苏科版数学八年级下册 第10章 分式（章节复习检测培优卷） 试卷 含答案

2025-2026学年苏科版数学八年级下册章节复习检测培优卷（新教材）第10章分式检测时间：90分钟试题满分：100分难度系数：0.42班级：姓名：学号：一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上）1．（25-26九年级下·河南周口·开学考试）化简1a−2−a−3A．1 B．−1 C．4−aa−2 D．2．（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）已知等式x2−9y2x2A．x−3y B．x+3y C．x−9y D．x+9y3．若a为负整数，且a≠−1，则a1−a2A．② B．③ C．①或② D．④或⑤______，求提速前列车的平均速度．设列车提速前的平均速度是xkm/h，则可得方程为sA．提速后比提速前多行驶50km B．提速后比提速前少行驶50kmC．提速后比提速前多行驶(s+50)km D．提速后比提速前少行驶5．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）方程3x+x+mxx−1A．m≠3 B．m≠5 C．m≠3或m≠5 D．m≠3且m≠56．（25-26八年级上·湖北随州·期末）在“双碳”战略的引导下，我国新能源汽车产业蓬勃发展．经过对某款新能源电动汽车和某款燃油车的对比发现，平均每公里电动汽车的充电费比燃油车的加油费少0.64元．当充电费和加油费均为100元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的9倍，设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元，则可列方程为（

）A．9×100x=C．100x=1007．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）小明在作业本上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“□”为（

）A．x+1x−1 B．x+5x−1 C．1 8．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）已知a−2a=3，且a4+3A．−4 B．−113 C．−9．（2026八年级下·吉林长春·专题练习）关于x的分式方程3x−1+1=mA．1 B．3 C．4 D．010．（24-25八年级下·四川资阳·月考）关于x的不等式组a+x3≥x+131−3x−1≤14+2x有解且至多有4个整数解，关于yA．4 B．8 C．11 D．15二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.）11．（25-26八年级上·广西崇左·期末）当a=2024时，式子1−1a−2÷12．（25-26八年级上·山东青岛·期末）为响应“绿色出行”的号召，小王上班由自驾车改为乘坐公交车．已知小王家距上班地点18km，他乘公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程多10km．他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的34．小王乘公交车上班平均每小时行驶13．（25-26八年级上·湖北·期末）以下结论：①若am=4，an=3，则am−n的值为43；②若x2+kx+81是一个完全平方式，则k的值为9；③若x2−3x+1=0，则14．（25-26八年级下·全国·课后作业）王老师从家里出发，驾车到离家180 km的风景区度假．已知王老师在出发1 h内按计划的速度匀速行驶，1 h后以原计划速度的1.5倍匀速行驶，并提前40 min到达风景区．第二天以原计划速度的1.215．（25-26八年级上·河南商丘·期末）已知关于x的分式方程kx+1+2x+kx+1=116．（25-26八年级上·山东烟台·期末）若a≥−4，且关于x的分式方程ax−2+3=x−82−x有正整数解，则所有满足条件的整数17．某中学计划对甲、乙、丙三个校区进行绿化改造，校区内种植银杏和紫叶李．初步预算，这三个校区各需两种树木数量和之比为8:7:3，需银杏数量之比为7:8:5，并且甲、乙两校区需紫叶李数量之比为3:2．在实际购买时，银杏的价格比预算高10%，紫叶李购买数量增加了6.25%，紫叶李的价格比预算低20%，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买银杏的总费用与实际购买紫叶李的总费用之比为_____．18．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）若关于x的分式方程x+kx−4−2k4−x=3的解为非负数，且关于y的一元一次不等式组y−3<4y+9三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.）19．