苏科版数学八年级下册 第10章 分式复习 学案 含答案

第十章分式（复习讲义）1.理解分式的定义，掌握分式有意义、无意义、值为0的条件；会求分式的值，能根据条件确定字母的取值范围；2.掌握分式的基本性质，能利用性质进行约分、通分；能熟练进行分式加、减、乘、除及其混合运算；3.会解可化为一元一次方程的分式方程（分式不超过两个），理解增根的含义，会检验分式方程的根，能根据实际问题列分式方程，并检验解的合理性。知识点重点归纳常见易错点分式概念1.分式定义：一般地,如果A,B表示两个整式,并且B中含有字母,那么代数式叫作分式,其中A是分式的分子,B是分式的分母,且B≠0.2.（1）分式有意义条件：分母≠0；（2）分式无意义条件：分母=0；（3）分式值为0条件：分子=0且分母≠03.分式的值：用具体的数值代替分式中的字母,那么分式就变成了分数的算式,运算结果就是相应的分式的值.分式的值随分式中字母取值的变化而变化.如果分式中字母所取的值使分母的值为0,那么分式无意义.1.理解分式的概念关键在与两个要求：A,B表示两个整式,且B中含有字母,不是说形式上是的都是分式，关键是分母中要有字母。例如：，不是分式，因为分母中没有字母。分式的基本性质1.分式的基本性质分式的分子和分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。A其中A，B是整式，C是不等于0的整式。2.分式的约分：（1）分式约分的概念与依据：根据分式的基本性质,把一个分式的分子和分母分别除以它们的公因式,叫作分式的约分.根据分式的基本性质,约去的公因式不能等于零.（2）分式约分的目标：如果一个分式的分子与分母没有公因式,那么这样的分式叫作最简分式.约分通常要把分式化成最简分式或整式.3.分式的通分：（1）分式通分的概念与依据：根据分式的基本性质,把几个异分母的分式变形成同分母的分式,叫作分式的通分,变形后的分母叫作这几个分式的公分母。（2）分式通分的关键和方法：异分母分式通分时,关键是确定最简公分母.在求最简公分母时一般先分解因式,然后取各分母的所有因式的最高次幂的积作为最简公分母.1.利用分式的基本性质对分式变形，通分，约分时，一定要保证或标注出所乘以或除以的式子不能为0，否则，这个变形就是错误的，例如：这样写就是不对的，因为我们不知道式子中的c是不是0，必须要标注c≠0,不过，这个是可以的，因为等式左边是分式，也就默认a,b,c均不为0，所以此时不需要标注。分式的运算1.分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先通分，再加减。用符号表示为:2.分式的乘除法则：分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。用符号表示为:分式的加减运算是分式错误率最高的地方，尤其是异分母的分式加减法，所以要对分式的通分特别熟练。分式方程及其应用1.分式方程的概念：等式两边是分式或整式,且分母中含有未知数的方程叫作分式方程。2.分式方程的解法：（1）方程两边都乘以最简公分母，去分母，将原方程化成一元一次方程；（2）解一元一次方程；（3）检验。3.分式方程的增根：将分式方程去分母转化成一元一次方程（整式方程）时，并不是等价变形，所以解转化后的一元一次方程得到的值不一定是原方程的根，这个根就称为这个分式方程的增根。由于解分式方程时，可能会产生增根，所以检验是必须得步骤。4.应用分式方程解决实际问题的步骤：（1）审题，根据需要设出合适的未知数；（2）找出等量关系，列出方程；（3）解方程；（4）检验；（5）写出答案。分式方程的解法中最容易被忽视的是分式方程的检验问题，这个主要是两个方面的原因：1.受一元一次方程和二元一次方程组的影响，因为这两种方程都不要检验，到了分式方程突然要检验，或者有些同学嫌麻烦，所以就不想检验；2.不理解分式方程必须要检验的原因，分式方程之所以要检验是因为分式方程解法第1步骤中的去分母的变形并不是等价变形，可能会产生增根，也就是解出来的数并不是原方程的根，所以必须通过检验才能知道是真是假。题型一题型一分式的识别【例1】下列式子是分式的是（

