旋转讲义教师版

旋转

单元要点分析

教学内容

1.主要内容：

卤形的旋转&其有关概念：包括旋转、旋转中心、旋转角.图形旋转的有关性质：对

应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后

的图形全等.通过不同形式的旋转，设计图案.中心对称及其有关概念：中心对称、对称

中心、关于中心的对称点；关于中心对称的两个图形.中心对称的性质：对称点所连线段

都经过对称中心，而旦被对称中心所平分；关于中心对称的两个图形是全等图形.中心对

称图形：概念及性质：包括中心对称图形、对称中心.关于原点对称的点的坐标：两个点

关于原点对称时，它们的坐标符号都相反，即点P（X,y）关于原点的对称点为P'（-X,

-y）.课题学习.图案设计.

2.本单元在教材中的地位与作用：

学生通过平移、平面直角坐标系，轴对称、反比例函数、四边形等知识的学习，初步

积累了一定的图形变换数学活动经验.本章在此根底上，让学生进行观察、分析、画图、

简单图案的欣赏与设计等操作性活动形成图形旋转概念.它又对今后继续学习数学，尤其

是儿何，包括圆等内容的学习起着桥梁铺垫之作用.

教学目标

1.知识与技能

了解图形的旋转的有关概念并理解它的根本性质.

了解中心对称的概念并理解它的根本性质.

了解中心对称图形的概念；掌握关于原点对称的两点的关系并应用；再通过几何操作

题的练习，掌握课题学习中图案设计的方法.

基此题型

（一）正三角形类型

在正AABC中，P为AABC内一点，将△ABP绕A点按逆时针方向旋转60。，使得AB与AC

重合。经过这样旋转变化，将图中的PA、PB、PC三条线段集中于图（l-1-b）+

的一个AP，CP中，此时AP'AP也为正三角形。

图(l-1-b)

图（1-1）图（1-2）

例1.如图：(1-1)：设P是等边八ABC内的一点，PA=3,PB=4,PC=5,NAPB的

度数是________.

简解：在^ABC的外例，作/BAP=NCAP,且AP二曲3,连结PB。/

则△BAP以△CAP。易证△APP为正三角形，APBP为

・・・NAPB=NAPP+NPTB=60I+90==15084-

(二)正方形类型

在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将AABP绕B点按顺时针方向旋转90°,使

得BA与BC重合。经过旋转变化，将图(2-1-a)中的PA、PB、PC三条线段集中于图(2-1-b)

中的ACPP'中,此时ABPP'为等腰直角三角形。

=

图(2-1-a)图(2-1-b)d

例2.如图(2-1)：P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的

距离分别为PA=1,PB=2,PC=3o求此正方形ABCD面积。

BAB

图(2-1)图(2-2)〃

简解：，

作AXED使NDAE=/BAP,AE=AP连结EP,则△ADE9AABP〃

同样方法，作ADFC且有^DFC经△BPC。/

易证aEAP为等腰直角三角形，又二心L

/.PE=V2同理,PF二30r

VzED^ZPBA,NFDONPBC，

XVZPBA+ZPBC=90^'

/-ZEDF=NEDA+ZFDC+ZADC=90ss+90^180'“

---点E、D、F在一条直线上。一

二EF=ED+DF=2+2=4,0

在aEPF中，EF=4,EP=72,眸30。

由勾股定理的逆定理，可知Z^EPF为氐公“

S正方海ABCD哆旗3奥土馥3理±5威3即=3+三+三=8〃

(三)等腰直角三角形类型

在等腰直角三角形△ABC中，zC=Rtz力为4人8(2内一点，将AAPC绕C点按逆

时针方向旋转90°,使得AC与BC重合。经过这样旋转变化，在图(3-1-b)中的一个AP'CP

为等腰直角三角形。

图(3-1-a)图(3-1-b)“

例3.如图，在AABC中，zACB=90°,BC=AC,P为AABC内一点，且PA=3,PB=1,

PC=2o求/BPC的度数。

P'

