山东济南市2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题（解析版）

2025年秋季学期高一期末考试数学试题本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据并集的概念求解.【详解】因为集合，所以，故选：B.2.若，，则下列不等式成立的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由不等式的基本性质，结合作差法判断各个选项.【详解】因为，，根据不等式的性质则，，A、B错误；，所以，C正确；，所以，D错误.故选：C3.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的单调性求解.【详解】函数的对称轴是，开口方向向上，在区间上单调递减，对称轴是在区间的右侧或对称轴为，.故选：D4.函数的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由于，即可选择图象.【详解】函数,因为，所以图象为故选：A5.若正实数，满足，则的最小值是（）A.8B.9C.10D.13【答案】B【解析】【分析】利用乘的方法结合基本不等式求最值.【详解】因为正实数，满足，可得，当且仅当，即时，等号成立.故选：B6.已知，均为锐角，且，则（）A.B.C.1D.【答案】C【解析】【分析】利用两角和的余弦公式和两角差的正弦公式展开，因式分解可求解.【详解】因为，所以，所以，即，即，因为，均为锐角，所以，所以，所以，所以.故选：C.7.已知函数，则满足的实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用奇偶性的定义可得为偶函数，利用复合函数的单调性可得在上单调递减，从而可求得实数的取值范围.【详解】函数的定义域为，又，所以为偶函数，又，所以可得在上单调递减，由，得，所以，两边平方得，即，解得，所以实数的取值范围是.故选：A.8.已知函数（），若，且，使得成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得函数在内有两个最大值点，据此计算可求得实数的取值范围.【详解】因为函数（）的最大值为，又，且，使得成立，所以函数在内至少有两个最大值点，即在至少有两个解，，即，需至少存在一个整数，使得两个相邻最大值点在区间内，设两个相邻最大值点为，，所以需满足且，所以，且，当时，，即，当时，，即，当时，，即，依次类推，后续区间左端点依次为，（每次增加2），右端点依次为（每次增加4），所以第一区间为，从第二个区间开始，后续区间重叠为，所以实数的取值范围是，故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知命题：，使得，则（）A.是真命题B.是全称量词命题C.：，都有D.“”是“”的充分不必要条件【答案】ACD【解析】【分析】当和时，，判断AD；根据存在量词否定为全称量词命题判断BC.【详解】命题：，使得，因为和时，，所以“”是“”充分不必要条件，A、D正确；是存在量词命题，B错误；：，都有，C正确.故选：ACD10.已知函数（），且，则（）A.B.当时，C.若在内有零点，则D.在内至少有一个零点【答案】ABD【解析】【分析】由，可得，，从而判断AB；由零点存在定理判断C；分、、讨论，判断D.【详解】函数（），∵，∴，，，A正确；当时，，B正确；若在内有零点，，则，可得即可，不一定小于0，故C错误；当时，，，在内至少有一个零点，当时，，，，∴在内至少有一个零点；当时，，，，，∴在内至少有一个零点．综上，函数在内至少有一个零点，D正确.故选：ABD11.声音是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数．已知我们听到的一段声音的函数是，则（）A.的最大值为4B.的最小正周期是C.的图像关于中心对称D.存在，使得图象关于对称【答案】BC【解析】【分析】由题意可得，计算可判断A；求得最小正周期判断B；由题意计算可得可判断C；若，可得，计算可判断D.【详解】，当时，，此时，所以，当时，所以，所以，所以与不能同时取得最大值，故的最大值不为4，故A错误；因为的最小正周期为，因为的最小正周期为，因为的最小正周期为，又，所以的最小正周期是，故B正确；，所以的图像关于中心对称，故C正确；，又，，，所以，，又，，，所以，若恒成立，可得恒成立，所以，由，可得，所以，所以无解，所以不存，使得图象关于对称，故D错误.故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数（且）图象恒过定点坐标为______．【答案】【解析】【分析】利用对数函数性质求解.【详解】因为对任意且，，令得，将代入，得，所以函数的图象恒过定点坐标为.故答案为：13.已知角终边上一点，则______．【答案】【解析】【分析】根据三角函数的定义求出，利用商数关系将齐次式化为的形式后求解即可【详解】因为点为角终边上一点，所以，所以.故答案为：.14.方程的正实数解为______．【答案】100【解析】【分析】先证明，然后将等式进行化简求出结果即可.详解】令，两边同时取对数得，所以，所以.由，得，所以，有.所以，即，因为函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，又，所以，解得.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.集合，（）．（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）解不等式求得集合，结合集合，结合交集的意义求解即可；（2）由题意可得，利用子集的意义求解即可.【小问1详解】因为，即解得，所以集合．因为，所以，故．【小问2详解】由，得，又因为，（），所以，解得，所以的取值范围为．16.已知函数．（1）求的最大值及对应的的集合；（2）先将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，求的单调递增区间．【答案】（1）最大值为2，（2），．【解析】【分析】（1）化简，将看作一个整体，利用性质求解；（2）由三角函数图象变换得到，将看作一个整体，利用性质求解.【小问1详解】所以最大值为2令，，解得，，所以对应的集合为【小问2详解】将函数的图象向右平移，得到，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍得到，令，解得，，所以增区间，．17.全运会是我国最高水平的综合性运动会．某代表队从第10届全运会开始，参赛运动员人数不断增加．经过届，运动员人数为人，具体数据如下：012345届数101112131415运动员人数人260310370442529632（1）给出以下两种函数模型：①（，）；②（，）．请根据上表中运动员人数的增长规律，选出最符合的函数模型（不必说明理由），并利用表中前3组数据求出相应的解析式；（2）按（1）中求得的模型，在第几届全运会时，该代表队运动员人数将会突破810人？参考数据：，．【答案】（1）选①，（2）第17届【解析】【分析】（1）根据数据的规律结合递增的快慢程度可知选择①，进而计算可求得函数解析式；（2）设从第10届起，经过年后，该代表队运动员人数突破810人，由题意得，计算求解即可.【小问1详解】选①将表中前3组数据代入①：，即，所以，所以，解得，．所以函数模型的解析式为．【小问2详解】设从第10届起，经过届后，该代表队运动员人数突破810人，则，于是，即由换底公式，，化简得，即代入参考数据，解得所以从第10届起，经过7年后，即在第17届全运会时，该代表队运动员人数突破810人．18.已知函数（）的定义域为，且图象经过点．（1）求的值；（2）求的值域；（3）求的最小值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）把点代入解析式求解即可；（2）令，利用对勾函数的单调性可求得在上的值域；（3）令，结合单调性可得，利用二次函数的最值，分类讨论可求得的最小值.【小问1详解】因为过点，把点代入得：，解得或，又因为，所以．【小问2详解】，令，因为，所以，于是得到，．因为在单调递减，在单调递增，，，．所以的最小值为2，的最大值为．于是在上的值域为．【小问3详解】（）令，由（2）可知，于是得到，对称轴为；当时，在单调递增，在处取最小值，所以，当时，在单调递减，在单调递增，在处取最小值，所以，当时，在单调递减，在处取最小值．所以．综上，．19.已知函数．（1）求的定义域；（2）证明：图像中心对称图形；（3）若，且当且仅当，求实数，的值．【答案】（1）（2）证明见解析（3），．【解析】【分析】（1）解不等式，可求定义域；（2）利用，可得结论；（3）令，分析得