文举高一必修一总结复习

知识清单

★经典例题：

集合特点、表示、元素与集合的关系、集合与集合的关系

例一、判断下列集合是否为同一个集合

①人二代》八出：)}--------------不是，一个是点集，一个是数集

②A={xe^|0<x<5},B={xe/?|0<x<5}-----------------------------不是，元素范围不同

@A={y|y=2x+l},B={(x,y)|y=2x4-1)--------------------不是，一个是点集，一个是数集

@A={x\x>5},B={y\y>5}-----------是，元素相同，均是实数，与代表元素无关

例二、用适当的符号填空：

0_7—{〃}；⑷―？—{。，可；⑷―屋—⑷：。一千—{力；

{1,2,3}_C_{1,2,3,4}.0_e_0

例三、若集合A={1,3,X},6={X2,I},且BqA,则工二【0或士G】

解：依题3=则/=%,或12=3,解出X=o』,±6；

由于元素具有互异性，故舍去1。

例四、已知集合4=何1"＜4"={小＜力，若与8,则实数。的取值集合为

【{4。刊】

解：步骤：①在数轴上画出已知集合；

②由不＜。确定，应往左画（若为x＞。，则往右画），进而开始实验；

③得到初步试验结果：

④代入验证端点。

试验得到：。＞4,当0=4时，由于A集合也不含有4,故满足A]8。

综上所述，何424}。

例五、满足{1}口加制1，2,3}的集合用为[{1},{1,2},{1,3}]

解：因为=因此M中必须含有1这个元素。又知道知口1，2,3}

故得到{1},{1,2},{1,3}。（{1,2,3}不满足真子集的要求）

四、集合的运算

1、交集；-•般地，对于两个给定集合A5，由属于A又属于区的所有元素构成的集合,

叫做AB的交集。

核心词汇：公共的，同时成立。

记作：An8

读作“A交8”

A={1,2,3,4,5},B={3,4,5,6,8},AB={3,4,5}

在画数轴时，要注意层次感和端点的虚实!

2、交集的性质；

AC\B=BDAAC\A=AAC\0=0C\^=0

如果AqB,则an3=A。Aq5=A=0财w0

3、并集：一般地，对于两个给定集合A8,由两个集合的所有元素构成的集合，叫做AB的

并集。核心词汇：合起来，可以是，也可以是。

记作：A\JB

读作“A并B”

只要是线下面的部分都要!

4、并集的性质：

A[JB=B\JAA{JA=AA\J0=0\JA=A如果AqB,则

5、补集：如果给定的集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合,

叫做A在U中的补集。

核心词汇:非。

记作“电A”

读作：“A在U中的补集”

——

6、补集的性质：

4UA=UA0电A=0飘uA）=A

★经典例题：

例一、已知集合"={0,2,4,5,7},N={1,4,6,8,9},P={4,7,9},

则（“nN）u（Mnp）等于【{L4,7}】

解：McN={l,4},McP={4,7},故。（MDN）U（MnP）={l,4,7}

例二、设集合”={根cZ|-3<〃?<2},N={〃£Z|-1W3},

则MnN=[{-1,0,1}]

解：首先观察，两个集合均为数集，代表元素的不同不影响集合本身。其次范围均为整数,

故”={—2,—l,0,l},N={—1,0,1,2,3},因此取交集后，得到的结果应为{—1,0,1}。

例三、A={x|-1<x<3},若Ar）5=0,

B={x\x>a\t

则实数4的取值范围是la>3}

解：步骤：①在数轴上画出已知集合；

②由确定，应往左画（若为x>。，则往右画），进而开始实验；

③得到初步试验结果；

④验证端点。

-13

试验得到的结果为〃>3,验证端点，当。=3时，由于A集合不含有3,满足交集为0。

综上所述，Q的取值范围是。之3。

例四、求满足初三{4,%，®4},且MD{q，%%}={《，?}的集合加。

【{4%}或{《，出必}]

解：由于出，4}={4,%},则可以推得M中必有4,“2,没有〃3。

又有“={%%，6，4},则用={4，g}或加={4，％，。4}

例五、集合4={0,2,*3={1,/},若41^={0,1,2,4,16},则。的值为[4]

a2=16

解：・・・A={0,2,a},3={lM2},AU5={0,124,16}・・.]〃=4；・。=4

例六、设集合u={（x，2=i}，A="y）l—则G/A=_____[{（o,-i）}]