C

2

ABB

分析：由于是\ABC绕顶点4顺时针旋转60°后得到的,

所以，旋转角NC4C'=60。，"B'C'gAABC,

.\AC=AaZCAC=60°,・・・A4UC是等边三角形，

：.AC=AC\XU为BC的中点，

:・BC'=CC',

易得AAZTC、A43c是含30°角的直角三角形，

从而AAU。也是含30。角的直角三角形

/.CB=AAC,AC=ABC,ACD=-BC,故CDDB=1:3

224

点评：本例考查灵活运用旋转前后两个图形是全等的性质、等边三角形的判断和含30。角

的直角三角形的性质的能力，解题的关键是发现\ACC是等边三角形.

二、翻折

翻折：翻折是指把一个图形按某一直线翻折180。后所形成的新的图形的变化。

翻折特征：平面上的两个图形，将其中一个图形沿着一条直线翻折过去，如果它能够与另

一个图形重合，那么说这两个图形关于这条直线对称，这条直线就是对称轴。

解这类题抓住翻折前后两个图形是全等的，弄清翻折后不变的要素。

翻折在三大图形运动中是比拟重要的，考查得较多.另外，从运动变化得图形得特殊

位置探索出一•般的结论或者从中获得解题启示，这种由特殊到一般的思想对我们解决运动

变化问题是极为重要的，值得大家留意。

例2.(2006年江苏省宿迁市)如图，将矩形A3CO沿AE折叠，假设NB4O=3()。，那么

ZAED'等于()

A.30°B.45°

C.60°D.75°

分析：由条件NB4O=30。，易得ND4O=60。，又丁。、。关于AE对称,

:.NE4O=NE4O=30。，

:.NAED二NAED'=60°.

