苏科版数学八年级下册 第10章 分式（举一反三单元自测·拔尖卷） 试卷 含答案

第十章分式·拔尖卷【新教材苏科版】考试时间：120分钟满分：120分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！第Ⅰ卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（24-25八年级下·福建泉州·阶段练习）下列分式变形正确的是（）A．1−y3=−y+1C．x−2y−2=x2．（3分）（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知分式x+b2x+a（a，bx的取值−20q分式的值分式无意义0p1A．a=1 B．b=−2 C．p=2 D．q=−33．（3分）（24-25八年级下·安徽·期末）对于非零实数a，b，规定a⊗b=1a−1bA．56 B．32 C．−14．（3分）关于x的分式方程xx−3=1+mx−29−xA．−3或−163 B．−163或−23 C．−3或−165．（3分）（24-25八年级上·山东临沂·期末）《数书九章》是中国南宋时期的重要数学著作，提出了许多新的数学方法和理论．书中记载了这样一道题：“今有甲、乙两船，分别从A，B两地同时出发，相向而行，A，B两地相距120里、甲船顺流而下，乙船逆流而上，已知甲船在静水中的速度是乙船在静水中速度的1.5倍，且水流速度为2里/时．若相遇时乙船行驶了48里，则甲乙两船的速度分别为多少？设乙船在静水中的速度为x里/时，能列出的方程为：（

）A．48x+2=721.5x−2 B．48x−2=6．（3分）（24-25八年级下·重庆·期中）已知A为整式，计算Axy+y2−yA．x2−y2 B．xy+y27．（3分）若x为整数，且4x+8x2−4A．6个 B．5个 C．4个 D．3个8．（3分）（24-25八年级下·重庆万州·期末）给定一列数，我们把这列数中第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，以此类推，第n个数记为an（n为正整数）．已知①a2=x3x−2；②1a正确的有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个9．（3分）若整数a使关于x的分式方程1x−3+x−a3−x=1的解为非负整数，且使关于yA．24 B．12 C．6 D．410．（3分）一玩偶店销售“抱竹熊猫”、“打坐熊猫”两款玩偶，其中“抱竹熊猫”成本每件100元，“打坐熊猫”成本每件120元，“打坐熊猫”的售价是“抱竹熊猫”的43倍，大运会开幕第一天“抱竹熊猫”比“打坐熊猫”多卖3件，且两款玩偶当天销售额都刚好到达1800元．为更好地宣传国宝，第二天店家决定降价出售，但规定降价后的售价不低于成本价的54，“抱竹熊猫”的售价降低了14m%，当天“抱竹熊猫”的销量在第一天基础上增加了54m%；“打坐熊猫”的售价打8.5折，结果“打坐熊猫”的销量在第一天基础上增加了A．40 B．60 C．80 D．100二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（24-25七年级下·安徽合肥·期末）若1e=x−ax+a12．（3分）（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的分式方程a+3−xx−3（1）当a=时，该方程的解等于4；（2）当该方程的解是正数时，则a的取值范围是．13．（3分）（24-25八年级下·四川成都·期末）将分式1x和1x+1分别记为M，N，请按下列步骤操作：第一步，先计算M+N，结果记为M1，再计算M−N，结果记为N1；第二步，先计算M1+N1，结果记为M2，再计算M1−N1，结果记为N2；第三步；先计算M2+14．（3分）（24-25七年级下·浙江宁波·期末）若m满足方程2m2+2m−3=0，则15．（3分）若nm，1m+n，1n都有意义，下列等式①nm=n2m216．（3分）已知xa+yb+zc第Ⅱ卷三．解答题（共8小题，满分72分）17．（6分）（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知分式A=(1)化简此分式；(2)x也为整数，A的值也是整数，求出符合条件的x的值；(3)分式B=1x2−x，当x<−1时，比较分式18．