆的左、右焦点为，过点的直线与E交于M，N两点．若，，则椭圆E的离心率为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）：x12345y0.50.811.21.5假设经验回归方程为，则（）（参考公式：相关系数为）A.B.当时，对应的残差为0.04C.样本数据y的第40百分位数为0.8D.去掉点后，x与y的样本相关系数r不变10.已知抛物线的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，O为坐标原点，过F的直线与C交于B，D两点，过B，D作l的垂线，垂足分别为E，G，则（）A.若直线BD的斜率为1，则 B.以BD为直径的圆与y轴相切C. D.B，O，G三点共线11.已知函数及其导函数的定义域均为，记，且，，则（）A.B.的图象关于点对称C.D.（）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知等差数列的前n项和为，则_______．13.某班为了响应“学雷锋”活动，将指定的6名学生随机分配到3个不同的办公室打扫卫生，要求每个办公室至少分配1人，则恰好甲、乙两人（仅有两人）打扫同一个办公室的情况有_______种（用数字作答）．14.三棱锥的底面是以为底边的等腰直角三角形，且，各侧棱长均为3，点为棱的中点，点是线段上的动点，则到平面的距离为___________；设到平面的距离为到直线的距离为，则的最小值为___________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）已知，D是BC边的中点，且，求AD的长．16.如图，在三棱锥中，平面PBC，平面平面ABC．（1）证明：；（2）若，PC与平面PAB所成角的正切值为，求平面PAC与平面ABC夹角的正弦值．

17.已知函数，直线l是曲线在点处的切线．（1）讨论的单调性；（2）若存在直线l经过点，求实数a的取值范围．18.某企业的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立．当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）．（1）若，且每个元件正常工作的概率．①求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和期望；②在设备正常运行的条件下，求所有元件都正常工作的概率．（2）请用表示，并探究：在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，能否通过增加控制系统中元件的个数来提高设备正常运行的概率．

19.已知双曲线（，）的两条渐近线为，且经过点.（1）求双曲线的方程；（2）过点作两条互相垂直的直线（两条直线的斜率都存在）分别交双曲线于点、和点、，、分别为弦和的中点，直线与轴交于点；过点作两条互相垂直的直线（两条直线的斜率都存在）分别交双曲线于点、和点、，、分别为弦和的中点，直