湖北宜昌市县域重点高中2025-2026学年高一上学期期末考试数学试卷（解析版）

2025年秋季学期高一年级期末考试数学试卷考试时间：120分钟满分：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由指数函数的性质解得集合，再根据交集的定义即可求解.【详解】集合，又，所以，故选：B.2.已知角的终边经过点，且，则（）A8或B.C.8D.【答案】B【解析】【详解】根据题意可得：，且坐标为负数，所以，所以.又，所以.3.已知函数的图象在上连续不断，则“”是“在区间上有零点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据零点存在性定理，及定理本身就是充分不必要条件，即可作出判断.【详解】因为函数的图象在上连续不断，若，则在区间上有零点，所以“”是“在区间上有零点”的充分条件；若，满足在区间上有零点，但是，所以“”不是“在区间上有零点”的必要条件，所以“”是“在区间上有零点”的充分不必要条件．故选A．4.若，则与在同一坐标系中的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】结合排除法，根据指数函数与对数函数的图象判断．【详解】因为，所以，所以是减函数，且时，，是增函数，排除选项BD，又的定义域为，故排除选项A，只有选项C满足．5.已知p，q为正实数且，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题得，再利用基本不等式求解.【详解】解：由可知，，当，即时，“”成立，故选：A.6.著名数学家､物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：.若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到，大约需要的时间为（）（参考数据：）A.16分钟B.18分钟C.20分钟D.22分钟【答案】D【解析】【分析】根据题意代值计算即可.【详解】由题知，所以，可得，所以，即.故选：D.7.若sinx＜0，且sin（cosx）＞0，则角是A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【答案】D【解析】【分析】根据三角函数角的范围和符号之间的关系进行判断即可．【详解】∵﹣1≤cosx≤1，且sin（cosx）＞0，∴0＜cosx≤1，又sinx＜0，∴角x为第四象限角，故选D．【点睛】本题主要考查三角函数中角的象限的确定，根据三角函数值的符号去判断象限是解决本题的关键．8.对任意的函数，都有，且当]时，，若关于的方程在区间内恰有6个不等实根，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性求出函数的解析式，利用函数的周期性画出函数图象，结合方程的根与函数图象交点的关系可得函数与图象在上有6个不同的交点，由图可得，解之即可求解.【详解】由，知函数为偶函数，由，知函数为周期函数，且.又当时，，则当时，，，由，得，所以，若方程在上有6个不等实根，则函数与图象在上有6个不同的交点，若，函数在上与函数图象只有1个交点，不符题意，故，如图，由图可知，，解得，即实数a的取值范围为.故选：A.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.下列说法正确的是（）A.“”的否定是“”B.若，则C.一元二次不等式的解集为，则D.若且，则【答案】ABC【解析】【分析】利用全称命题的否定的定义判断A；利用作差法比较大小判断B；利用一元二次方程根与系数的关系判断C；利用基本不等式及一元二次不等式的解法判断D.【详解】A，由全称命题的否定的定义可知，“”的否定是“”，故A正确；B，，因为，所以，，所以，即，故B正确；C，一元二次不等式的解集为，可知，由韦达定理得，解得，则，故C正确；D，，，所以，解得或（舍），所以，当且仅当时等号成立，故D错误.10.、、是锐角三角形的内角，下列结论一定成立的有（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根据条件，利用三角形的性质，得到间的关系，对A和B，利用诱导公式即可求解；对C，利用诱导公式及三角函数的性质，即可求解；对D，通过作差，利用余弦的差角公式，得到，再由三角函数的符号，即可求得出.【详解】因为、、是锐角三角形的内角，则，且，对于A，因为，所以A正确，对于B，因为，所以B正确，对于C，因为，，则,又在区间上单调递增，所以，故C错误，对于D，因为，又，，则，所以，即，故D正确.11.下列结论正确的是（）A.若都是第一象限角，且，则B.函数的最小正周期是C.设函数，若在区间上单调递增，则D.若，则【答案】BCD【解析】【分析】对A，取特殊角，即可求解；对B，利用正弦函数的性质及图象的变换，即可求解；对C，利用正弦函数的性质，结合条件，可得，即可求解；对D，结合条件，利用指对数函数的性质，即可求解.【详解】对于A，取，，显然有都是第一象限角，且，但，所以A错误，对于B，因为的最小正周期为，则函数的最小正周期是，所以B正确，对于C，由，且，解得，因为在区间上单调递增，则，解得，且，由，得，则，所以，故C正确，对于D，因为，所以，，，又在定义域上单调递减，所以，又在定义域上单调递增，所以，又因为，，则，所以，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的弧长为______，面积为______【答案】①.②.【解析】【分析】设扇形半径为，弧长为，然后根据弧长公式以及扇形周长建立方程即可求出，，再根据扇形面积公式即可求解．【详解】设扇形的半径为，弧长为，则由已知可得，解得，，所以扇形面积为，故答案为：；．13.已知偶函数在时，则时___________.