（6分）（24-25七年级下·浙江衢州·期末）小红计算2xx−2+3−x小红计算：2x解：原式=2x−3−x=x−3．小明解方程：2x解：方程两边同乘x−2得2x−(3−x)=x−2化简得x=经检验，x=1(1)在上述两位同学的解答中，有一位同学有错误，这位同学是（填写“小红”或“小明”)；(2)请你写出正确的解答过程．19．（8分）（24-25八年级下·重庆·期中）如图，某货轮往返于长江的A、B两港之间，已知A、B相距2000千米．(1)若水流速度为每小时5千米，这艘货轮从A到B顺水所用的时间是从B到A逆水所用时间的23(2)若港口C到A、B两港的距离相等，货轮在静水中的速度为每小时v千米，AC段河流水速为每小时a千米，BC段因受降水影响，水速变为每小时b千米a<b<v2．设货轮在AC段的逆水航行时间为t1，在BC段的逆水航行时间为t2，请判断20．（8分）已知关于x的分式方程a3x+4(1)当a=2，b=1时，求分式方程的解；(2)当a=1时，求b为何值时分式方程a3x+4(3)若a=2b，且a，b为正整数，当分式方程a3x+4−b−x21．（10分）（24-25七年级下·浙江金华·期末）某科技小组制作了甲、乙两个机器人，请阅读下列性能测试信息，完成相应任务．性能信息1．两个机器人均有基础、标准、全速三种跑步模式；2．标准模式的速度比基础模式的速度快10米/分钟；3．全速模式速度是标准模式速度的两倍．测试信息实验1：测各模式速度．标准模式下300米测试路程所花时间与基础模式200米测试路程所花时间相等．实验2：测五分钟（包括故障时间）所跑路程．信息一：甲、乙同时出发，同向而行．信息二：甲全程在标准模式下完成跑步．信息三：乙先在全速模式下跑步，1分钟后发生故障，用a分钟紧急调试后切换为基础模式继续跑了70米．任务任务一：求基础模式和标准模式的速度；任务二：求实验2中机器人乙故障时长a的值；任务三：求实验2整个过程中第几分钟时，两个机器人之间的距离等于10米．22．（10分）（24-25八年级上·福建福州·期中）【阅读理解】阅读下面的解题过程：已知：xx2+1解：由xx2+1=13知x≠0，∴x4+1x2=（1）第②步x2+1【类比探究】（2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：已知：xx2−3x+1【拓展延伸】（3）已知：aba+b=115，bcb+c23．（12分）（24-25八年级下·江苏无锡·期中）材料1：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法．此法在处理分式或整除问题时颇为有效．例：将分式x2解：设x+2=t，则x=t−2．∴原式＝(t−2)∴x∴分式x2−3x−1x+2就拆分成一个整式x−5材料2：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法最终的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来求解．它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到．如：当a>0，b>0时，∵a∴当ab=ba，即根据以上阅读材料回答下列问题：(1)参照以上资料，试将分式x2(2)已知分式4x2+10x+8(3)当−1<x<1时，求代数式x4+3x24．（12分）（24-25八年级上·福建厦门·期末）某校开展“探索生活中的数学奥秘”的社会综合实践活动，某小组选择“汽车中的数学”作为探究方向．他们去汽车维修部考察，发现师傅会将汽车的前后轮进行对调，师傅告诉他们，大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮的磨损程度略高于后轮．如果前轮报废，换上新轮胎，而后轮继续使用原来的轮胎，那么汽车行驶的安全性和乘坐的舒适性都将大打折扣；如果同时更换前后轮的轮胎，用车成本又会提高．为了解决这个问题，师傅建议行驶一定里程后，前后轮对调，可以使一组轮胎综合使用里程更长．于是他们提出“行驶多少里程后，前后轮胎对调，可以使得一组轮胎同时报废？”的研究课题．(1)若A型号轮胎安装在后轮位置可行驶的里程是安装在前轮位置的43，设该型号的轮胎安装在前轮行驶a①用含有a的式子分别表示该型号轮胎安装在前轮和后轮上每万千米的损耗量；②若一个全新的该型号轮胎安装在前轮行驶3万千米后，与后轮对调，又行驶了4万千米后报废，求a的值；(2)若B型号轮胎安装在前轮行驶x万千米后报废，安装在后轮行驶y万千米后报废，其中x<y，小组成员猜想在行驶x+y4万千米后将前后轮对调，可以使得一组轮胎同时报废，你认为他的说法正确吗？若正确，请证明他的猜想；若不正确，请说明理由，并求出一组该型号新轮胎应行驶多少里程后，前后轮对调可使得前后轮同时报废．（参考公式：

