苏科版数学八年级下册 第10章 分式（期末复习讲义）培优版 学案 含答案

第十章分式【期末复习讲义】-培优版第十章分式【期末复习讲义】-培优版『导图+知识梳理+27个题型讲练+真题实战练共64题』（原卷版）归纳归纳题型汇总一览无余题型序列题型名称题型序列题型名称题型一分式无意义的条件题型十四已知分式恒等式，确定分子或分母题型二分式有意义的条件题型十五分式加减混合运算题型三分式值为零的条件题型十六分式加减的实际应用题型四分式的求值题型十七分式加减乘除混合运算题型五求分式值为正（负）数时未知数的取值范围题型十八分式化简求值题型六求使分式值为整数时未知数的整数值题型十九分式最值题型七利用分式的基本性质判断分式值的变化题型二十根据分式方程解的情况求值题型八将分式的分子分母的最高次项化为正数题型二十一分式方程无解问题题型九将分式的分子分母各项系数化为整数题型二十二列分式方程题型十约分题型二十三分式方程的行程问题题型十一最简分式题型二十四分式方程的工程问题题型十二最简公分母题型二十五分式方程的经济问题题型十三通分题型二十六分式方程和差倍分问题题型二十七分式方程的其它实际问题第一部分第一部分框架速览体系搭建第二部分第二部分知识梳理核心归纳知识点一分式相关概念定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.最简分式：分子与分母没有公因式的分式；分式有意义的条件：B≠0；分式值为0的条件：分子=0且分母≠0知识点二分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）.知识点三分式的变号法则对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.知识点四分式的约分，最简分式与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.知识点五分式通分（找最简公分母）与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.最简公分母：1.分母中能分解因式的，先分解因式：2.取各分母所有因式的最高次幂的积知识点六分式的乘除分式的乘除法运算乘法分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即a除法分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即a知识点七分式的乘方分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：abn=⑴、（是正整数）⑵、（是正整数）⑶、（是正整数）⑷、（，是正整数，）⑸、（是正整数）⑹、（，n是正整数）知识点八同分母分式的加减同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；上述法则可用式子表为：ac知识点九异分母分式的加减异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.上述法则可用式子表为：a+cb+d知识点十分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.知识点十一分式方程的解法解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.知识点十二分式方程应用1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．要掌握常见问题中的基本关系，如：行程问题：速度＝路程÷时间；工作量问题：工作效率＝工作量÷工作时间等等．列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．第三部分第三部分精讲变式融会贯通题型讲练一分式无意义的条件【例1】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）已知分式M满足下列表格中的信息，则分式M有可能是（

）a的值0123M的值n0无意义4nA．a−2a−1 B．a−1a−2 C．a+1a−1【变式】（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）当x取哪个数时，分式11−xA．x>1 B．x=0 C．x<1 D．x=1题型讲练二分式有意义的条件【例2】（25-26八年级下·北京延庆·期中）小亮根据学习函数的经验，对函数y=1x…−3−2−1m12432345…y…975345−10n357…(1)函数y=11−x+2(2)如表是y与x的几组对应值：其中m的值为_______；n的值为_______；(3)在下面的平面直角坐标系xOy中，画出该函数图象：(4)根据函数图象，直接写出方程11−x【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）要使式子4x−50+(2x−3)−2有意义，求题型讲练三分式值为零的条件【例3】（25-26八年级上·宁夏吴忠·期中）若分式|x|−1x+1的值为0，则x的值为_________【变式】（24-25八年级下·甘肃白银·月考）若分式x2−9(x−3)(x+1)的值为0，则xA．3 B．−3 C．±3 D．−1题型讲练四分式的求值【例4】（25-26八年级下·四川达州·期中）若ab=2，则a2【变式】已知a+b3ab=1，且a>0，b>0．求题型讲练五求分式值为正（负）数时未知数的取值范围【例5】（25-26九年级上·黑龙江鹤岗·开学考试）已知y=2x+1x−3，当x为何值时，【变式】若分式|x|−2x−1的值是负数，则x的取值范围是（

A．1<x<2 B．x>1或x<−2C．1<x<2或x<−2 D．−2<x<2且x≠1题型讲练六求使分式值为整数时未知数的整数值【例6】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）已知分式a2−2a的值为整数，则所有满足条件的整数a【变式】（25-26八年级上·河北承德·期末）阅读资料，解决问题：定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：4x+1,x+1x2(1)分式x2(2)将假分式3x+1x−1(3)如果分式x2+3x−3x+3题型讲练七利用分式的基本性质判断分式值的变化【例7】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如果分式x2+y2x−yA．保持不变 B．扩大到原来的9倍C．扩大到原来的3倍 D．缩小到原来的1【变式】（24-25八年级上·北京·期末）已知mn<0，m>n，则下列式子一定比nm大的是（

A．2nm B．2+nm C．2n2m题型讲练八将分式的分子分母的最高次项化为正数【例8】（24-25七年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的第一项的系数化为正数，且各项系数不是整数的要化为整数．(1)−2x+y−x−3y(2)−0.01z−0.5−0.3z−0.04【变式】（2024七年级上·全国·专题练习）（1）不改变分式的值，使分式x−1（2）不改变分式的值，使分式x−y（3）当x满足什么条件时，分式2−3x4题型讲练九将分式的分子分母各项系数化为整数【例9】（23-24八年级上·全国·课堂例题）不改变分式的值，把下列各分式的分子与分母中各项系数都化为整数：(1)0.5x−1(2)54【变式】（25-26八年级上·青海西宁·期末）下列式子成立的是（

）A．(−2)3⋅(−2)C．0.3a+0.5b0.2a−b=3a+5b题型讲练十约分【例10】（25-26八年级上·山东滨州·期末）（1）计算：x8÷（2）计算：x−2【变式】（2025·全国·一模）已知分式x2(1)化简该分式；(2)若该分式的值为整数，求所有符合条件的整数x的值；(3)（迁移）类比上述分式，设计一个分式，使其化简后为x+ax+b题型讲练十一最简分式【例11】（25-26八年级上·山东德州·期末）下列说法正确的是（