人

解：A={（x,y）]—=1}表示平面上满足直线『=1的无数点，其中I。

又u={（x，y）|y=xT}表示平面上满足直线y=xT上的全部点，故补集为

{（°，-1）}，这组有序数对。

例七、已知集合A={#2+〃工-2=()},8={#2-x+q=o},且Au3={-2,0,l},

求实数。，9的值。［4=0,〃=1】

解：观察A集合，可知。任A,又有ADB={-2,0,1},则0,8。

将0代入/一工+4=0,得到9=°,反解%2—％=0,得到工=0或上

由于Au4H—2,0,1},B={0,l},则—2eA。

将一2代入f+/沈一2=(),解得〃=1。

例八、已知集合人={-2}，8=卜52+以+/-12=°},若AC3=3,求实数。的取值范

围。【〃24或〃＜T】

解：①当右=。时，方程』+0¥+〃-12=0无解，八＜。，解得。＞4或。＜Y；

②当笈。0时，方程9+公+/一］2=0有一个解，△=(),同时将一2代入

x~+cix+ci~-12=0,解得4=4；

综上所述。的取值范围为。之4或av—4。

A=卜/+4x=。｝,8=x2+2（4+1）X+C『-1=O|

若803=3求加勺值答案（a<-ma=l）

注意：1、互异性检验2、数形结合法临界问题处理3空集优先性4三个等价：

如果A=则AC|5=A0A=3=A=0或A，0如果A=则4U3=3

期末复习函数知识点归纳

一、函数的概念与表示

构成函数概念的三要素①定义域②对应法则③值域

函数概念注意①任一唯一：一对一或多对一；②非空数集A、B：x的范围不是空集，

是空集不叫函数③对应关系：运算模式

例1、下列各对函数中，相同的是（C）

)X+]

A、/(x)=1gX,g(x)=21gxB、/⑶=/--^U)=lg(x+l)-lg(x-l)

x—\

c、*")=后^'g")=D、f(x)=x,fM=7?

例2、M={%|0<]<2},"={))|。<丁<3}给出下列四个图形，其中能表示从集

2

例3

⑴1=加与函数丁=/（1）有（）个交点0或1

⑵1二1与函数丁=/（4）有（）个交点0或1

⑶x=l与函数）=/（幻^£［一1,3］有（）个交点1

（4）x=l与函数、=/（工）爪引1.5,3］有（）个交点0

⑸/（x）=J1-x+Jx-2是函数吗.不是

例4对于函数y=/（x）,下列命题正确的个数是（）

⑴y是#1勺函数（2）对于不同的册值，M直不同

（3）/（〃）表示当工=对函数f（x）的值是一个常量

（4）/（%）一定可以用一个具体式子表示

例5下列各式函数的个数为()

(1)y=x-(x-3)(2)y=Jx-2+Jl-x

小fx+l(x>0)..[0(x为有理数)

[x-l(x<0)[1(尤为无理数)

二、函数的解析式与定义域

1、求具体函数定义域的主要依据：

(|)分式的分母不为零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；

(3)对数函数的真数必须大于零；

(4)指数函数和对数函数的底数必须大于皆且不等于1；

(5)整式函数的定义域R,奇次方根被开方数R,指数函数:指数不受限时

定义域R

（6）多个部分求交集

（7）分段函数求并集

2求抽象函数的依据：（1）定义域为单个“x"（2）位置相同范围相同

例.（05江苏卷）函数y=Jlog（）.5（4x2—3%）的定义域为

----------44

例3：

「511

（1）已知f（x）的定义域是[-2,5],求f（2x+3）的定义域」一万』1

（2）已知f（2x-l）的定义域是[-1,3],求f（x）的定义域。[-3,5]

变式练习：/(2—x)=J」P,求/(«)的定义域为[0J6]

答案：/(2—幻="7正定义域[—2,2],定义域[0,4]

