苏科版数学八年级下册 第10章 分式·提升卷 试卷 含答案

2025-2026学年八年级下册数学单元自测第十章分式·能力提升建议用时：60分钟，满分：120分一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．下列各式：，，，，，，中，分式有（）A．个 B．个 C．个 D．个2．当取哪个数时，分式的值不存在（）A． B． C． D．3．已知，则的值为（）A．2025 B． C．2026 D．4．下列约分正确的是（

）A．B． C． D．5．分式可化简为（

）A． B． C． D．6．化简的结果是（

）A． B． C． D．7．若，在如图所示的数轴上标注了四段，则表示的点落在（

）A．段① B．段② C．段③ D．段④8．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（

）A． B．C． D．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）9．若分式有意义，则实数的取值范围是______．10．已知，那么________．11．若为整数，且使分式的值是整数，则的值是______．12．已知，其中，则P、Q的大小关系是__________．13．张华和李明同时从甲地沿同一线路步行去乙地．张华在前半段路程的平均步行速度是，在后半段路程的平均步行速度是；李明全程的步行速度是．已知甲乙两地的路程为，且，张华从甲地到乙地所用的时间为______；张华和李明先到达乙地的是_______（填“张华”或“李明”或“同时到达”或“不能确定”）14．已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是________．15．若关于的分式方程无解，则的值为___________．16．当分别取2024，2023，2022，…，3，2，1时，计算分式的值，所得结果相加的和为__________．17．对于实数，定义一种新运算“”：，例如：，则当分式方程的解大于时，的取值范围是_______．18．将分式和分别记为M，N，请按下列步骤操作：第一步，先计算，结果记为，再计算，结果记为；第二步，先计算，结果记为，再计算，结果记为；第三步；先计算，结果记为，再计算，结果记为，…继续操作下去，则_____________．若，则的值是_____________．三、解答题（共7小题，共46分）19．（本题6分）计算：(1)； (2)．20．（本题6分）计算(1)； (2)．21．（本题6分）解分式方程：(1) (2)22．（本题6分）先化简，再求值：，选一个你喜欢的数代入并求值．23．（本题6分）已知关于x的分式方程．(1)若分式方程的根是，求a的值；(2)若分式方程有增根，求a的值．24．（本题8分）观察下列方程及其解的特征：①的解为，；②的解为，；③的解为，；……解答下列问题：(1)第4个方程的解为________．(2)请猜想第个方程为_______；第个方程的解为_______．(3)请根据方程的解的定义验证（2）中猜想的方程的解的正确性．25．（本题8分）2025数字中国创新大赛–中小学生赛道，决赛是用电脑程序控制智能赛车进行30米比赛，“天元号”和“朝阳号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“天元号”到达终点时，“朝阳号”才行驶到全程的，“天元号”比“朝阳号”每秒多行0.8米．(1)求“朝阳号”的行驶速度；(2)如果将“天元号”的行驶路程增加，“朝阳号”的行驶路程不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达吗？通过计算说明；(3)若按照（2）中的路程行驶，请你调整其中一辆赛车的行驶速度，使两车能同时到达终点．

2025-2026学年八年级下册数学单元自测第十章分式·能力提升建议用时：60分钟，满分：120分一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．下列各式：，，，，，，中，分式有（）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【分析】本题考查分式的定义，负整数指数幂，根据分式的定义，分母中含有字母的式子才是分式，逐项判断即可，解题的关键是熟练运用分式的定义．【详解】解：∵分式是分母中含有字母的式子，∴对于，分母有字母，是分式；对于，分母是常数，无字母，不是分式；对于，是多项式，分母无字母，不是分式；对于，可化为，分母有字母，是分式；对于，分母有字母，是分式；对于，分母有字母，是分式；对于，分母是常数，无字母，不是分式；∴分式有个，故选：．2．当取哪个数时，分式的值不存在（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了分式无意义的条件，根据当分母为零时分式的值不存在得到，求解即可，掌握相关知识是解题的关键．【详解】解：∵分式的值不存在时，∴，∴，故选：D．3．已知，则的值为（）A．2025 B． C．2026 D．【答案】C【分析】本题考查了分式化简求值，先提取公因式，再对分式进行通分，结合已知条件化简计算，即可得出结果．【详解】解：∵∴原式∵，∴代入得：故选：C．4．下列约分正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查分式的约分，正确约分是解题的关键．依据分式约分法则，即分子分母同时除以公因式，多项式先因式分解再判断，逐一分析选项即可得出答案．【详解】解：∵选项A中，分子无法分解出因式，不能将分子的与分母的约分，∴A错误；∵选项B中，，并非，∴B错误；∵选项C中，分母，分子与分母的公因式为（），∴，C正确；∵选项D中，分子与分母没有公因式，不能约分，∴D错误．故选：C．5．分式可化简为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将分式分母先因式分解，再约分，即可求解．【详解】解：故先：A．6．化简的结果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查分式的加减运算，需将整式转化为同分母分式，再依据同分母分式的加减法则计算．【详解】解：∵原式=，∴将化为分母为的分式，得，∵同分母分式相加，分母不变，分子相加，∴分子计算：，∴原式．故选：C．7．若，在如图所示的数轴上标注了四段，则表示的点落在（

