25.2.2 公式法（课件）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

#25.2.2公式法专项练习（人教版\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)约1450字）##一、核心知识点梳理1.**求根公式推导**对于一元二次方程$\boldsymbol{ax^2+bx+c=0(a≠0)}$\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)通过配方法推导出求根公式：$$\boldsymbol{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$$2.**根的判别式**$\boldsymbol{\Delta=b^2-4ac}$（读作德尔塔）-$\boldsymbol{\Delta>0}$：方程有**两个不相等**的实数根；-$\boldsymbol{\Delta=0}$：方程有**两个相等**的实数根；-$\boldsymbol{\Delta<0}$：**无实数根**。3.**公式法解方程步骤**①化一般形式：整理成$ax^2+bx+c=0(a≠0)$；②确定系数：写出$\(a,b,c\)$（**带前面正负号**）；③算判别式：$\Delta=b^2-4ac$；④判断：$\Delta\ge0$代入求根公式；$\Delta<0$直接写无实数根；⑤代入公式计算\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)写出两根。>易错提醒①先化成一般式\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)再找$\(a,b,c\)$；②$b$为负数时\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)$-b$变成正数\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)极易符号出错；③根号下是$\Delta$\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)不要漏写根号；④分母是$2a$\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)不是$2$；⑤只有$\Delta\ge0$\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)才能使用求根公式。##二、基础过关（选择+填空）1.一元二次方程$2x^2-5x-1=0$中\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)$\(a,b,c\)$的值是（）A.$a=2,b=-5,c=-1$B.$\(a=2,b=5,c=1\)$C.$a=-2,b=-5,c=-1$D.$a=2,b=-5,c=1$**答案：A**2.方程$x^2-2x-3=0$的判别式$\Delta$等于（）A.$-8$B.$8$C.$16$D.$-16$**答案：C**3.方程$x^2-4x+4=0$\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)$\Delta=$____\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)根的情况：两个相等实数根。**答案：0**4.方程$x^2-2x+5=0$\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)$\Delta$____0\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)方程无实数根。**答案：<**5.一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$求根公式：________。**答案：$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$**##三、能力提升（解答题\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)写出完整步骤）6.用公式法解方程：$x^2-2x-8=0$**解**$a=1,b=-2,c=-8$$\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4\times1\times(-8)=4+32=36>0$$$x=\dfrac{-(-2)\pm\sqrt{36}}{2\times1}=\dfrac{2\pm6}{2}$$$x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2$$\thereforex_1=4,\x_2=-2$。7.用公式法解方程：$2x^2+5x-3=0$**解**$a=2,b=5,c=-3$$\Delta=5^2-4\times2\times(-3)=25+24=49>0$$$x=\dfrac{-5\pm\sqrt{49}}{2\times2}=\dfrac{-5\pm7}{4}$$$x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3$$\thereforex_1=\dfrac12,\x_2=-3$。8.用公式法解方程：$x^2-4x+4=0$**解**$a=1,b=-4,c=4$$\Delta=(-4)^2-4\times1\times4=16-16=0$$$x=\dfrac{4\pm\sqrt{0}}{2}=2$$$\thereforex_1=x_2=2$。9.易错题判断正误（对√\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)错×）①方程$3x^2-2x=1$直接取$a=3,b=-2,c=1$（×\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)先移项\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)$c=-1$）②求根公式分母是$2$（×\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)分母$2a$）③$\Delta=b^2-4ac<0$\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)方程没有实数根（√）④$x^2-x-2=0$中\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)$-b=-1$（×\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)$-b=1$）##四、中考综合训练10.用公式法解方程：$3x^2-2x-2=0$**解**$a=3,b=-2,c=-2$$\Delta=(-2)^2-4\times3\times(-2)=4+24=28>0$$$x=\dfrac{-(-2)\pm\sqrt{28}}{2\times3}=\dfrac{2\pm2\sqrt7}{6}=\dfrac{1\pm\sqrt7}{3}$$$\thereforex_1=\dfrac{1+\sqrt7}{3},\x_2=\dfrac{1-\sqrt7}{3}$。11.不解方程\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)判断$2x^2-5x+4=0$实数根情况。**解**$a=2,b=-5,c=4$$\Delta=(-5)^2-4\times2\times4=25-32=-7<0$∴方程没有实数根。12.已知关于$x$方程$x^2-2x+m=0$有两个不相等实数根\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)求$m$取值范围。**解**$a=1,b=-2,c=m$方程有两个不等实根\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)$\Delta>0$$\Delta=(-2)^2-4\times1\timesm>0$$4-4m>0$\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)解得$\(m<1\)$。答：$\(m<1\)$。13.解方程：$x(x-2)=3$**解**整理为一般式：$x^2-2x-3=0$$a=1,b=-2,c=-3$$\Delta=(-2)^2-4\times1\times(-3)=4+12=16>0$$$x=\dfrac{2\pm\sqrt{16}}{2}=\dfrac{2\pm4}{2}$$$x_1=3,\x_2=-1$。##五、方法总结公式法万能\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)**任何一元二次方程都能用**\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)优先判别式判断根的情况。做题顺序：整理一般式$\rightarrow$找$\(a,b,c\)$$\rightarrow$算$\Delta$$\rightarrow$代入公式。高频陷阱：1.没化成一般形式\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)直接找$\(a,b,c\)$\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)常数项符号出错；2.$b$带负号时\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)$-b$计算错误；3.判别式算错符号；4.化简根式不彻底；5.分母忘记乘以$a$。判别式是中考高频考点\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)既可以解方程\(x_1=\dfrac{2+6}{2}=4\(x_1=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12，x_2=\dfrac{-5-7}{4}=-3\)x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2\)也可以根据根的情况求参数范围。需要我生成**无答案纯题目版本**打印练习吗？继续写25.2.3因式分解法？人教版（新教材）数学九年级上册25.2.2公式法授课教师：.

