苏科版数学八年级下册 第10章 分式（高效培优单元自测·强化卷） 试卷 含答案

第10章分式（高效培优单元自测·强化卷）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1．（25-26八年级上·江苏南通·期末）下列说法正确的是（）A．代数式是分式B．分式是最简分式C．分式的值为0，则x的值为D．分式中都扩大3倍，分式的值不变2．（24-25八年级下·江苏南京·期中）下列等式一定成立的是（

）A． B． C． D．3．（25-26八年级上·山东东营·期中）对于有理数、，定义一种新运算“”为．例如．则方程的解是（

）A． B． C． D．无解4．（2025·广东·模拟预测）为治理新疆土地沙漠化，改善生态，某地区计划在沙漠边缘植树30万棵．因当地风沙大、气候特殊，为赶在风沙季前完成种植以保障树苗存活，实际每天植树棵数比原计划增加，提前3天完工．若设实际每天植树万棵，根据题意可得方程为（

）A．B．C．D．5．（2026·河南周口·一模）某食品加工厂在制作一种食品时，需要按照一定的比例混合各种原料．现在有两种原料和，原料的质量为（单位：），原料的质量为（单位：），将它们混合后进行一些操作（操作过程不影响质量），下列关于这两个代数式的运算正确的是（

）A．B．C．D．6．（25-26八年级上·福建厦门·期末）通常房屋的窗户面积小于房屋的地面面积．按采光标准，窗户面积与地面面积的比应不小于，并且这个比值越大，房屋的采光条件越好．若某房间的窗户面积为，地面面积为，则以下四个房间比该房间采光条件更好的是（

）A．窗户面积为，地面面积为B．窗户面积为，地面面积为C．窗户面积为，地面面积为D．窗户面积为，地面面积为7．（2026·河北张家口·一模）某学校计划给每个班都安装节能灯，现分三个批次购买同一种节能灯，由于购买地点不同，三次购买的单价也不一样．第一次花费380元，第二次花费元，第三次花费元，第二次购买的单价比第一次少元，第三次购买的单价比第一次多元．若第二次和第三次购买的数量相同，现列出方程，则下列说法不正确的是（

）A．方程中的x表示的是第一次购买节能灯的单价B．第一次购买节能灯的单价是元C．第二次购买节能灯的数量比第一次多了个D．如果设第二次购买的数量为y个，可列方程为8．（25-26九年级·江西赣州·培优）方程的正整数解的个数是（

）A．7个 B．8个 C．9个 D．10个9．（25-26八年级上·河北邯郸·月考）对任意非负数x，若记，给出下列说法．其中正确的个数为（

）①；②，则；③；④对任意大于3的正整数，有．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个10．（24-25八年级上·河南许昌·期末）若关于的一元一次不等式组有解且最多有3个整数解．关于的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数的值之和为（

）A．4 B．5 C．6 D．7第Ⅱ卷二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上）11．（24-25八年级下·江苏·专题练习）____．12．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）不改变分式的值，使的分子中不含分数，则该分式可化简为__________．13．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）并联电路中两个电阻的阻值分别为，电路的总电阻和满足，则可表示为______（用含，的代数式表示）．14．（25-26八年级上·江苏南通·期末）若x=m是关于x的方程的解，则代数式的值是____________．15．（24-25九年级下·四川成都·月考）已知关于x的分式方程的解满足，且k为整数，则符合条件的所有k值的和为_________．16．（24-25八年级上·山东泰安·期末）定义：为分式（，，为实数）的“关联数”，若“关联数”相对应的分式的值为，则关于的方程的解是________．17．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）已知，，下列结论：①；②若，则；③无论为何实数值，始终有；④若关于的方程无解，则．其中正确的有_____（请填写序号）．18．（25-26八年级上·浙江金华·期中）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个不同单位分数相加的形式为______；对于任意正整数，将拆分成两个不同单位分数相加的形式为______．三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-24题每题10分，25-26题每题11分，答案写在答题卡上）19．（2025·河北石家庄·三模）先化简，再求值：，其中，下面是甲同学的部分运算过程：解：

