浙江强基联盟2025-2026学年高二下学期4月题库数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江强基联盟2025-2026学年高二下学期4月题库数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由排列数公式可知．2.已知，则的值为（）A.-1 B.0 C.2 D.3【答案】B【解析】已知，根据赋值法，令可得．3.已知随机变量服从正态分布，且，则的值为（）A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8【答案】A【解析】根据正态分布曲线可知图象关于对称，则．4.若随机事件满足，则的值为（）A.0.6 B.0.5 C.0.2 D.0.08【答案】D【解析】根据条件概率公式，可得．5.某班级寒假期间安排4名优秀团员到两个社区参加志愿者活动，社区要求至少2名志愿者，社区要求至少1名志愿者，每位团员都要参加活动，且只能参加一个社区的活动，则不同的分配方案有（）A.40种 B.20种 C.10种 D.6种【答案】C【解析】由题意可得社区2名､社区2名或者社区3名､社区1名，所以不同的分配方案数为10．6.已知数列的前项和为．若，则的值为（）A.1890 B.1980 C.2010 D.2100【答案】A【解析】因为，所以是等差数列，所以，这是一个首项为5，末项为121，项数为30的等差数列的和，所以．7.已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线分别交双曲线左､右两支于两点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，则，在中，，整理得，又，故，则，在中，，化简得，所以.8.已知函数（其中为自然对数的底数，）有2个极值点，则实数的取值可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，所以直线与函数图象有两个交点．因为，所以在递减，在递增，且．函数大致的图象（如下图所示），结合图象可以判断过点与函数图象相切的直线有两条．设切点，切线方程，即．可知是方程的一个解，此时的切线方程为，因此符合题意，故选项错误，选项正确．当时，由，可得在点,处的切线为，与轴交点在点的左边，所以直线与图象没有交点，选项错误；当时，由，可得在点处的切线方程为，与轴交点在点的左边，所以直线与图象没有交点，选项错误．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知随机变量的分布列为-101则下列说法正确的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】选项A：由分布列的性质，得，解得，所以，故A正确；选项B：，故B错误；选项C：，故C正确；选项D：，故D错误．10.如图所示，正方体的棱长为2，点为，的中点，则下列结论正确的是（）A.B.平面C.点到平面的距离为D.平面与底面夹角的余弦值为【答案】ACD【解析】以点为坐标原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则．选项A:，因为，所以，故A正确；选项B:，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，则平面的一个法向量，因为，所以与平面不平行，故B错误；选项C：点到面的距离为，故C正确；选项D：底面的法向量，所以平面与底面所成夹角的余弦值为，故D正确．11.“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详析九章算法》一书中就有出现．在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（）A.第6行从左到右第4个数是20B.第2026行中从左到右第1013个数和第1014个数相等，且是该行中最大的数C.记“杨辉三角”第行的第个数为，则D.210在杨辉三角中出现了6次【答案】ACD【解析】选项A，第6行第4个数为，故A正确；选项B，第2026行共2027项，最大项为只有一项，为第1014个数，故B错误；选项C，，所以，故C正确；选项D，设，由对称性只需考虑的情况．