2026-2027学年广东省惠州市惠阳区第一中学高中部高三（上）第一次质量检测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年广东省惠州市惠阳区第一中学高中部高三（上）第一次质量检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.样本数据2、3、4、4、7的平均数为(

)A.1.2 B.2.8 C.4 D.72.已知集合M={0,1,2,3}，N={x|2x−x2≥0}，则M∩N=A.{0,1,2,3} B.{0,1,2} C.{0,2,3} D.{0}3.“2x<2y”是“lgx<lgyA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.若函数f(x)=loga(x+2)+2(a>0且a≠1)恒过定点M(m,n)，则函数g(x)=(n+1)x+mA.[0,2] B.[2,8] C.[2,4] D.[2,3]5.已知a>0，b>0，若不等式1a+9b≥5mA.25 B.6 C.4 D.56.函数y=(ex−eA. B.

C. D.7.已知a=30.3，b=log315，A.c<a<b B.c<b<a C.a<b<c D.a<c<b8.已知函数f(x)=x2+6x+5,x≤0,|lnx|−1,x>0,且方程|f(x)|=k有7个不同的实数根，则kA.0 B.1 C.4 D.1或4二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.2026年4月，教育部发布新版本科专业目录，新增太极拳等专业，传统体育教育再度受到关注.某地区2021年至2025年太极拳爱好者人数统计如表：年份20212022202320242025年份代码x12345太极拳爱好者人数y(万人)1.21.41.51.61.8根据表中数据建立y关于x的线性回归方程y=bA.b=0.16

B.当x=5时，残差为0.02万人

C.预测2026年该地区的太极拳爱好者人数约为1.92万人

D.表中数据y的第8010.已知函数f(x)=max+na−x(a>0且a≠1)为偶函数，∀x∈R，aA.−2 B.−1 C.0 D.111.已知a>0且a≠1，b>1，2a<2bA.a>b B.1a>1b2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)=ex,x≥1f(x+1),x<1，则f(ln2)=

13.已知函数f(x)=(2−a)⋅4x,x<1logax+2a,x≥1是R14.已知函数f(x)的定义域为R，f(x)−1为奇函数，f(x+2)为偶函数，则f(1)+f(2)+…+f(16)=

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2ccosB−bcosA=acosB．

(1)求角B的大小；

(2)若a+c=2，求b的最小值．16.(本小题15分)

随着短剧在短视频平台的爆发式增长，为其输送内容创作动能的网络文学用户规模也持续增加，目前中国网络文学用户已超过整体网民数量的一半.为了解不同性别的网民对网络文学的喜欢情况，随机调查了200名网民，得到如下数据．男性网民女性网民合计喜欢网络文学4560105不喜欢网络文学554095合计100100200(1)依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为喜欢网络文学与性别有关联？

(2)某网络文学平台组织网民进行文学挑战，分成甲、乙两组进行挑战，其规则如下：每次挑战时平台给出文学作品主题要求，甲组与乙组各选出一篇本组优秀作品参加挑战，然后由平台组织专家打分确定胜负.根据以往经验，甲组第1次挑战获胜的概率为35，若甲组上一次挑战获胜，则下一次挑战获胜的概率为13；若甲组上一次挑战没有获胜，则下一次挑战获胜的概率为23.已知按此规则进行了3次挑战，每次挑战有且仅有1个组获胜，求甲组获胜次数X的分布列与数学期望．

附：P(0.10.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.82817.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，E，F分别为PB，CD的中点．

(1)证明：EF//平面PAD；

(2)已知PA⊥平面ABCD，AE⊥PC．

①证明：AE⊥PB；

②求直线PC与平面AEF所成角的正弦值．18.(本小题17分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=22，点A(2,2)在椭圆C上．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设椭圆C的右焦点为F，过点G(4,0)作斜率不为0的直线交椭圆C于M，N两点，设直线FM和FN的斜率分别为19.(本小题17分)

已知函数f(x)=(x−3)ex−a(12x2−2x−3)，a∈R．

(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(2)当a≤e2时，若函数f(x)有3个零点，求实数a的取值范围；