第十章分式·拔尖卷【新教材苏科版】参考答案与试题解析第Ⅰ卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（24-25八年级下·福建泉州·阶段练习）下列分式变形正确的是（）A．1−y3=−y+1C．x−2y−2=x【答案】D【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用分式的基本性质逐项判断即可．【详解】解：A、1−y3B、x+yx−yC、x−2y−2D、x2故选：D．2．（3分）（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知分式x+b2x+a（a，bx的取值−20q分式的值分式无意义0p1A．a=1 B．b=−2 C．p=2 D．q=−3【答案】C【分析】本题考查分式无意义的条件，分式的值为0的条件，分式的性质，一元一次方程，分式方程，掌握知识点是解题的关键．根据表格，逐一计算分析，即可解答．【详解】解：当x=−12×(−1解得a=1．故A正确．原分式为x+b2x+1当x=2时，分式的值为0，则2+b2×2+1解得b=−2．故B正确．原分式为x−22x+1当x=0时，p=0−2故C错误．当x=q时，q−22q+1解得q=−3，经检验，q=−3是原方程的解．故D正确．故选：C ．3．（3分）（24-25八年级下·安徽·期末）对于非零实数a，b，规定a⊗b=1a−1bA．56 B．32 C．−1【答案】A【分析】本题考查的是新定义运算的含义，根据定义的新运算，将2x−1⊗2=1【详解】解：根据题意，运算a⊗b=1代入2x−1⊗2=1得：1移项得：12x−1两边取倒数：2x−1=2解得：2x=2解得：x=5检验：当x=56时，分母因此，x的值为56故选：A4．（3分）关于x的分式方程xx−3=1+mx−29−xA．−3或−163 B．−163或−23 C．−3或−16【答案】C【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握解分式方程是解题的关键．根据分式方程无解的条件求出x的值，即可得到答案．【详解】解：原分式方程可化为：xx−3两边同时乘以(x+3)(x−3)，得：x(x+3)=(x+3)(x−3)−(mx−2)，整理得：(3+m)x=−7，∵分式方程无解，，故①整式方程无解，即3+m=0，∴m=−3；②分式方程有增根，即x=±3，把x=3或x=−3分别代入(3+m)x=−7，解得m=−163或故m的值为−3或−163或故选C．5．（3分）（24-25八年级上·山东临沂·期末）《数书九章》是中国南宋时期的重要数学著作，提出了许多新的数学方法和理论．书中记载了这样一道题：“今有甲、乙两船，分别从A，B两地同时出发，相向而行，A，B两地相距120里、甲船顺流而下，乙船逆流而上，已知甲船在静水中的速度是乙船在静水中速度的1.5倍，且水流速度为2里/时．若相遇时乙船行驶了48里，则甲乙两船的速度分别为多少？设乙船在静水中的速度为x里/时，能列出的方程为：（

）A．48x+2=721.5x−2 B．48x−2=【答案】B【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设乙船在静水中的速度为x里/时，则甲船在静水中的速度为1.5x里/时，根据相遇时乙船行驶了48里，可得乙船的航行时间为48x−2小时，甲船的航行时间为120−481.5x+2小时，即可得出关于【详解】设乙船在静水中的速度为x里/时，则甲船在静水中的速度为1.5x里/时，根据题意得，48即48x−2故选：B．6．（3分）（24-25八年级下·重庆·期中）已知A为整式，计算Axy+y2−yA．x2−y2 B．xy+y2【答案】D【分析】本题考查分式混合运算，分式的基本性质，根据分式的混合运算解答即可．【详解】解：∵A∴A=x−y故选：D．7．（3分）若x为整数，且4x+8x2−4A．6个 B．