场论初步课件

機動目錄上頁下頁返回結束場論初步一、場的表示法函數(物理量的分佈)數量場

(數量函數)場向量場(向量函數)如:溫度場,電位場等如:力場,速度場等機動目錄上頁下頁返回結束二、方向導數定義:若函數則稱為函數在點

P處沿方向l

的方向導數.在點處沿方向l

(方向角為)存在下列極限:機動目錄上頁下頁返回結束記作定理:則函數在該點沿任意方向

l

的方向導數存在,證明:由函數且有在點P

可微,得機動目錄上頁下頁返回結束故機動目錄上頁下頁返回結束對於二元函數為,)的方向導數為特別:•當l與x

軸同向•當l與x軸反向向角例1.求函數

在點

P(1,1,1)沿向量3)的方向導數.機動目錄上頁下頁返回結束解:

向量

l

的方向余弦為例2.

求函數在點P(2,3)沿曲線朝x

增大方向的方向導數.解:將已知曲線用參數方程表示為它在點P

的切向量為機動目錄上頁下頁返回結束例3.設是曲面在點P(1,1,1)處指向外側的法向量,解:

方向余弦為而同理得方向的方向導數.在點P處沿求函數機動目錄上頁下頁返回結束三、梯度方向導數公式令向量這說明方向：f

變化率最大的方向模:

f的最大變化率之值方向導數取最大值：機動目錄上頁下頁返回結束1.定義即同樣可定義二元函數稱為函數f(P)在點P

處的梯度記作(gradient),在點處的梯度機動目錄上頁下頁返回結束說明:函數的方向導數為梯度在該方向上的投影.向量2.梯度的幾何意義函數在一點的梯度垂直於該點等值面(或等值線),機動目錄上頁下頁返回結束稱為函數f

的等值線

.則L*上點P處的法向量為同樣,對應函數有等值面(等量面)當各偏導數不同時為零時,其上點P處的法向量為指向函數增大的方向.3.梯度的基本運算公式機動目錄上頁下頁返回結束例4.證:試證機動目錄上頁下頁返回結束處矢徑r的模,備用題

1.函數在點處的梯度解:則注意x,y,z

具有輪換對稱性(92考研)機動目錄上頁下頁返回結束指向B(3,－2,2)方向的方向導數是

.在點A(1,0,1)處沿點A2.函數提示:則(96考研)機動目錄上頁下頁返回結束四、向量場的散度引例.設穩定流動的不可壓縮流體的密度為1,速度場為理意義可知,設

為場中任一有向曲面,單位時間通過曲面

的流量為則由對座標的曲面積分的物由兩類曲面積分的關係,流量還可表示為機動目錄上頁下頁返回結束若

為方向向外的閉曲面,

當>0時,說明流入

的流體品質少於當<0時,說明流入

的流體品質多於流出的,則單位時間通過

的流量為當=0時,說明流入與流出

的流體品質相等.流出的,表明

內有泉;表明

內有洞;根據高斯公式,流量也可表為機動目錄上頁下頁返回結束③方向向外的任一閉曲面

,

記

所圍域為

,設

是包含點

M且為了揭示場內任意點M處的特性,在③式兩邊同除以

的體積V,並令

以任意方式縮小至點M則有此式反應了流速場在點M的特點:其值為正,負或0,分別反映在該點有流體湧出,吸入,或沒有任何變化.機動目錄上頁下頁返回結束定義:設有向量場其中P,Q,R

具有連續一階偏導數,

是場內的一片有向則稱曲面,其單位法向量n,為向量場A

通過有向曲面

的通量(流量).在場中點M(x,y,z)處

稱為向量場A

在點M

的散度.記作divergence機動目錄上頁下頁返回結束表明該點處有正源,表明該點處有負源,表明該點處無源,散度絕對值的大小反映了源的強度.若向量場A

處處有,則稱A

為無源場.例如,

勻速場故它是無源場.P16目錄上頁下頁返回結束說明:由引例可知,散度是通量對體積的變化率,且*例5.置於原點,電量為q

的點電荷產生的場強為解:

計算結果與僅原點有點電荷的事實相符.機動目錄上頁下頁返回結束五、向量場的旋度斯托克斯公式設曲面

的法向量為曲線

的單位切向量為則斯托克斯公式可寫為機動目錄上頁下頁返回結束令,引進一個向量記作向量rotA

稱為向量場A的稱為向量場A定義:沿有向閉曲線

的環流量.或①於是得斯托克斯公式的向量形式:旋度.機動目錄上頁下頁返回結束rotation設某剛體繞定軸l

轉動,M為剛體上任一點,建立坐標系如圖,則角速度為,點M

的線速度為(此即“旋度”一詞的來源)旋度的力學意義:機動目錄上頁下頁返回結束向量場A

產生的旋度場穿過

的通量注意

與

的方向形成右手系!

為向量場A沿

的環流量斯托克斯公式①的物理意義:例6.求電場強度的旋度.解:(除原點外)這說明,在除點電荷所在原點外,整個電場無旋.機動目錄上頁下頁返回結束的外法向量,計算解:

例7.設機動目錄上頁下頁返回結束向量微分算子定義向量微分算子:它又稱為▽(Na