）A．无论x为何值x2x2+1总有意义C．分式x2−9x+3值为0，则x的值为±3 【变式】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）嘉琪的一次课堂练习如图所示，他做对的题目有（）判断题，对的打“√”，错的打“×”①代数式m4、m+n②当a=3时，分式m+na−3③若分式x−2x−2的值为0，则④式子x2y⑤分式x+yxA．②③④ B．①②⑤ C．①② D．③④⑤题型讲练十二最简公分母【例12】（25-26八年级下·全国·课后作业）把分式1x−2，1x−2x+1和2A．最简公分母是x−2x+12 C．1x−2x+1=【变式】（2026八年级下·全国·专题练习）阅读下列解题过程，回答下列问题：例如：求2x2y解：第一步：1，2x2y第二步：xy2，第三步：x2y2，2y∴2x2y，3请用以上方法解决下列问题：(1)求cab，abc，(2)求32x2yz题型讲练十三通分【例13】（25-26八年级上·全国·课后作业）小强的一道作业题：“对下列分式通分：x−3x3−x解：x−3x3x−【变式】（25-26八年级上·山东·课后作业）通分：(1)aa2−b2，b2b−2a；(2)题型讲练十四已知分式恒等式，确定分子或分母【例14】已知3x+4x−2x+1=Ax−2−Bx+1，A．7 B．9 C．13 D．5【变式】（25-26八年级上·湖南长沙·月考）定义：如果两个分式A=B+1，则称A是B的“美好分式”，如分式，A=xx−2，B=2x−2，B+1=2(1)已知分式C=x+3x−3，D=6x−3，请判断(2)已知分式E=wx+2（w为常数），F=−xx+2，且E是F的“美好分式”，若关于x的方程wx+3=tx+k对于任意的(3)已知分式P=abxab+bx−ax（a,b为正整数），分式Q=mnm2+3m−n+x+1（m,n为正整数），P是Q的“美好分式”，若aba−b题型讲练十五分式加减混合运算【例15】（25-26八年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考请认真阅读，并完成相应任务．通过小学的学习，我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．例如：83我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如x−1x+1，x2x+1这样的分式就是假分式；再如3类似地，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和的形式）．如：x−1x+1再如：x任务：(1)分式3x+1(2)将假分式x2(3)已知2x+3x−1的值为正整数，直接写出x【变式】（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）操作发现：阅读下列解题过程：已知xx2+1解：由xx2+1=13知∴x∴x2x以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，(1)已知xx2+1(2)实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题：已知xx2−x+1(3)问题解决：已知：xyx+y=45，xzx+z题型讲练十六分式加减的实际应用【例16】（24-25八年级下·湖北武汉·月考）一瓶水，每次倒一点，是否一定能倒完？有人肯定觉得不管怎么倒，一定能倒完．真是这样吗？下面我们用所学的数学知识来分析解决．(1)用简便方法计算下题：12(2)利用（1）中得出的规律解决以下问题，一个容器装有1升水，按如下要求倒水：第1次倒出12升水，第2次倒出12升的13，第3次倒出13升的14，第4次倒出14升的15【变式】（25-26八年级下·江苏无锡·月考）请仔细阅读下面的材料，并完成相应任务，分式与糖水浓度在生活中，有这样司空见惯的现象：现象1：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜．用数学知识解释：设原来的糖水总质量是a克，其中含有b克糖a>b>0，则糖水的浓度为ba①如果加入m克水，糖水的浓度变为______，因为糖水变淡，可以得到不等式______；②如果加入n克糖，糖水的浓度变为______，因为糖水变甜，可以得到不等式______．现象2：两杯浓度相同的糖水混合，糖水甜度不变．在两个杯子中分别盛有a1克，a2克糖水，分别含糖b1克，b2克．它们浓度相同，则b1a1=b(1)任务1：直接写出现象1中“______”处的内容；(2)任务2：证明现象1中②的不等式；（提示：若A−B>0，则A>B）(3)任务3：直接写出现象2中“______”处的内容，并用数学知识说明“混合后糖水的浓度与原小杯糖水的浓度相同”的道理；(4)任务4：请运用现象1的结论证明：若a，b，c是△ABC三边的长，则1<a题型讲练十七分式加减乘除混合运算【例17】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：x2−1x÷1−【变式】（25-26八年级上·江苏镇江·月考）请仔细阅读下面材料，然后解决问题：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：xx+1,x2x+1；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：1(1)将分式3xx−1(2)当x取哪些整数值时，分式3xx−1(3)当x=______时，分式3x题型讲练十八分式化简求值【例18】（25-26八年级下·四川宜宾·期中）先化简，再求值：x2+6x+9x【变式】（25-26八年级下·山西临汾·月考）综合与实践定义：如果两个分式P与Q的和为常数k，则称P与Q互为“和常分式”，常数k称为“和常值”．例如：分式P=1m，Q=2m−1m，P+Q=1m+(1)已知分式A=m−3m+2，B=2m+9m+2，判断(2)已知分式C=2m−1m−3，D=Mm2−9，若①求代数式M（用含m的式子表示）．②若分式D的值为正整数，求m的值．(3)已知分式E=am−3m−1，F=m+bm2−2m+1（a，b为整数），若题型讲练十九分式最值【例19】（25-26八年级上·吉林·期末）下面是八年级数学的拓展学习片段：例题：求证：a2证明：∵a−b2∴a2∴a2认真学习例题后，解答下面问题：(1)求证：x2(2)①若xy=4，则x2②若x2+y(3)①x2②x2(4)有三个正方形，第一个正方形和第二个正方形面积的和为10，第三个正方形的边长等于第一个正方形和第二个正方形边长的和，直接写出第三个正方形面积的最大值．【变式】（25-26八年级上·江苏南通·月考）新定义：如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，那么我们把这样的式子称作交换对称式．例如：x2+y①若p=2,q=−1，则交换对称式ba+②若q=−2，则交换对称式a3+2a题型讲练二十根据分式方程解的情况求值【例20】（25-26八年级下·山东济南·月考）解关于x的分式方程5+xx−2=m2−x【变式】（25-26八年级下·重庆·期中）若关于x的一元一次不等式组2x−13>x2−12x<m至少有三个整数解，关于y的分式方程题型讲练二十一分式方程无解问题【例21】（25-26八年级下·河南南阳·期中）已知关于x的方程2x+1+1x−1=【变式】（25-26八年级下·重庆万州·月考）阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式A=xx−1，B=−1x−1，A+B=x−1x−1=1(1)若分式A=x−4x−3，B=x−2x−3，判断A与(2)已知分式C=2x−1x−2，D=Mx2−4，C与D互为“关联分式”，且“关联值”k=2，当(3)已知分式P=3x−5x−3，Q=mx−33−x，P与Q互为“关联分式”，且“关联值”k=2，若满足以上关系的关于题型讲练二十二列分式方程【例22】（25-26八年级上·河北保定·期末）【智能生活】用A，B两种智能机器人搬运大米，A型机器人比B型机器人每小时多搬运20袋大米．(1)设A型机器人每小时搬运x袋大米，则B型机器人每小时搬运___________大米，B型机器人搬运700袋大米所用的时间是___________小时；（用含x的代数式表示）(2)现有两个条件：①A型机器人搬运700袋大米与B型机器人搬运500袋大米所用时间相等；②A型机器人搬运700袋大米所用的时间是B型机器人搬运相同数量大米所用时间的57，从两个条件中选一个，求A，B【变式】（25-26八年级上·上海普陀·期末）小明的爸爸买了某银行的低风险理财产品（该理财产品分两次取回），本金为10000元，1年后返还5110元，2年后返还5250元，设此理财产品的收益率为x，根据题意，为求解x，以下列出的方程中正确的是（

