2026-2027学年天津第二南开中学九年级（上）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年天津第二南开中学九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题1.若方程(m−3)x|m−1|+3x−3=0是关于x的一元二次方程，则m的值为A.−3 B.1 C.−1 D.32.二次函数y=(x−1)2−2的图象上最低点的坐标是A.(−1,−2) B.(1,−2) C.(−1,2) D.(1,2)3.下列关于x的方程中，一定有实数根的是(

)A.x2−x+2=0 B.x2−mx−1=0

C.4.用配方法解一元二次方程x2−8x−3=0，下列配方正确的是(

)A.(x−4)2=19 B.(x−4)2=135.若x1，x2是方程x2−2x−5=0的两个根，则3A.6 B.−6 C.10 D.−106.九年级(1)班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了1640份留言.如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为(

)A.x(x−1)=1640 B.x(x−1)=1640×2

C.x(x+1)=1640×2 D.x(x+1)=16407.将二次函数y=(x+1)2−2的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是A.y=(x−1)2−5 B.y=(x−1)2+18.如果三点P1(1,y1)，P2(3,y2)，P3(4,A.y1>y2>y3 B.9.已知二次函数y=a(x+1)2+a，当−2≤x≤2时，y的最小值为−5，则a的值为A.−5 B.−12 C.−5或−12 10.如图，在边长为3cm的正方形ABCD中，动点P从点A出发沿A→B的方向以1cm/s的速度运动；同时，动点Q从点D出发沿D→C→B的方向以2cm/s的速度运动.当点Q到达点B时，点P，Q同时停止运动.设△APQ的面积为y(cm2)，运动时间为x(s)，下列能大致反映y与x之间函数关系的图象是(

)A. B.

C. D.11.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=−2.下列说法：①abc<0；②c−3a>0；③当x>−1时，y随x的增大而减小；④4a−2b≥at2+bt(t为任意实数A.1个

B.2个

C.3个

D.4个12.赛龙舟是中国端午节的习俗之一.某地计划进行一场划龙舟比赛，图①是比赛途中经过的一座拱桥，图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分.如图所示建立平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度y m与到点O的水平距离xm近似满足函数关系y=−0.01x2+0.6x.据调查，龙舟最高处距离水面2m，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少3m.有下列结论：

①水面宽度OA=60m；

②拱桥的最大高度是9m；

③若每条龙舟赛道宽度为9m，最多可设计龙舟赛道4条．

A.0 B.1 C.2 D.3二、填空题13.若关于x的一元二次方程(x−2)(x−m)=0的一个根是10，则另一个根是

．14.已知抛物线y=2(x+1)2+1，图象的开口向

，顶点坐标为

，当x

时，y随x15.从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h(米)与小球运动时间t(秒)之间的函数关系式是h=12t−6t2，则小球运动到的最大高度为

米．16.在函数y=(x−m)2中，当x>1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是

．17.如图，平行于x轴的直线AC分别交函数y1=x2(x≥0)与y2=×23(x=0)的图象于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1的图象于点D，直线DE//AC，交18.抛物线y=ax2+bx+3经过A(−3,0)，B(−1,0)两点．

(1)则抛物线的解析式

；

(2)如图，设抛物线y=ax2+bx+3的顶点为M，直线y=−2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D.现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上.若平移后抛物线与射线CD(含端点C)只有一个公共点，则它的顶点横坐标h的取值范围是

三、解答题19.解方程(1) x(x−3)=−(2) 220.关于x的一元二次方程x2+(2m−1)x+m2=0有两个不相等的实数根.

(1)求m的取值范围；

(2)若此方程的两根分别为x1、x221.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)的自变量x与函数值yx…−101234…y=a…0−5−8m−8n…(Ⅰ)该二次函数解析式为______，m=______，n=______；

(Ⅱ)请在给出的平面直角坐标系中，画出二次函数y=ax2+bx+c的图象；

(Ⅲ)根据图象直接回答下列问题：

①当x=______时，y有最______值(填“大”或“小”)，该最值是______；

②若该二次函数图象上有两点P1(2,y1)和P2(19,y2)，比较y1和y222.点M(x1,y1)，N(x2,(1) a=

，该二次函数的表达式为

；将该二次函数的表达式化为顶点式是

(2)该二次函数的图象的对称轴为

，顶点坐标为

(3)若0<x1<1，则y1

y2(填“>(4)若y1=y23.用一条长40cm的绳子围成一个矩形．

(Ⅰ)若围成的矩形面积为75cm2，求该矩形的长和宽．

(II)能围成一个面积为101cm2的矩形吗？若能，求出它的长和宽24.面朝大海，春暖花开!榴岛大地正值草莓上市销售的旺季，某商家以每盒20元的价格购进一批盒装草莓，经市场调查发现：在一段时间内，草莓的日销售量y(盒)与每盒售价x(元)满足一次函数关系，其图象如图所示：

(1)求y关于x的函数关系式；

(2)根据市场的定价规则，草莓的售价每盒不得高于49元，当售价定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？