）A．段① B．段② C．段③ D．段④【答案】D【分析】将原式化简后，将代入即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，∴表示的点落在④段．8．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设规定时间为天，再分别表示出慢马和快马的用时，通过快马速度是慢马的倍，即可列出正确方程．【详解】解：设规定时间为天，则慢马用时为天、快马用时为天，则．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）9．若分式有意义，则实数的取值范围是______．【答案】【分析】此题主要考查分式的性质，解题的关键是熟知分式的分母不为零．根据分式有意义的条件即可求解．【详解】解：根据题意得：，解得：；故答案为：10．已知，那么________．【答案】14【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，分式的求值，根据题意可得，把所给等式两边同时除以m得到，再根据计算求解即可．【详解】解：当时，，∴当时，，∴，∴，∴，故答案为：14．11．若为整数，且使分式的值是整数，则的值是______．【答案】，，0，1【分析】本题主要考查分式的值，掌握求解的方法是解题的关键；要使分式的值为整数，则分母必须为6的约数，即的值为，，，，再结合x为整数求解即可．【详解】解：因为分式的值为整数，且x为整数，所以是6的约数，∴或或或，当时，解得，当时，解得；当时，解得（不符合整数条件，舍去），当时，解得（不符合整数条件，舍去）；当时，解得，当时，解得；当时，解得（不符合整数条件，舍去），当时，解得（不符合整数条件，舍去）；因此，x的值为，，0，1；故答案为，，0，1．12．已知，其中，则P、Q的大小关系是__________．【答案】【分析】本题考查了分式减法的应用，作差法比较大小，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．通过作差法比较P和Q的大小，计算并化简，结合条件判断计算结果的符号，即可解答．【详解】解：根据题意，，∵，∴，，∴，即，∴．故答案为：．13．张华和李明同时从甲地沿同一线路步行去乙地．张华在前半段路程的平均步行速度是，在后半段路程的平均步行速度是；李明全程的步行速度是．已知甲乙两地的路程为，且，张华从甲地到乙地所用的时间为______；张华和李明先到达乙地的是_______（填“张华”或“李明”或“同时到达”或“不能确定”）【答案】李明【分析】本题考查了分式混合运算的应用，理解题意是解题的关键．根据时间路程速度，求出张华从甲地到乙地所用的时间；再求出李明从甲地到乙地所用的时间，利用作差法比较两人所用时间的多少，用时较少的即可先到达乙地．【详解】解：张华从甲地到乙地所用的时间为；李明从甲地到乙地所用的时间为，，∵，，，∴，即张华所用的时间大于李明所用的时间，∴先到达乙地的是李明．故答案为：；李明．14．已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是________．【答案】且【分析】本题考查了分式方程的解，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先求出方程的解，再根据解为负数列不等式即可．【详解】解：，∴且，由题意知，，解得且．故答案为：且．15．若关于的分式方程无解，则的值为___________．【答案】或【分析】先将分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解a的值：一种是整理后整式方程中x的系数为0，整式方程无解，此时原分式方程无解；另一种是整式方程有解，但解为原分式方程的增根，此时原分式方程无解．【详解】解：，方程两边同乘最简公分母，得，整理得，当，即时，方程左边为，右边为，整式方程无解，因此原分式方程无解，符合题意．当时，若原分式方程无解，则整式方程的解为原分式方程的增根．分式方程的增根使最简公分母为0，即，得，将代入，得，解得．综上，的值为或．16．当分别取2024，2023，2022，…，3，2，1时，计算分式的值，所得结果相加的和为__________．【答案】【分析】本题考查了分式的求值，利用分式的性质裂项求和是解题的关键．根据分式的运算法则可得，令分别取2024，2023，2022，…，3，2，1，再代入到化简的式子求和即可得出答案．