）A．100001+xB．100001+xC．5110+52501+2xD．51101+x题型讲练二十三分式方程的行程问题【例23】小李从家出发去相距4.5km(1)求小李上班步行的速度和骑自行车的速度．(2)有一天小李骑自行车出发，出发1.5km【变式】（25-26八年级上·北京·期末）京哈高铁2025年7月1日起按时速350公里高标准运行．但在实际运营中时速受一些因素影响会在不同路段有所调整．某次列车怀柔南站至承德南站运营时长是朝阳站至怀柔南站运营时长的2倍．已知怀柔南站至承德南站运营里程约为128km，朝阳站至怀柔南站运营里程约为55km，若该次列车怀柔南站至承德南站的平均速度比朝阳站至怀柔南站的平均速度快题型讲练二十四分式方程的工程问题【例24】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）江苏省城市足球联赛的吉祥物“苏嘟嘟”深受球迷喜爱．为了满足球迷需求，苏嘟嘟的纪念品工厂需要生产一批“苏嘟嘟玩偶”．工厂有甲、乙、丙三条生产线，它们的工作效率不同．(1)已知：甲生产线单独完成这批玩偶需要20天，乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天．甲、乙两条生产线合作，6天可以完成这批玩偶的920(2)在（1）的条件下，工厂接到紧急订单，需要在12天内完成这批玩偶．厂长制定了以下方案：先让甲、乙两条生产线合作4天，然后丙生产线加入，三条生产线一起合作直到完成．请你计算，这样安排能否在12天内完成任务？【变式】（25-26八年级上·广东东莞·期末）为了美化环境，建设生态南岸，某社区需要对8000平方米的区域进行绿化改造，计划由甲、乙两个绿化工程队合作完成，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多100平方米，甲队单独完成全部任务所需时间是乙队的34(1)甲、乙两队每天分别能完成多少平方米的绿化改造面积？(2)已知甲队每天施工费用为2400元，乙队每天施工费用为1800元，若先由甲队施工若干天后，再由甲、乙两个施工队合作完成，恰好14天完成绿化改造，求完成这项绿化改造任务总共需要施工费用多少元？题型讲练二十五分式方程的经济问题【例25】（25-26八年级下·江苏淮安·期中）江苏城市足球联赛（苏超）中，淮安队需要采购两种训练用球：A型训练球和B型训练球．已知买一个A型训练球比买一个B型训练球便宜20元．用360元全部购买A型球的数量，与用480元全部购买B型球的数量相同．(1)求A型、B型训练球每个各多少元？(2)淮安队计划购买A、B两种训练球共20个，其中A型球不多于11个，且总费用不超过1430元．问共有几种购买方案？哪种方案总费用最低？并求出最低费用．【变式】（25-26八年级下·四川宜宾·月考）某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．(1)今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？(2)为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？(3)如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？题型讲练二十六分式方程和差倍分问题【例26】（25-26九年级下·辽宁本溪·月考）某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1620元，购买乙种用了3600元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的2倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵5元．(1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价；(2)该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过4800元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？【变式】（25-26九年级上·重庆·期中）列方程解下列问题：在“双十一”活动中，某电商平台商家上架甲、乙两种商品进行销售．已知购买5件甲种商品和2件乙种商品共需230元，购买6件甲种商品和3件乙种商品共需300元．(1)求甲、乙两种商品每件的售价；(2)“双十一”活动后，甲、乙两种商品每件的售价上涨的价格相同，某顾客用2450元购买甲种商品，用2250元购买乙种商品，购买甲种商品的数量比乙种商品的数量多40％题型讲练二十七分式方程的其它实际问题【例27】（25-26八年级下·陕西西安·期中）某厂家生产A，B两种智能分拣设备，已知A设备分拣1500件快件所用的时间与B设备分拣1800件快件所用的时间相同，且A设备每小时比B设备少分拣100件快件．(1)求A设备每小时分拣多少件快件？(2)一公司现需从该厂家购进A，B设备若干，由于费用限制要求A设备比B设备多购进2个，若购进的这批设备1小时至少需要共同完成10900件快件的分拣任务，那么至少要购进多少个B设备？【变式】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）随着智能家居的发展，清洁机器人越来越多地进入家庭，某物业公司欲购进A、B两种型号的清洁机器人，每台A型机比每台B型机平均每小时少清扫3平方米，一台A型机清扫60平方米所用时间是一台B型机清扫33平方米所用时间的2倍．(1)每台A型机和每台B型机平均每小时分别清扫多少平方米？(2)若物业公司共购进20台机器人，A型机器人2000元/台，B型机器人3000元/台．公司要求这批机器人每小时至少清扫630平方米楼道，那么该公司如何购买A型和B型机器人，才能使总成本最低？并求出最低成本；(3)更新A、B两种型号的机器人程序后，每台B型机比每台A型机平均每小时多清扫a平方米，用一台A型机清扫m平方米的时间，一台B型机可比一台A型机多清扫30平方米，则一台A型机平均每小时清扫____________平方米，一台B型机平均每小时清扫___________平方米（用含a、m的式子表示）．第四部分第四部分拓展拔高实战攻坚1．（25-26八年级下·广东深圳·期中）若分式方程m−1x−2+12−x=2A．2 B．3 C．4 D．52．（25-26八年级下·河南周口·期中）下列说法正确的是（