应选C

点评：本例考查灵活运用翻折前后两个图形是全等的性质的能力，解题的关键是发现/

EAD=/EAD',ZAED=ZAEDr

例3.（200件南京市）己知矩形纸片ABCD,AB=2,AD=1,将纸片折惑使顶点

A与边CD上的点E重合，如果折痕FG分别与AD、AB交与点F、G（如图1）,,好=三，

3

求DE的长；v

解：S^MABCD中，AB=2,〃

AD=1,AF=-,ZD=90°.d

3

根据轴对称的性质，得

点评：图形沿某条线折叠，这条线就是对称轴，利用轴对称的性质并借助方程的的知

识就能较快得到计算结果。

由此看出，近几年中考，重点突出，试题贴近考生，贴近初中数学教学，图形运动

的思想（图形的旋转、翻折、平移三大运动）都一一考查到了.因此在平时抓住这三种运动

的特征和根本解题思路来指导我们的复习，将是一种事半功倍的好方法。

平移与旋转实际上是一种全等变换，由于具有可操作性，因而是考查同学们动手能力、

观察能力的好素材，也就成了近几年中考试题中频繁出现的内容。题型多以填空题、计算

题呈现。在解答此类问题时，我们通常将其转换成全等求解。根据变换的特征，找到对应

的全等形，通过线段、角的转换到达求解的目的。

例1：如图，直角梯形ABCD中，AD//BC,AB.BC,AD=2,BC=3,将腰CD以D

为中心，逆时针旋转90°至ED,连结AE、CE,那么4ADE的面积是（）

E,

A1B2C3D不能确定

分析：解题的关键是求AADE的边AD上的高。可先求作直角梯形的高DF,想到将

△CDF绕D逆时针旋转90°至aEDG,由EG二GF,只要CF的长，就可以求出aADE的

面积。

解：过D做DF_LBC于F,过E做EG_L,交AD的延长线于G

VZB=90°,AD//BC

・・・四边形ABFD为矩形

AFC=BC-AD=3-2=1,ZEDC=ZFDC=90°

AZFDC=ZEDG,又丁NDFC=NG=90°,ED=CD

/.△EDG^ACDF,.*.EG=CF=1

△ADE的面积=」AD•EG=—x2xl=l

22

因此，选择A

点评：明确4ADE的这AD上的高的概念不要误写成DE,作梯形高是常见的解题方

法之一。

变式题1：如图，AABC中AB=AC,ZBAC=90°,直角NEPF的顶点P是BC中点，

两边PE,PF分别交AB、AC于点E、F,给出以下五个结论：

(1)AE=CF(2)ZAPE=ZCPF⑶4EPF是等腰直角三角形(4)EF=AP(5)S四

边杉AEPF=S&ABC+2,当NEPF在AABC内绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合)上述结论

中始终正确的序号有

例2D、E为AB的中点，将△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处。假设NB=50°,

帮么NBDF=

FP

分析：通过折纸实验，屡次尝试，得出结论。

解：・・・D、E为AB的中点，

ADE/7BC,ZADE=ZB=50°

由折纸实验得：ZADE=ZFDE

AZBDF=180°-ZADE-ZFDE=180n-2X50°=80°

点评：几何变换没有可套用的模式，关键是同学们要善于多角度、多层次、多侧面地

思考问题，观察问题、分析问题。

变式题2：如图，矩形纸片ABCD,AB=2,ZADB=30°,将它沿对角线BD折叠(使

△ABD和4EBD落在同一平面内)那么A、E两点间的距离为

E(C»

旋转具有以下特征：

(1)图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度;

(2)对应点到旋转中心的距离相等；

(3)对应角、对应线段相等；

(4)图形的形状和大小都不变。

利用旋转的特征，可巧妙解决很多数学问题，如

一.求线段长.

例：如图，长方形ABCD的周长为20,AB=4,点E在BC上，且AE1EF,AE=EF,求

CF的长。

【解析】：

将AABE以点E为旋转中心，顺时针旋转90。，此时点B旋转到点B'处，AE与EF

重合，由旋转特征知：B'E_LBC，

四边形B'ECF为长方形，・・・CE=BF二AB

.CF+CE=BE+CE=BE+EC=BC=6

.\CF=BC-CE=6-4=2

二.求角的大小

例：如图，在等边△ABC中，点E、D分别为AB、BC上的两点，且BE=CD,AD与CE交

于点M,求NAME的大小。

E

BDC

【解析】：

因为BC二AC，ZABC=ZACD=60°,BE=CD,

所以以MBC的中心（等边三角形三条中线的交点）o为旋转

中心，将△ADC顺时针旋转120°就得到了ACEB,

AZAME=180°-ZAMC=180°-120°=60°

三.进行几何推理

例：如图，点F在正方形ABCD的边BC上，AE平分NDAF，请说明DE=AF-B5成立的

理由。

数学思想是解数学题的精髓和重要的指导方法，在平移和旋转中的应用也相当的广泛，

一般可以归结为两种思想一一对称的思想和旋转的思想，具体的分析如下：

1、对称的思想：在平移、旋转、对称这些概念中，对称这一概念非常重要.它包括轴对

称、旋转对称、中心对称.对称是一种种要的思想方法，在解题的应用非常广泛.

例：观察图中所给的图案，它可以看成由哪个较根本的图形经过哪些运动变换产生

的？它是不是轴对称图形？旋转对称图形？中心对称图形？

<Xx>：<xX>

分析：这是一个涉及轴对称平移、旋转的综合性例子。解题思路主要通过直观观察取

得。

这个图案较根本的图形是正方形，一个小正方形沿对角线方向平移一个对角线长、两

个对角线长后得一正方形串，然后在串的轴线上找一点。为旋转中心，旋转三个90。后得

到题目中给出的图案，整个过程如卜.图。

为，•・・，

这个图形是轴对称、旋转对称.中心对称图形。

方法探究：这里的较根本图形也可以看成线段