/'(6)的定义域为10，16〕

函数解析式的六种求法

1待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

例1设/(X)是一次函数，且/"(x)]=4x+3,求/⑴

解：设/(幻=6+。("0),则

f[f(x)]=af(x)+h=a{ax+b)+b=a2x+ah+b

f2=4a=2ci——2

a或

•-[ab+/?=3-X.b=1、b=3

-e•/(x)=2x+1或y(x)=-2x+3

2配凑法：已知复合函数/幅（切的表达式，求/（X）的解析式，/3⑴]

的表达式容易配成g。）的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求

函数，幻的定义域不是原复合函数的定义域，而是g。）的值域。

例2已知『（"。=,卡；（x>0）,求/（幻的解析式

解.v/（x+-）=（x+-）2-2x^->2

忻・XX'X

f(x)=X2~2(A>2)

3、换元法：已知复合函数/国(幻］的表达式时，还可以用换元法求.

的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。

例3已知/(4+D=X+24,求/(%+1)

解：令，=77+1,贝旷之1,X=(—1)2

..f(VJC+1)=X+

,/(—)2+2(I)"T

/(x)=x2-1(x>1)

f(x+l)=(x+l)2-l=x2+2x(x>0)

4、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量

进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。

形如硝＞)+〃矿0)=式子期中〃+口=。，〃以=±1,或已知奇偶函数间的关

系用方程组法

例5设八外满足外幻-2/(1)=X，求/(X)

解v/(x)-2/(l)=x①

显然-0,将*换成;，得：

✓V

/(l)-2/(x)=-②

XX

解①②联立的方程组，得：

例6设/（X）为偶函数，8。）为奇函数，又“x）+g（x）=,，试求

/*）和g。）的解析式

解为偶函数，煎才）为奇函数，

・•・/（一幻=/（x）,g（—x）=-g（x）

又/⑶+g（x）=Fl①，

用一X替换元得：/（r）+g（-x）二一击

即/（x）-g（x）=—-J②

解①②联立的方程组，得

1Y

/(X)=1—7,g(x)=/7

X-1*X

5、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往

可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，

从而求得解析式。

例7已知：/(0)=1,对于任意实数x、y,等式

-y)=/(%)-y(2x—y+D恒成立,求/(%)

解对于任意实数x、y,等式/(x-y)=/(幻-y(2x-y+i)恒成立,

不妨令x=0,则有

f(-y)=/(O)-y(-y+1)=1+y(y-1)=V-y+1

再令y=-x得函数解析式为：/u）=x2+x+i

6、求谁设谁：已知设为偶函数且/（x）=F+x+l（x>0）

求/（X）在x<0的解析式，答案：/（x）=J-x+l（x<0）

三、函数的值域与最值

I求函数值域或最值的方法

（1）图象法

①直接画图法：适用于基本初等函数

②换元画图法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式;

③利用对勾函数画图：正比例与反比例函数相加且系数同号

④分离常数平移画图：适合分子分母皆为一次式（X为范围限制时要画图）;二次式的分式

也可。

⑤零点去绝对值画图；含两个绝对值相加减的函数

⑥折勾函数画图：形如)，=4依+M的函数

(2)单调性法：利用函数的单调性求值域：说明单调性代两端

1.(直接法)y=x2+2x+3答案12,48)

答案x£[-4,6],3+2二+24£[0,25],J*+2x+24£[0,5]

2.f(x)=2-24+2x-x力-2+2-+24e[-5,0],f(x)=2-J-F+2x+24遇[-3,2]

3.(换元法)y=-x+V2x-l(-oo,()]

x2-12

4=――J/案令才=幺，y=--------4-l(^>0),yG[-l,l)

x4-1口条qr+l

X

5.（分离常数法）①>=7+T（­，1）ua,+8）

5

y=^j-+|,(-2<x<4),ye[^+a))U[^.,|)

XH——

2

8

6.(对号函数))'=2X+；(XN4)1IO,+8)

人

7.(单调性)y=x-A(xe[-l,3])另]8.①:G，冷+功

②y=+1-Vx—1

答案y=Jx+1-Vx-l=[2/,Jx+1+£[5/2,+00)/.yG(0,也]