(3)当a>11.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】B

4.【答案】B

5.【答案】D

6.【答案】A

7.【答案】D

8.【答案】B

9.【答案】BCD

10.【答案】BCD

11.【答案】BC

12.【答案】2e

13.【答案】[414.【答案】16

15.【答案】解：(1)根据边角转换可得2sinCcosB−sinBcosA=sinAcosB，

则sinAcosB+cosAsinB=2sinCcosB，即sin(A+B)=2sinCcosB，

sin(A+B)=sinC，

0<C<π，则sinC≠0，

得2cosB=1，即cosB=12，

0<B<π，则B=π3；

(2)a+c=2,cosB=12，

则b2=a2+16.【答案】解：(1)零假设H0：喜欢网络文学与性别无关联，

χ2=200(45×40−60×55)2105×95×100×100≈4.511<10.828，

依据小概率值α=0.001的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，

因此不能认为喜欢网络文学与性别有关联；

(2)X表示3次挑战中甲组获胜的次数，所以X的可能取值：0，1，2，3，

P(X=3)=35×13×X0123P22221E(X)=0×24517.【答案】(1)证明：取AB的中点G，连接EG，FG，

因为E，G分别为PB，AB的中点，所以EG/​/PA，

又EG⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，

所以EG/​/平面PAD，

同理可得GF/​/平面PAD，

而EG，GF⊂平面EFG，EG∩GF=G，

所以平面EFG/​/平面PAD，

又EF⊂平面EFG，所以EF/​/平面PAD．

(2)①证明：因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC，

因为底面ABCD为正方形，所以AB⊥BC，

又AB∩PA=A，AB，PA⊂平面PAB，

所以BC⊥平面PAB，

因为AE⊂平面PAB，所以BC⊥AE，

又AE⊥PC，BC∩PC=C，BC，PC⊂平面PBC，

所以AE⊥平面PBC，

因为PB⊂平面PBC，所以AE⊥PB．

②解：由题意知，AB，AD，AP两两互相垂直，

故以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

由①知AE⊥PB，

因为E为PB的中点，所以AB=PA，

不妨设AB=PA=2，

则A(0,0,0)，E(1,0,1)，F(1,2,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，

所以PC=(2,2,−2),AE=(1,0,1),AF=(1,2,0)，

设平面AEF的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅AE=0n⋅AF=0，即x+z=0x+2y=0，

令x=2，则y=−1，z=−2，所以n=(2,−1,−2)，

设直线PC与平面AEF所成角为θ，18.【答案】(1)解：由离心率e=ca=22，得c2=12a2，

所以b2=a2−c2=12a2，即a2=2b2，

将点A(2,2)代入椭圆方程x2a2+y2b2=1，得4a2+2b2=1，

将a2=2b2代入上式，得42b2+2b2=2b2+2b2=4b2=1⟹b2=4，

从而a2=2b2=8，

所以椭圆C的标准方程为x28+y24=1．

(2)(i)证明：由(1)知c=2，所以右焦点F(2,0)，

设过点G(4,0)的直线方程为x=my+4(m≠0)，交椭圆于M(x1,y1)，N(x2,y2)，

19.【答案】解：(1)由题意得：f(0)=(0−3)e0−a(0−0−3)=−3+3a．

f′(x)=ex+(x−3)ex−a(x−2)=(x−2)ex−a(x−2)=(x−2)(ex−a)，

切线斜率为：f′(0)=(0−2)(e0−a)=−2(1−a)=2a−2，

切点(0,3a−3)，斜率k=2a−2，

所以切线方程为y−(3a−3)=(2a−2)(x−0)，

即y=(2a−2)x+3a−3．

(2)由f′(x)=(x−2)(ex−a)，

若a≤0，则ex−a>0，故f′(x)只有一个零点x=2，f(x)至多有2个零点，不合题意，

若a=e2，则f′(x)=(x−2)(ex−e2)≥0函数单调递增，也不可能有3个零点，

因此只需考虑0<a<e2，

此时lna<2，且f′(x)=0⇔x=lna或x=2，

则当x∈(lna,2)时，f′(x)<0，当x∈(−∞,lna)或x∈(2,+∞)时，f′(x)>0，

所以f(x)在(lna,2)上单调递减，在(−∞,lna)，(2,+∞)上单调递