）A． B． C． D．【变式1-1】代数式，，，，，中，属于分式的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式1-2】在代数式，，，，中，分式的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．5题型二题型二分式有意义的条件【例2】若代数式有意义，则的取值范围是（

）A．为任意实数 B． C． D．【变式2-1】若分式的值为0，则_____．【变式2-2】若代数式有意义，则实数x的取值范围是________．题型三题型三分式的值为0条件【例3】若分式的值为，则的值是（

）A． B． C． D．【变式3-1】下列分式中，其值可以为零的是（

）A． B． C． D．【变式3-2】若分式的值为零，则x的值是______．题型四题型四分式的约分与通分【例4】下列约分结果正确的是（）A． B．C． D．【变式4-1】若将分式与通分，则分式的分子应变为（

）A． B．C． D．【变式4-2】把分式，和通分，下列结论错误的是（

）A．最简公分母是 B．C． D．题型五题型五分式的基本性质变形判断【例5】下列式子从左到右变形，正确的是（

）A． B． C． D．【变式5-1】下列分式从左到右变形正确的是（

）A． B． C． D．【变式5-2】下列变形中，正确的是（

）A． B．C． D．题型六题型六分式的加减乘除运算【例6】化简：(1)； (2)．【变式6-1】计算：(1)； (2)．【变式6-2】计算：(1) (2)题型七题型七分式的化简求值【例6】先化简，再求值：，其中，．【变式6-1】先化简：，然后再从，0，1，2中选择一个合适的数作为x的值代入求值．【变式6-2】先化简，再求值：，其中．题型八题型八分式的求值【例6】若，则（）A．81 B．119 C．11 D．123【变式6-1】已知，则的值为（）A．2025 B． C．2026 D．【变式6-2】若实数x，y同时满足，，则的值为________．题型九题型九分式方程的解法【例6】解方程：(1)； (2)．【变式6-1】解分式方程：(1) (2)【变式6-2】解方程：(1)． (2)．题型十分式方程的实际应用题型十分式方程的实际应用【例6】某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动．(1)一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度；(2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？【变式6-1】《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是元，购进B款哪吒玩偶的金额是元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍．(1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？(2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过元，问：有多少种进货方案？【变式6-2】为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A、B两种机器，A型机器比B型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等．B型机器每天处理多少吨垃圾？基础巩固通关测基础巩固通关测一、选择题1．下列各式中，属于分式的是（

）A． B． C． D．2．若分式有意义，则x的取值范围是（

）A． B． C． D．3．若，则的值为（

）A． B．3 C． D．44．下列分式变形正确的是（

）A． B． C． D．5．下列说法正确的是（

）A．分式是最简分式 B．由分式的基本性质得C．若分式有意义，则 D．由分式的基本性质得6．化简的结果是（

）A． B． C． D．27．把方程中的分母化为整数，正确的是（

）A． B．C． D．8．分式方程的解为（

）A． B． C． D．9．深圳作为“无人机之都”，率先构建低空经济全产业链生态．某外卖订单按照传统方式配送，其行程为，若采用无人机配送，其行程只需，且配送时间比传统方式快．已知无人机配送速度是传统方式配送速度的1.5倍，设传统方式配送速度为，则可列方程为（