9.（零点去绝对值）y=|x+2|+|x—l][3,4-00）

10（折勾函数）＞,=2|x-3|,xe[0,5]答案：ye[0,61

四.函数的奇偶性

1.定义：设y=f（x）,x《A,如果对于任意XwA,都有了（—%）=/（"）,则称y=f（x）为

偶函数。

如果对于任意％©A,都有f（一%）=一/（*）,则称y=f（x）

为奇函数。

加奇减偶，等偶反奇，奇函数“挤”出来偶函数“O”了

2.性质：

①y二f（x）是偶函数=y=f（x）的图象关于y轴对称，y=f（K）是奇函数=y=f（x）的图象关

于原点对称，

②若函数f(x)的定义域大于原点对称，则f(0)=0

③雒奇:奇偶土偶二偶奇x奇二偶偶x偶二偶奇x偶二奇［两函数的定义域Di,D2,D,n

D2要关于原点对称］

©f(x)=O既奇又偶f(x)=m(m不为0)偶函数

⑤奇函数对称的区间上单调性一致，偶函数对称的区间上单调性相反

3.奇偶性的判断(求定一简一求f(・x)一看f(x)与f(・x)的关系-一结论，最多5步)

①看定义域是否关于原点对称②看f(x)与f(-x)的关系

•方法：(常用定义法；图象法)；及(不常用初等函数法；结论法)

1奇偶求式已知函数〃处是定义在(-8,+8)上的偶函数当X£(—8,0)时，

4

/(工)二工一尤4,则当/£((),十8)时，f(x)=/(X)=-%-X

2奇偶求值若奇函数/。)5£穴)满足/(2)=1,/(x+2)=/(x)+/(2),则

/⑸=二

2

-2'+"

3奇偶与不等式、单调性、参数已知定义域为/?的函数2田+4是奇函数。

/(0)=0"(-1)=-/⑴得&=2,b=l

(I)求的值；(II)若对任意的，ER,不等式/(/-2/)+/(2/一攵)<0恒成立，

求2的取值范围

答案/为减函数且为奇函数

f(t~-2z)<—f(2z**—k),f(r—2f)<f(k-2」),『一2l>k—2户,k<3产—2z,k<—

4奇偶求值

已知f(x)为奇函数，是g(x)偶函数且f(-l)+g(l)=2

f(l)+g(-1)=4则g(l)等于()3

5判断奇偶

已知2是()函数(填奇、偶)答案：奇

选择或填空・・・fd)二与一二茎，"1)二27==壬=一六,)函数为奇函数

2R「fU2

解答：定义域⑺二哥”二7工，(“)二=7±2==7^二-出)

\H后717?

函数为奇函数

6奇偶求参

已知小):容是定义在上的奇函数且f94,⑴求的解析式

(2)证明函数在(-1,1)上为增函数(3)解不等式rQ-l)+/(，)<0

/-1>-!

z-l<l

答案。)a=l,b=0(2)略(3乂z>-l，£(0,g)

z<l

/-1<-/

五、函数的单调性

1、函数单调性的定义:

如果对于某同一个区间上的任意两个自变量的值、当时都有

XiX2,xl<x2f(xl)

Vf(x2).那么就说f(x)在这个区间上是增函数。如果对于某个区间上的任意两个自变量

的值xl、x2,当xlVx2时都有f(xl)>f(x2).那么就是fix)在这个区间上是减函数。

同增异减(不等号方向)

/(x,)-/(x2)

函数的单调性通常也可以以下列形式表达(等价形式)：当一—＞口的时候，函

/(*)-/(工2)

数单调递增当；-F一的时候，函数单调递减

人］人2

2复合函数：同增异减(单调性)

设y=/［g(x)］是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则丁=/［g(x)］在

M上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则＞，=/做刈在M上是增函数。

注意：

(1)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

(2)必须是对于区间D内的任意两个自变量xLx2；当xlvx2时，总有f(xl)vf(x2)

xl,x2在同一区间，不同区间无法判断f(xl)与f(x2)大小，也不能判断单调性.