）A．当x≠−2时，分式x+2x有意义 B．分式32x与1C．无论x为何值，1x4+1的值总为正数 D．当分式3．（25-26八年级下·重庆·期中）给定一列数，我们把这列数中第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，以此类推，第n个数记为an（n为正整数）．已知a1=x，a2①a2025②若a3a4③若a1⋅a④若a2024−1aA．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．若1x−1y5．（25-26八年级下·四川宜宾·月考）已知a是实数，并且a2−2020a+4=0，则代数式a26．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）若关于x的不等式组3x−12<1+xx−2a≥1有解，且关于y的分式方程y−a1−y7．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）解方程(1)1x=3x−2；8．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）中考体育项目中，若要取得男生1000米项目的满分成绩，需在3分50秒内跑完全程．男生甲同学第一次模拟测试未拿满分，经过训练，第二次模拟测试时平均速度为第一次的16159．（25-26八年级下·重庆·期中）某区域为规范共享电单车管理，计划投放A型和B型两种电单车共50辆．经测算，每辆A型电单车日均耗电0.5千瓦时，每辆B型电单车日均耗电0.2千瓦时，所有车辆日均总耗电量为16千瓦时．(1)请问该区域投放了多少辆A型和多少辆B型电单车？(2)经市场调研，每辆A型电单车的进价比每辆B型多200元．如果用48000元采购A型电单车的数量与用36000元采购B型电单车的数量相同，那么采购第（1）问中投放的全部电单车总共需要花费多少元？10．（25-26八年级下·广东深圳·期中）数学来源于生活，生活中处处有数学．用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证发现一些数学结论．【实验发现】糖水实验一：(1)①现有b克糖水，其中含有a克糖(b>a>0)，则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为ab．加入m②生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡，即糖水浓度变低，由此可以写出一个不等式________，我们趣称为“糖水不等式”；糖水实验二：(2)将“糖水实验一”中的“加入m克水”改为“加入n克糖并完全溶解”，根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”________；【应用拓展】某饮料公司生产混合果汁，使用两种基础果汁原料：果汁：糖的浓度为8%（糖的浓度=糖的质量果汁：糖的浓度为24%；(3)若取相同质量的果汁A和果汁B进行混合，混合果汁的糖的浓度可以表示为8+24()(4)饮料公司需要生产一批280kg的混合果汁，生产果汁A和果汁B的利润分别为7元/kg和13元/kg，要求混合果汁的糖的浓度不高于14

第十章分式【期末复习讲义】-培优版第十章分式【期末复习讲义】-培优版『导图+知识梳理+27个题型讲练+真题实战练共64题』（解析版）归纳归纳题型汇总一览无余题型序列题型名称题型序列题型名称题型一分式无意义的条件题型十四已知分式恒等式，确定分子或分母题型二分式有意义的条件题型十五分式加减混合运算题型三分式值为零的条件题型十六分式加减的实际应用题型四分式的求值题型十七分式加减乘除混合运算题型五求分式值为正（负）数时未知数的取值范围题型十八分式化简求值题型六求使分式值为整数时未知数的整数值题型十九分式最值题型七利用分式的基本性质判断分式值的变化题型二十根据分式方程解的情况求值题型八将分式的分子分母的最高次项化为正数题型二十一分式方程无解问题题型九将分式的分子分母各项系数化为整数题型二十二列分式方程题型十约分题型二十三分式方程的行程问题题型十一最简分式题型二十四分式方程的工程问题题型十二最简公分母题型二十五分式方程的经济问题题型十三通分题型二十六分式方程和差倍分问题题型二十七分式方程的其它实际问题第一部分第一部分框架速览体系搭建第二部分第二部分知识梳理核心归纳知识点一分式相关概念定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.最简分式：分子与分母没有公因式的分式；分式有意义的条件：B≠0；分式值为0的条件：分子=0且分母≠0知识点二分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）.知识点三分式的变号法则对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.知识点四分式的约分，最简分式与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.知识点五分式通分（找最简公分母）与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.最简公分母：1.分母中能分解因式的，先分解因式：2.取各分母所有因式的最高次幂的积知识点六分式的乘除分式的乘除法运算乘法分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即a除法分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即a知识点七分式的乘方分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：abn=⑴、（是正整数）⑵、（是正整数）⑶、（是正整数）⑷、（，是正整数，）⑸、（是正整数）⑹、（，n是正整数）知识点八同分母分式的加减同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；上述法则可用式子表为：ac知识点九异分母分式的加减异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.上述法则可用式子表为：a+cb+d知识点十分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.知识点十一分式方程的解法解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.知识点十二分式方程应用1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．要掌握常见问题中的基本关系，如：行程问题：速度＝路程÷时间；工作量问题：工作效率＝工作量÷工作时间等等．列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．第三部分第三部分精讲变式融会贯通题型讲练一分式无意义的条件【例1】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）已知分式M满足下列表格中的信息，则分式M有可能是（

）a的值0123M的值n0无意义4nA．a−2a−1 B．a−1a−2 C．a+1a−1【答案】B【思路引导】本题主要考查了分式无意义的条件，根据当a=2时分式无意义，可知当a=2时，分母为0．【规范解答】解：A选项：分式a−2a−1的分母为a−1，∴当a=2B选项：分式a−1a−2的分母为a−2，∴当a=2当a=1时，M=a−1当a=0时，M=a−1当a=3时，M=a−1故B选项符合题意；C选项：分式a+1a−1的分母为a−1，∴当a=2D选项：分式a−1a+1的分母为a+1，∴当a=2故选：B．【变式】（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）当x取哪个数时，分式11−xA．x>1 B．x=0 C．x<1 D．x=1【答案】D【思路引导】本题考查了分式无意义的条件，根据当分母为零时分式的值不存在得到1−x=0，求解即可，掌握相关知识是解题的关键．【规范解答】解：∵分式11−x∴1−x=0，∴x=1，故选：D．题型讲练二分式有意义的条件【例2】（25-26八年级下·北京延庆·期中）小亮根据学习函数的经验，对函数y=1x…−3−2−1m12432345…y…975345−10n357…(1)函数y=11−x+2(2)如表是y与x的几组对应值：其中m的值为_______；n的值为_______；(3)在下面的平面直角坐标系xOy中，画出该函数图象：(4)根据函数图象，直接写出方程11−x【答案】(1)x≠1(2)0，1(3)见解析(4)x=0或x=【思路引导】（1）根据分式的分母不能为0求解；（2）令y=3求出m的值，令x=2求出n的值；（3）将表格中的点在平面直角坐标系中描出来，用平滑的曲线连接即可；（4）11−x+2=−2x+3的解为函数y=1【规范解答】（1）解：∵1−x≠0，∴x≠1．（2）解：令y=3，则11−x∴1∴1−x=1，∴x=0，∴m=0；令x=2，则y=1∴n=1．（3）解：如图所示．