5个 C．4个 D．3个【答案】B【分析】先化简分式，若4x+8x2−4【详解】原式＝4(x+2)(x−2)(x+2)因为x为整数，分式的值也为整数，且x≠-2，所以分式4x−2X=0、1、3、4、6，所以所有符合条件的x的值有5个．故选：B．【点睛】此题考查分式的化简，分式有意义的条件，根据分式的值为0确定分母的值，由此得出x的值，注意分母中虽约去了（x+2），但是要考虑到x≠-2，避免错误.8．（3分）（24-25八年级下·重庆万州·期末）给定一列数，我们把这列数中第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，以此类推，第n个数记为an（n为正整数）．已知①a2=x3x−2；②1a正确的有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【分析】本题主要考查了分式的混合运算、代数式化简、整数解的存在性问题等知识点，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键．①先根据题意求得a2即可判定①；②设bn=1an，进而得到b1=2−1x、【详解】解：①由递推式an+1=an2−②设bn=1anb2b1③：由b6=2b5−1=217−16x−1=33−32x，故a6=x33x−323x−2=1，解得：x=1；3x−2=−5，解得：x=−1；3x−2=10，解得：x=4；共3个整数解，但题目中结论为“存在4个整数”，故结论③错误．综上，仅结论①正确．答案选B．9．（3分）若整数a使关于x的分式方程1x−3+x−a3−x=1的解为非负整数，且使关于yA．24 B．12 C．6 D．4【答案】B【分析】先解一元一次不等式组，再根据不等式组至多有3个整数解，确定求出a的范围；再解分式方程，根据分式方程有非负整数解，确定a的值即可解答．【详解】解：解不等式y+53≤y解不等式y−3>2y−a得：y∴10≤y<2a−3∵不等式组至多有3个整数解，∴2a−3≤13，∴a≤8．方程1x−31−x+a=x−3，解得：x=∵分式方程有非负整数解，∴x≥0（x为非负整数）且x≠3，∴a+42≥0且∴a≥−4的偶数且a≠2，∴−4≤a≤8且a≠2且a为偶数，∴符合条件的所有整数a的值为：−4，−2，0，4，6，8．∴符合条件的所有整数．a的和是：12．故选：B．【点睛】本题主要考查了解分式方程、一元一次不等式组的整数解等知识点，熟练掌握解一元一次不等式组和解分式方程是解题的关键．10．（3分）一玩偶店销售“抱竹熊猫”、“打坐熊猫”两款玩偶，其中“抱竹熊猫”成本每件100元，“打坐熊猫”成本每件120元，“打坐熊猫”的售价是“抱竹熊猫”的43倍，大运会开幕第一天“抱竹熊猫”比“打坐熊猫”多卖3件，且两款玩偶当天销售额都刚好到达1800元．为更好地宣传国宝，第二天店家决定降价出售，但规定降价后的售价不低于成本价的54，“抱竹熊猫”的售价降低了14m%，当天“抱竹熊猫”的销量在第一天基础上增加了54m%；“打坐熊猫”的售价打8.5折，结果“打坐熊猫”的销量在第一天基础上增加了A．40 B．60 C．80 D．100【答案】A【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，设第一天“抱竹熊猫”的售价为x元，则“打坐熊猫”的售价为43x元，列分式方程先求出“抱竹熊猫”和“打坐熊猫”的售价，再根据第二天两款熊猫玩偶的总利润，列出一元二次方程求出【详解】解：设第一天“抱竹熊猫”的售价为x元，则“打坐熊猫”的售价为43由题意可得，1800x解得x=150，经检验，x=150是原方程的解，符合题意，∴43∴第一天“抱竹熊猫”的售价为150元，则“打坐熊猫”的售价为200元，∴根据第二天总利润为1230元可得，1501−整理得，m2解得m1=40，当m=40时，150×1−14∵135>125，∴m=40符合题意；当m=80，150×1−∵120<125，∴m=80不合题意，舍去；∴m=40，故选：A．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（24-25七年级下·安徽合肥·期末）若1e=x−ax+a【答案】ea+a【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解字母系数的分式方程的方法是解题的关键．