对逐个代入验算，可得当时，成立；当时，，因为，故没有其他组合数等于210，综上210可以表示为共6个，故D正确．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.不等式的一个解是______．（写出一个符合要求的答案即可）【答案】3（答案不唯一）【解析】因为，则使得的可取.13.随着人工智能技术的快速兴起与广泛应用，AI工具已深度融入内容创作领域，极大提升了短视频的制作效率．一位UP主借助AI工具制作短视频，流程分为选题与文案､生成素材､配音配乐､剪辑包装四个步骤，各步骤可选工具如下表：步骤可选AI工具选题与文案ChatGPT､豆包､Kimi､DeepSeek生成素材可灵AI､即梦AI配音配乐剪映､魔音工坊､讯飞配音剪辑包装剪映､Runway､PikaLabs剪映不可单独使用（即若在配音配乐或剪辑包装中使用剪映，则两个阶段必须都使用剪映），每个阶段只能且必须选择1个工具．则不同的搭配方案共有______种．【答案】40【解析】使用剪映：种；不使用剪映：种；共种．故答案为：4014.甲乙两人各有一个牌盒，盒子中有点数为的三张扑克牌．现在两人随机抽取一张扑克牌比较大小，如果甲的点数大，则两张扑克牌都放入甲的牌盒中；如果乙的点数大，则两张扑克牌都放入乙的牌盒中；如果一样大，则各自放回自己的牌盒．每次放回牌盒后都重新洗牌，则2次比较大小后，甲的牌盒中只剩1张扑克牌的概率为______．【答案】【解析】由题意，两次比较都是乙的点数大，甲失去张牌是和，分两类：①若第次甲抽到的是，则乙可以是或，比较后甲盒中只有，，乙盒中为；第次则甲抽到，乙抽到，故概率为；②若第次甲抽到的是，则乙抽到了，比较后甲盒中只有，，乙盒中为；第次则甲抽到，乙可以抽到或，故概率为.所以次比较大小后，甲的牌盒中只剩张扑克牌的概率为．四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15.从这6个数字中选取4个数字组成没有重复的四位数．（1）若组成四位数的4个数字中没有“0”，这样的四位数共有多少个？（2）若四位数是5的倍数，这样的四位数共有多少个？（结果用具体数字作答）解：（1）从这5个数字中选取4个数字，组成没有重复的四位数有个．（2）若个位数字为0，则有（个）；若个位数字为5，则有（个）；所以这样的四位数共有：（个）．16.某商店举办促销活动，顾客消费后可参与抽奖．盒子中有个大小､形状完全相同的小球，其中红球个，白球个．顾客从中一次性抽取个小球，若抽到两个小球中有红球，则获得一份纪念品．（1）求一位顾客获得纪念品的概率；（2）若某家庭个人到店消费，均独立获得抽奖资格并参加抽奖活动，记三人获得纪念品的份数为，求的分布列与数学期望．解：（1）设一位顾客抽到红球的个数为；当时，顾客获得纪念品．，，．（2）由已知可得：，则．所以的分布列为：．17.已知．（1）当时，展开式中第三项的二项式系数是第二项二项式系数的4倍，①求的值；②求展开式中系数最大的项；（2）若时，在上恒成立，求的取值范围．解：（1）①由已知得：，所以，解得：．②通项公式为，设，设最大，令所以化简得，又，所以．所以当时，系数最大项为．（2）若时，，则；设，则恒成立；，当时，恒成立，所以在上单调递增，又时，，所以，要想恒成立，需满足，解得，结合，所以．当时，，，所以在单调递减，在单调递增，故，又，由，故．综上．18.为了践行健康第一的教育理念，学校在课外活动时间安排各种体育运动项目．甲､乙､丙三位同学选择互相传球训练活动，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球传给另外两个人中的任何一人，如此不停传下去，且假定每次传出的球都能被接到．已知甲传给乙的概率为，甲传给丙的概率为；乙传给甲的概率为，乙传给丙的概率为；丙传给甲的概率为，丙传给乙的概率为．记第次是甲､乙､丙传球的概率分别为．（1）求的值；（2）用表示，并求的通项公式；（3）在第5次球从甲传出的条件下，求第3次球从丙传出的概率．解：（1）依题意，；，所以.（2）依题意，当时，，，则，即，而，因此数列是首项为，公比为的等比数列，，所以的通项公式是.（3）设事件：第5次球从甲传出；事件：第3次球从丙传出，则事件表示：第5次球从甲传出且第3次球从丙传出，其路径为：丙→乙→甲，，所以.19.已知直线与抛物线交于两点，过分别作抛物线的两条切线，两条切线交于点；过点作直线的垂线，与椭圆交于两点（点在点上方）．（1）证明：点在一条定直线上；（2）记的面积分