（4）解：函数y=−2x+3的图象如图所示，由图可得：交点坐标为0,3，32∴方程11−x+2=−2x+3的解为x=0或【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）要使式子4x−50+(2x−3)−2有意义，求【答案】x≠54且x≠【思路引导】根据零指数幂的底数不能为零，负整数指数幂的底数不能为零，可得x的取值范围，再把x=3【规范解答】解：∵式子4x−50∴4x−5≠0且2x−3≠0，解得x≠54且当x=34x−5=1+=1+=1+=13题型讲练三分式值为零的条件【例3】（25-26八年级上·宁夏吴忠·期中）若分式|x|−1x+1的值为0，则x的值为_________【答案】1【思路引导】根据分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零．据此列出关于x的不等式和方程进行解答即可．解题的关键在于理清分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零．【规范解答】解：∵分式|x|−1x+1∴|x|−1=0，x+1≠0，解得x=±1，x≠−1，∴x=1．【变式】（24-25八年级下·甘肃白银·月考）若分式x2−9(x−3)(x+1)的值为0，则xA．3 B．−3 C．±3 D．−1【答案】B【思路引导】根据分式的值为零的条件，分子为零，分母不为零，进行求解即可．【规范解答】解：∵x∴x2−9=0解得x=−3．题型讲练四分式的求值【例4】（25-26八年级下·四川达州·期中）若ab=2，则a2【答案】2【思路引导】由条件可知a=2b，将a=2b代入所求分式计算可得答案．【规范解答】解：∵ab∴a=2b，∴a2【变式】已知a+b3ab=1，且a>0，b>0．求【答案】4+2【思路引导】本题考查了完全平方公式，分式的运算，先对已知等式整理得到1a+1b=3，故1=【规范解答】解：∵a+b3ab∴a+b=3ab∴1∴1=∴3a+b=1×∵a>0，b>0∴3ab>0∵3a∴3a则3ab当且仅当3ab因此3a+b≥1即3a+b的最小值为4+23题型讲练五求分式值为正（负）数时未知数的取值范围【例5】（25-26九年级上·黑龙江鹤岗·开学考试）已知y=2x+1x−3，当x为何值时，【答案】x>3或x<−【思路引导】本题主要考查了分式的性质、解不等式组等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键．由分式的性质：分式的值大于0，则分子分母同号，据此可得到两个不等式组求解即可．【规范解答】解：要使y=2x+1x−3的值为正数，即y>0，则不等式组一：2x+1>0x−3>0解2x+1>0，得2x>−1，解x−3>0，得x>3．取两者的交集，此不等式组的解集为x>3．不等式组二：2x+1<0x−3<0解2x+1<0，得2x<−1，解x−3<0，得x<3．取两者的交集，此不等式组的解集为x<−1综上，当x>3或x<−12时，【变式】若分式|x|−2x−1的值是负数，则x的取值范围是（

A．1<x<2 B．x>1或x<−2C．1<x<2或x<−2 D．−2<x<2且x≠1【答案】C【思路引导】本题主要考查分式的值及一元一次不等式组的解法，熟练掌握分式的值及一元一次不等式组的解法是解题的关键；由题意易得x−2>0x−1<0或【规范解答】解：由分式|x|−2x−1当x−2>0x−1<0时，解得：当x−2<0x−1>0时，解得：综上所述，满足条件x的取值范围为：1<x<2或x<−2故选C．题型讲练六求使分式值为整数时未知数的整数值【例6】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）已知分式a2−2a的值为整数，则所有满足条件的整数a【答案】1,−1,2,−2【思路引导】先对分式进行化简，再结合整数的条件分别求解即可．【规范解答】解：分式a2∵该分式的值为整数，且a为整数，∴2a∴当a=1时，21=2，分式的值为当a=2时，22=1，分式的值为当a=−1时，2−1=−2，分式的值为当a=−2时，2−2=−1，分式的值为综上，所有满足条件的整数a的值为1,−1,2,−2．【变式】（25-26八年级上·河北承德·期末）阅读资料，解决问题：定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：4x+1,x+1x2(1)分式x2(2)将假分式3x+1x−1(3)如果分式x2+3x−3x+3【答案】(1)假分式(2)3+4x−1(3)−6,−4,−2【思路引导】本题考查分式的化简，分式的求值，熟练掌握新定义是解题的关键：（1）根据新定义进行判断即可；（2）根据题干给定的方法，进行求解即可；（3）先将假分式化为带分式，再根据分式x2【规范解答】（1）解：由题意，分式x2（2）解：3x+1x−1x2（3）解：x2若使原分式的值为整数，则3x+3∴x+3=±1或±3，∴x=−6,−4,−2,0，∴符合条件的负整数x的值为−6,−4,−2．题型讲练七利用分式的基本性质判断分式值的变化【例7】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如果分式x2+y2x−yA．保持不变 B．扩大到原来的9倍C．扩大到原来的3倍 D．缩小到原来的1【答案】C【思路引导】将x，y同时扩大3倍后代入原分式化简，再和原分式比较即可得到结果．【规范解答】解：将3x和3y分别替换原分式中的x和y，∵(3x)∴新分式的值是原分式的3倍，即分式的值扩大到原来的3倍．【变式】（24-25八年级上·北京·期末）已知mn<0，m>n，则下列式子一定比nm大的是（

A．2nm B．2+nm C．2n2m【答案】B【思路引导】本题考查了不等式的性质，有理数符号的判断及其利用分式的基本性质判断分式值的大小；由mn<0且m>n，可得m>0，n<0，故nm<0，比较各选项与【规范解答】解：∵mn<0且m>n，∴m>0，n<0，故nmA、∵2nm=2×n∴2nm∴2nm比nB、∵2+n>n且m>0，∴2+nm∴2+nm一定比nC、∵2n2mD、∵n<0，但n可能大于或小于−2，故−2m与n∴−2m不一定比n故选：B．题型讲练八将分式的分子分母的最高次项化为正数【例8】（24-25七年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的第一项的系数化为正数，且各项系数不是整数的要化为整数．(1)−2x+y−x−3y(2)−0.01z−0.5−0.3z−0.04【答案】(1)2x−y(2)z+50【思路引导】本题考查了分式的基本性质“分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变”，熟练掌握分式的基本性质是解题关键．（1）将分式的分子分母同乘以−1即可得；（2）将分式的分子分母同乘以−100即可得．【规范解答】（1）解：−2x+y=2x−y（2）解：−0.01z−0.5=z+50【变式】（2024七年级上·全国·专题练习）（1）不改变分式的值，使分式x−1（2）不改变分式的值，使分式x−y（3）当x满足什么条件时，分式2−3x4【答案】（1）10x−2y25x+10y2；（2）【思路引导】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变；分式的分子、分母、分式改变其中任意两个的符号，分式的值不变．（1）根据分式的性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数，分式的值不变，可得答案；（2）根据分式的分子、分母、分式改变其中任意两个的符号，分式的值不变，可得答案；（3）根据解分式方程，可得答案；根据解不等式，可得答案．【规范解答】解：（1）原式=10x−2（2）原式=−y（3）①∵4x∴由2−3x4x2解得：x=2②2−3x4x2解得：x>2题型讲练九将分式的分子分母各项系数化为整数【例9】（23-24八年级上·全国·课堂例题）不改变分式的值，把下列各分式的分子与分母中各项系数都化为整数：(1)0.5x−1(2)54【答案】(1)30x−20y(2)15x+12y【思路引导】此题主要考查了分式的基本性质，关键是掌握分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变；（1）分子分母都乘以60即可；（2）分子分母同时乘以12即可；【规范解答】（1）根据分式的基本性质，将0.5x−1得0.5x−1（2）解：根据分式的基本性质，将54得54【变式】（25-26八年级上·青海西宁·期末）下列式子成立的是（