【详解】解：，当分别取2024，2023，2022，…，3，2，1时，所得结果相加的和．故答案为：．17．对于实数，定义一种新运算“”：，例如：，则当分式方程的解大于时，的取值范围是_______．【答案】且【分析】本题考查了实数新定义运算，解分式方程；根据新运算定义将方程转化为分式方程，求解后得到，再结合解大于及分母不为零的条件求的取值范围，即可求解．【详解】解：由题意得，去分母得，解得，由解大于得，解得，由得，即，由得即，综上，且，故答案为：且．18．将分式和分别记为M，N，请按下列步骤操作：第一步，先计算，结果记为，再计算，结果记为；第二步，先计算，结果记为，再计算，结果记为；第三步；先计算，结果记为，再计算，结果记为，…继续操作下去，则_____________．若，则的值是_____________．【答案】48【分析】本题主要考查了分式类的规律题．分别求出，，，，，，由此发现规律，当n为偶数时，，，即可求解．【详解】解：，，∴，，∴，，∴，，……，当n为偶数时，，，∴，，∵，∴，解得：，经检验：该方程的解，∴．故答案为：，48．三、解答题（共7小题，共46分）19．（本题6分）计算：(1)； (2)．【答案】(1)(2)【分析】此题考查了分式的加减混合运算能力，关键是能准确进行通分、计算．（1）先因式分解和变号，再进行通分、加减运算；（2）先通分，再进行加减运算和化简．【详解】（1）解：；（2）解：．20．（本题6分）计算(1)； (2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则．（1）先计算除法，再计算减法；（2）先计算括号内减法，再计算除法．【详解】（1）解：，；（2）解：．21．（本题6分）解分式方程：(1) (2)【答案】(1)；(2)无解【分析】本题考查分式方程的求解，核心思路是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验根的合理性．（1）确定最简公分母为，去分母转化为整式方程求解后进行检验；（2）确定最简公分母为，去分母转化为整式方程求解，检验发现所得根为增根，故原方程无解．【详解】（1）解：方程两边同时乘以最简公分母，得：，移项合并同类项得，两边同时除以3得；检验：当时，得，∴是原分式方程的解；（2）解：方程两边同时乘以最简公分母，得：，去括号得，合并同类项得，移项得，即，两边同时除以7得；检验：当时，，∴是增根，原分式方程无解．22．（本题6分）先化简，再求值：，选一个你喜欢的数代入并求值．【答案】；（答案不唯一）【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键．先根据分式混合运算法则进行化简，然后代入一个使分式有意义的数，进行求值即可．【详解】解：，∵，0，∴把代入得：原式．（答案不唯一）23．（本题6分）已知关于x的分式方程．(1)若分式方程的根是，求a的值；(2)若分式方程有增根，求a的值．【答案】(1)(2)a的值为3【分析】本题考查了分式方程的增根和分式方程的解，理解分式方程有增根和解的含义是解题的关键．（1）把代入方程计算，即可求出a的值；（2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到或，代入整式方程计算即可求出a的值．【详解】（1）解：分式方程的根是，，解得；（2）去分母得，整理得，分式方程有增根，或，当时，，此时不存在a的值；当时，，解得，综上，a的值为3．24．（本题8分）观察下列方程及其解的特征：①的解为，；②的解为，；③的解为，；……解答下列问题：(1)第4个方程的解为________．(2)请猜想第个方程为_______；第个方程的解为_______．(3)请根据方程的解的定义验证（2）中猜想的方程的解的正确性．【答案】(1)(2)，，(3)见解析【分析】本题考查了数字类规律问题，分式方程的解，理解并找出题目中的特征是解题的关键．（1）根据题中给出的特征即可得到解答；（2）根据题中给出的特征及其对应的解总结规律即可；（3）将方程的解代入原方程，判断左右两边是否相等即可解答．【详解】（1）解：的解为：，，故答案为：，；（2）解：∵①的解为，；②的解为，；③的解为，；……∴第个方程为的解为，，故答案为，，；（3）证明：当时，左边右边；当时，左边右边；∴，均为方程的解．25．（本题8分）2025数字中国创新大赛–中小学生赛道，决赛是用电脑程序控制智能赛车进行30米比赛，“天