注意解分式方程要检验根．先去分母，将分式方程转化成整式方程求解，然后再检验根即可．【详解】解：方程两边同时乘以ex+ax+a=ex−ea解得：x=经检验：x=ea+a∴原分式方程的解为：x=ea+a故答案为：ea+ae−112．（3分）（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的分式方程a+3−xx−3（1）当a=时，该方程的解等于4；（2）当该方程的解是正数时，则a的取值范围是．【答案】0a>−4且a≠−1【分析】本题考查了分式方程的解，解题的关键是掌握分式方程的解法和分式方程有解的条件．（1）将x=4代入分式方程，通过解方程求出a的值．（2）先解分式方程，再根据方程的解是正数且分母不为0，求出a的取值范围．【详解】解：（1）将x=4代入分式方程a+3−xx−3+1解得a=0；（2）方程两边同乘x−3去分母得a+3−x+1=0，解得x=a+4，因为方程的解是正数，所以x=a+4>0，解得a>−4，又因为分母不能为0，即x−3≠0，所以a+4−3≠0，解得a≠−1，综上，a的取值范围是a>−4且a≠−1．故答案为：0；a>−4且a≠−1．13．（3分）（24-25八年级下·四川成都·期末）将分式1x和1x+1分别记为M，N，请按下列步骤操作：第一步，先计算M+N，结果记为M1，再计算M−N，结果记为N1；第二步，先计算M1+N1，结果记为M2，再计算M1−N1，结果记为N2；第三步；先计算M2+【答案】4x【分析】本题主要考查了分式类的规律题．分别求出M1，N1，M2，N2，M3，N3，由此发现规律，当【详解】解：M1=M+N=1∴M2N2∴M3N3∴M4N4……，当n为偶数时，M2k=2∴M12=2∵M12∴26解得：x=1经检验：x=1∴N12故答案为：4x14．（3分）（24-25七年级下·浙江宁波·期末）若m满足方程2m2+2m−3=0，则【答案】2【分析】本题考查一元二次方程的解和分式的化简求值，分析:由已知条件易得2m2=3−2m【详解】解：∵2m∴2m2=3−2m∴2m∴原式=3−2m−=3−2m+===−=−==2．故答案为：2．15．（3分）若nm，1m+n，1n都有意义，下列等式①nm=n2m2【答案】②【分析】根据分式的基本性质逐项进行判断即可．【详解】解：∵nm，1m+n，∴m≠0，m+n≠0，n≠0，当m=n≠0时，①nm=n∴①④可能成立，∴①④不符合题意；根据分式的基本性质可得nm∴③不符合题意；若1m+n=1∴m2关于m的一元二次方程，Δ=−3∴不存在这样的m、n的值使原式成立，∴②一定不成立；故答案为：②．【点睛】本题考查了分式的加减、分式有意义的条件、分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质及加减运算法则是解题关键．16．（3分）已知xa+yb+zc【答案】1【分析】本题考查的是分式的求值，考查对换元法的理解和运用，掌握完全平方公式的应用是解本题的关键．设xa=m，yb=n，zc【详解】解：设xa=m，yb∵xa∴m+n+t=1．∵ax∴1m∴nt+mt+mnmnt∴nt+mt+mn=0．∴x2故答案为：1．第Ⅱ卷三．解答题（共8小题，满分72分）17．（6分）（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知分式A=(1)化简此分式；(2)x也为整数，A的值也是整数，求出符合条件的x的值；(3)分式B=1x2−x，当x<−1时，比较分式【答案】(1)1(2)x=2(3)A<B【分析】本题考查了分式的运算．（1）先计算括号里的，再计算除法即可；（2）根据A的结果求出符合要求的值即可；（3）计算A−B，根据值的正负判断即可．【详解】（1）A====1（2）∵x为整数，A的值也是整数，∴x=2或0（此时分式无意义，舍去）即x=2；（3）A−B=1x−1−∵x<−1∴1∴A<B．18．（6分）（24-25七年级下·浙江衢州·期末）小红计算2xx−2+3−x小红计算：2x解：原式=2x−3−x=x−3．小明解方程：2x解：方程两边同乘x−2得2x−(3−x)=x−2化简得x=经检验，x=1(1)在上述两位同学的解答中，有一位同学有错误，这位同学是（填写“小红”或“小明”)；(2)请你写出正确的解答过程．【答案】(1)小红(2)见解析【分析】本题考查解分式方程，分式的加减，熟练掌握解方程的方法及相关运算法则是解题的关键．