第一步

第二步

第三步…(1)甲同学的运算过程中第步是通分；(2)请你先用与甲同学不同的方法化简，再求值．20．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）解下列方程：(1)；(2)．21．（25-26九年级下·江苏泰州·月考）嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如图．设每支圆珠笔为元．(1)请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了？(2)嘉嘉核实账单后，发现中性笔和圆珠笔的单价均为整数，每支中性笔与圆珠笔的差值算错了，其他都正确．若每支中性笔比圆珠笔贵元，求出整数的值．22．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）观察下列分式及其变形过程，①②③④……我们把一个分子次数小于分母次数的分式，称为“真分式”；若一个分式可以化成一个整式与一个真分式和的形式，则称为“奇妙分式”．根据上述信息，完成下列各题：(1)下列式子中，属于“奇妙分式”的是______；（只填写字母代号）A．

B．

C．

D．

E．(2)若奇妙分式的值为整数，求正整数a的值；(3)已知分式是奇妙分式，①把其化成一个整式与一个真分式和的形式；②用a表示①中的整式部分，用b表示①中真分式的分母部分，若式子可化简为一个整式，求常数m的值．23．（25-26七年级下·重庆·月考）【综合实践】材料大多数小汽车是前轮驱动的，所以前轮的磨损程度比后轮严重，因此时间一长汽车行驶的安全性将大打折扣：如果同时更换前后轮，用车成本又会提高．因此，汽车使用手册上都有定期给前后轮换位的建议．例如：为了让轮胎均匀磨损并延长轮胎的使用寿命，我们建议每行驶进行一次轮胎换位．(1)设轮胎总的耗损量为单位1，在前轮时行驶a万千米报废，在后轮时行驶万千米报废．则该轮胎在前、后位置时的耗损率分别可表示为______、______．（说明：耗损率是指，每万千米轮胎的耗损量．）(2)若汽车前轮行驶万千米时报废，而后轮行驶到8万千米时报废．如果在汽车使用寿命内前、后轮位置只交换一次，那么汽车行驶多少万千米时，交换前、后轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废？（结果保留小数点后一位）(3)一款新型轮胎，安装在后轮可行驶的里程是安装在前轮的，装备该轮胎的汽车在轮胎的使用寿命内，前后轮胎只交换一次，共行驶了万千米前后轮胎同时报废．求该款新型轮胎安装在前轮和安装在后轮可行驶的里程数分别为多少万千米？（说明：分母中含有字母的方程，要将解代入原始方程中进行检验．）24．（25-26八年级上·广东揭阳·期末）按要求解答下列各题：(1)若关于的方程的解是正数，求的取值范围；(2)关于的方程解是负数，求的取值范围；(3)已知关于的方程有增根，求的值；(4)若关于的分式方程无解，求的值．25．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为am，其中．(1)去年实践基地收获500kg蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？(2)今年从该基地中截取出一个边长为am的正方形地块，用来种植A类蔬菜，而剩余土地用来种植B类蔬菜，最终收获A类蔬菜300kg，B类蔬菜200kg．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由．(3)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加16m，宽增加am，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数a的值．26．（25-26八年级·上海·期末）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．例：已知：，求代数式的值．解：∵，∴即，∴材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．例：若，且，求的值．解：令则，，，∴，根据材料回答问题：(1)已知，求的值；(2)已知，求的值．(3)若，，，，且，求的值．

第10章分式（高效培优单元自测·强化卷）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1．（25-26八年级上·江苏南通·期末）下列说法正确的是（）A．代数式是分式B．分式是最简分式C．分式的值为0，则x的值为D．分式中都扩大3倍，分式的值不变【答案】B【详解】解：∵分式的定义是分母中含有字母的整式，π是常数，∴的分母不含字母，是整式不是分式，故A错误．∵的分子与分母没有公因式，∴该分式是最简分式，故B正确．∵分式值为0的条件是分子为0且分母不为0，由得，又时，分母，分式无意义，∴，故C错误．将都扩大3倍后，新分式为，是原分式的3倍，分式的值改变，故D错误．故选：B．2．（24-25八年级下·江苏南京·期中）下列等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：A.当时，，故该选项不正确，不符合题意；