）A． B． C． D．10．若关于的分式方程有增根，则的值为（

）A． B． C． D．二、填空题11．已知，则的值是________．12．若，等式成立，则x应满足的条件是_____．13．化简：______．14．已知，则的值是_________．15．方程的解为_________．16．若关于x的方程的解为整数解，则满足条件的所有整数a的和________．三、解答题17．化简：(1)； (2)．18．解方程：(1) (2)19．先化简，再求值：，其中．20．2025年滇超联赛火爆云南大地，首轮8场赛事综合拉动体育及相关行业消费超过亿元，印有联赛专属和热门球员剪影的潮流短袖T恤成为球迷追捧的爆款单品．某体育用品店紧抓“赛事经济”风口，先用12000元购进一批该款T恤；因线下观赛客流激增、订单火爆，店铺紧急追加采购，用50000元购入第二批，所购数量是第一批的4倍，且受货源紧张影响，每件进价较第一批贵5元．该店铺购进第一批、第二批T恤每件的进价分别是多少元？能力提升进阶练能力提升进阶练一、选择题1．在、、、、中分式的个数有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个2．要使分式有意义，的值是（）A． B． C． D．且3．已知，则的值为（

）．A．1 B．2 C．3 D．44．分式可变形为（

）A． B． C． D．5．下列分式为最简分式的是（）A． B． C． D．6．将通分后，各分式的分子之和为（

）A． B．C． D．7．计算的结果等于（

）．A．3 B． C． D．8．若方程有增根，则a的值为（

）A． B．4 C．3 D．29．某新能源汽车生产车间，现在平均每天比原计划多组装30辆新能源汽车，现在组装900辆新能源汽车所需时间与原计划组装600辆新能源汽车所需时间相同．设现在平均每天组装x辆新能源汽车，根据题意，下面所列方程正确的是（

）A． B． C． D．10．若关于x的分式方程的解是整数，则整数a的个数是（

）A．7个 B．6个 C．5个 D．4个二、填空题11．已知，则的值为______．12．已知，且，则______．13．无论取何值，分式的值始终保持不变（分母不为零），则的值为______．14．当_____时，与互为相反数．15．若关于x的方程的解为非正数，则的取值范围是______．16．已知关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为________．三、解答题17．计算(1)； (2)．18．解下列分式方程：(1) (2)19．化简求值：，其中x满足．20．2025年12月31日，哈尔滨冰雪大世界举办以“约会哈尔滨・冰雪暖世界”为主题的跨年夜烟花秀与无人机表演活动，与市民游客共迎新年．景区欲投资采购，两种型号的无人机配合烟花秀表演，已知每架型无人机的售价比每架型无人机的售价多100元，用30万元购买型无人机的数量和用24万元购买型无人机的数量相同．(1)求型、型无人机的售价分别是每架多少元；(2)考虑到表演效果，若景区计划采购，两种型号的无人机共3000架（购进两种无人机的数量都是100的整数倍），预算经费不高于140万元，且型无人机的数量不低于1800架，则景区有哪几种采购方案？(3)在（2）的条件下，为了支持省政府“一核两翼”冰雪季的战略布局，助力“尔滨”持续出圈，供应商决定对两种型号无人机均打九折的优惠．采购两种型号无人机各多少架时花费最少？最少花费是多少元？（请直接写出答案）