班

级：

9年级（

）班.

时

间：.

2026/10/20

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第二十五章一元二次方程123掌握求根公式，能熟练运用公式法解一元二次方程.理解求根公式的推导过程；理解根的判别式与根的情况的内在联系.经历从配方法到求根公式的推导过程，培养学生的逻辑推理能力和抽象概括能力.新课引入思考

上节课我们学习了用配方法解一元二次方程，你还记得配方法完整的解题步骤吗？配方法解方程步骤：二次项系数化为1→移项→配方（两边加一次项系数一半的平方）→开平方→求解.

这就是本节课学习的主题——公式法.用配方法解方程：3x2+8x–3=0.

你能试着用配方法求一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解吗？复习引入

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本课总结

当堂练习任何一个一元二次方程都可以写成一般形式

ax2+bx+c=0(a≠0).能否也用配方法得出它的解呢？方程两边都除以

a，得

解：移项，得配方，得即对于方程①接下来能用直接开平方解吗？复习引入

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当堂练习∵a≠0，∴4a2>0.而

b2−4ac

的符号有以下三种情况：(1)b2−4ac

＞0，这时

＞0，由①得则方程有两个不相等的实数根复习引入

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当堂练习(2)b2

−

4ac=0，(3)b2

−

4ac

＜0，这时

=0，由①可知，方程有两个相等的实数根x1=x2=.这时

＜0，由①可知＜0，而

x取任何实数都不能使＜0，因此方程无实数根.一元二次方程的根的判别式

我们把

b2−4ac叫做一元二次方程

ax2

+

bx

+

c

=

0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ

=

b2−4ac.两个不相等的实数根两个相等的实数根没有实数根两个实数根

Δ

>0

Δ=0

Δ<0

Δ≥0判别式的情况

根的情况复习引入

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当堂练习（1）方程2x2+x−6=0中，a=

，b=

，c=

；b2−4ac=

.（2）方程5x2−4x=12中，a=

，b=

，

c=

；b2−4ac=

.（3）方程4x2−4x+1=0中，a=

，b=

，c=

；b2−4ac=

.−41−6495−4−122364210先把下列一元二次方程化成一般形式，再写出一般形式的a、b、c：复习引入

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当堂练习按要求完成下列表格：方程Δ的值根的情况04有两个相等的实数根没有实数根有两个不相等的实数根复习引入

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当堂练习根据方程根的情况，确定方程中的字母的取值范围不解方程，判断方程根的情况应用判别式证明方程根的情况一元二次方程根的判别式的应用1.返回[石家庄期中]一元二次方程x2－4x＋3＝0的根的判别式的值是(

)A．28B．4

C．25

D．16B返回2.关于x的方程x2＋mx＝3的根的判别式的值是(

)A．m2－12 B．m2＋12C．m2－3 D．m2＋3B返回3.[扬州中考]关于一元二次方程x2－3x＋1＝0的根的情况，下列结论正确的是(

)A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断根的情况A复习引入

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当堂练习一元二次方程x2−5x＋7＝0的根的情况是()A．

没有实数根B．

有两个相等的实数根C．

有两个不相等的实数根D．

有两个实数根解：要判断方程是否有根，首先要判断Δ，因为Δ=(−5)2−4×1×7=−3<0，所以此方程没有实数根.故选A.复习引入

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当堂练习若关于x的一元二次方程x2−4x＋5＝a有实数根，则a的取值范围是()A．

a＜1B．

a＞1C．

a≤1D．

a≥1解：因为关于x的一元二次方程x2−4x＋5＝a有实数根，方程转化为（x−2)2+1=a，要使方程成立，即a−1≥0，解得a≥1，所以a的取值范围为a≥1．复习引入

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当堂练习若关于x的一元二次方程kx2−4x+2=0有两个不相等的实数根，则k

的取值范围为

．

解：因为关于x的一元二次方程kx2−4x+2=0有两个不相等的实数根，所以k≠0且Δ＞0，即(−4)2−4×k×2＞0，解得k＜2且k≠0，所以k的取值范围为k＜2且k≠0．复习引入