(3)函数的单调性同向增异向减，复合函数的单调性相同增相异减

(4)多个函数单调区间不可用“并”用逗号隔开

(5)单个的点、常数函数不具有单调性，有意义的可用开区间也可用闭区间，无意义的

只能用开区间

(6)作差变形时化成最简，常可以直接利用所设xLx2的大小关系

(7)常见结论：增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数，增函数•一减函数=增函

数

减函数…增函数=减函数，…增函数=减函数广减函数=增函数，增函数的倒数=减函数

减函数的倒数=增函数

(8)基本初等函数：一次函数、反比例函数看K；二次函数看开口与对称轴、

指数函数、对数函数看a,募函数看阿尔法

•方法：(图像法，定义法、基本初等函数法、结论法)

1判或证明单调性定义证明函数/(尤)=一r+l(x£A)的单调性答案略

2单调性解不等式函数/(幻对任意的也〃都有/(〃?+〃)=/(，%)+/(〃)-1,并且当

x>0时，fM>1,

⑴证：/1)在H上是增函数；⑵若/⑶=4,解不等式/(/+〃-5)<2

VxpX2£(-8,+8),且为>X2,VX,=(X,-X2)+X2,

/(X,)-/(x2)=/[(X,-x2)+X2]-/(x2)=/(X,-x2)+/(x2)-l-/(x2)

=/(%/)I：%々>。「•/(%%2)>1•••/(%x2)/(々)

函数为增函数

/⑶=/(2)+/(I)-1J⑵=/⑴+

/(3)=3/(1)-2=4,/(1)=2

fd+47-5)<2=/(I),W+^/-5<\,aG(-3,2)

3求单调区间（复合法、图象法、基本初等函数法、结论法：）

函数y=logo/（6+'一2九2）的单调增区间是_______答案（*2）

（3。-l）x+4〃,xWl

4单调与参数已知/（"）="

]og（lX,X>\是（-8,+8）上的减函数，那么4的取值范

3«-1<0

0<67<1,C7E［一,一)

围是（）答案C73

7«-1>0

(A)(0,1)(B)(。,§)(C)耳,9(D)勺1)

5抽象函数单调性

已知/(〃，・〃)=/(，〃)十/(〃)J(人淀义域为x>0,且x>1时/(x)>0,

证明函数在(0,+oo)上为增函数

%,x2e(0,+oo),且%>x2,vX]=(—)•x2,/(M)-/(/)=/[(—)*x2]-/(x2)

x2x2

=/(—)+f(x2)-/(x2)=/(—)vX|>x2>0,^>1.\/(—)>0

X?A->X)X>

/(x1-x2)>0,/(xl)>/(%)函数为增函数

6抽象函数与含奇偶单调性已知函数f(x)为奇函数且在(-8，。)为增函数，证明函数f(x)

在(0,+8)上为增函数

Vxt,x2e(0,+oo),且士〉x2,-Xj<-x2e(一8,0),函数f(x)为增函数

・,J(f)</(一々)函数/。)为奇函数.•・一/(3)<-/(%2)>f(X2)

函数在(0,+00)为增函数

7抽象函数与含奇偶单调性已知函数f(x)为偶函数且在(-8,0)为增函数，证明函数f(x)

在(0,+8)上为减函数

V七,工2e(0,-KX)),班1>X2,-Xj<一x2E(y,0),函姆(X)为增函数

・・../*(_%)</(-式2)函数/*(力为偶函数"(%)<f(%涵数在(0,物)为减函数

8单调性与参数

(1)/•(1)=-卜-4单调递增区间为(-8,3］,求a的值

(2)/。)=-卜-〃|在区间(-8,3］单调递增，求a的取值范围

(3)/5)=/_2(〃_1»+1在区间(—8,3］单调递减，求a的取值范围

(4)/(%)=、-2(〃-1)工+1在区间(-8,3］单调递减,在［3,+8)单调递增

求a的值

答案(1)3(2)［3,+8)(3)［4,-HO)(4)4

9综合运用

1—x

例1已知函数/“)=lg币？(1)求/“)的定义域；(2)证明函数人幻

是奇函数。

(3)判断并证明/(x)在定义域内的单调性。

XE(-1,1)

.、11+%11,,1-xI.\-x

/(-x)=1g------=1g---=lg(--------)=-lg-------=-f(x)