（1）根据题干中分式的加减计算过程及解分式方程的步骤进行判断即可；（2）将错误的题目进行正确的计算即可．【详解】（1）由题干中的解题步骤可得小红同学的解答错误，故答案为：小红；（2）解：2x==19．（8分）（24-25八年级下·重庆·期中）如图，某货轮往返于长江的A、B两港之间，已知A、B相距2000千米．(1)若水流速度为每小时5千米，这艘货轮从A到B顺水所用的时间是从B到A逆水所用时间的23(2)若港口C到A、B两港的距离相等，货轮在静水中的速度为每小时v千米，AC段河流水速为每小时a千米，BC段因受降水影响，水速变为每小时b千米a<b<v2．设货轮在AC段的逆水航行时间为t1，在BC段的逆水航行时间为t2，请判断【答案】(1)该货轮在静水中的航行速度为25千米/时．(2)t1【分析】本题考查了分式方程与异分母分式的加减．解题的关键在于正确的列分式方程与分式的比较大小．（1）设轮船在静水中的航行速度为x千米/时，故可知顺流速度为x+5千米/时，逆流速度为x−5千米/时，列分式方程2000x−5（2）由题意知t1【详解】（1）解：设货轮在静水中的航行速度为x，则顺流速度为x+5千米/时，逆流速度为x−5千米/时；故有2000x−5解得x=25，经检验得x=25是原方程的解，∴该货轮在静水中的航行速度为25千米/时．（2）由题意知t1∴t1∴t∵a<b<v∴a−b<0,a+b−v<0，∴t1∴t120．（8分）已知关于x的分式方程a3x+4(1)当a=2，b=1时，求分式方程的解；(2)当a=1时，求b为何值时分式方程a3x+4(3)若a=2b，且a，b为正整数，当分式方程a3x+4−b−x【答案】(1)x=0(2)b=2或b=73时，分式方程(3)满足条件的b可取1或4或5这三个数．【分析】（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可；（2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可；（3）将a=2b代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数确定b的取值．【详解】（1）解：把a=2，b=1代入原分式方程中，得：23x+4方程两边同时乘以3x+4x−2得：2x−2解得：x=0，检验：把x=0代入3x+4x−2∴原分式方程的解为：x=0；（2）解：把a=1代入原分式方程中，得：13x+4方程两边同时乘以3x+4x−2得：x−2−去括号，得：x−2−3bx+3x移项、合并同类项，得：7−3bx=4b−6①当7−3b=0即b=7②当7−3b≠0时，得x=4b−6Ⅰ.x=−4即−43=Ⅱ.x=2时，原分式方程无解，即2=4b−6此时b=2；综上所述，b=2或b=73时，分式方程（3）解：把a=2b代入分式方程a3x+4得：2b3x+4方程两边同时乘以3x+4x−2得：2bx−2整理得6−bx=8b−8解得：x=8b−8∵b为正整数，x为非负整数，∴b−6必为40的因数，−5≤b−6<0，∴b−6=−5或−4或−2或−1，对应地，方程的解x=0或2或12或32，又x=2为分式方程的增根，故应舍去，对应地，b只可以取1或4或5，∴满足条件的b可取1或4或5这三个数．【点睛】本题主要考查分式方程的计算，难度较大，涉及知识点较多．熟练掌握解分式方程的步骤是解决这三道小题的前提条件；其次，分式方程无解的两种情况要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程无解，而是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．总之，解分式方程的步骤要重点掌握．21．（10分）（24-25七年级下·浙江金华·期末）某科技小组制作了甲、乙两个机器人，请阅读下列性能测试信息，完成相应任务．性能信息1．两个机器人均有基础、标准、全速三种跑步模式；2．标准模式的速度比基础模式的速度快10米/分钟；3．全速模式速度是标准模式速度的两倍．测试信息实验1：测各模式速度．标准模式下300米测试路程所花时间与基础模式200米测试路程所花时间相等．实验2：测五分钟（包括故障时间）所跑路程．信息一：甲、乙同时出发，同向而行．信息二：甲全程在标准模式下完成跑步．信息三：乙先在全速模式下跑步，1分钟后发生故障，用a分钟紧急调试后切换为基础模式继续跑了70米．