（本题6分）（25-26八年级下·湖南衡阳·月考）解分式方程：(1)5x−2=3x；20．（本题6分）（25-26八年级下·重庆·月考）先化简，再求值：x+12x−3−x2x−121．（本题8分）（25-26八年级上·四川泸州·期末）某工程队承担了850米长的道路改造任务，工程队施工完200米道路后，引进了新设备，每天改造道路的长度比原来增加了30%22．（本题8分）（25-26八年级下·福建福州·月考）为了满足新能源汽车车主日益增长的充电需求，某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如下表：若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多4个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价．单枪充电桩双枪充电桩花费：40000元花费：30000元单价：x元/个单价：1.5x元/个23．（本题8分）（25-26八年级下·重庆·月考）列方程或不等式解决实际问题：2026年农历马年春节期间，重庆文旅市场全线升温，热度拉满，共接待游客1260万人次.春节某天，甲、乙分别在洪崖洞和磁器口销售一批小马灯笼．已知乙每小时售出的数量是甲每小时售出数量的1.5倍：若两人都卖出360个灯笼，乙比甲少用4个小时．(1)求甲、乙两人每小时分别售出多少个灯笼？(2)若甲售出一个灯笼可获得利润10元，乙售出一个灯笼可获得利润8元，甲、乙一共售出450个灯笼，要使甲、乙的总利润不低于4020元，那么甲至少要销售多少个小时．24．（本题8分）（25-26八年级下·江苏泰州·月考）某市民计划从某商场购买“马年拍马屁”钥匙挂件和伴手礼套装送给家人作为新春礼物．已知一套伴手礼的售价比一个钥匙挂件的售价贵28元，且用500元购买钥匙挂件的数量正好是用600元购进伴手礼套装数量的2倍．(1)求一个钥匙挂件和一套伴手礼的售价分别为多少元？(2)该市民要购买两种礼物共20件，且购买钥匙挂件和伴手礼套装的总费用不超过540元，如果该钥匙挂件的进价为每个15元，伴手礼套装的进价为每套35元，在满足该市民购买要求的情况下，哪种购买方案能使商场获得最大利润？25．（本题10分）（25-26八年级下·山西临汾·月考）综合与实践定义：如果两个分式P与Q的和为常数k，则称P与Q互为“和常分式”，常数k称为“和常值”．例如：分式P=1m，Q=2m−1m，P+Q=1m+(1)已知分式A=m−3m+2，B=2m+9m+2，判断(2)已知分式C=2m−1m−3，D=Mm2−9，若①求代数式M（用含m的式子表示）．②若分式D的值为正整数，求m的值．(3)已知分式E=am−3m−1，F=m+bm2−2m+1（a，b为整数），若26．（本题10分）（25-26八年级下·四川宜宾·月考）某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．(1)今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？(2)为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？(3)如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？

2025-2026学年苏科版数学八年级下册章节复习检测培优卷（新教材）第10章分式检测时间：90分钟试题满分：100分难度系数：0.42一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上）1．（25-26九年级下·河南周口·开学考试）化简1a−2−a−3A．1 B．−1 C．4−aa−2 D．【答案】A【思路引导】先统一分母，再合并分子后约分得到结果．【规范解答】解：原式=====1．2．（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）已知等式x2−9yA．x−3y B．x+3y C．x−9y D．x+9y【答案】B【思路引导】运用平方差公式和完全平方公式对分子分母因式分解，再通过约分得到结果．【规范解答】解：∵x2∴括号中应填x+3y．3．若a为负整数，且a≠−1，则a1−a2A．② B．③ C．①或② D．④或⑤【答案】B【思路引导】根据题意先将分式除法进行化简计算，继而得到本题答案．【规范解答】解：a1−∵a是负整数，且a≠−1，则a≤−2，∴1−a≥3，则11−a∴0<a则在第③段．4．（25-26八年级上·江苏南通·期末）某次列车平均提速vkm/h，用相同的时间，列车提速前行驶skm，______，求提速前列车的平均速度．设列车提速前的平均速度是xkmA．