2026-2027学年贵州省北京师范大学贵阳附属中学高三（上）月考数学试卷（二）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年贵州省北京师范大学贵阳附属中学高三（上）月考数学试卷（二）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合M={x∈Z|0≤x≤5}，P={x∈N|2x<15}，则A.⌀∈M B.M∩P=M C.M∪P=P D.P⊆M2.已知一组数据1，2，x，6，7的平均数为4，则该组数据的第70百分位数为(

)A.4.5 B.5 C.5.5 D.63.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a=2，c=23，cosA=32.且A.3 B.2 C.224.设a，b，c为非零实数，且2a=3bA.a=bc B.a+b=c C.b=a+c2 5.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，BC=2，AAA.2 B.3 C.226.已知定义在R上的函数f(x)满足以下条件：对任意x，y∈R，有f(x+y)=f(x)+f(y)+3，f(1)=4，且当x>0时，f(x)>−3，则不等式f(x2+x)+f(1−2x)>15的解集为A.(−∞,−1)∪(3,+∞) B.(−∞,−1)∪(2,+∞)

C.(−1,3) D.(−1,2)7.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为MA.3 B.6 C.2 8.一个棱长为6的正四面体状封闭玻璃容器(壁厚忽略不计)内装有少量液体.如图，当容器倾斜至某一位置时，液面与过同一顶点的三条棱相交，交点到该顶点的距离分别为2，3，4.若将该容器放在一个水平桌面上，底面贴合桌面，则液面距离桌面的高度大约为(

)

(参考数据：6≈2.45，33≈1.44)A.0.1 B.0.2 C.0.5 D.0.6二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知cos(α+β)=−55,cos2α=−45，其中A.tan2α=34 B.cos(α−β)=2510.已知数列{an}满足：a1A.an=2n+1

B.{an}的前n项和为n2+n

C.设bn=|an−10|，则数列11.已知函数f(x)=2ln|x|−x2+1A.函数f(x)在区间(−∞,0)上单调递减

B.函数f(x)的值域为R

C.不等式f(mx)≥f(x2+1)恒成立，则m∈[−2,2]

D.若f(a)+f(b)=0，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若复数z满足z2=2i(其中i是虚数单位)，则|z+z−|=13.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2且垂直于x轴的直线与C交于点M，连接MF114.在△ABC中，BC=3，AB⋅CB=6，BC=3BM，当cos∠BAM取得最小值时，四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=3sin2x−cos2x．

(1)求函数f(x)的最小正周期、单调递增区间；

(2)求x∈[0,π16.(本小题15分)

某科研团队研发新一代硫化物固态锂电池，测试了5块同批次电池的循环次数x(次)与剩余容量y(单位：Ah)，得到如下数据：x(次)100200300400500y(Ah)9.89.59.28.98.6(1)求y关于x的线性回归方程，预测当循环次数为1000次时电池的剩余容量；并计算样本相关系数r，据此说明线性回归模型拟合x与y关系的合理性．

(2)该团队另有10块同批次电池，其中改性优化电池6块，普通电池4块；改性优化电池中有4块循环寿命超过1000次，普通电池循环寿命均未超过1000次，规定循环寿命超过1000次为达标.现从这10块电池中随机抽取3块进行破坏性安全测试，记抽取的3块中达标的电池数为X，求X的分布列和数学期望．

参考公式：回归直线y​=b​x+a​的斜率和截距的最小二乘估计分别为

17.(本小题15分)

已知A，B两点的坐标分别是(−1,−1)，(1,−1)，直线AC，BC相交于点C，且直线AC的斜率与直线BC的斜率的差是2．

(1)求点C的轨迹Γ的方程；

(2)已知Γ上存在三点P，Q，R，且P，Q关于直线y=12x+m对称．

①求m的取值范围；

②若△PQR为等边三角形，求18.(本小题17分)

如图，在斜三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=2，∠BAC=90°，侧棱AA1=3，∠A1AB=60°，∠A1AC=θ，其中θ为锐角．

(1)当θ=60°时，求证：AA1⊥BC；

(2)定义：过点A1作A1O垂直底面ABC于O，且O在∠BAC内部，记AO与AB、AC所成角分别为α、β，称d=|tanα−tanβtanα+tanβ|为斜三棱柱的投影偏差率．

19.(本小题17分)

已知函数f(x)=(x−a)ex−bx2+a，x∈(0,+∞)，a，b∈R．

(1)当a=1时，若函数f(x)有一个零点，求b的取值范围；

(2)当a=0，b=0且0<λ<1时，令h(x)=f(x)(cosx+λsinxx)，设tn是h(x)从小到大的第n个极值点，证明：数列{h(tn)}是等比数列；

(3)当a=−1且b=01.【答案】D

2.【答案】D

3.【答案】B

4.【答案】D

5.【答案】D

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】B

9.【答案】BC

10.【答案】ACD

11.【答案】BD

12.【答案】2

13.【答案】3.

14.【答案】315.【答案】解：(1)函数f(x)=3sin2x−cos2x=2sin(2x−π6)，

所以f(x)的最小正周期T=2π2=π，

令−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ(k∈Z)，

得−π6+kπ≤x≤kπ+π3(k∈Z)，

即f(x)的单调递增区间为16.【答案】线性回归方程为：y=−0.003x+10.1；当循环次数为1000次时电池的剩余容量为7.1Ah；相关系数r=−1，用线性回归模型拟合二者关系是完全合理的

XX0123P1131E(X)=1.2

17.【答案】x2=−y(x≠±1)

①(−∞,−1118.【答案】证明：因为AA1⋅BC=AA1⋅(AC−AB)

=AA1⋅AC−AA1⋅AB

=|AA1|⋅|AC|cos60°−|AA1|⋅|AB|cos60°

=3×2×12−3×2×12

=0，

所以AA1⊥BC，

即AA1⊥BC

(i)d=0，1010；(ⅱ)证明：d(θ)=|tanα−tanβtanα+tanβ|=|2cosθ−12cosθ2cosθ+119.【答案】(12,+∞)

证明：因为h(x)=ex(cosx+λsinx)，因此h′(x)=ex[(λ+1)cosx−(1−λ)sinx]

=−ex2(λ2+1)sin(x−φ).其中tanφ=1+λ1−λ，

因为0<λ<1，因此sinφ>cosφ>0，根据周期性，可取π4<φ<π2，

令h′(x)=0得sin(x−φ)=0，

由x>0得x−φ=kπ(k∈N)，解得x=φ+kπ(k∈N)，

∀k∈N，当2kπ<x−φ<(2k+1)π时，φ+2kπ<x<φ+(2k+1)π时，h′(x)<0；当(2k+1)π<x−φ<(2k+2)π时，φ+(2k+1)π<x<φ+(2k+2)π时，h′(x)>0，

因此，在正数范围内的区间[φ+(n−1)π,φ+nπ]与(φ+nπ,φ+(n+1)π)，n∈N上，

h′(x)的符号总相反，因此x=φ+nπ，n∈N是f(x)的极值点，

因此tn=φ+(n−1)π(n∈N)，

h(tn)=etn[cos((n−1)π+φ)+λsin((n−1)π+φ)]，

假设h(tn)=0，则tan[(n−1)π+φ]=tanφ=−1λ，

而tanφ=1+λ1−