）A．(−2)3⋅(−2)C．0.3a+0.5b0.2a−b=3a+5b【答案】D【思路引导】本题主要考查了有理数的乘方运算，分式的化简等知识，逐项计算验证，A、B、C均不成立，D选项化简后成立．【规范解答】解：A：∵(−2)3=−8，∴(−2)3⋅(−2)∴−128≠128，A错误．B：∵−2∴(−23)∴64≠32，B错误．C：左边分式分子分母同乘10，得3a+5b2a−10b，右边为3a+5b∵分母不同，∴除非b=0，否则不相等，C错误．D：−25a∵左边=右边，∴D正确．故选：D．题型讲练十约分【例10】（25-26八年级上·山东滨州·期末）（1）计算：x8÷（2）计算：x−2【答案】（1）2x4【思路引导】（1）先计算同底数幂的除法和幂的乘方，再计算整式的加法；（2）先计算分子中的单项式乘以单项式，包括同底数幂的乘法，注意法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；再计算单项式除以单项式，包括同底数幂的除法，注意法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减．【规范解答】（1）解：x===2x（2）解：x===−=−1【变式】（2025·全国·一模）已知分式x2(1)化简该分式；(2)若该分式的值为整数，求所有符合条件的整数x的值；(3)（迁移）类比上述分式，设计一个分式，使其化简后为x+ax+b【答案】(1)x+3(2)x=−3,−1,0,2,5(3)x2【思路引导】本题考查分式的基本性质，分式的值，熟练掌握分式的基本性质，是解题的关键：（1）将分子和分母进行因式分解后，约分即可；（2）根据分式的值为整数，利用分离常数法，进行求解即可；（3）逆用分式的基本性质，将化简后的分式的分子和分母同时乘以x−a，即可．【规范解答】（1）解：x2（2）由（1）可知：x2∵该分式的值为整数，∴4x−1∵x为整数，∴x−1=±1,±4,±2，∴x=−3,−1,0,2,3,5；∵x−3≠0,x−1≠0，∴x≠3,x≠1，∴x=−3,−1,0,2,5；（3）根据分式的基本性质，将分式的分子和分母同时乘以x−a，得x+ax+b即：分式x2−a题型讲练十一最简分式【例11】（25-26八年级上·山东德州·期末）下列说法正确的是（

）A．无论x为何值x2x2+1总有意义C．分式x2−9x+3值为0，则x的值为±3 【答案】A【思路引导】本题考查了分式的定义、分式有意义的条件、分式值为0的条件及最简分式的判定，熟练掌握各知识点是解题关键．根据分式的定义、分式有意义的条件、分式值为0的条件及最简分式的定义，逐项判断，即可求解．【规范解答】解：A、∵2x∴2x∴无论x为何值x2B、∵1−xx−1∴分式1−xx−1C、∵分式x2∴x解得：x=3，故本选项错误，不符合题意；D∵4+π是常数，x4+π∴它是整式不是分式，故本选项错误，不符合题意；故选：A【变式】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）嘉琪的一次课堂练习如图所示，他做对的题目有（）判断题，对的打“√”，错的打“×”①代数式m4、m+n②当a=3时，分式m+na−3③若分式x−2x−2的值为0，则④式子x2y⑤分式x+yxA．②③④ B．①②⑤ C．①② D．③④⑤【答案】B【思路引导】本题考查了分式的判断，分式有意义的条件，分式值为0的条件，分式的性质；逐一判断每个小题的正误，对比嘉琪的判断，找出他做对的题目．【规范解答】解：①∵m4②∵当a=3时，分母a−3=0，∴分式无意义，原题说法正确，嘉琪判断“√”正确．③∵分式值为0需分子为0且分母不为0，分子x−2=0得x=±2，但x=2时分母为0，∴只有x=−2④∵分式变形需分子分母同乘除非零整式，此处加2不满足，如x=1,y=1时两边不相等，∴原题说法错误，嘉琪判断“√”错误．⑤∵分子x+y与分母x2综上，嘉琪做对①、②、⑤．故选：B．题型讲练十二最简公分母【例12】（25-26八年级下·全国·课后作业）把分式1x−2，1x−2x+1和2A．最简公分母是x−2x+12 C．1x−2x+1=【答案】D【思路引导】本题考查了分式的通分，掌握确定最简公分母的方法，通分时分子分母需同乘相应因式，确保变形恒等是解题的关键．先确定三个分式的最简公分母，再逐一验证每个选项的通分是否正确．【规范解答】解：A、最简公分母为(x−2)(x+1)B、1x−2C、1(x−2)(x+1)D、正确通分应为2(x+1)2=故选：D．【变式】（2026八年级下·全国·专题练习）阅读下列解题过程，回答下列问题：例如：求2x2y解：第一步：1，2x2y第二步：xy2，第三步：x2y2，2y∴2x2y，3请用以上方法解决下列问题：(1)求cab，abc，(2)求32x2yz【答案】(1)abc(2)12【思路引导】此题考查了求最简公分母，根据最简公分母的定义求解即可．根据题干中的方法求解即可．【规范解答】（1）解：第一步：1，cab，abc，第二步：ab，c，a2c，第三步：abc，c2，a2，∴cab，abc，bac（2）解：第一步：1，32x2yz第二步：2x2yz3第三步：6x2y2z3，第四步：12x3y2z3，∴32x2yz3，题型讲练十三通分【例13】（25-26八年级上·全国·课后作业）小强的一道作业题：“对下列分式通分：x−3x3−x解：x−3x3x−【答案】见解析【思路引导】本题考查了分式的通分．根据分式的基本性质可知小强的错误是把分母去掉了，根据分式的基本性质通分即可．【规范解答】解：小强的错误是把分母去掉了，不符合分式的基本性质．改正如下：x−3x3−x，3x−3x3−x【变式】（25-26八年级上·山东·课后作业）通分：(1)aa2−(2)29−3a，a−1a2【答案】(1)2a2a(2)2a−3a+3−3a−3【思路引导】本题考查了通分，找出最简公分母是解此题的关键（1）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可；（2）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可．【规范解答】（1）解：最简公分母是2a+baab2b−2a（2）解：最简公分母是−3a−329−3aa−1a9a题型讲练十四已知分式恒等式，确定分子或分母【例14】已知3x+4x−2x+1=Ax−2−Bx+1，A．7 B．9 C．13 D．5【答案】C【思路引导】先对等式右侧通分，根据分式恒等式的性质，分子对应系数相等得到方程组，求解A,B后计算4A−B的值．【规范解答】解：∵3x+4x−2∴3x+4x−2∴3x+4x−2∴3x+4x−2∴A−B=3，且A+2B=4，∴A=10∴4A−B=4×10【变式】（25-26八年级上·湖南长沙·月考）定义：如果两个分式A=B+1，则称A是B的“美好分式”，如分式，A=xx−2，B=2x−2，B+1=2(1)已知分式C=x+3x−3，D=6x−3，请判断(2)已知分式E=wx+2（w为常数），F=−xx+2，且E是F的“美好分式”，若关于x的方程wx+3=tx+k对于任意的(3)已知分式P=abxab+bx−ax（a,b为正整数），分式Q=mnm2+3m−n+x+1（m,n为正整数），P是Q的“美好分式”，若aba−b【答案】(1)是，理由见解析(2)w=2，t=2，k=3(3)m=2【思路引导】题目主要考查分式的加减运算，新定义的理解，含参数的方程，理解新定义是解题关键．