提速后比提速前多行驶50km B．提速后比提速前少行驶50kmC．提速后比提速前多行驶(s+50)km D．提速后比提速前少行驶【答案】A【思路引导】本题考查分式方程的实际应用，设提速前平均速度为xkm/h，则提速后速度为x+v【规范解答】解：设提速前平均速度为xkm/h，则提速后速度为x+v方程左边sx表示提速前行驶skm所用的时间，方程右边s+50x+v∵方程表示两者时间相同∴说明相同时间内，提速后比提速前多行驶50∴补充条件为选项A，故选：A．5．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）方程3x+x+mxx−1A．m≠3 B．m≠5 C．m≠3或m≠5 D．m≠3且m≠5【答案】D【思路引导】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先解方程得到x=m−32，再根据原方程有解可得【规范解答】解：3去分母得3x−1去括号得3x−3+x+m=6x，移项，合并同类项得−2x=−m+3，系数化为1得x=m−3∵原方程有解，∴原方程不能有增根，∴x≠0且x−1≠0，∴m−32≠0且∴m≠3且m≠5，故选：D．6．（25-26八年级上·湖北随州·期末）在“双碳”战略的引导下，我国新能源汽车产业蓬勃发展．经过对某款新能源电动汽车和某款燃油车的对比发现，平均每公里电动汽车的充电费比燃油车的加油费少0.64元．当充电费和加油费均为100元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的9倍，设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元，则可列方程为（

）A．9×100x=C．100x=100【答案】D【思路引导】本题考查了列分式方程．先根据已知条件分别表示出100元费用下电动汽车和燃油车的行驶路程，再结合“电动汽车可行驶总路程是燃油车的9倍”这一核心等量关系列方程即可．【规范解答】解：设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元，∴燃油车平均每公里的加油费为x+0.64元，∵100元充电费对应的电动汽车行驶路程为100x公里，100元加油费对应的燃油车行驶路程为100∴可列方程100x故选：D．7．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）小明在作业本上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“□”为（

）A．x+1x−1 B．x+5x−1 C．1 【答案】C【思路引导】本题考查的是分式的混合运算，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键．先根据除法与减法的意义列式表示“□”为1x−2【规范解答】解：撕坏的一角中“□”为．1====1．故选：C．8．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）已知a−2a=3，且a4+3A．−4 B．−113 C．−【答案】C【思路引导】本题考查完全平方公式及整体代入法，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先利用完全平方公式对a−2a=3两边平方，得a2+4a2=13，再由a【规范解答】解：由a−2对等式两边平方，得a−2a2∴a2由题意得a2将a4+3a2x+4=0两边同时除以a∴13+3x=0，解得x=−13故选：C．9．（2026八年级下·吉林长春·专题练习）关于x的分式方程3x−1+1=mA．1 B．3 C．4 D．0【答案】B【思路引导】分式方程的增根是使得最简公分母为0的未知数的取值，根据分式方程的增根定义即可求解.【规范解答】解：增根是使分母为0的根，即x=1．去分母，得3+x−1代入x=1，得m=3．故选：B．10．（24-25八年级下·四川资阳·月考）关于x的不等式组a+x3≥x+131−3x−1≤14+2x有解且至多有4个整数解，关于yA．4 B．8 C．11 D．15【答案】A【思路引导】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式组的解的情况确定参数的取值范围，分式方程的解法，分式方程的增根问题及根据分式方程的解为整数确定参数的值．先解不等式组，根据有解且至多4个整数解确定a的取值范围，再解分式方程，结合解为整数且不为增根的条件筛选出符合的整数a，最后求和．