第十章分式（复习讲义）1.理解分式的定义，掌握分式有意义、无意义、值为0的条件；会求分式的值，能根据条件确定字母的取值范围；2.掌握分式的基本性质，能利用性质进行约分、通分；能熟练进行分式加、减、乘、除及其混合运算；3.会解可化为一元一次方程的分式方程（分式不超过两个），理解增根的含义，会检验分式方程的根，能根据实际问题列分式方程，并检验解的合理性。知识点重点归纳常见易错点分式概念1.分式定义：一般地,如果A,B表示两个整式,并且B中含有字母,那么代数式叫作分式,其中A是分式的分子,B是分式的分母,且B≠0.2.（1）分式有意义条件：分母≠0；（2）分式无意义条件：分母=0；（3）分式值为0条件：分子=0且分母≠03.分式的值：用具体的数值代替分式中的字母,那么分式就变成了分数的算式,运算结果就是相应的分式的值.分式的值随分式中字母取值的变化而变化.如果分式中字母所取的值使分母的值为0,那么分式无意义.1.理解分式的概念关键在与两个要求：A,B表示两个整式,且B中含有字母,不是说形式上是的都是分式，关键是分母中要有字母。例如：，不是分式，因为分母中没有字母。分式的基本性质1.分式的基本性质分式的分子和分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。A其中A，B是整式，C是不等于0的整式。2.分式的约分：（1）分式约分的概念与依据：根据分式的基本性质,把一个分式的分子和分母分别除以它们的公因式,叫作分式的约分.根据分式的基本性质,约去的公因式不能等于零.（2）分式约分的目标：如果一个分式的分子与分母没有公因式,那么这样的分式叫作最简分式.约分通常要把分式化成最简分式或整式.3.分式的通分：（1）分式通分的概念与依据：根据分式的基本性质,把几个异分母的分式变形成同分母的分式,叫作分式的通分,变形后的分母叫作这几个分式的公分母。（2）分式通分的关键和方法：异分母分式通分时,关键是确定最简公分母.在求最简公分母时一般先分解因式,然后取各分母的所有因式的最高次幂的积作为最简公分母.1.利用分式的基本性质对分式变形，通分，约分时，一定要保证或标注出所乘以或除以的式子不能为0，否则，这个变形就是错误的，例如：这样写就是不对的，因为我们不知道式子中的c是不是0，必须要标注c≠0,不过，这个是可以的，因为等式左边是分式，也就默认a,b,c均不为0，所以此时不需要标注。分式的运算1.分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先通分，再加减。用符号表示为:2.分式的乘除法则：分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。用符号表示为:分式的加减运算是分式错误率最高的地方，尤其是异分母的分式加减法，所以要对分式的通分特别熟练。分式方程及其应用1.分式方程的概念：等式两边是分式或整式,且分母中含有未知数的方程叫作分式方程。2.分式方程的解法：（1）方程两边都乘以最简公分母，去分母，将原方程化成一元一次方程；（2）解一元一次方程；（3）检验。3.分式方程的增根：将分式方程去分母转化成一元一次方程（整式方程）时，并不是等价变形，所以解转化后的一元一次方程得到的值不一定是原方程的根，这个根就称为这个分式方程的增根。由于解分式方程时，可能会产生增根，所以检验是必须得步骤。4.应用分式方程解决实际问题的步骤：（1）审题，根据需要设出合适的未知数；（2）找出等量关系，列出方程；（3）解方程；（4）检验；（5）写出答案。分式方程的解法中最容易被忽视的是分式方程的检验问题，这个主要是两个方面的原因：1.受一元一次方程和二元一次方程组的影响，因为这两种方程都不要检验，到了分式方程突然要检验，或者有些同学嫌麻烦，所以就不想检验；2.不理解分式方程必须要检验的原因，分式方程之所以要检验是因为分式方程解法第1步骤中的去分母的变形并不是等价变形，可能会产生增根，也就是解出来的数并不是原方程的根，所以必须通过检验才能知道是真是假。题型一题型一分式的识别【例1】下列式子是分式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据分式的定义进行判断即可．【详解】解：、中分母为，是常数，不含字母，是整式，不是分式，不符合题意；、中分母为，是常数，不是字母，是整式，不是分式，不符合题意；、中分母为，是含有字母的整式，符合分式的定义，是分式，符合题意；、是整式，不属于分式，不符合题意．【变式1-1】代数式，，，，，中，属于分式的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】若A，B为整式，且B中含有字母，则是分式，据此逐一判断即可．【详解】解：是整式，是整式，是分式，是整式，是分式，是分式∴分式共有个．【变式1-2】在代数式，，，，中，分式的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根据分式定义逐一判断每个代数式，注意π是常数，不是字母．【详解】解：∵的分母a含字母，是分式；的分母m含字母，是分式；的分母是常数，不是分式；中π是常数，分母不含字母，不是分式；的分母含字母，是分式；∴分式共有3个．题型二题型二分式有意义的条件【例2】若代数式有意义，则的取值范围是（

