广东省惠州市宏华中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省惠州市宏华中学2025-2026学年高二下学期期中考试试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上，1.（）A.110 B.98 C.95 D.148【答案】C2.从甲地到乙地有4条不同的路线，从乙地到丙地有3条不同的路线，则从甲地经过乙地，到达丙地不同的路线有（）A.7条 B.12条 C.64条 D.81条【答案】B3.已知函数在处可导，若，则（）A. B. C. D.【答案】B4.从数字1，2，3，4，5中一次随机选取两个不同的数，其中至少有一个为奇数，则这两个数为一奇一偶的概率为（）A. B. C. D.【答案】C5.的展开式中常数项为（）A. B. C. D.【答案】A6.过点作函数图像的切线，则切线方程为（）A. B.C. D.【答案】D7.8个人分成3人、3人、2人三组，共有（）种不同的分组方法.A.1120 B.840 C.560 D.280【答案】D8.已知函数，若函数有4个不同的零点则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.已知随机变量X的分布列为X012Pm0.4m下列说法正确的是（）A. B.C. D.【答案】AC10.下列求导运算错误的是（）A. B.C. D.【答案】ABD11.用1，2，3，4四种颜色给图中的，，，四个区域涂色，要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域涂不同色，则（）A.用四种不同颜色涂色的不同方法数为24B.用1，2，3这三种不同颜色涂色的不同方法数为6C.在用四种不同颜色涂色的条件下，区域用4涂色的概率为D.在用1，2，3这三种不同颜色涂色的条件下，区域用2涂色的概率为【答案】ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数的图象在处的切线的倾斜角为______.【答案】13.的展开式中二项式系数的最大值是______．（用数字作答）【答案】70入一个小球，若不可以将小球放入和小球颜色相同的盒子，则不同的放法种数为__________.【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知的二项展开式中所有项的二项式系数之和为1024.（1）求的值；（2）若.（i）求的值；（ii）求的值．解：（1）所有二项式系数之和为，得．（2）（i）令，则.令，则.（ii）由（i）得，.项的系数.16.某机器人商店出售的机器人中，甲品牌的占40%，合格率为95%；乙品牌的占30%，合格率为90%；丙品牌的占30%，合格率为90%，在该商店随机买一台机器人.（1）求该机器人是甲品牌合格品的概率；（2）求该机器人是合格品的概率.解：（1）用表示机器人是甲品牌，用表示机器人是合格品，甲品牌的占40%，合格率为95%，则，，所以该机器人是甲品牌合格品的概率.（2）用表示机器人是乙品牌，用表示机器人是丙品牌，甲品牌的占40%，合格率为95%；乙品牌的占30%，合格率为90%；丙品牌的占30%，合格率为，.17.有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在卡片上分别写上0，1，2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令．求：（1）X所取各值的概率；（2）随机变量X的期望与方差．解：（1）根据题意可知，的可能取值为0，1，2，4.；；；.（2）X的分布如下：，所以，．18.已知是函数的一个极值点．（1）求的值和函数的单调区间；（2）求函数在区间上的最大值与最小值．解：（1）由，求导得，因为是函数的一个极值点，∴，∴，∴，令，解得或；令，解得.所以函数的增区间为，减区间为.（2）由（1）知在单调递减，在单调递增，由，得，，，所以函数在区间上的最大值是18，最小值是.19.已知函数.（1）时，求在点处的切线方程；（2）有3个零点，且.（i）求a的取值范围；（ii）证明．（1）解：当时，，，则，则，且，则切点，且切线的斜率为，故函数在点处的切线方程为.（2）（i）解：令，，得，设，则，由解得或，其中，；当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；且当时，；当时，；如图作出函数的图象，要使函数有3个零点，则方程在内有个根，即直线与函数的图象有个交点.结合图象可知，.故的取值范围为.（ii）证明：由图象可知，，设，则