（1）根据定义求解判断即可；（2）根据题意得出F+1=−xx+2+1=wx+2（3）根据题意得出Q=mnm2+3m−n+x+1=P−1=abxab+bx−ax−1=abx−(ab+bx−ax)ab+bx−ax，确定a=12x【规范解答】（1）解：是，理由如下：根据题意得：D+1=6∴C是D的“美好分式”；（2）∵分式E=wx+2（w为常数），F=−xx+2，且∴F+1=−x∴w=2，∵关于x的方程wx+3=tx+k对于任意的x值恒成立，∴wx+3=2x+3=tx+k，∴(2−t)x=k−3，∴2−t=0,k−3=0，解得t=2，k=3；综上，w=2，t=2，k=3；（3）∵分式P=abxab+bx−ax（a,b为正整数），分式Q=mnm2+3m−n+x+1（∴P=Q+1，∴Q=mn∵aba−b=−4，bxb−x∴ab=−4(a−b)，bx=6(b−x)，7ax=12(a+x)，x≠0，∴a=12x7x−12，∴a−b=12x7x−12−代入ab=−4(a−b)得：72x整理得x=3x−8，解得x=4，∴a=3，b=12，∴P=3×12×4∴Q=P−1=2−1=1，∴mnm2+3m−n+x+1整理得n=3∵m,n为正整数，∴m+1为3的正约数，∴m+1=1或m+1=3，解得m=0（不符合题意，舍去）或m=2，∴综上，m=2．题型讲练十五分式加减混合运算【例15】（25-26八年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考请认真阅读，并完成相应任务．通过小学的学习，我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．例如：83我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如x−1x+1，x2x+1这样的分式就是假分式；再如3类似地，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和的形式）．如：x−1x+1再如：x任务：(1)分式3x+1(2)将假分式x2(3)已知2x+3x−1的值为正整数，直接写出x【答案】(1)真(2)x−1+(3)2，6，−4【思路引导】本题考查了分式加减的实际应用，理解题意，利用题中的运算方法是解题的关键．（1）根据“真分式”和“假分式”的定义即可做出判断；（2）根据题中的运算方法即可将假分式化为带分式；（3）先将假分式化为带分式，根据分式的值为整数即可得到x的整数值．【规范解答】（1）解：∵分式3x+1∴分式3x+1故答案为：真；（2）解：x===x−1+1（3）解：2x+3===2+5∵2x+3x−1∴2+5则x−1必须是5的整数因数，∴x−1=1或x−1=5或x−1=−5，解得x=2或6或−4．【变式】（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）操作发现：阅读下列解题过程：已知xx2+1解：由xx2+1=13知∴x∴x2x以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，(1)已知xx2+1(2)实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题：已知xx2−x+1(3)问题解决：已知：xyx+y=45，xzx+z【答案】(1)1(2)1(3)34【思路引导】本题考查了分式加减运算，倒数定义，完全平方公式的变形求值，理解例题的思路是解题的关键．（1）把已知等式变形求出x+1（2）把已知等式变形求出x+1（3）根据已知等式得出1x+1y=54，1y+【规范解答】（1）由xx2+1=12，知∴x4+1（2）由xx2−x+1=14，得∴x∴x（3）由xyx+y=45，得由xzx+z=85，得：1x以上三式相加，得21∴1将此式分别与前面三式相减，可求得：x=2，y=43，∴x+y+z=2+题型讲练十六分式加减的实际应用【例16】（24-25八年级下·湖北武汉·月考）一瓶水，每次倒一点，是否一定能倒完？有人肯定觉得不管怎么倒，一定能倒完．真是这样吗？下面我们用所学的数学知识来分析解决．(1)用简便方法计算下题：12(2)利用（1）中得出的规律解决以下问题，一个容器装有1升水，按如下要求倒水：第1次倒出12升水，第2次倒出12升的13，第3次倒出13升的14，第4次倒出14升的15【答案】(1)6(2)倒不完，理由见解析【思路引导】（1）裂项相消法进行计算即可；（2）根据题意，列出算式求出倒出去的水的和，利用裂项相消法进行计算即可．【规范解答】（1）解：1=1−=1−=6（2）解：倒不完，理由如下：1=1−=1−1故倒不完．【变式】（25-26八年级下·江苏无锡·月考）请仔细阅读下面的材料，并完成相应任务，分式与糖水浓度在生活中，有这样司空见惯的现象：现象1：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜．用数学知识解释：设原来的糖水总质量是a克，其中含有b克糖a>b>0，则糖水的浓度为ba①如果加入m克水，糖水的浓度变为______，因为糖水变淡，可以得到不等式______；②如果加入n克糖，糖水的浓度变为______，因为糖水变甜，可以得到不等式______．现象2：两杯浓度相同的糖水混合，糖水甜度不变．在两个杯子中分别盛有a1克，a2克糖水，分别含糖b1克，b2克．它们浓度相同，则b1a1=b(1)任务1：直接写出现象1中“______”处的内容；(2)任务2：证明现象1中②的不等式；（提示：若A−B>0，则A>B）(3)任务3：直接写出现象2中“______”处的内容，并用数学知识说明“混合后糖水的浓度与原小杯糖水的浓度相同”的道理；(4)任务4：请运用现象1的结论证明：若a，b，c是△ABC三边的长，则1<a【答案】(1)①ba+m，ba+m<ba(2)见解析(3)b1(4)见解析【思路引导】（1）根据题意写出新的分式和不等式即可；（2）利用作差法即可证明；（3）根据题意写出新的分式，再由b1a1=b（4）由现象1得aa+b+c<ab+c<【规范解答】（1）解：①由题意得，加入m克水，则糖水为m+a克，∴糖水的浓度为bm+a∵糖水加水后会变淡，即糖水的浓度变小，∴bm+a②由题意得，加入n克糖，则糖为b+n克，糖水为a+n克，∴糖水的浓度变为b+na+n∵糖水加糖后会变甜，即糖水的浓度变大，∴b+na+n故答案为：①ba+m，ba+m<ba（2）证明：∵b+na+n∵a>b>0，n>0，则a−b>0，a+n>0，∴na−baa+n∴b+na+n（3）解：由题意得，两杯糖水混合后，则糖为b1+b∴浓度可以表示为b1故答案为：b1说明：∵b1∴b1=ka∴b1即混合后糖水的浓度与原小杯糖水的浓度相同．（4）证明：由三角形三边关系得b+c>a，a+c>b，a+b>c，由现象1的①，假设原来的糖水总质量是b+c克，其中含有a克糖，加入a克水，同①可得不等式aa+b+c加入a克糖，同②可得不等式ab+c则aa+b+c同理可得ba+b+cca+b+c则①+②+即1<a题型讲练十七分式加减乘除混合运算【例17】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：(1)x2(2)m+2−5【答案】(1)x+1(2)m+3【思路引导】（1）根据分式的混合运算法则计算即可；（2）根据分式的混合运算法则计算即可．【规范解答】（1）解：原式=x（2）解：原式======m+3．【变式】（25-26八年级上·江苏镇江·月考）请仔细阅读下面材料，然后解决问题：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：xx+1,x2x+1；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：1(1)将分式3xx−1(2)当x取哪些整数值时，分式3xx−1(3)当x=______时，分式3x【答案】(1)3+(2)x=−2,0,2,4(3)当x=0时，分式3x【思路引导】本题考查了分式的运算与变形，分式的值等知识．（1）根据材料提供方法变形即可求解；（2）由（1）得3xx−1=3+3x−1，根据分式3xx−1的值是整数，得到3x−1为整数，即可得到当x取整数时，x−1是3的整数因数，得到（3）3x2+5x2+1变形为3+2x2+1，即可得到当x2【规范解答】（1）解：3xx−1（2）解：∵由（1）得3xx−1∵分式3xx−1∴3x−1∴当x取整数时，x−1是3的整数因数，∴x−1=±1或x−1=±3，∴x=−2,0,2,4；（3）解：3x∴当x2+1取最小值时，分式∵x2∴x2∴当x2+1=1即x=0时，故当x=0时，分式3x题型讲练十八分式化简求值【例18】（25-26八年级下·四川宜宾·期中）先化简，再求值：x2+6x+9x【答案】x+3x，【思路引导】本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的法则是解题的关键．