江苏省苏北七市2026届高三下学期第二次调研测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省苏北七市2026届高三下学期第二次调研测试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，解得或，则或，所以集合没有包含关系，，或或.2.已知，则（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】由，得则.3.已知向量与均为非零向量，则“”是“”的（）A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若，则存在非零实数，使得，此时：，因为是非零向量，所以与是共线的，即：，所以充分性成立，若，当时，；当时，存在实数，使得：整理得：，所以，若，则，即；若，则，与为非零向量矛盾，因此，必要性成立;综上“”是“”的充要条件.4.函数的所有极值的和为（）A.-4 B.-2 C.0 D.2【答案】A【解析】由题可得，令，解得：或,当或时，,当时，,所以的单调递增区间为：和，单调递减区间为,所以的极大值为，极小值为,则函数的所有极值的和为5.已知锐角满足，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】锐角满足，所以,,则,因为，所以6.随着对某项新技术学习效率的提升，生产力不断提高．该技术下生产第一件产品的工时为，生产件产品的平均工时，其中（为产品工时递减速率）．现有一条工时递减速率为80%的生产线，则生产前四件产品与生产前两件产品的平均工时之比为（）A.0.6 B.0.8 C.1.25 D.1.6【答案】B【解析】已知工时递减速率，且,所以，由于生产前件产品的平均工时：，生产前件产品的平均工时：，所以，将​，代入：，则生产前四件产品与生产前两件产品的平均工时之比为0.87.已知，，则的最小值为（）A.1 B.9 C.16 D.25【答案】D【解析】将，设，由，，得点在以为圆心，为半径的圆上，点在以为圆心，为半径的圆上，两圆心距，两圆内含，所以，，则.8.已知二面角的大小为，且为内异于的任意一点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】过作，垂足为，于，连接，如图，则，平面，所以平面，平面，所以,所以为二面角的平面角，故，由最小角定理知，当为与所成线面角时，最小，此时，重合，取得最小值，设，则，又，则，所以，即的最小值为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知一组数据的80百分位数是5，则（）A.该组数据的极差为5B.该组数据的中位数为3.5C.剔除该组数据中的4后，剩下样本数据的平均数变小D.剔除该组数据中的4后，剩下样本数据的方差变小【答案】AB【解析】因为一共有个数据，，所以第80百分位数为第五个数，所以，所以该组数据的极差为，故A正确；该组数据的中位数为，故B正确；因为的平均数为，所以剔除该组数据中的4后，剩下样本数据的平均数不变，故C错误；因为数据的方差为，而剔除该组数据中的4后，数据的方差为，即方差变大，故D错误.10.在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，准线为．过的直线与交于两点，过作的垂线，垂足为与轴交于点，则（）A. B.．C.可能为锐角 D.三点共线【答案】ABD【解析】对于选项A，根据抛物线的定义：抛物线上的点到焦点距离等于到准线的距离，从而有，选项A正确；对于选项B，设准线与轴交于点，由，，所以为的中位线，从而，又，从而，选项B正确；对于选项C，由题意，直线的斜率存在，故可设，，直线，联立：，化简整理得，，从而有，由，，得，则，，，则不可能为锐角，选项C错误；对于选项D，直线的斜率，由，可得直线的斜率，由，得，从而，则三点共线，选项D正确.11.已知函数则下列说法正确的是（）A.若为正数，，则B.若为正数，，则C.若，则函数有唯一零点D.若，则函数的零点个数为奇数【答案】ACD【解析】对于选项A，当，则，,不妨设，则，那么，当，同理可得.故选项A正确；对于选项B，若为正数，，当时，若，则，不一定有.故选项B错误；对于选项C，当，函数的零点即方程的根，也就是函数与图象的交点横坐标.当时，，由单调递增，所以单调递减，，当且仅当时取“”号从而为函数的零点，当时，，由单调递增，单调递减，，当且仅当时取“”号，因此，函数有唯一零点.故选项C正确；对于选项D，当，函数的零点即方程的根，也就是函数与图象的交点横坐标.当时，，由单调递增，所以单调递减，，当且仅当时取“”号从而为函数的零点，当时，，由单调递增，单调递减，，当且仅当时取“”号，若存在，使得，则，那么必存在，满足.从而若在有个零点，则对应的在相应的有个零点，.