）A．为任意实数 B． C． D．【答案】D【分析】根据分式有意义时分母不为0的性质列不等式求解即可．【详解】解：∵要使分式有意义，需满足分母不等于0，∴，∴解得．【变式2-1】若分式的值为0，则_____．【答案】【分析】根据分式的值为零，分子为零，而分母不为0，列式计算即可．【详解】解：∵分式的值为0，∴，解得：．【变式2-2】若代数式有意义，则实数x的取值范围是________．【答案】【分析】根据分式有意义时分母不为零得到，求解即可．【详解】解：由题意得，，解得．题型三题型三分式的值为0条件【例3】若分式的值为，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据分式的值为零的条件即可求出答案．【详解】解：分式的值为，且，．【变式3-1】下列分式中，其值可以为零的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据分式值为0的条件是分子为0，分母不为0求解即可．【详解】解：分式值为0的条件是分子为0，分母不为0，A、，故分子不为0，不满足分式值为0的条件，故分式值不可能为0；B、，则，那么分母，不满足分式值为0的条件，故分式值不可能为0；C、，则，那么分母，满足分式值为0的条件，故分式值可以为0；D、，故分子不为0，不满足分式值为0的条件，故分式值不可能为0．【变式3-2】若分式的值为零，则x的值是______．【答案】【分析】分式的值为零的条件是分子为零且分母不为零，据此求解即可．【详解】解：∵分式的值为零，∴且，解得．题型四题型四分式的约分与通分【例4】下列约分结果正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先对分式分子分母因式分解，再找公因式约分验证．【详解】解：A、的分子分母没有公因式，不能约分，选项约分错误；B、，分母为，可得，，选项约分错误；C、，分母为，可得，，选项约分正确；D、，选项约分错误．【变式4-1】若将分式与通分，则分式的分子应变为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查分式的通分，关键是确定最简公分母，根据分式的基本性质将分子同乘相应式子得到结果即可．【详解】解：∵两个分式的分母分别为和，∴最简公分母为，∵要将通分，需给分子分母同乘，∴分子变为，故选：A．【变式4-2】把分式，和通分，下列结论错误的是（