先对各部分因式分解，按分式运算法则化简原式，再代入x的值计算即可．【规范解答】解：x====当x=−2时，原式=−2+3【变式】（25-26八年级下·山西临汾·月考）综合与实践定义：如果两个分式P与Q的和为常数k，则称P与Q互为“和常分式”，常数k称为“和常值”．例如：分式P=1m，Q=2m−1m，P+Q=1m+(1)已知分式A=m−3m+2，B=2m+9m+2，判断(2)已知分式C=2m−1m−3，D=Mm2−9，若①求代数式M（用含m的式子表示）．②若分式D的值为正整数，求m的值．(3)已知分式E=am−3m−1，F=m+bm2−2m+1（a，b为整数），若【答案】(1)A与B互为“和常分式”，“和常值”k=3(2)①M=−5m−15；②m=−2或m=2(3)k=2【思路引导】（1）计算A+B，观察结果是否为整数即可；（2）①根据C+D=2，计算出M的表达式即可；②对分式D进行化简得D=−5m−3，故m−3是−5的因数，由此得出（3）根据分式的加法计算法则表示出E+F，根据E与F互为“和常分式”，列式后化简整理，然后对比系数列方程求解即可．【规范解答】（1）解：A与B互为“和常分式”．∵A=m−3m+2，∴A+B=m−3“和常值”k=3．（2）解：①∵C与D互为“和常分式”，且“和常值”k=2，∴C+D=2m−1两边同乘m+3m−3，得2m−1∴M=2=2=−5m−15．②D=M∵分式D的值为正整数，∴m−3是−5的因数，∴m−3=−5或m−3=−1，∴m=−2或m=2．（3）解：∵E与F互为“和常分式”，∴E+F=k，∴am−3m−1∴am∴am∴a=k,解得k=2．题型讲练十九分式最值【例19】（25-26八年级上·吉林·期末）下面是八年级数学的拓展学习片段：例题：求证：a2证明：∵a−b2∴a2∴a2认真学习例题后，解答下面问题：(1)求证：x2(2)①若xy=4，则x2②若x2+y(3)①x2②x2(4)有三个正方形，第一个正方形和第二个正方形面积的和为10，第三个正方形的边长等于第一个正方形和第二个正方形边长的和，直接写出第三个正方形面积的最大值．【答案】(1)见解析；(2)①8，②3；(3)①2，②6；(4)20．【思路引导】本题主要考查了配方法的应用，完全平方公式的几何背景，熟练掌握并能灵活运用配方法是解题的关键．（1）依据题意，由x−y2≥0，则x2（2）①依据题意，由xy=4，则x2②依据题意，由x2+y2=6（3）①依据题意得，x2+1x2②依据题意得，x2+9x2（4）依据题意，设第一个正方形和第二个正方形边长分别为a，b，则a2+b2=10，第三个正方形的边长为a+b，故第三个正方形的面积为a+b【规范解答】（1）证明：∵x−y2∴x2∴x2（2）解：①由题意，∵xy=4，∴x2故答案为：8；②由题意，∵x2又x2∴xy≤x∴xy的最大值为3，故答案为：3；（3）解：①由题意得，x2∴x2+1故答案为：2；②由题意得，x2∴x2+9故答案为：6；（4）解：由题意，设第一个正方形和第二个正方形边长分别为a，b，∴a2+b∴第三个正方形的面积为a+b2又∵a2∴ab≤5，∴10+2ab≤20，∴a+b2∴第三个正方形面积的最大值为20．【变式】（25-26八年级上·江苏南通·月考）新定义：如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，那么我们把这样的式子称作交换对称式．例如：x2+y①若p=2,q=−1，则交换对称式ba+②若q=−2，则交换对称式a3+2a【答案】−615【思路引导】本题考查了分式的混合运算和完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是关键．对于①，利用多项式的乘法得到a+b和ab的值，代入表达式求值；对于②，先将表达式化简为关于a+b的表达式，然后配方求最小值．【规范解答】①∵(x−a)(x−b)=x2−(a+b)x+ab∴x2∴p=a+b，q=ab，∵b∵p=a+b=2，q=ab=−1，∴原式=2故答案为−6；②a∵q=ab=−2∴原式=====故答案为154题型讲练二十根据分式方程解的情况求值【例20】（25-26八年级下·山东济南·月考）解关于x的分式方程5+xx−2=m2−x【答案】−2【思路引导】先确定分式方程的分母，令分母为零得到增根x=2，再将分式方程去分母化为整式方程，把增根代入整式方程计算即可求出m的值．【规范解答】分式方程5+xx−2=m2−x令分母为零，得增根x=2，方程两边同乘最简公分母x−2去分母，得：5x−2将增根x=2代入整式方程，得：5×2−2解得m=−2．【变式】（25-26八年级下·重庆·期中）若关于x的一元一次不等式组2x−13>x2−12x<m至少有三个整数解，关于y的分式方程【答案】18【思路引导】先解一元一次不等式组，根据至少有三个整数解确定m的取值范围，再解分式方程，根据分式方程有非负整数解且分母不为零确定符合条件的整数m，最后计算所有符合条件整数m的和．【规范解答】解：2x−13解不等式①：得：x>−4，解不等式②得：x<m∴不等式组的解集为−4<x<m∵不等式组至少有三个整数解，大于−4的前三个整数为−3，−2，−1，∵−1是不等式组的解，∴m2解得：m>−2，解分式方程：5−my−2方程变形为：5−my−2去分母得：5−m−1=3(y−2)，整理得：3y=10−m，解得：y=10−m∵分式方程有非负整数解，∴10−m是3的非负整数倍，∴y≥0且y≠2（y=2时分母为零，是增根，需舍去），∴10−m3≥0①当10−m=0时，m=10，符合条件；②当10−m=3时，m=7，符合条件；③当10−m=6时，m=4，不符合条件，舍去；④当10−m=9时，m=1，符合条件；⑤当10−m=12时，m=−2，不符合条件，舍去．综上所述，符合条件的整数m为1，7，10，所有满足条件的m值的和为1+7+10=18．题型讲练二十一分式方程无解问题【例21】（25-26八年级下·河南南阳·期中）已知关于x的方程2x+1+1x−1=【答案】1或−3【思路引导】先用a表示出分式方程的解，再根据分式的分母不为0，即可确定实数a的值．【规范解答】解：223x−13x−1=x+ax=a+1根据分式有意义的条件有：x+1≠0，x−1≠0，x2−1≠0，即则当x=±1时，原分式方程无解，令x=a+12=±1，解得：a=1∴当a=1或a=−3时，原分式方程无解．【变式】（25-26八年级下·重庆万州·月考）阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式A=xx−1，B=−1x−1，A+B=x−1x−1=1(1)若分式A=x−4x−3，B=x−2x−3，判断A与(2)已知分式C=2x−1x−2，D=Mx2−4，C与D互为“关联分式”，且“关联值”k=2，当(3)已知分式P=3x−5x−3，Q=mx−33−x，P与Q互为“关联分式”，且“关联值”k=2，若满足以上关系的关于【答案】(1)A与B互为“关联分式”，关联值k=2(2)1(3)1或7【思路引导】（1）根据“关联分式”定义，计算出A+B=2，进而即可判断；（2）由C与D互为“关联分式”、k=2，得2x−1x−2+Mx2−4=2（3）由P与Q互为“关联分式”、k=2，列方程化简得1−mx=−4【规范解答】（1）解：A与B互为“关联分式”，关联值k=2，理由如下：由题意得，A+B=====2，∵2是正整数，符合“关联分式”的定义，∴关联值k=2；（2）解：∵C与D互为“关联分式”，关联值k=2，∴2x−12x−12解得M=−3x−6；当M=−3x−6时，D===3∵D为正整数，且x为正整数，∴当2−x=1时，解得x=1；当2−x=3时，解得x=−1（舍去），∴x的值为1；（3）解：∵P与Q互为“关联分式”，关联值k=2，∴3x−53x−53−m1−m解得m−1x=4∵关于x的方程无解，∴当m−1=0时，即m=1，此时方程变为0⋅x=4，无实数解，符合要求；∵原分式方程的增根为x=3（使分母为0），∴将x=3代入整式方程：33m−3=4解得m=7此时整式方程的解x=3是增根，原分式方程无解