【规范解答】解：∵解不等式组a+x3得，x≤a−1∴不等式组解集为−2≤x≤a−1∵不等式组有解且至多4个整数解，∴整数解为−2,−1,0,1（至多4个），∴−2≤两边乘2得−4≤a−1<4，∴−3≤a<5解分式方程3y+153−y解得y=9∵分式方程的解为整数且y≠3∴2a−5是9的约数±1,±3,±9，且92a−5≠3，又∵a为整数且逐一验证：当2a−5=1时，a=3，y=9，符合条件，当2a−5=−1时，a=2，y=−9，符合条件，当2a−5=3时，a=4，y=3（增根，舍去），当2a−5=−3时，a=1，y=−3，符合条件，当2a−5=9时，a=7（不在−3≤a<5范围内，舍去），当2a−5=−9时，a=−2，y=−1，符合条件，∴满足条件的整数a为−2,1,2,3，∴所有满足条件的整数a的和为−2+1+2+3=4，故选：A．二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.）11．（25-26八年级上·广西崇左·期末）当a=2024时，式子1−1a−2÷【答案】2【思路引导】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的运算法则对原式进行化简，再代入求值．先对括号内的分式进行通分计算；再将除法转化为乘法，同时对分子、分母进行因式分解；然后约去公因式，将原式化简为最简分式；最后将a=2024代入化简后的式子计算结果．【规范解答】解：1−===当a=2024时，22024−3故答案为：2202112．（25-26八年级上·山东青岛·期末）为响应“绿色出行”的号召，小王上班由自驾车改为乘坐公交车．已知小王家距上班地点18km，他乘公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程多10km．他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的34．小王乘公交车上班平均每小时行驶【答案】40【思路引导】本题主要考查了列分式方程解应用题，根据题意找等量关系是解题的关键．设自驾车速度为xkm/h，则公交车速度为x+10km/h，根据乘公交车所用时间是自驾车所用时间的【规范解答】解：设小王自驾车平均每小时行驶xkm，则乘公交车平均每小时行驶x+10根据题意，得18x+10解得x=30，经检验，x=30是原方程的解，则x+10=40，∴小王乘公交车上班平均每小时行驶40km故答案为：40．13．（25-26八年级上·湖北·期末）以下结论：①若am=4，an=3，则am−n的值为43；②若x2+kx+81是一个完全平方式，则k的值为9；③若x2−3x+1=0，则【答案】①③④【思路引导】本题考查指数运算、完全平方式、分式方程的解等知识，结论①利用同底数幂的除法法则；结论②完全平方式中常数项平方根的两倍为k值；结论③通过方程变形求解；结论④分式方程无解需考虑分母为零及化简后方程无解的情况，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【规范解答】解：①由am=4，an②x2+kx+81为完全平方式，则x2③由x2−3x+1=0且x≠0，两边除以x得x−3+1④方程2x=m2x+1交叉相乘得∵原分式方程无解，∴当整理后的整式方程无解时，m−4=0，解得m=4；当整理后的整式方程有解时，解是原分式方程的增根，原方程分母为0时，x=0或x=−1将x=0代入可得0=2，不成立，故舍去，不符合题意；将x=−12代入可得m−4×综上，m=0或m=4，故正确；综上所述，正确的有①③④，故答案为：①③④．14．（25-26八年级下·全国·课后作业）王老师从家里出发，驾车到离家180 km的风景区度假．已知王老师在出发1 h内按计划的速度匀速行驶，1 h后以原计划速度的1.5倍匀速行驶，并提前40 min到达风景区．第二天以原计划速度的1.2【答案】10【思路引导】本题考查了分式方程的应用，设原计划速度为vkm/h，根据去程行驶情况建立方程，求解得v=60【规范解答】解：设原计划速度为vkm/h，则原计划时间为180所以前1h行驶距离为vkm，剩余距离为180−vkm，以速度1.5v则实际总时间为1+180−v又因为提前40min到达，即23h化简得1+2两边同乘3v得，3v+23v+360−2v=540−2vv+360=540−2v3v=180，v=60，经检验，v=60是原方程的解，∴原计划速度v=60km/h∴实际总时间：1+180−v又返回速度1.2×60=72km/h，则返回时间180所以时间差52故答案为：10．15．（25-26八年级上·河南商丘·期末）已知关于x的分式方程kx+1+2x+kx+1=1【答案】k>12【思路引导】本题考查了分式方程的解，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先求出方程的解，再根据解为负数列不等式即可．【规范解答】解：kx+1k+2x+k=x+12x−x=1−2k∴x=1−2k且x≠−1，由题意知，1−2k<01−2k≠−1解得k>12且故答案为：k>12且16．