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当堂练习分类讨论k=0k≠0原方程变形为

−2x

−1

=

0，有实数根Δ=4

+4k≥0k≥−1若关于

x的方程

kx2−2x−1=0有实数根，则

k的取值范围是()A.k≥

−1B.k≥

−1且

k≠0C.k<1D.k<1且

k≠0复习引入

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当堂练习已知a，b，c为三角形的三边长，且方程b(x2−1)−2ax+c(x2+1)=0有两个相等的实数根.试判断此三角形的形状.解：方程整理得(b+c)x2−2ax−(b−c)=0，因为方程b(x2−1)−2ax+c(x2+1)=0有两个相等的实数根，所以Δ=4a2−4(b+c)·[−(b−c)]=0，即a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理得，此三角形为直角三角形所以此三角形为直角三角形．复习引入

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当堂练习用公式法解下列方程:

(1)5x2−3x−1=0;

解：(1)

∵a=5,b=−3,c=−1

∴Δ=b2−4ac=(−3)2−4×5×(−1)=29>0

方程有两个不相等的实数根.即复习引入

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当堂练习∴Δ=b2−4ac=(2)方程化为故方程无实数根.用公式法解下列方程:

(2)

一元二次方程的求根公式

由上可知，当

Δ≥0

时，方程

ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为

的形式，这个式子叫做一元二次方程

ax2

+

bx

+

c

=

0的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.

用公式法解一元二次方程时，首先要将方程化为一般式，然后当

Δ=b2−4ac≥0

时，才可以用求根公式.注意公式法解方程的步骤010203041.变形：化已知方程为一般形式；

2.确定系数：用

a，b，c

写出各项系数；3.计算：b2

−

4ac

的值；

4.判断：若

Δ

=b2

−

4ac≥0，则利用求根公式求出；

若

b2

−

4ac＜0，则方程没有实数根.公式法解方程的步骤一元二次方程化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式a=？b=？c=？求Δ＝b2−4acΔ≥0？无实数根否套公式求解是复习引入

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当堂练习方程有两个相等的实数根.a=−2,b=−8,c=−8△=b2−4ac=(−8)2−4×(−2)×(−8)=0

(3)方程化为−2x2−8x−8=0用公式法解下列方程:

(3)x2−8x=3x2+8;

复习引入

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当堂练习用公式法解下列方程:

(4)3x−x2=

5x−7.

解：(4)

整理，得

，∵a=1,b=2,c=−7，

∴方程有两个不相等的实数根.即复习引入

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当堂练习m为实数，关于x的方程为

．(1)判断方程根的情况．(1)解：原方程为一元二次方程，可化为

．无论m为何实数，m2都是非负数．即

．∴原方程总有两个实数根．复习引入

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当堂练习(2)解：由(1)，原方程的根

．

或

．若

，则

，．若

，则

，．综上，m的值为2或−1．m为实数，关于x的方程为

．(2)若方程的两根为

，当

时，求m的值．返回4.[上海中考]以下一元二次方程有两个相等实数根的是(

)A．x2－6x＝0 B．x2－9＝0C．x2－6x＋6＝0 D．x2－6x＋9＝0D[教材P17习题T4变式]不解方程，判断下列方程的根的情况：返回5.解：方程整理得3x2－8x－1＝0，则a＝3，b＝－8，c＝－1，∴Δ＝b2－4ac＝(－8)2－4×3×(－1)＝64＋12＝76＞0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)8x＝3x2－1；返回返回(4)5x2＋5x＝4x2－10.解：方程整理得x2＋5x＋10＝0，则a＝1，b＝5，c＝10，∴Δ＝b2－4ac＝52－4×1×10＝－15＜0，∴方程无实数根．返回用公式法解方程x2－2＝－3x时，a，b，c的值依次是(

)A．0，－2，－3 B．1，3，－2C．1，－3，－2 D．1，－2，－3返回6.B返回7.[邢台襄都区期中]若某一元二次方程的根为x＝

，则该一元二次方程可以为(

)A．2x2＋3x＋1＝0B．2x2－3x＋1＝0C．2x2－3x－1＝0D．2x2＋3x－1＝0A返回8.用公式法解方程：2x2＋4x＝x＋2.解：方程化为一般形式，得______________．a＝________，b＝________，c＝________．Δ＝b2－4ac＝________．方程有________________实数根，为x＝

＝________＝________，即x1＝________，x2＝________．2x2＋3x－2＝023－225>0两个不相等的－2返回9.[教材P11例3变式]用公式法解下列方程：(1)x2＋4x－6＝0；解：∵a＝1，b＝4，c＝－6，∴Δ＝b2－4ac＝42－4×1×(－6)＝40＞0，返回(3)2x2＋3＝3x.返回解：方程化为一般形式得2x2－3x＋3＝0，则a＝2，b＝－3，c＝3，∴Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×2×3＝－15＜0，∴方程无实数根．返回10.[内江中考]若关于x的一元二次方程(a－1)x2＋2x＋1＝0有实数根，则实数a的取值范围是(

)A．a≤2 B．a<2