河北唐山市路南区2025-2026学年高一下学期阶段性抽样评估数学试卷（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北唐山市路南区2025-2026学年高一下学期阶段性抽样评估数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1.复数满足，那么复数对应的点坐标为（）A. B. C. D.【答案】D2.设，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】D3.已知圆台上、下底面面积分别是、，其侧面积是，则该圆台的体积是（）A. B. C. D.【答案】A4.已知复数，其中i是虚数单位，则z的虚部为（）A. B.3 C. D.【答案】A5.如图，在梯形ABCD中，，E为线段AB的中点，先将梯形挖去一个以BE为直径的半圆，再将所得平面图形以直线AB为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A6.某校为了加强食堂用餐质量，该校随机调查了名学生，得到这名学生对食堂用餐质量给出的评分数据（评分均在[50，100]内），将所得数据分成五组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，估计学生对食堂用餐质量的评分的第百分位数为（）A.82.5 B.81.5 C.87.5 D.85【答案】D7.记的内角、、的对边分别为、、，且，则是（）A.直角三角形 B.锐角三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形【答案】A8.已知正方形ABCD的边长为3，点E是边BC上的一点，且，点P是边DC上的一点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分.9.在直三棱柱中，，点M是棱上的一点，则下列说法正确的是（）A.AM⊥BCB.四棱锥的体积为2C.直三棱柱外接球的表面积是D.的最小值为5【答案】ACD10.已知向量，，均为单位向量，，则（）A. B.C. D.【答案】ACD11.已知i为虚数单位，则下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若，则C.若，则的虚部为 D.若，则【答案】BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等边的边长为，是边上的高，以为折痕将折起，使，则三棱锥外接球的表面积为______.【答案】52π13.已知向量与的夹角为，则__________.【答案】114.如图，在中，，是上的一点，为上一点，且，若，，则的值为______.【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”某中学高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为五组，其中第二组的频数是第一组频数的2倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：（1）求的值，并估计这次竞赛成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的75和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差.解：（1）由第二组的频数是第一组频数的2倍，可知第二组的频率是第一组频率的2倍，即，则；又，解得；由于成绩在内的频率为，在内的频率为，故中位数位于，设为m，则，解得；（2）由，可得，则剔除其中的75和85两个分数，剩余8个数平均数为；又标准差，故，则，则剩余的8个数的方差为.16.某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过的包裹收费元；重量超过的包裹，除收费元之外，超过的部分，每超出(不足，按计算)需再收元.该公司将最近承揽的件包裹的重量统计如表：包裹重量（单位：）包裹件数公司对近天，每天揽件数量统计如表：包裹件数范围包裹件数（近似处理）天数以上数据已做近似处理，并将频率视为概率.（）计算该公司未来天揽件数在之间的概率；（）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；②公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用.目前前台有工作人员人，每人每天揽件不会超过件，且日工资为元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利?解：（）样本包裹件数在之间的天数为，频率，显然未来天中，包裹件数在之间的概率为（）（）样本中快递费用及包裹件数如下表：包裹重量（单位：）快递费（单位：元）包裹件数故样本中每件快递收取的费用的平均值为（元），故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为元（）根据题意及（）（），揽件数每增加，可使前台工资和公司利润增加（元），将题目中的天数转化为频率，得包裹件数范围包裹件数近似天数频率若不裁员，则每天可揽件的上限为件，公司每日揽件数情况如下：包裹件数近似实际揽件数频率故公司平均每日利润的期望值为（元）；若裁员人，则每天可揽件的上限为件，公司每日揽件数情况如下：包裹件数近似实际揽件数频率故公司平均每日利润的期望值为（元）因，故公司将前台工作人员裁员人对提高公司利润不利.17.如下图,梯形中，，且，沿将梯形折起，使得平面平面．（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积．（1）证明：如下图,记中点为,与交点为,连接,由题设知,，且，即且，知：四边形为平行四边形，有，即.又平面平面，所以平面．（2）解：面面,面面面，面，即平面．三棱锥的体积为．18.如图，已知三棱台的体积为，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且.（1）证明：平面；（2）求点到面的距离；（3）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由.（1）证明：连接，在三棱台中，；，四边形为等腰梯形且，设，则.由余弦定理得：，，；平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，；是以为直角顶点的等腰直角三角形，，，平面，平面.（2）解：由棱台性质知：延长交于一点，，，，；平面，即平面，即为三棱锥中，点到平面的距离，由（1）中所设：，，为等边三角形，，，；，，，设所求点到平面的距离为，即为点到面的距离，，，解得：.即点到平面的距离为.（3）解：平面，平面，平面平面，平面平面取中点，在正中，，平面，又平面，平面平面．作，平面平面，则平面，作，连接，则即在平面上的射影，平面，平面，，，平面，平面，平面，，即二面角的平面角.设，在中，作，，，又平面，平面，，解得：，由（2）知：，，，，，，，，若存在使得二面角的大小为，则，解得：，，存在满足题意的点，.19.已知甲投篮命中的概率为0.6，乙投篮不中的概率为0.3，乙、丙两人都投篮命中的概率为0.35，假设甲、乙、丙三人投篮命中与否是相互独立的.（1）求丙投篮命中的概率；（2）甲、乙、丙各投篮一次，求