B.，故该选项正确，符合题意；

C.当时，，故该选项不正确，不符合题意；

D.当时，，故该选项不正确，不符合题意；故选：B．3．（25-26八年级上·山东东营·期中）对于有理数、，定义一种新运算“”为．例如．则方程的解是（

）A． B． C． D．无解【答案】B【详解】解：根据题中的新定义化简得：，即，去分母得：，解得：，检验：把代入得：，分式方程的解为．故选：B．4．（2025·广东·模拟预测）为治理新疆土地沙漠化，改善生态，某地区计划在沙漠边缘植树30万棵．因当地风沙大、气候特殊，为赶在风沙季前完成种植以保障树苗存活，实际每天植树棵数比原计划增加，提前3天完工．若设实际每天植树万棵，根据题意可得方程为（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】解：设实际每天植树万棵，根据题意列方程为，故答案为：D．5．（2026·河南周口·一模）某食品加工厂在制作一种食品时，需要按照一定的比例混合各种原料．现在有两种原料和，原料的质量为（单位：），原料的质量为（单位：），将它们混合后进行一些操作（操作过程不影响质量），下列关于这两个代数式的运算正确的是（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】解：A、，故选项错误；B、，故选项正确；C、，故选项错误；D、，故选项错误．6．（25-26八年级上·福建厦门·期末）通常房屋的窗户面积小于房屋的地面面积．按采光标准，窗户面积与地面面积的比应不小于，并且这个比值越大，房屋的采光条件越好．若某房间的窗户面积为，地面面积为，则以下四个房间比该房间采光条件更好的是（

）A．窗户面积为，地面面积为B．窗户面积为，地面面积为C．窗户面积为，地面面积为D．窗户面积为，地面面积为【答案】C【详解】解：原房间的采光比值为：，A、采光比值为：，与原房间采光比值相同，故该选项不符合题意；B、采光比值为：，与原房间采光比值相同，故该选项不符合题意；C、采光比值为：，与原房间的采光比值作差得，∵，∴，，∴，，∴，∴，∴C比原房间采光条件更好，故该选项符合题意；D、采光比值为：，与原房间的采光比值作差得，∵，∴，，∴，，∴，∴，∴D比原房间采光条件更差，故该选项不符合题意．故选：C．7．（2026·河北张家口·一模）某学校计划给每个班都安装节能灯，现分三个批次购买同一种节能灯，由于购买地点不同，三次购买的单价也不一样．第一次花费380元，第二次花费元，第三次花费元，第二次购买的单价比第一次少元，第三次购买的单价比第一次多元．若第二次和第三次购买的数量相同，现列出方程，则下列说法不正确的是（

）A．方程中的x表示的是第一次购买节能灯的单价B．第一次购买节能灯的单价是元C．第二次购买节能灯的数量比第一次多了个D．如果设第二次购买的数量为y个，可列方程为【答案】D【详解】解：∵方程中，是第二次购买的总价，是第三次购买的总价，且第二次和第三次购买的数量相同，故第二次购买的单价为，第三次购买的单价为，∵第二次购买的单价比第一次少元，第三次购买的单价比第一次多元，∴表示第一次购买节能灯单价，故A选项说法正确，不符合题意；，，，，解得，∴第一次购买节能灯的单价是元，故B选项说法正确，不符合题意；故第二次购买单价为元，∴第一次购买数量为个，第二次购买数量为个，个，∴第二次购买数量比第一次多个，故C选项说法正确，不符合题意；若设第二次购买数量为个，∵第二次和第三次购买数量相同，∴第三次购买数量也为个，故第二次单价为，第一次单价为，第三次单价为，∵第三次单价比第一次单价多元，故，整理得，与选项D给出的方程不符，故D选项说法错误，符合题意．8．（25-26九年级·江西赣州·培优）方程的正整数解的个数是（

）A．7个 B．8个 C．9个 D．10个【答案】C【详解】解：，，，，，，，是正整数，，或，或，或，或，或，或，或，或，，，或，或，或，或，或，或，或，或，．方程的正整数解的个数是9个．故选：C．9．（25-26八年级上·河北邯郸·月考）对任意非负数x，若记，给出下列说法．其中正确的个数为（