\-x1--y1+x1+x

1+x

VX|,X,w>x2,f(xi)-f(x^=]g\—-lg；-

1+X]14-x2

.(1-也)(1+*2)11+(.V-x.)-x.x1〜〜〜„

=lg----------------=1g———-2--------.......—2,1-X.>01+M>01—当>01—>0

(1+x))(l-x2)1+(X]-x2)-x}x2

八、八

1.1+(x2=—X!.)—x!.x^t

0<1-b(JV°—X))—xxx-,<1+(X]—JV0)一项不2，°<-------------------―<1

1+(x,—x2)—xtx2

1g"可+弋<0/U,)-/U)<0

2

/(E)v/(f)减函数

例2

已知函数/(x)定义域为R,f(0)wO知f(m+n)=f(m).f(n)且当x>0,0<f(x)<1

(1)求f(0)的值(2)证明当x<0,f(x)>0(3)证明函数在R上为减函数

(1)令机=〃=0,/(0+0)=/(0)•/(O),f(O)^O,f(O)=l

⑵当x<(W(x)=/(1)>吗)=[/(1)]2>0,/(0)=/[x+(-x)l=/(%)•f(-x)=1,

vfM=0z.f(x)>0

⑶V%,x2G(-00,+00),且X>%,•・•2=(X-%)+%，/(X)-/(匕)=/[(M-%2)+冗21-f区)

xx

=/(X]—42)•f(2)一/(2)=fM[f(Xl-X2)-1]V-X2>0/.0</(X(-X2)<1

/(X)-X2)-l<OX/(X2)=/(y)>0,

/(O)=f[x2+(-x2)]=f(x2)^/(-x2)=l,vf(x2)^0.,.f(x2)>0,

0/(X)<<(%2涵数为减函数

六函数值及应用

(D/(x)=产+。。<?,/(|十g=/(l-r/)(a*0)则a的值为——答案-1

⑵已知函数=ln(71+9？-3x)+1,则/(lg2)+/(1g()=-----答案2

(3)已知函数/(尢尸以3+法+4"(-1)=3510/(1)=——答案5

⑷已知函数f(x)定义域为R上的奇函数，当x>0时，

/⑴=2、2x+W(-D=——答案-3

(5)已知函数/。)=/(%+2),函数〃幻为R上的奇函数，当04xW1时

/W=2x(l-xW(-|)=——答案-；

⑹已知函数f(x)定义域为R上的奇函数J⑴=g,/(x+2)=/(x)+/(2)

则〃5)二——答案|

七.二次函数(涉及二次函数问题必画图分析)

—b

1.二次函数f(x)=ax2+bx+c(aH0)的图象是一条抛物线，对称轴*二五，顶点坐标

b4ac-b2

一元二次不等式Q/+bx^c>0(<0)的解集(a>0)

2.元二次不等式批?+力.r+c>0(<0),二次项系数为正，大于取两边，小于取中间

3、闭区间上二次函数的最值问题：

是分类讨论，数形结合，函数方程，转化思想的四个数学思想，一般来说首先考

虑开口方向。

设/(%)=♦+历+《"0),求/⑴在X6［加，川上的最大值与最小值。画/(%)局部图象,

/b4ac-b\b

(顶点为(一五.4〃、对称轴为"=一五)

当”>0,它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在［m,n］上/(I)的最值：

最小值：所求最值若对称轴能取得讨论：讨论对称轴与区间端点值的大小，讨论三步

最大值：所求最值若对称轴不能取得讨论对称轴与区间中点比较进行分类讨论，讨论二

步

(1)当一盘时，/(1)的最大值是/(〃)；

bm+n

(2)当一三;时，f(x)的最大值是/(机)；

当。V。时，可类比得结论。

例：1(1)设/'*)=--4犬-4,XW[[/+1]Q€R),求函数/(X)的最小值g⑺的解

析式。(提示讨论三步)函数/(X)的最大值h«)(提示讨论两步)