(3)为了增加店铺的人气，商家决定搞促销活动．顾客每购买一盒草莓可以获得a元的现金奖励(a>0)，商家想在日销售量不少于40盒的基础上，使日销售最大利润为1568元，求此时a的值．25.已知抛物线y=ax2+bx+5(a,b为常数，a≠0)与x轴交于点A(−5,0)，B(−1,0)，顶点为D，且过点C(−4,m)．

(1)求抛物线解析式和点C，D的坐标；

(2)点P在该抛物线上(与点B，C不重合)，设点P的横坐标为t.①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；②连接BD，当∠PCB=∠CBD时，求点P的坐标．1.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】A

6.【答案】A

7.【答案】D

8.【答案】D

9.【答案】B

10.【答案】B

11.【答案】D

12.【答案】D

13.【答案】2

14.【答案】上(−1,1)<−1

15.【答案】6

16.【答案】m≤1

17.【答案】3−18.【答案】y=h=4

19.【答案】【小题1】x(x−3)=−x2+6x−9，

x(x−3)+x2−6x+9=0，

x(x−3)+(x−3)2=0，

(x−3)[x+(x−3)]=0，

(x−3)(2x−3)=0，【小题2】2x2+26x+3=0，

∵a=2，b=26，c=3，

20.【答案】解：(1)∵关于x的一元二次方程x2+(2m−1)x+m2=0有两个不相等的实数根，

∴Δ=(2m−1)2−4×1×m2=−4m+1>0，

解得：m<14.

(2)∵x1，x2是一元二次方程x2+(2m−1)x+m2=0的两个实数根，

∴x1+x2=1−2m21.【答案】y=x2−4x−5，−9，−5；

作图见解析；

①x=2，小，−9；②<；③−1、5；④：22.【答案】【小题1】1y=y=【小题2】直线x=2(2,−1)【小题3】>【小题4】∵y1=y2，x2=x1+2，

∴12x1

23.【答案】解：(Ⅰ)设矩形的长为x cm，则宽为(20−x)cm，

∴x(20−x)=75，

∴x2−20x+75=0，

∴x1=5，x2=15，

当x=5时，20−x=20−5=15(cm)，

当x=15时，20−x=20−15=5(cm)，

∴矩形的长为15cm，宽为5cm；

(II)不能围成一个面积为101cm2的矩形，理由如下：

设矩形的长为n cm，则宽为(20−n)cm，

∴n(20−n)=101，

∴n2−20n+101=0，

∵Δ=b2−4ac=(−20)2−4×1×101=−4<0，

∴n2−20n+101=0没有实数根，

∴不能围成一个面积为101cm2的矩形；

又设矩形的长为t cm，则宽为(20−t)cm，设矩形的面积为ycm224.【答案】解：(1)设y关于x的函数关系式为y=kx+b，

把点(25,110)和(35,90)代入解析式得：25k+b=11035k+b=90，

解得：k=−2b=160，

∴y关于x的函数关系式为y=−2x+160；

(2)设草莓的日销售利润为w元，

由题意得：w=(x−20)y=(x−20)(−2x+160)=−2x2+200x−3200=−2(x−50)2+1800，

∵−2<0，x≤49，

∴当x=49时，w有最大值，最大值为1798，

∴当售价定为49元时，日销售利润最大，最大利润1798元；

(3)由题意得：w=(x−20−a)(−2x+160)=−2x2+(2a+200)x−3200−160a，

∴对称轴为直线x=−2a+2002×(−2)=12a+50>50，

∵日销售量不少于40盒，

∴−2x+160≥40，

∴x≤60，

①当12a+50<60时，即a<20时，w有最大值，

最大值为：(12a+50−20−a)[−2(12a+50)+160]=12a225.【答案】解：(1)将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：25a−5b+5=0a−b+5=0，解得a=1b=6，

故抛物线的表达式为：y=x2+6x+5，

则抛物线的对称轴为x=−3，当x=−3时，y=x2+6x+5=−4，即点D(−3,−4)，

当x=−4时，m=y=x2+6x+5=−3，即点C(−4,−3)；

(2)∵点P在该抛物线上，且点P的横坐标为t，则点P坐标为(t,t2+6t+5)，

①如图，过点P作PH⊥x轴于点H，交直线BC于点E，

①如图，设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0)，将B(−1,0)，点C(−4,−3)代入，

得−4k+b=−3−k+b=0，解得k=1b=1，

∴直线BC的解析式为y=x+1，

∵点P的坐标为(t,t2+6t+5)，由题意可知−4<t<−1，

∴点E的坐标为(t,t+1)，

∴EP=(t+1)−(t2+6t+5)=−t2−5t−4，

∴S△PBC=S△EPB+S△EPC=12×3EP=32(−t2−5t−4)=−32(t+52)2+278，

∵−32<0，

∴当t=−52时，△PBC的面积的最大值为278；

②存在．

如图，当点P在直线BC的上方，且∠PCB=∠CBD时，则PC//BD，

由点B、D的坐标得：直线BD的解析式为y=2x+2，

∵PC//BD，

∴设直线PC的