【答案】【解析】【分析】根据题意，可求出的解析式，再根据偶函数的定义，即可得出结果.【详解】解：由题可知，在时，当时，，则，又因为是偶函数，则，所以时，.故答案为：.14.互为反函数的两个函数图象关于直线对称，如：指数函数和对数函数的图象关于直线对称.（1）已知函数和函数互为反函数，点在的图象上，则_______________.（2）若函数与函数互为反函数，则_______________.【答案】①.2②.6【解析】【分析】根据互为反函数的性质，定义域和值域互换，逐个分析计算即可【详解】（1）函数和函数互为反函数，在的图象上，根据反函数性质，知道在图象上，代入计算.（2）与互为反函数，知道定义域和值域互换.的定义域为，值域为，的定义域为，值域为，则，代入解析式得到，求出反函数得到，化简得到，即的反函数为.对照，得到.故答案为：2；6.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知．（1）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程；（2）当时，求函数的单调增区间；（3）当时，求函数的最大值和最小值，并写出所对应的取值．【答案】（1）最小正周期，对称轴方程是（2）（3）时，函数具有最大值为1；时，函数具有最小值为【解析】【分析】（1）根据正弦函数的周期性和对称轴方程，通过换元法求出对称轴方程即可；（2）根据正弦函数的单调增区间，运用换元法，求出函数在定义域上的单调增区间即可；（3）根据正弦函数的最值性质，运用换元法，求出函数在定义域上的最大值和最小值即此时的自变量的值即可.【小问1详解】，最小正周期，令，则，∴函数图象的对称轴方程是；【小问2详解】令，则，故的单调增区间为；时，，∴在的单调增区间为；【小问3详解】由，令，则，当时，即时，；当时，即时，；故时，函数具有最大值，最大值为1；时，函数具有最小值，最小值为．16.已知.（1）化简，并求；（2）若，求的值；（3）求函数的值域.【答案】（1），；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由诱导公式化简可得，进而可得；（2）由平方关系和商数关系可转化条件，即可得解；（3）转化条件为，结合二次函数的性质即可得解.【详解】（1）由题意可得，故；（2）∵，故；（3）因为，所以，因为，所以当时，，当时，所以的值域为.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用诱导公式、同角三角函数的关系对原式进行合理变形.17.已知幂函数的图象过点，函数，函数．（1）求实数的值及函数的函数解析式；（2）用单调性的定义证明：在上单调递增；（3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）利用幂函数定义求出并验证，进而求出值.（2）由（1）求出，再利用增函数的定义推理论证.（3）先求出，方法一：利用换元法以及分离参数法，结合基本不等式可求出实数的取值范围；方法二：利用换元法，通过分类讨论思想求二次函数的最值，即可求解.【小问1详解】由幂函数的定义可知，解得，当时，，，又的图象不过点，显然不满足题意；当时，，将点代入得．综上所述，，且．【小问2详解】由（1）可知，，任取，不妨设，则，因为，所以，则，所以，则，所以，则，即，故在上单调递增．【小问3详解】法一：由题可知，不等式在上恒成立，即在上恒成立，令，则，不等式化为：，又∵，∴，整理得在恒成立，令，则，，当且仅当时取等号，∴，综上，的取值范围是．法二：由题可知，不等式在上恒成立，即在上恒成立，令，则，不等式化为：，记，则恒成立．抛物线开口向上，且对称轴：，①，此时在上单调递增，恒成立，故满足条件②，此时．解不等式，即，解得，∴，③，此时在上单调递减，，解得，故此情况无解，综上所述，的取值范围是．18.某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价（元）与时间（天）的函数关系近似满足（为正实数）．该商品的日销售量（个）与时间（天）部分数据如下表所示：第天10202530个110120125120已知第10天该商品的日销售收入为121元.（1）求的值；（2）给出以下两种函数模型：①，②，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间的关系，并求出该函数的解析式；（3）在（2）的情况下，求该商品的日销售收入（元）的最小值．【答案】（1）（2）选②，，（3）【解析】【分析】（1）根据第10天该商品的日销售收入为121元列出方程，求出；（2）当时间变化时，该商品的日销售量有增有减并不单调，故选②，代入，，待定系数法求出解析式；（3）求出，当时，由对勾函数得到其单调性，从而求出最小值，当时，由函数单调递减求出最小值，比较后得到的最小值.【小问1详解】由题意得：第10天该商品的日销售收入为，解得：，【小问2详解】由题意，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减并不单调，故选②，∵，，，∴，解得：，∴，；【小问3详解】由（2）可知：，所以当时，由对勾函数知在上递减，在上递增，所以当时，取最小值，，当时，在上递减，所以当时，取最小值，，综上：所以当时，取最小值，.19.已知函数为奇函数．（1）求实数的值并判断的单调性（无需证明）；（2）若，求的取值范围；（3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．【答案】（1），在和上单调递减；（2）（3）【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义求实数的值，根据复合函数的单调性及奇偶性判断函数的单调性；（2）根据函数的单调性，利用分类讨论的方法求解；（3）将双变量双函数相等关系的问题转化为两函数值域的包含关系.小问1详解