(2)己知函数/(幻=-5+工在区间[小，〃]上的最小值是3，〃最大值是3〃，求

团，〃的值

4、二次方程根分布问题：

从三个方面进行分析：（1）A>0（有不等实数根）：（2）对称轴；（3）端点的函数

值

例二2（1）已知方程f-（a+l）x+m=O有两个不等正实根，求实数机的取值范围

（答案由△>（）得m）

（2）方程尔2+2m+1=0有一根大于］,另一根小于1,求实根m的取值范

围是（答案（-8,一；））

（3）已知关于x的方程（加-2）犬+2工一2机+1=°至少有一个根在区间（1,2）内，求实数

w的取值范围.m£（-8,-；）U（L+8）

八.指数式与对数式

1.幕的有关概念

(1)零指数塞。°=1(。工。)

(2)负整数指数累武二?("。，〃£.)

m__

⑶正分数指数幕。”=而0,〃z,〃wN*,〃>1)；

一,,,,,n=-5-=

(4)负分数指数,,累^a~:〃J尸—I(a>OjnjiE,n>]}

(5)0的正分数指数’幕等于0,0的负分数指数辕没有意义.

2.指数塞的运算性质

(6)"〃'=""(67>0,r,swQ)(7)(")=优、(〃>。,几$£Q)

⑻(W=a'br(a>0,b>0,厂£Q)

3.根式根式的性质：当“是奇数，则(9)标=。；当〃是偶数，则

aa>0

=同=«

-a6/<0

4.对数

(1)对数的概念：①如果。"=%(々>0,。。1),那么b叫做以a为底N的对数，记

b=log“N(a>0,。w1)

。)对数的性质：②零与负数没有对数③log“1=°④1叫。=1

(3)对数的运算性质

©logMN=logM+logN®I%=詈嗡啮⑶b>0,c>0且。X1)

⑦log”M"二〃log“M(M>0,6/>。且aw1)

logN

对数换底公式：⑧1呜4=不/73>0,。>°且。工1,〃1°且机工1)

10乂ma

例：

(_L)Wx4lg8+lg125Tg2-lg5

U)

4(0.>2(/L)；25⑵Ig^-lgO.l

九.指数函数与对数函数

1、指数函数产a，与对数函数y=logax(a>0,aW1)互为反函数

名称1指数函数对数函数

一般

x

y=a(a>0且aWl)y=logax(a>0,aWl)

形式

定义

(-8,+8)(0,+8)

域

值域(0,+8)(-8,+8)

过定

(0,1)(1,0)

点

指数函数丫=@、与对数函数y=logaX(a>0,aX1)

图象关于y=x对称

kx〉；

图象y=aX(0<a<l\1%r=a(al

x

\j?loga(a>l)

^="►x

x

1y=lo8a(0<a<l)

a>l,在(-8,+oo)a>l,在(0,+8)上为增

单调上为增函数函数

性0<a<l,在(-8,+oo)0<a<l,在(0,+8)上为

上为减函数减函数

2、比较两个幕值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指

数相同，如果底数相同，可利同指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数

与图象关系(对数式比较大小同理)

记住下列特殊值为底数的函数图象，研究指数，对数函数问题，尽量化为同底,并注意对

数问题中的定义域限制。

苑(1)已知。=0・3°2,b=O.20-2,c=O.203,，则比较。，b,C,

d的大小d>a>b〉c

(2)设4=03,b=3°3,c=log,0.3,则CJb,C从小到大排列为

b>a>c

(3)在(。・3)2,2°3,log&2这三个数中最大的是

-2>2°3>(0.3)2

3、指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数的4y

对数函数与其他

y=lgx

的复合问题,讨论复

合函数的单调性是解

决问题的重要途尸log。匕径C

4、指对数函数的图像与性质:

十.第函数

1、荻函数定义：形如y=x"(aeR)的函数称为辕函数，其中1是自变量，。是常数。

例:(1)下列函数是幕函数的是(D)

22

vB.y=3xC.y=x+1r、-3

A.y=x'D.y=x

（2）已知函数y=（，〃2-〃是毒函数，求此函数的解析式.

m2-/w-1=1,/w=2或1y=4一或）=x2

2、基函数的性质

归纳：幕函数在第一象限的性质：

a〉°,图像过定点（0,0）（1,1）,在区间（°，+x）上单调递增。

图像过定点（1,1）,在区间（°，+8）上单调递减。

m

整数m,n的奇偶与暴函数了=X",（"，〃£Z,且〃互质）的定义域以及奇偶性有

什么关系？

m

结果：形如）'=%"（八〃wz,“北〃互质）的鼎函数的奇偶性

（1）当m,n都为奇数时，f（x）为奇函数，图象关于原点对称;

（2）当m为奇数n为偶数时，f（x）为偶函数，图象关于y轴对称；

（3）当m为偶数n为奇数时，f（x）是非奇非偶函数，图象只在第一象限内.

