江西南昌市第一中学等校2026－2027学年九年级上学期数学第一次检测试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页江西南昌市第一中学等校2026－2027学年九年级上学期第一次检测数学试卷一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列方程中，是一元二次方程的是(

)A.2x+3y−5=0 B.x2+1x=1 2.一元二次方程x2−2x+1=0根的情况是(

)A.只有一个实数根 B.有两个相等的实数根

C.没有实数根 D.有两个不相等的实数根3.用配方法解方程x2+8x+7=0，则配方正确的是(

)A.x+42=9 B.x+42=23 C.4.关于二次函数y=−13x−42A.开口向上 B.对称轴是直线x=−4

C.有最小值3 D.顶点坐标是4,35.将抛物线y=(x−1)2+2向右平移1个单位，再向上平移5个单位后所得抛物线的解析式为A.y=(x−2)2+7 B.y=(x−1)2+36.二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，有下列结论：①abc>0；②b2−4ac<0；③2a+b=0；④9a+3b+c<0；⑤对任意实数m，不等式aA.①②③ B.①③⑤ C.①④⑤ D.②④⑤二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。7.

一元二次方程x2−4=0的解是

．8.已知x=2是关于x的一元二次方程x2−3x+m=0的一个根，则m=

．9.设x1、x2是关于x的方程x2+4x+m=0的两个根，且x1+x10.已知二次函数的顶点坐标为A1,9，且其图像经过点−1,5，则此二次函数的解析式是

．11.一个三角形的两边长分别为3和7，第三边长是方程x2−8x+15=0的一个根，则这个三角形的周长是

．12.如图，已知抛物线y=−x2−6x−5与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D，与经过点B的直线y=x+1交于点E，点P在抛物线上，▵BPE是以BE为直角边的直角三角形，则点P的坐标为

．

三、计算题：本大题共1小题，共8分。13.解方程：(1)(2)x2x−5四、解答题：本题共10小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。14.(本小题8分)

关于x的方程x2−2x+2m−1=0有两个相等的实数根，求m15.(本小题8分)

已知二次函数y=ax2−5x+c的图象与x轴交于A(1,0)、(1)求二次函数的解析式；(2)当y=10时，求自变量x的值．16.(本小题8分)

某经济开发区今年六月份工业产值是150亿元，八月份工业产值达到了216亿元，(1)求该经济开发区七、八月平均每月工业产值的增长率，(2)若保持(1)中的这个平均增长率不变，预计九月份该经济开发区工业产值能否达到260亿元？请判断并说明理由．17.(本小题8分)

已知二次函数y=−x2+4x+6(1)当x为何值时，y有最值？是多少？(2)当−2≤x≤1时，求函数的最值．18.(本小题8分)

已知关于x的方程x2−k+2(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)如果方程的一个根为x=3，求k的值及方程的另一个根．19.(本小题12分)公安交警部门提醒市民，骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到7月份的销量，该经销商发现进价为30元的品牌头盔4月份到7月份的销售量y(件)与售价x(元)的相关信息如下：售价x(元)35404550销售量y(件)650600550500(1)试用你学过的函数来描述y与x的关系，这个函数是

(填“一次函数”或“二次函数”)，并写出这个函数解析式

；(2)若物价局规定，该头盔最高售价不得超过70元，为使月销售利润达到10000元，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个?(3)设月销售利润为w元，该品牌头盔实际售价定为多少时，月销售利润达到最大值，最大值为多少元．20.(本小题8分)如图，已知二次函数y=−12x2+bx+c

(1)求这个二次函数的解析式；(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．21.(本小题8分)阅读材料：已知实数m、n满足m2−m−1=0、n2−n−1=0，且解：由题知m、n是方程x2−x−1=0的两个不相等的实数根，根据材料得m+n=1，∴n根据上述材料解决下面问题：(1)已知实数m、n满足2m2−2m−1=0、2n2(2)已知实数p、q满足p2=3p+2、2q2=3q+122.(本小题12分)如图，抛物线y=x2+bx+c过点A−1,0，点B5,0

(1)求b，c的值；(2)求直线BC的解析式；(3)点Px0,y00<x0<523.(本小题8分)在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+1经过点2,1

(1)求抛物线的函数表达式，并写出它的顶点坐标．(2)抛物线上有两动点M，N，横坐标分别为m，nm<n，记抛物线在M，N之间的部分(包括M，N两点)为图像G.过图像G的左右两端M，N分别作x轴的垂线，过图像G的最高点和最低点分别作y轴的垂线，四条直线围成的矩形记为矩形R①若m=−2，n=2，则矩形R的面积是