（25-26八年级上·山东烟台·期末）若a≥−4，且关于x的分式方程ax−2+3=x−82−x有正整数解，则所有满足条件的整数【答案】10【思路引导】本题考查了解分式方程，先理解题意，由ax−2+3=x−82−x得到x=14−a4，要求x为正整数且【规范解答】解：∵a∴ax−2∴a+3x−2化简得a+3x−6=−x+8，∴x=14−a依题意，x为正整数且x≠2，∴14−a4设k=14−a4，则a=14−4k，其中k为正整数且k≠2．又因为∴14−4k≥−4，解得k≤4.5，即k≤4（k为正整数）．因此k=1,3,4．对应a值：当k=1，a=10；当k=3，a=2；当k=4，a=−2．∴所有整数a的和为10+2+−2故答案为10．17．某中学计划对甲、乙、丙三个校区进行绿化改造，校区内种植银杏和紫叶李．初步预算，这三个校区各需两种树木数量和之比为8:7:3，需银杏数量之比为7:8:5，并且甲、乙两校区需紫叶李数量之比为3:2．在实际购买时，银杏的价格比预算高10%，紫叶李购买数量增加了6.25%，紫叶李的价格比预算低20%，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买银杏的总费用与实际购买紫叶李的总费用之比为_____．【答案】33:17/33【思路引导】根据已知比例设参数表示各部分数量，利用甲、乙两校区紫叶李的数量比得到参数关系，再设单价，根据总费用相等得到单价关系，最后计算实际总费用之比．本题考查了用字母表示数，根据相等关系列方程进行化简等知识，解决问题的关键是设需要的量，列出关系式，进行数据处理．【规范解答】解：设三个校区需两种树木总数量分别为8k，7k，3k，设三个校区需银杏数量分别为7m，8m，5m．则甲校区紫叶李数量为8k−7m，乙校区紫叶李数量为7k−8m．由题意得8k−7m交叉相乘得2整理得16k−14m=21k−24m，解得k=2m．三个校区树木总数量为8k+7k+3k=18k=36m，总银杏数量为7m+8m+5m=20m，预算紫叶李总数量为36m−20m=16m．设预算银杏单价为a，预算紫叶李单价为b，则预算总费用为20ma+16mb．实际银杏总费用为20m⋅a⋅1+10实际紫叶李总数量为16m⋅1+6.25%=17m，实际紫叶李单价为b⋅由实际总费用等于预算总费用得：20ma+16mb=22ma+13.6mb约去m整理得a=6因此实际购买银杏总费用与实际购买紫叶李总费用之比为：22ma13.6mb故答案为：33:17．18．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）若关于x的分式方程x+kx−4−2k4−x=3的解为非负数，且关于y的一元一次不等式组y−3<4y+9【答案】−4＜k≤2【思路引导】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，熟练掌握解不等式组、分式方程是解题的关键．通过解一元一次不等式组，得到k的范围，再根据分式方程，得到k的取值，同时考虑到分式方程有增根的情况，得到结果．【规范解答】解：解一元一次不等式组y−3<4y+9y<k得y>−4y<k∵一元一次不等式组有解且至多有5个整数解，∴−4<k≤2，解分式方程x+kx−4得x+k+2k=3x−4∴x=3k+12∵分式方程x+kx−4∴3k+122解得k≥−4且k≠−4∴−4<k≤2且k≠−4故答案为：−4<k≤2且k≠−4三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.）19．（本题6分）（25-26八年级下·湖南衡阳·月考）解分式方程：(1)5x−2(2)1x−2【答案】(1)x=−3(2)无解【思路引导】分式方程去分母化为整式方程，解整式方程并检验即可．【规范解答】（1）解：5去分母得到，3解得x=−3经检验，x=−3是分式方程的根．（2）解：1去分母得到，1=−解得x=2，经检验x=2是增根，∴原分式方程无解．20．（本题6分）（25-26八年级下·重庆·月考）先化简，再求值：x+12x−3−x2x−1【答案】x2+x−3【思路引导】先由分式混合运算法则化简，再将x=3代入化简结果计算即可．【规范解答】原式=2=−3+=−3+=−3+x=x当x=3时，原式=9+3−3=9．21．（本题8分）（25-26八年级上·四川泸州·期末）某工程队承担了850米长的道路改造任务，工程队施工完200米道路后，引进了新设备，每天改造道路的长度比原来增加了30%【答案】引进新设备前工程队每天改造道路50米，引进新设备后工程队每天改造道路65米．【思路引导】设引进新设备前工程队每天改造道路x米，则引进新设备后工程队每天改造道路(1+30%)x米，根据某工程队承担了850米长的道路改造任务，工程队施工完200米道路后，引进了新设备，每天改造道路的长度比原来增加了30%【规范解答】解：设引进新设备前工程队每天改造道路x米，则引进新设备后工程队每天改造道路1+30%根据题意得：200x解得：x=50，经检验，x=50是所列方程的解，且符合题意，∴1+30%x=65答：引进新设备前工程队每天改造道路50米，引进新设备后工程队每天改造道路65米．