江苏连云港市东海县2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏连云港市东海县2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数对应的点坐标是，则（）A. B.5 C. D.8【答案】C【解析】复数对应的点坐标是，则，则z+i=-2+i+i=-2+2i则z+i2.化简，得（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，，∴.故选：A3.设为非零向量，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为为非零向量，若，则，所以，，则，反之若，所以，所以，由于为非零向量，故，所以，“”是“”的充要条件.故选：C.4.已知向量，，，若，，三点共线，则实数（）A.3 B. C.2或3 D.或【答案】A【解析】由,，可得BA=OA-OBBC=若，，三点共线，则k-4k-2+1=0，即，解得.5.已知，则tanα-π4=A.2 B. C. D.【答案】C【解析】1+sin2α所以，化简可得：，tanα-6.已知，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，设，则，所以，，因为，所以.故选：A.7.在中，，是边的中点，是边上靠近的三等分点，与交于点，若，则角等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】取的中点，连接，因为是边的中点，所以，又因为，所以，因为△HMD≅△EMA，所以，所以AM=12所以6AM由可得：，即3AC=AB设角的对边分别为，即，由正弦定理可得：，化简可得：，因为，所以或（舍去），又因为，所以.8.在中，，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由可得：31-2sin所以，再由正弦定理可得：，则，（当且仅当，即时取等号），所以的最小值为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设、是方程的两个复数根，则（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】由题意得，，不妨设，，对于A：，所以，A正确.对于B：z12=-12+对于C：z13=z1对于D：1=-12+3210.在表达式有意义的条件下，下列等式成立的是（）A.cosA+BB.C.D.【答案】ACD【解析】对于A：cos=cos，A正确.对于B：sin=sin，B错误.对于C：tan=tan2A+2tanA+1-对于D：因为tan3A=所以tan3A1-即，所以，D正确.11.的角所对边分别为，若，，则（）A. B.面积的最大值为C.外接圆半径为2 D.的最大值为【答案】BCD【解析】对于A，由可得：a-2ctanA+aa-2csinAcosA+a则asinA即asinC=2csinAcos因为，所以，所以，因为，所以，故A错误；对于B，由余弦定理可得：cosB=当且仅当时取等，所以，面积为，当且仅当时取等，所以面积的最大值为，故B正确；对于C：设外接圆半径为，bsinB=2R=2则，外接圆半径为2，故C正确；对于D，由正弦定理可得：，CA⋅=83sin8=43sin当sin2C+π3=1，此时2C+π为，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，则在上的投影向量的坐标为__________.【答案】【解析】因为a=23所以a⋅b=23则在上的投影向量的坐标为a→⋅b13.已知，若，则的最小值为__________.【答案】【解析】设，，，因为z+3-4i=a+3所以a+32+所以复数在复平面对应的点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，所以表示到原点的距离，则最小值为-32+414.在平面凸四边形中，，，，则四边形面积的最大值是______.【答案】【解析】连接，在和中，，，所以，设凸四边形ABCD面积为，所以，所以S=100-96cosB+D所以当时，有最大值，即有最大值，所以S的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量，满足，，与的夹角为.（1）求；（2）若，求实数的值.解：（1）因为，所以，，，.（2）由得，，解得：.16.已知，，.求：（1）的值：（2）的值.解：（1）因为，所以，因为，所以，则sinα+β同理，所以sinβ=1-所以sinα==5所以cosα=所以.（2）cosβ+2α，因为，所以，所以.17.在中，已知，.（1）求角；（2）求边上的中线的最大值.解：（1）由正弦定理可得：，则，由余弦定理可得：，因为，所以.（2）因为，，在中，由余弦定理得，即(b+c)2=3+3bc≤3+3b+c当且仅当时，等号成立，

又因为，则b+c2-33故有4AD2从而AD≤32，故的最大值为.18.在中，，，，点，分别是边和上的动点.（1）求的面积；（2）若点，分别是边和的中点，求；（3）是否存在定点，使为定值？若存在，求出该定值，若不存在，说明理由.解：（1）由余弦定理可得：，因为，所以，所以，所以的面积为.（2），，.（3）设，则，BF=μAC，若存在定点，使为定值，则其值与无关，故的系数为，则，即，解得：，此时，故存在满足，使得为定值.19.已知单位圆的圆心为，点、是单位圆上的两个不同定点.动点在单位圆上，且满足.（1）求；（2）求的取值范围；（3）设直线交直线于点，，，求的最小值.解：（1）因为，可得，又因为为锐角，则，可得.（2）以为原点，以为