；②若m=−2，矩形R的垂直高度h=9，则矩形R的水平宽度p的取值范围是

；③若矩形R为正方形且边长为3，求点M的坐标．

1.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】A

4.【答案】D

5.【答案】A

6.【答案】B

7.【答案】x=±2

8.【答案】2

9.【答案】−6

10.【答案】y=−x−111.【答案】15

12.【答案】−4,3或0,−5或−5,0

13.【答案】【小题1】解：xxxx−1x−1=±∴x1=【小题2】解：xx−1x−1=0或2x−5=0∴x1=1

14.【答案】解：根据题意得△=(−2)2−4(2m−1)=0，

解得m=1．

此时方程为x2−2x+1=0，即(x−1)15.【答案】【小题1】将A(1,0)，B(4,0)代入解析式得：

a−5+c=016a−20+c=0，

解得：a=1，b=4．

则抛物线解析式为y=【小题2】当y=10时，即x2−5x+4=10，

解得：x1=−1，x2=6，

∴当y=10时，自变量

16.【答案】【小题1】解：设该经济开发区七、八月平均每月工业产值的增长率为x，由题意得，1501+x解得x=0.2=20%或x=−2.2(舍去)，答：该经济开发区七、八月平均每月工业产值的增长率为20%；【小题2】解：预计九月份该经济开发区工业产值不能达到260亿元，理由如下：216×1+20%∵259.2<260，∴预计九月份该经济开发区工业产值不能达到260亿元．

17.【答案】【小题1】解：y=−x∵a<0，∴二次函数开口向下，∴当x=2时，y有最大值，最大值为10．【小题2】解：由(1)可得对称轴为直线x=2当x<2时，y随x的增大而增大，∴由−2≤x≤1知，当x=−2时，y取得最小值，最小值y=−4−8+6=−6，当x=1时，y取得最大值，最大值y=−1+4+6=9．

18.【答案】【小题1】证明：∵x∴Δ=b无论k取何实数，总有(k−2)2≥0∴方程总有两个不相等的实数根．【小题2】解：把x=3代入方程x2有32整理，得2−k=0．解得k=2，此时方程可化为x2解此方程，得x1=1，∴方程的另一根为x=1．

19.【答案】【小题1】一次函数y=−10x+1000【小题2】解：根据题意得x−30−10x+1000整理得x2解得x1=50，∵x∴x=50．∴该品牌头盔的实际售价应定为50元/个．【小题3】解：设月销售利润为w元，则w==−10=−10x−65∵−10<0，且30<65<100，∴当x=65时，w取最大值，最大值为12250元．∴该品牌头盔实际售价定为65元/个时，月销售利润达到最大值，最大值为12250元．

20.【答案】【小题1】解：将点A(2,0)、B(0,−6)代入y=−1−2+2b+c=0解得：b=4故这个二次函数的解析式为：y=−1【小题2】∵二次函数的解析式为：y=−1∴二次函数的对称轴为x=4，∴C(4,0)，B(0,−6)∴OC=4，OB=6，∵点A(2,0)，∴AC=2，故SΔABC

21.【答案】【小题1】解：由题知m、n是方程2x∴

m+n=−−22=1∴m【小题2】解：设t=2q，则q=1将q=12t代入2∴p、t是方程x2∴p+2q=−−31=3∴p

22.【答案】【小题1】解：∵抛物线y=x2+bx+c过点A∴解得b=−4，c=−5．【小题2】解：由(1)得抛物线的解析式为y=x令x=0，则y=−5，∴C0,−5设直线BC的解析式为y=kx+m，把B5,0、C5k+m=0解得k=1，m=−5，∴直线BC的解析式为y=x−5．【小题3】解：设点Px,x2过点P作y轴的垂线，交线段BC于点D，则Dx,x−5∴PD=x−5∵PD为水平线段，点B、C到直线PD的距离之和为yB∴=−5∵−5∴当x=52时，▵PBC的面积最大，最大值为

23.【答案】【小题1】解：将点2,1和4,−7分别代入y=ax得4a+2b+1=1解得a=−1∴抛物线的函数表达式为y=−x∵y=−x∴它的顶点坐标为1,2．【小题2】解：①36；

如图1所示，x=−2时，y=−7，故图像G的最低点为−2,−7，到最高点之间的距离为：2+7=9，所以矩形一边的长为9，另一边的长度：n−m=2−−2所以，矩形R的面积：4×9=36．

②3≤p≤6；

如图2所示，m=−2，矩形R的垂直高度h=9，点M关于x=1对称的点，横坐标的值为4，所以要保证矩形R的垂直高度h=9，则，点N的横坐标不能大于4，同时，点N又要在对称轴x=1的右侧，所以矩形R的水平宽度p的取值最小值为1