现代控制理论试卷 答案与解析

现代控制理论试卷作业

一.图为R-L-C电路，设〃为控制量，电感L上的支路电流

0I-0

RR?K+R?U和电容C上的电压超为状态变

R、+RN+凡

量，电容c上的电压々为输出量，试求：网络的状态方程和输出方程

（注意指明参考方向）。

R1R2

解•：此电路没有纯电容回路，也没有纯电感电路，因有两个储能元件，故有独立

变量。

以电感L上的电流和电容两端的电压为状态变量，即令：忆=凡,七二工2,由

基尔霍夫电压定律可得电压方程为：

••

RyCx?+x?-Lxt=0

N(玉+Cx2)+LXj-w=0

从上述两式可解出玉，％，即可得到状态空间表达式如下:

RRRR2

(R+RJL(R+R”当(R+R2)L

+u

_x2

(R.+R^C(R+R2)C(R+R2)C

01o

R因%+u

为

&+RiR]+&_R、+R?

二、考虑下列系统:

(a)给出这个系统状态变量的实现;

(b)可以选出参数K(或。)的某个值，使得这个实现或者丧失能控

性，或者丧失能观性，或者同时消失。

解•：(a)模拟结构图如下：

xi=u-kx、一3F

x2=u-kxy

・21

21

。二铲+产

则可得系统的状态空间表达式:

-30

电00

2/31/3

尸[2/31/30]4

-30

（b）因为A=00

2/31/3

-30

Ab=00

2/3

-30

A2b=00

2/31/3

-310

2

M=\bAbAb~\=1001

0100

所以：当。=1时，该系统不能控；当awl时,该系统能控。

又因为:C=[2/31/30]

-30

CA=[2/31/30]000

2/31/3-a

-30

0-k]00

2/31/3

C2/31/30

N二CA-200

CA26-2Z/3一〃3(a-1)k

所以：当攵=0或〃=1时，该系统不能观；当女。0且"1时，该系统能观。

综上可知：当。=1时或2=0且。=1时，该系统既不能控也不能观。

三、已知系统x=4的状态转移矩阵为:

00

0(1-4te~2t

0(1+2t)e~21

（1）试确定矩阵A,并验证/确为上式。

（2）已知A求小，以下采用三种方法计算小,并对计算结果进行讨

论。

(2)判断以上系统的能控性和能观性。

(3)把串联系统的连接顺序颠倒过来，再推算系统的状态方程及能

控、能观性。

(4)求加、S2及串联系统的传递函数矩阵，并对(2)和(3)讨论。

解：(1)

------

A4&G

X]=A/]+BMx=C]X]

■

X2=4。)+=A,x,+ByY.=A0,+

■

所以xi=B2Clxl+A2X2

乃=C*2*2

ABi

因而■U

0

七BC

0100

得状态方程:3-40x+u

21-20

0100

(2)•/A=3-401

21-20

01001010-4

Ab=3-401-4A2b=3-40-419

21-2021_21-4

01-401-4

2

所以M=[bAhAb]1-I19->-419

01-4000

rank(M)=2<3所以该系统不能控。

C=[001]

010

CA=[()0f3-40=[21-2]

2I-2

010

CA2=[21-23-40=[-l-44]

21-2

"c-ooi-

所以N=CA=21-2

CA2-I-44

rank(N)=3所以该系统是能观的。

(3)

孙=4%+BUCX

2y2=22

Xi=Aixl+8必=AjX,+BXC2X2

所以；=%四。2

o4

-o1

Ab=3-4

00

01

A2b=3-4

00

001

2

所以M=卜AbAZ?]=01-6

1-24

“次(M)=3所以此时该系统能控。

•.・C=[210]

-01O-

CA=\2Ci3-41=[3-21]

00-2

010

CA2=[3-21'3-41=[-611-4]

00-2

C2110

而N=CA3-27-2

CA2-61100

rank{N}=2<3所以此时该系统不能观。

f5-iTTo-

(4)vv,(5)==C(sl-A)-'B+d=h[-3s+4_|

KG)

ri15+41II0I1r

=[21]，一2卜一1]

s+4s-3\_35j|_ljs+45-3

54-2

Y+4s-3

当a、S2按照（2）的连接方式串联时，H<y）=vv（y）vv（5）=-------

12s~+45-3

当加、S,按照（2）的连接方式串联时，以$）=恒（$）%（5）=丁」——

s~+4s—3

由上边的传递函数结果可知，当子系统串联时，颠倒其先后次序，虽然传递

函数相同，但系统的能控性、能观性则不一定相同。

五、试求下列系统的能控性分解及能观性分解：

12-10

x=010x+0u=Ax+bu

I-431

y=[1-1\]x=cx

解：（a）能控性分解:

