河南省南阳市部分校2025-2026学年高二下学期3月阶段检测数学试题（北师大版）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省南阳市部分校2025-2026学年高二下学期3月阶段检测数学试题（北师大版）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.的展开式中的系数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据二项式展开的通项公式，第项为，令的指数，解得，即的系数.2.已知直线是双曲线：的一条渐近线，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意知，所以，即，则.所以，又双曲线离心率，所以.3.数列1，，，，，…的通项公式可以为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】方法一：对于A，设数列1，，，，，…的第项为，则，，，，，故数列的一个通项公式为.方法二：对于A，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，故数列1，，，，，…的通项公式可以为，A正确.对于B，当时，，故B错误，对于C，当时，，故C错误，对于D，当时，，故D错误，4.已知数列的通项公式为，前n项和为，则当取得最小值时，（）A.1 B.2 C.6 D.7【答案】C【解析】令，则，解得，所以，，，当时，，所以当取得最小值时.5.在天文学中，星体的视星等是观测者用肉眼所看到的星体亮度，数值越小亮度越高.已知满月的视星等为，由于大气湍流和仪器误差，单次测量满月的视星等服从正态分布，即，则（）参考数据：若，则，．A.0.2715 B.0.8186 C.0.34135 D.0.97725【答案】B【解析】由，得，则.故选：B6.已知抛物线C：的焦点为F，点在C上，P是C上的动点，为直线l：上一定点，P到l的距离为d，若取得最小值时点P与A重合，则（）A. B. C.12 D.24【答案】B【解析】将代入抛物线C：中，得，故，故,且直线l：为抛物线的准线方程，因此,则,当且仅当三点共线时取到等号，由于取得最小值时点P与A重合，因此三点共线,经过，的直线方程为，即，令，则.7.已知等差数列的前n项和为，且满足，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设等差数列的首项为​，公差为，由，可得：，解得，由，可得：代入得：

，化简得：，解得，所以.8.已知甲盒中有5个白球、5个黑球，乙盒中有1个黑球，所有球除颜色外均相同，每次从甲盒中随机取出2个球放入乙盒中，当两个盒子中黑球个数相等或甲盒中的球全部取出时停止取球.已知第2次取出的球放入乙盒后停止取球，则第1次取出的是2个白球的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】记第2次取出的球放入乙盒后停止取球为事件，第1次取2白球为事件.则，，所以.故第2次取出的球放入乙盒后停止取球，则第1次取出的是2个白球的概率为.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.对于变量X，Y，经过随机抽样获得成对数据（，2，3，…，10），且，利用最小二乘法得到Y关于X的线性回归方程为，且X与Y的相关系数，则下列结论正确的是（）A.r越大，X与Y的线性相关性越强B.若，则C.若，则D.若样本点（，2，3，…，10）都在回归直线上，则【答案】AD【解析】由于可得，则，对于A,r的绝对值越接近1，由于,故的值越大，X与Y的线性相关性越强，故A正确，对于C,当时，，则，故C错误，对于D,若样本点（，2，3，…，10）都在回归直线上，且,则,D正确，对于B,当时，无法确定的值，B错误，10.已知是公差为等差数列，其前项和为，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则的最大值为C.若，，则 D.若，则【答案】ACD【解析】对于A，由，得，因此，A正确；对于B，由，得数列单调递减，若，则，B错误；对于C，由，得，解得，由，得，解得，因此，C正确；对于D，等差数列的前项和是关于的不含常数项的二次函数，由，得，当时，，而满足上式，因此，D正确.11.某城市的智能交通系统使用无人机参与街道交通的巡检，现有7架无人机，有甲、乙、丙、丁4条街道需要巡检，若7架无人机都参与且每架无人机只巡检一条街道，则下列结论正确的是（）A.若无人机完全相同，每条街道至少有一架无人机巡检，则共有35种不同的巡检方案B.若无人机完全相同，允许有的街道不用无人机巡检，则共有120种不同的巡检方案C.若给无人机按1∼7编号，它们排队依次起飞，其中1号、2号两架无人机不相邻，则共有3600种不同的顺序D.