）①；②，则；③；④对任意大于3的正整数，有．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】C【详解】∵，①当时，，故①错误；②由，得，解得，经检验是方程的解，故②正确；③对于任意，，，∴，因此对任意成立，故，③正确；④，故④错误.综上，正确的有②和③，共2个，故选：C．10．（24-25八年级上·河南许昌·期末）若关于的一元一次不等式组有解且最多有3个整数解．关于的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数的值之和为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【详解】解：，解不等式得，解不等式得，∴不等式组的解集为，∵不等式组有解且最多有3个整数解，∴，解得，∴整数为，，，，，．解分式方程得，∵分式方程有整数解且∴是整数且∴（时，舍去）∴和为，故选：C．第Ⅱ卷二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上）11．（24-25八年级下·江苏·专题练习）____．【答案】【详解】解：，故答案为：．12．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）不改变分式的值，使的分子中不含分数，则该分式可化简为__________．【答案】【详解】解；，故答案为：．13．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）并联电路中两个电阻的阻值分别为，电路的总电阻和满足，则可表示为______（用含，的代数式表示）．【答案】【详解】解：∵，∴，根据异分母分式减法法则通分计算得：，对等式两边取倒数得：．14．（25-26八年级上·江苏南通·期末）若x=m是关于x的方程的解，则代数式的值是____________．【答案】4【详解】解：∵是方程的解，原方程化为，即．整理得．∴，故答案为：4．15．（24-25九年级下·四川成都·月考）已知关于x的分式方程的解满足，且k为整数，则符合条件的所有k值的和为_________．【答案】70【详解】解：由解得：，，且且，，且，且,解得：且，为整数，为∴符合条件的k值的和为：．故答案为：70．16．（24-25八年级上·山东泰安·期末）定义：为分式（，，为实数）的“关联数”，若“关联数”相对应的分式的值为，则关于的方程的解是________．【答案】【详解】解：∵相对应的分式的值为，∴，求解验根得：∴可转化为，求解验根得：，故答案为：17．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）已知，，下列结论：①；②若，则；③无论为何实数值，始终有；④若关于的方程无解，则．其中正确的有_____（请填写序号）．【答案】①②③【详解】解：对于结论①，，成立；对于结论②，当，时，，故，成立；对于结论③，，故，成立；对于结论④，方程即，，，，当时，解整式方程得，此为原分式方程的增根，故原方程无解，当时，原分式方程无解，当或时，分式方程无解，故结论④错误，故答案为：①②③．18．（25-26八年级上·浙江金华·期中）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个不同单位分数相加的形式为______；对于任意正整数，将拆分成两个不同单位分数相加的形式为______．【答案】【详解】解：对于，分母，则第一个单位分数的分母为，第二个单位分数的分母为，故．对于任意正整数，设分母，则第一个单位分数的分母为，第二个单位分数的分母为，故．故答案为：，．三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-24题每题10分，25-26题每题11分，答案写在答题卡上）19．（2025·河北石家庄·三模）先化简，再求值：，其中，下面是甲同学的部分运算过程：解：

第一步

第二步

第三步…(1)甲同学的运算过程中第步是通分；(2)请你先用与甲同学不同的方法化简，再求值．【答案】(1)一(2)，【详解】（1）解：甲同学的运算过程中第一步是通分；（2）解：原式；当时，原式．20．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)无解【详解】（1）解：去分母，得，去括号，得，移项、合并，得，解得：，经检验，是方程的解，∴；（2）解：去分母，得，去括号，得，移项、合并，得，解得：，当时，，则分式方程无解．21．（25-26九年级下·江苏泰州·月考）嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如图．设每支圆珠笔为元．(1)请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了？(2)嘉嘉核实账单后，发现中性笔和圆珠笔的单价均为整数，每支中性笔与圆珠笔的差值算错了，其他都正确．若每支中性笔比圆珠笔贵元，求出整数的值．【答案】(1)计算数量不是整数，所以搞错了(2)【详解】（1）解：由题意得：，解得：，经检验，是分式方程的解，此时圆珠笔的数量为，由于圆珠笔数量为整数，则不符合题意，所以嘉嘉搞错了；（2）解：由题意得：，解得：，由于中性笔与圆珠笔的单价都为整数，且，则m只能为3的倍数，所以或6，从而或8，但当时，圆珠笔的数量为，不符合题意，∴，，经检验，是原方程的解，且符合题意，∴．22．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）观察下列分式及其变形过程，①②③④……我们把一个分子次数小于分母次数的分式，称为“真分式”；若一个分式可以化成一个整式与一个真分式和的形式，则称为“奇妙分式”．根据上述信息，完成下列各题：(1)下列式子中，属于“奇妙分式”的是______；（只填写字母代号）A．