任务任务一：求基础模式和标准模式的速度；任务二：求实验2中机器人乙故障时长a的值；任务三：求实验2整个过程中第几分钟时，两个机器人之间的距离等于10米．【答案】任务一：基础模式的速度为20米/分钟，标准模式的速度为30米/分钟；任务二：0.5；任务三：第13【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意找到等量关系建立方程求解．任务一：设基础模式的速度为x米/分钟，则标准模式的速度为x+10米/分钟，利用时间=路程÷速度，结合标准模式下300米测试路程所花时间与基础模式200米测试路程所花时间相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即基础模式的速度），再将其代入x+10中，即可求出标准模式的速度；任务二：根据乙共用时5分钟，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论；任务三：设甲的运动时间为t分钟，分0<t≤1、1<t≤1.5及1.5<t≤5三种情况考虑，根据两个机器人之间的距离等于10米，可列出关于t的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【详解】解：任务一：设基础模式的速度为x米/分钟，则标准模式的速度为x+10米/分钟，根据题意得：300x+10解得：x=20，经检验，x=20是所列方程的解，且符合题意，∴x+10=20+10=30（米/分钟）．答：基础模式的速度为20米/分钟，标准模式的速度为30米/分钟；任务二：根据题意得：1+a+70解得：a=0.5．答：实验2中机器人乙故障时长a的值为0.5；任务三：设甲的运动时间为t分钟，当0<t≤1时，30×2t−30t=10，解得：t=1当1<t≤1.5时，30×2×1−30t=10，解得：t=5当1.5<t≤5时，30×2×1+20t−1.5即30−10t=10或10t−30=10，解得：t=2或t=4．答：实验2整个过程中第1322．（10分）（24-25八年级上·福建福州·期中）【阅读理解】阅读下面的解题过程：已知：xx2+1解：由xx2+1=13知x≠0，∴x4+1x2=（1）第②步x2+1【类比探究】（2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：已知：xx2−3x+1【拓展延伸】（3）已知：aba+b=115，bcb+c【答案】（1）a2+b2=a+b2−2ab【分析】（1）根据完全平方公式的变形进行解答即可；（2）仿照例题计算即可；（3）由已知可得a+bab=15，b+cbc=17，a+cac=16，即得1a本题考查了分式的求值，倒数的应用，完全平方公式的变形计算，正确理解题意掌握解题思路及分式的性质是解题的关键．【详解】解：（1）第②步x2+1故答案为：a2（2）∵xx∴x2∴x−3+1∴x+1∴x4∴x2（3）∵aba+b=115，∴a+bab=15，b+cbc∴1a+1b=15∴21∴1a∴ab+bc+acabc∴abcab+bc+ac23．（12分）（24-25八年级下·江苏无锡·期中）材料1：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法．此法在处理分式或整除问题时颇为有效．例：将分式x2解：设x+2=t，则x=t−2．∴原式＝(t−2)∴x∴分式x2−3x−1x+2就拆分成一个整式x−5材料2：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法最终的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来求解．它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到．如：当a>0，b>0时，∵a∴当ab=ba，即根据以上阅读材料回答下列问题：(1)参照以上资料，试将分式x2(2)已知分式4x2+10x+8(3)当−1<x<1时，求代数式x4+3x【答案】(1)x+(2)x=−1或0(3)3【分析】（1）设x+1=t，则x=t−1，将它代入x2+x+1x+1（2）设2x+1=a，则x=a−12，将它代入4x2+10x+82x+1，再化简，然后将x=a−1（3）设x2+1=b，则x2=b−1，将它