3、累函数的图像画法：

关键先画第•象限，然后根据奇偶性和定义域画其它象限。

指数大于1,在第一象限为抛物线型（立式）；

指数等于1,在第一象限为上升的射线；（平分式）

指数大于。小于1,在第一象限为抛物线型（卧式）：

指数等于0,在第一象限为水平的射线；（水平式）

指数小于0,在第一象限为双曲线型；（渐进式）

例：

n5、—

I、（1）丁=施^+怆（5-3工）的定义域为；L（2）的值域为

（-00,1）U（L+8）

（3）y=lg（—/+尢）的递增区间为,（°，5）值域为（-00,-1g4）

2、（1）l°g7—t°,则---------（等，①

3、要使函数y=1+2、+4Z在其£（-8,1］上）,>。恒成立。求〃的取值范围。

答案［-1,+8）

11

4.若0+5.（〃>0且〃W1）,求产2/一3•优+4的值域.（3,4）

十一.函数的图象变换

（1）1、平移变换：（左+右・，上+下・）即

，=于8—乃V。"-'生移>y=.f（x+70

y=fM-V。'下移火>。'上移>y=/（X）+k

①对称变换；（对称谁，谁不变，对称原点都要变）

y=f(x)一―喇——=—广⑺

y=/(x)一—喇——>JZ=尸(_*)

y=一----反山------>y=—/'(­jr)

y=/'（才）一.谏h右边不变，左边为右边部分的对称图>y=fQx)

y=/、（才）——保帝心也上方图，将斓।下方图上翻）y=£(x)

•

1.作出下列函数的简图:

⑴）'=1叫。+2）.

(2)y=|2x-l|；(3)y=2|x|；

十二、指数函数、对数函数、索函数比较对照

指数函数对数函数基函数

下列哪些函数是指数函数)，=10gx2,)，=10g3(X-l)y=否,y=x。-是

>=3，是,〉=2.3"否

y=log2(-x)y=3-l『否

y=(-4)',y=(26-l)'否否

y=(/-3口),是指数函数求a的范围

比较下列数的大小比较下列数的大小比较下列数的大小

y=4°-9>y=O.5'L5>y=80-48(l)log2<log3<iog,52o2i

1323223>(；尸>(-)°>

2

(2)m=logff(a+l),

24-3-223、

23>(上)3>(-)>(--)~〃=lQg“(a-l)4--5--20

(3)3>(3)3>(-3)

343〃=log.2a,(a>l)

(m>p>ii)

求定点求定点求定点

y=14-log,(x-l)),=/(。＞0)过定点(0,0)(1,1)

y=321+2(3)2),=/(。＜0)过定点(1,1)

(2,1)

定义域定义域定义域

(1)/(%)=2G/(X)=r-----+lg(3x+1)f(x)=X2+X2,2+00)

VI-x

f[x}=X2+-,E0)u(0,y)

(L+00)(-1«,),y=log^„(16-4l)

(1

/(X)=X3+X\(-OD,-KO)

⑵/(%)=27(-1.0)J(0,2),y=^log,A：

(—00,+8)U，+8)

fM=+ig(x+l)

\-x

(-i』)U(i,+8)

单调性(单调区间)单调性(单调区间)单调性(单调区间)

(l)y=log,(2x2-5x-3)(l)/(x)=|x+l|'1

(1)/«=2

(2)y=|lgx|_2

(2)/(x)=(x-l尸

(2)/(x)=2f(3)y=log।(x2-ax+a)在区间

(3)设函甄*)="+「2

(・8,近)上是增函数，求a的范围

(〃>0且。工1)恒有2

(4)y=log2(x-lax-3)在区间

/(I一初)+)<0(-00,-2)上是增函数求a的范围

求m的范围

证明f(x)=3"+3T在

(0,+oo)是增函数

奇偶性