若给无人机按1∼7编号，已知甲、乙两街道各至少需要2架无人机，丙、丁两街道各至少需要1架无人机，则共有2100种不同的巡检方案【答案】BCD【解析】对于A，满足条件的巡检方案数相当于将个相同的小球分到四个盒子，每个盒子非空的分法数，由隔板法可得不同的巡检方案有种，A错误；对于B，对于满足条件的任何一种巡检方案，若给每个街道再增加一架无人机则可得将架相同的无人机分到四个街道，每条街道都至少有一架无人机巡检的一种方案，对于将架相同的无人机分到四个街道，每条街道都至少有一架无人机巡检的任意一种方案，若从每个街道所分的无人机中取走一架无人机可得将架相同的无人机分到四个街道，允许有的街道不用无人机巡检的一种方案，故满足条件的巡检方案数等于将架相同的无人机分到四个街道，每条街道都至少有一架无人机巡检的方案数，由隔板法可得不同的巡检方案有种，B正确；对于C，先将编号为架无人机排成一列，共种排法；再将编号为的两架无人机排在前一个排列的两架无人机之间或该排列的最前面或最后面，共种排法；由分步乘法计数原理可得满足条件的总排法数为，C正确；对于D，满足条件的巡检方案可分为四类，第一类，甲架，乙架，丙，丁各架，此类巡检方案数为，第二类，甲架，乙架，丙，丁各架，此类巡检方案数为，第三类，甲架，乙架，丙架，丁架，此类巡检方案数为，第四类，甲架，乙架，丙架，丁架，此类巡检方案数为，由分类加法计数原理可得满足条件的总排法数为，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知为等差数列，，，则______．【答案】【解析】在等差数列中，由，得，解得由，得，解得，公差，所以.13.已知点，，，则点A到直线BC的距离为______．【答案】##【解析】因为点，，，所以，于是有，所以，所以点A到直线BC的距离为.14.已知，点，，我们把满足的点P的轨迹称为双纽线，如图所示，设，则y的最大值为______，的最大值为______【答案】①.②.【解析】设，，则，，则，当时取等，则y的最大值为；，解得，又，所以，即，当时取得，此时点在轴上，则y的最大值为，的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某团队为评估两种治沙方法的植被恢复效果，在某沙漠地区随机选取100个样地进行试验.方法A：传统草方格沙障（50个样地），通过铺设草方格固定流沙；方法B：新型化学黏合剂固沙（50个样地），通过喷洒化学黏合剂增强沙粒粘性.试验结束后，记录植被恢复情况，得到如下列联表：治沙方法植被恢复成功（个）植被恢复失败（个）合计方法A351550方法B44650合计7921100（1）是否有95%的把握认为植被恢复成功与治沙方法有关？（2）若从试验中植被恢复失败的样地中随机抽取2个，求至少有1个使用方法A的概率.附：.0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解：（1）由列联表得：，已知临界值，因为，故有95%的把握认为植被恢复成功与治沙方法有关.（2）失败样地共21个，其中方法15个，方法6个.总抽取数：，全为B方法：，故所求概率为16.某社区推行“绿色生活积分”活动.某家庭每月的积分按等差数列增长.已知第2个月的积分为10分，第5个月的积分为19分.设该家庭第n个月的积分为，前n个月的积分之和为．（1）求和．（2）若连续3个月的积分之和不低于81分，则这3个月中的最后一个月可获评“绿色示范家庭”.求第几个月时该家庭能首次获评，并计算这3个月的总积分．解：（1）设等差数列的首项为，公差为,由题可得：，解得：，所以通项公式：前项和公式：（2）设连续个月为第、、个月（），则这个月的积分之和为：，根据题意：，解得：因为为正整数，所以，即第个月时首次获评，这个月的总积分：17.如图，正方体的棱长为2，点P在棱上．（1）证明：；（2）求的最小值及取最小值时平面与平面夹角的余弦值．（1）证明：连接，因为点P在棱上，所以有平面，又因为平面，所以，因为是正方形，所以，又因为平面，所以平面，而平面，所以；（2）解：建立如下图所示的空间直角坐标系，，，所以当时，有最小值；设平面的法向量为，，所以，令，得，设平面的法向量为，，所以，令，得，所以平面与平面夹角的余弦值为.18.已知椭圆C：经过点，．（1）求C的方程；（2）过点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．（ⅰ）若，求的面积；（ⅱ）若直线AB外的点满足，求实数m的取值范围．解：（1）因为椭圆C：经过点，.将点，代入椭圆方程可得:，解得.所以椭圆C的方程为.（2）（ⅰ）由题意当，直线的表达式为：，联立，化简整理得，解得或，即，，则.（ⅱ）由题，直线的表达式可设为：联立，化简整理得，，得或，设，则有，，则中点，则线段的垂直平分线表达式为：，由点满足，所以，即在线段的垂直平分线上，从而有，即，当时，(当且仅当时取“”)当时，(当且仅当时取“”)所以当时，，当时，又直线的斜率存在，从而，所以的取值范围为.19.为迎接国际数学日，某班级举行数学趣味知识有奖问答活动．每位同学需回答3个题目，回答时从6个A类题目、4个B类题目中选择3个回答，A类题目每个答对得9分，B类题目每个答对得n分，每个题答对与否互不影响．已知小王每个A类题目答对的概率均为，每个B类题目答对的概率均为．（1）若小王从A类题目中随机选择3个回答，记小王答对的题目个数为X，求X的分布列．（2）若小王从所有题目中随机选择3个回答，（ⅰ）记小王选取的A类题目数为