2-10

A=010,b=0

1-431

20-1

Ab=01000

12

A2b=0

-4

所以0

8

rank(M)=2,故该系统不能控。

构造非奇异矩阵

0-10301

&=001所以=-100

130o10

l

x=R~ARc+R^bu

()03010

001x+-1000U

30010

)'==D-1

(b)能观性分解:

1]

12-I

CA=\\-11010=[2-32]

-43

084

CA2=[1-I1010=[4-74]

4-148

C1-11

所以N=CA2-32

CA4-74

rank(N)=2<3所以该系统不能观。

构造非奇异矩阵：

-1-117/3-1/3-1

/?■'=4-74，所以=4/3-1/30

001001

x=八治+

1-11120

4-740I0u

001-4

2/31/30

-4/37/30x+

-312

-7/3-1/3-1

lj4/3-1/30x=[10()]x

001

六、试用李雅普诺夫第二法，判断下列系统的稳定性。

01

(1)

-1-1

(2)系统结构图如下，对结果进行讨论，采取什么措施可使系统稳

定？

y

解:

=一再一占

原点9二()是系统的唯一平衡状态。选取标准二次型函数为李雅普诺夫函

22

数，即v(x)=%]+x2>0

•••

v(x)=2$X]+2X2X2=2X1X2+2X2+x2)=-2x2~

当内=0,工2=。时，v(x)=0；当内工0,々=0时，-=0,因此y(x)为

负半定。根据判断，兀知该系统在李雅普诺夫意义下是稳定的。

另选一个李雅普诺夫函数，例如：

222

v(x)=—[(x(+x2)+2x(+x2

*碓汽]

为正定，而

•••••

2

V(X)=(X1+x2)(X|+X2)+2.X\+x2X2=-(X1+¥)

为负定的，且当国->OO,有V(x)f8。即该系统在原点处是大范围渐进稳定。

(2)闭

(3)环系统的状态方程为

其齐次方程为Xi=x2

X2=T]

显然，原点为系统的唯一的平衡状态，选李雅普夫函数

22

v(x)=x,-+xJ>0

心)=21]$+2X2X2=2(X/2-尤1々)=0

可见，可幻在任意工工0的值均保持为0,而可幻保持为常数

22

v(.r)=Xj+x2=c

这表示系统运动的相轨迹是一系列以原点为圆心，无为半径的圆。这时系统为

李雅普诺夫的稳定，但在经典控制理论中，这种情况属于不稳定，这的自由解是

一个等幅的正弦振荡，要想使这个系统不稳定，必须改变系统的结构。

七、图示的控制系统，试设计状态反馈矩阵，使闭环系统输出超调量

5<5%和峰值时间<5so

传递函数W⑸=3=111I

解:

U(s)(s+6)(s+2)s/+8S2+12S

又因为二阶系统单位阶跃响应中:

71

根据题意要求3<5%和<5s

通过上式解答：4=0.684

con=0.861

因此设计后的极点分别为：4=0

2=—(4-以=-0.6+川.63

$3二—C一/#亨)以=-0.6-70.63

因为传递函数以s）没有零极点对消现象，所以原系统能控而且能观。可直接写出

它的能控标准I型实现。

0100

—

001X+0U

0-8-12I

y=[100]x

其闭环系统结构图如下:

y

加入状态反馈阵K=[&k、七],其系统结构如下图:

□-

而闭环系统特征多项式为

/(2)=det[A/一(A+bK)]=:3+(12-月)22+(8-^)2+(一勺))

根据极点值，得期望特征多项式：

/-(2)=2(1+0.6-J0.63X2+0.6+J0.63)=.+1.222+0.7572

比较/”)和广(4)各对应项系数，可得：

£)二°

k=7.243

*r=10.8

即K=[07.24310.8]

八、系统的状态方程如下：x=-x+u9x（0）=10,性能指标泛函

心）T”+〜分两种情况求最优控制…3。

(1)对〃没有约束

(2)|w(r)|<0.3

解:

(1)原问题为自由终端状态，因而“1）=0。

由哈密尔顿函数H=L+4/'=-(X2+〃2)+4T+〃)

又因为条一等片°

所以〃'⑺=一4⑺

又沿最优轨迹线满足正则方程：

丽

x=——=-x+u=-x-A

GA

dxdxdx

边界条件x（（））=10,亚1）=（）

通过上式联合解答：

x\t）=（）Ae^1+9.9产

2(r)=-C.1(V2+1)/*+