从而可知若，函数的零点个数为奇数个个，故选项D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知等差数列中，，，求前项和的最小值为____．【答案】-4【解析】解：设等差数列的公差为，，，，解得：．．令，解得．时，前项和取得最小值，为．故答案为：.13.已知函数，写出满足“曲线关于点对称”的的一个值___________．【答案】（答案不唯一，形如皆可）【解析】若曲线关于点对称，则，则恒成立，即或，当时，，不符；当时，；故，则可为等，只需满足即可.14.已知双曲线的右焦点为是右支上一点，关于原点和轴对称的点分别为，则的离心率为______．【答案】【解析】如图，不妨设点在第一象限，双曲线的左焦点为，由，由对称性得，得，所以，即得为等边三角形，连接，由，所以，从而，在中，，，从而，所以，从而.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，内角的对边分别为．已知．（1）求的值；（2）证明：．（1）解：由，得，整理，得.在中，由余弦定理，得.把代入上式，得，因为，所以.在中，由正弦定理，得（2）证明：在中，由余弦定理，得因为，所以.16.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若曲线经过点，且在处的切线为．证明：除切点外，曲线在直线的下方．（1）解：因为的定义域为，的导函数.①当时，，则在上单调递增.②当时，令，得；令，得；所以，在上单调递增，在上单调递减.（2）证明：因为曲线经过点所以，解得．所以．因为，所以的方程为.要证除切点外，曲线在直线的下方，即证：，只需证：.设，则，令，得；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以.所以当时，，所以原命题得证.17.某学校田径队有甲、乙等8名运动员，现将这8人平均分成两组进行集训．每天训练前，两组分别从本组队员中随机选出一人担任组长．（1）求甲、乙两人同在组的概率；（2）求甲在三天内至少担任一次组长的概率；（3）记为连续两天中至少担任一次组长的人数，求的概率分布列和数学期望．解：（1）8名运动员分成两组共有种不同方法．记事件为“甲、乙两人同在组”，则事件共有种不同方法，所以．（2）甲每天担任组长的概率为，记事件为“甲在三天内至少担任一次组长”，则，（3）根据题意可得的可能取值为2，3，4，第一天选组长：组从人中选人有​种，组从人中选人种，总选法为种，第二天选组长：组从人中选人有​种，组从人中选人种，总选法为种，的含义：两天的组长完全相同，即组两天选同一个人，组两天也选同一个人，所以的含义：组两天选同一人，组两天选不同的人或组两天选同一人，组两天选不同的人，所以的含义：两天的组长完全不重复，总人数为4，即组两天选不同的人，组两天也选不同的人，所以所以的分布列为23418.一个椭圆沿着垂直于其所在平面的方向上平行移动形成的空间图形叫作椭圆柱，平移起止位置的两个面叫作椭圆柱的底面．如图，在椭圆柱中，椭圆的长轴长为4，短轴长为是椭圆上关于对称的两点，是椭圆上关于对称的两点，且．（1）证明：平面；（2）若，求直线与底面所成角的正弦值；（3）求四面体的内切球半径的最小值．（1）证明：记椭圆所在平面为，由椭圆柱定义可知，.因为，所以因为平面，所以平面.（2）解：设在下底面射影分别为，则．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的方程为，设，若与坐标轴不垂直，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，得，所以，同理，可得．由得，，解得，所以所以，所以．设直线与底面所成角为，则，所以直线与底面所成角的正弦值为.（3）解：因为四面体的体积，设四面体的内切球半径为，则所以当且仅当，即时，等号成立.若与坐标轴垂直，不妨设为长轴，为短轴，即，此时内切球半径．所以四面体的内切球半径最小值为.19.已知有限等比数列的项数为，公比．将的所有项按照某种顺序排成一列，得到数列，使得时，．（1）若，写出所有满足条件的；（2）是否存在，使得对任意，都成立？并说明理由；（3）从满足条件的所有数列中随机抽取一个，求抽到的为等比数列的概率．解：（1）由，，得为严格递减的正项等比数列，即根据题意，是的全排列，且需满足。的全排列共种，逐一验证：排列：，满足条件；排列：​，满足条件；排列：​，满足条件；排列：​，但，不满足条件；排列：​，不满足条件；排列：​，满足条件；当时，满足条件的有4个，分别为，，，（2）存在，使得对任意都成立．理由如下：当为偶数时，设为，①因为，即，所以①满足条件，为奇数时，为偶数，，所以为偶数时，存在，使得对任意都成立．当为奇数时，设为，②因为，所以②满足条件，同理可验证②中，对任意都成立，即为奇数时，存在，