22．（本题8分）（25-26八年级下·福建福州·月考）为了满足新能源汽车车主日益增长的充电需求，某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如下表：若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多4个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价．单枪充电桩双枪充电桩花费：40000元花费：30000元单价：x元/个单价：1.5x元/个【答案】单枪新能源充电桩的单价为5000元，双枪新能源充电桩的单价为7500元【思路引导】根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果．【规范解答】解：由题意可得：40000x解得：x=5000，经检验，x=5000是所列分式方程的解，且符合题意，∴1.5x=1.5×5000=7500，∴单枪新能源充电桩的单价为5000元，双枪新能源充电桩的单价为7500元．23．（本题8分）（25-26八年级下·重庆·月考）列方程或不等式解决实际问题：2026年农历马年春节期间，重庆文旅市场全线升温，热度拉满，共接待游客1260万人次.春节某天，甲、乙分别在洪崖洞和磁器口销售一批小马灯笼．已知乙每小时售出的数量是甲每小时售出数量的1.5倍：若两人都卖出360个灯笼，乙比甲少用4个小时．(1)求甲、乙两人每小时分别售出多少个灯笼？(2)若甲售出一个灯笼可获得利润10元，乙售出一个灯笼可获得利润8元，甲、乙一共售出450个灯笼，要使甲、乙的总利润不低于4020元，那么甲至少要销售多少个小时．【答案】(1)甲每小时售出30个灯笼，乙每小时售出45个灯笼.(2)甲至少要销售7小时.【思路引导】（1）设甲每小时售出灯笼的数量，根据倍数关系表示出乙的销售速度，再利用时间差的等量关系列分式方程，求解检验后得到结果．（2）设甲的销售时间，根据第一问的结果表示出甲乙的销售数量和总利润，再根据总利润的要求列一元一次不等式，求解得到最小值．【规范解答】（1）解：设甲每小时售出x个灯笼，则乙每小时售出1.5x个灯笼．根据题意，得360x方程两边同乘1.5x，得540−360=6x．解得x=30．检验：当x=30时，1.5x≠0，∴x=30是原方程的解．则1.5x=1.5×30=45．答：甲每小时售出30个灯笼，乙每小时售出45个灯笼．（2）解：设甲销售m小时，则甲售出30m个灯笼，乙售出(450−30m)个灯笼．根据题意，得10×30m+8(450−30m)≥4020．化简得60m≥420．解得m≥7．答：甲至少要销售7小时．24．（本题8分）（25-26八年级下·江苏泰州·月考）某市民计划从某商场购买“马年拍马屁”钥匙挂件和伴手礼套装送给家人作为新春礼物．已知一套伴手礼的售价比一个钥匙挂件的售价贵28元，且用500元购买钥匙挂件的数量正好是用600元购进伴手礼套装数量的2倍．(1)求一个钥匙挂件和一套伴手礼的售价分别为多少元？(2)该市民要购买两种礼物共20件，且购买钥匙挂件和伴手礼套装的总费用不超过540元，如果该钥匙挂件的进价为每个15元，伴手礼套装的进价为每套35元，在满足该市民购买要求的情况下，哪种购买方案能使商场获得最大利润？【答案】(1)一个钥匙挂件的售价为20元，一套伴手礼的售价为48元(2)当购买15个钥匙挂件，5套伴手礼套装时，商场才能获得最大利润【思路引导】（1）通过设未知数，利用“500元购买钥匙挂件的数量是600元购买伴手礼数量的2倍”的等量关系列分式方程求解；（2）先根据总费用不超过540元的限制列一元一次不等式求出自变量的取值范围，再表示出总利润，结合一次函数的性质得到利润最大时的购买方案．【规范解答】（1）解：设一个钥匙挂件的售价为x元，则一套伴手礼的售价为x+28元，根据题意列方程得：500x解得：x=20，经检验，x=20是原方程的解，且符合题意，此时x+28=20+28=48（元），答：一个钥匙挂件的售价为20元，一套伴手礼的售价为48元；（2）解：设购买钥匙挂件m个，则购买伴手礼套装20−m套，商场总利润为W元，根据总费用不超过540元，可得：20m+4820−m解得：m≥15，由题意可知，m为非负整数，且20−m≥0，即m≤20，∴15≤m≤20，计算单个利润：每个钥匙挂件利润为20−15=5（元），每套伴手礼利润为48−35=13（元），因此总利润：W=5m+1320−m∵−8<0，∴W随m的增大而减小，∴当m取最小值15时，W取得最大值，此时20−m=5，答：当购买15个钥匙挂件，5套伴手礼套装时，商场才能获得最大利润．25．（本题10分）（25-26八年级下·山西临汾·月考）综合与实践定义：如果两个分式P与Q的和为常数k，则称P与Q互为“和常分式”，常数k称为“和常值”．例如：分式P=1m，Q=2m−1m，P+Q=1m+(1)已知分式A=m−3m