B．

C．

D．

E．(2)若奇妙分式的值为整数，求正整数a的值；(3)已知分式是奇妙分式，①把其化成一个整式与一个真分式和的形式；②用a表示①中的整式部分，用b表示①中真分式的分母部分，若式子可化简为一个整式，求常数m的值．【答案】(1)A、B(2)2(3)①；②【详解】（1）A选项：，是整式，是真分式（分子次数分母次数），属于奇妙分式．B选项：，是整式，是真分式（分子次数分母次数），属于奇妙分式．C选项：分子次数分母次数，是真分式，不能拆出整式，不属于奇妙分式．D选项：是整式（为常数，分式可化为整式形式），不属于奇妙分式．E选项：（），是整式，不属于奇妙分式．综上，答案为A、B．（2）解：分式值为整数，是正整数，是的因数．当时，，（舍去，非正整数）；当时，，（符合正整数要求），或（舍去，非正整数）；当时，，（舍去，非正整数）；当时，（无实数解，舍去）．正整数的值为．（3）解：①②由①知，整式部分，真分式分母．式子可化简为整式，能被整除．∴当时，，即，解得．23．（25-26七年级下·重庆·月考）【综合实践】材料大多数小汽车是前轮驱动的，所以前轮的磨损程度比后轮严重，因此时间一长汽车行驶的安全性将大打折扣：如果同时更换前后轮，用车成本又会提高．因此，汽车使用手册上都有定期给前后轮换位的建议．例如：为了让轮胎均匀磨损并延长轮胎的使用寿命，我们建议每行驶进行一次轮胎换位．(1)设轮胎总的耗损量为单位1，在前轮时行驶a万千米报废，在后轮时行驶万千米报废．则该轮胎在前、后位置时的耗损率分别可表示为______、______．（说明：耗损率是指，每万千米轮胎的耗损量．）(2)若汽车前轮行驶万千米时报废，而后轮行驶到8万千米时报废．如果在汽车使用寿命内前、后轮位置只交换一次，那么汽车行驶多少万千米时，交换前、后轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废？（结果保留小数点后一位）(3)一款新型轮胎，安装在后轮可行驶的里程是安装在前轮的，装备该轮胎的汽车在轮胎的使用寿命内，前后轮胎只交换一次，共行驶了万千米前后轮胎同时报废．求该款新型轮胎安装在前轮和安装在后轮可行驶的里程数分别为多少万千米？（说明：分母中含有字母的方程，要将解代入原始方程中进行检验．）【答案】(1)，(2)汽车行驶大约万千米时，交换前后轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废；(3)安装在前轮可行驶的里程为万千米，则安装在后轮可行驶的里程为万千米．【详解】（1）解：∵轮胎总的耗损量为单位1，在前轮时行驶a万千米报废，在后轮时行驶万千米报废，∴该轮胎在前轮时的耗损率为，在后轮时的耗损率为．（2）解：设汽车行驶万千米时，交换前后轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废，根据题意可得，解得，，∴汽车行驶大约万千米时，交换前后轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废．（3）解：设安装在前轮可行驶的里程为万千米，则安装在后轮可行驶的里程为万千米，轮胎交换前行驶了万千米，交换后行驶了万千米，根据题意可得，得，解得，经检验，是原方程组的解，∴，，∴安装在前轮可行驶的里程为万千米，则安装在后轮可行驶的里程为万千米．24．（25-26八年级上·广东揭阳·期末）按要求解答下列各题：(1)若关于的方程的解是正数，求的取值范围；(2)关于的方程解是负数，求的取值范围；(3)已知关于的方程有增根，求的值；(4)若关于的分式方程无解，求的值