江西九江六校2025-2026学年高一4月第一次段考数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江西九江六校2025-2026学年高一4月第一次段考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.某扇形花坛的圆心角为弧度，半径为6米，则该花坛的弧长为（）．A.米 B.米 C.米 D.米【答案】A【解析】依题意，该花坛的弧长为米.2.如图，在中，D，E分别是边AB，AC的中点，则（）．A. B.C. D.与方向相反【答案】C【解析】因为分别是边的中点，则，故A，B错误；且与方向相同，所以，故C正确，D错误.3.在平行四边形ABCD中，，，则（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】因为四边形ABCD为平行四边形，则，，所以.4.若是第二象限角，是第四象限角，则构成的集合为（）．A.B.C.D.【答案】C【解析】因为是第二象限角，则，，可得，，y是第四象限角，则，，解得，，所以构成的集合为.5.函数的定义域为（）．A.B.C.D.【答案】C【解析】令，可得，注意到，即，可得，则，可得，整理可得，解得或，，所以函数的定义域为.6.已知函数（其中，），点在的图象上，点为该图象在点左侧第一条渐近线与轴的交点，且，则（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意知，，即，解得，则.又点在的图象上，所以，即，，所以，，又，所以，所以.则.7.已知向量，是将绕起点逆时针旋转角90°后得到的向量，且，则（）．A. B. C.3 D.【答案】D【解析】依题意，，由，得，因此，即，所以.8.已知函数在区间上单调递增，且在区间上存在唯一一条对称轴，则的取值范围是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知：，若，则，因为函数在区间上单调递增，则，解得，若，则，因为函数在区间上存在唯一1条对称轴，则，解得，综上所述：的取值范围是.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法中正确的有（）．A.零向量的方向是任意的 B.单位向量都相等C.相等向量的长度一定相等 D.共线向量一定在同一条直线上【答案】AC【解析】对于选项A：零向量的方向是任意的，故A正确；对于选项B：单位向量的模长均为1，但方向不一定相同，所以单位向量不一定相等，故B错误；对于选项C：相等向量的模长和方向均相同，所以相等向量的长度一定相等，故C正确；对于选项D：共线向量可能在同一条直线上，也可能在平行线上，故D错误.10.下列函数中，是偶函数的有（）．A. B.C. D.【答案】ACD【解析】对于A，函数的定义域为，，A是；对于B，函数的定义域为，，B不是；对于C，函数的定义域为，，C是；对于D，函数的定义域为，且，D是.11.某简谐运动模型为，其中，，，．已知在时，质点位于最高点；在时，质点位于平衡位置（即函数值为B），则（）．A.B.C.在区间内，质点经过平衡位置的次数一定是奇数D.在区间内，质点达到最低点的次数一定是偶数【答案】ACD【解析】对于选项A：因为，即，且，则，即，故A正确；对于选项B：因为，即，且，则，当为奇数时，则，故B错误；对于选项C：若，则，且，因为在内有且仅有一个零点，在有2个零点，则在内有奇数个零点，所以在区间内，质点经过平衡位置的次数一定是奇数，故C正确；对于选项D：因为为偶函数，且在时，质点位于最高点，根据对称性可知在区间内，质点达到最低点的次数一定是偶数，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.求值：______．【答案】【解析】.13.某物流机器人在仓库中执行配送任务，其运动路径如下：从原点出发，先向东移动50米，再向北移动30米，最后沿西偏南45°方向移动米．以正东方向为x轴正方向、正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，则该机器人最终的位置坐标为______．【答案】【解析】由题意可知：从原点出发，先向东移动50米，到达，再向北移动30米，到达，最后沿西偏南45°方向移动米，到达，所以该机器人最终的位置坐标为.14.对于函数，若存在正常数T，使得对任意恒成立，则称为“正弦周期函数”，T为其一个正弦周期．已知是定义在R上的连续正弦周期函数，且最小正弦周期为，，，则______．【答案】0【解析】对于任意角，如果，可得或，因为是定义在上的连续正弦周期函数，且最小正弦周期为，所以，由此可得或，分类讨论，当时，代入，可得，根据题目条件，，可得，因为，所以排除此种可能性；当时，代入，可得，根据题目条件，，可得，因此，代入，可得.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知角的终边经过点，且．（1）求t和的值；（2）求的值．解：（1）因为角的终边经过点，且，则，且，解得，即，所以.（2）由题意可得：.16.已知向量，．（1）若向量与共线，求实数k的值；（2）是否存在实数m，使得，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．解：（1）因为向量，，则，，若向量与共线，则，解得.（2）因为向量，，则，，若，则，整理可得，解得或.17.已知函数，其图象的最高点坐标为，图象与x轴相邻两个交点的距离为．（1）求的解析式；（2）将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的值域．解：（1）由题意可知：的最小正周期，且，由解得，又因为最高点坐标为，则，则，即，且，则，可得，解得，所以.（2）将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到，再向右平移个单位长度，得到，因为，则，可得，即，所以在区间上的值域为.18.九江庐山风景区有一条著名的索道，游客乘坐缆车可从山脚直达山顶．为优化运营效率，景区管理人员根据缆车运行数据，发现缆车距离地面的高度（单位：米）随时间t（单位：分钟，以缆车从山脚出发时为）的变化可近似表示为，．（1）求缆车运行过程中的最大高度和最小高度，并指出达到最大高度和最小高度时对应t的值；（2）为保障游客安全，当缆车高度低于250米时，需开启应急照明系统．（ⅰ）求在缆车一次运行全程中，应急照明系统开启的时间总长；（ⅱ）景区计划对索道进行升级改造，将缆车的最大高度提升至800米，同时保持运行周期不变，且改造后缆车在时位于最低点．若改造后应急照明系统开启的时间总长为10分钟，求新的函数解析式．解：（1）函数，中，，当，即时，；当，即时，，所以缆车运行过程中的最大高度为米，分；最小高度为米，分.（2）（ⅰ）由，得，因为，所以或，解得或，所以在缆车一次运行全程中，应急照明系统开启的时间总长为分.（ⅱ）依题意，改造后的函数解析式为，由缆车的最大高度提升至800米，得，即，由改造后缆车在时位于最低点，得，取，则，由，得，改造后应急照明系统开启的时间总长为10分钟，而函数的周期为20分钟，因此的时间总长为缆车旋转半周的时间，而的时间总长为10，则，解得，所以新的函数解析式.19.在中，点D在边AB上，点E在边AC上，且满足，．设BE与CD交于点P，连接A