）A．最简公分母是 B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了分式的通分，掌握确定最简公分母的方法，通分时分子分母需同乘相应因式，确保变形恒等是解题的关键．先确定三个分式的最简公分母，再逐一验证每个选项的通分是否正确．【详解】解：A、最简公分母为，正确，不符合题意；B、，正确，不符合题意；C、，正确，不符合题意；D、正确通分应为，但选项D中分子为，错误，符合题意；故选：D．题型五题型五分式的基本性质变形判断【例5】下列式子从左到右变形，正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分式的分子分母同时乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，根据性质逐一判断各选项即可．【详解】解：A选项，∵分子分母不是同时乘或除以同一个整式，∴与不一定相等，本选项不符合题意；B选项，∵，∴本选项不符合题意；C选项，∵变形为时，分子乘分母乘，乘的不是同一个数，∴与不一定相等，本选项不符合题意；D选项，，变形正确，本选项符合题意；【变式5-1】下列分式从左到右变形正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用分式的基本性质，进行计算逐一判断即可解答．【详解】解：A．，故变形错误，不符合题意；B．，故变形错误，不符合题意；C．，故变形正确，符合题意；D．，故变形错误，不符合题意．【变式5-2】下列变形中，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了分式的基本性质，需依据“分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变”这一性质，逐一分析各选项的变形是否正确，掌握分式的基本性质是解题的关键．【详解】解：∵分式的基本性质为：分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变，∴、将的分子分母同乘，得，与不相等，故该选项变形错误，不符合题意；、，又，故该选项变形正确，符合题意；、化简得（），与选项中的结果符号相反，故该选项变形错误，不符合题意；、当时，无意义，不满足分式基本性质中“乘不为的整式”的要求，故该选项变形错误，不符合题意；故选：．题型六题型六分式的加减乘除运算【例6】化简：(1)； (2)．【答案】(1) (2)【详解】（1）解：原式．（2）解：原式．【变式6-1】计算：(1)； (2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）将分母因式分解后通分，合并分子并约分即可；（2）将分母因式分解后通分，合并分子并约分即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式．【变式6-2】计算：(1) (2)【答案】(1)(2)【分析】（1）原式先通分再合并分子化简后约分；（2）第二题先计算括号内的异分母分式加法，再将除法转化为乘法，约分得到最终结果．【详解】（1）解：；（2）解：．题型七题型七分式的化简求值【例6】先化简，再求值：，其中，．【答案】；【分析】将括号里的分式通分，再将每个分式因式分解，把除法转化为乘法，约分化简，最后代入数值计算即可．【详解】解：当，时，原式．【变式6-1】先化简：，然后再从，0，1，2中选择一个合适的数作为x的值代入求值．【答案】【分析】先根据分式的混合运算化简，再取代入求解即可【详解】解：原式∴当时，原式【变式6-2】先化简，再求值：，其中．【答案】，【详解】解：原式；当时，原式．题型八题型八分式的求值【例6】若，则（）A．81 B．119 C．11 D．123【答案】B【分析】先对已知等式平方求出，再对平方即可得到答案．【详解】解：∵，∴对等式两边平方得，则化简得，∴，则，，∴．【变式6-1】已知，则的值为（）A．2025 B． C．2026 D．【答案】C【分析】本题考查了分式化简求值，先提取公因式，再对分式进行通分，结合已知条件化简计算，即可得出结果．【详解】解：∵∴原式∵，∴代入得：故选：C．【变式6-2】若实数x，y同时满足，，则的值为________．【答案】/0.5【分析】利用加减消元法分别得到和的值，将所求式子通分变形后，整体代入计算即可得到结果．【详解】解：记为①，为②，得：，解得，得：，解得，∴．题型九题型九分式方程的解法【例6】解方程：(1)； (2)．【答案】(1)；(2)．【分析】（）方程两边同乘最简公分母，转化为一元一次方程，然后解方程并检验即可；（）方程两边同乘最简公分母，转化为一元一次方程，然后解方程并检验即可．【详解】（1）解：，，，，，检验：当时，，∴原分式方程的解为：；（2）解：，，，，，，检验：当时，，∴是原分式方程的解．【变式6-1】解分式方程：(1) (2)【答案】(1)(2)【详解】（1）解：方程两边同时乘以：∴∴解得：经检验，是原方程的解；（2）解：方程两边同时乘以：∴解得：经检验，是原方程的解．【变式6-2】解方程：(1)． (2)．【答案】(1)(2)原方程无解【分析】（1）先去分母，将分式方程化为整式方程，求解后再进行检验；（2）先将分母变形统一，再去分母化为整式方程，求解后检验，注意增根的判断．【详解】（1）解：方程两边同乘，得：，去括号：，移项、合并同类项：，检验：当时，，是原方程的解；（2）解：原方程可变形为：，方程两边同乘，得：，去括号：，移项、合并同类项：，解得：，检验：当时，，分式无意义，原方程无解．题型十分式方程的实际应用题型十分式方程的实际应用【例6】某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动．(1)一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度；(2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？【答案】(1)80(2)190【分析】本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，解题的关键是设未知数，找出等量关系列方程．（1）设大巴车的速度为千米/小时，根据路程、速度和时间的关系，结合两车行驶时间的关系列出方程求解；（2）设参加本次活动的学生人数是y人，根据门票费用的等量关系列出方程求解．【详解】（1）设大巴车的速度为千米/小时，则中巴车速度为千米/小时．根据题意，可列方程：，解得．经检验，是原方程的解，且符合题意．答：大巴车的速度是80千米/小时．（2）设参加本次活动的学生人数是人，则成人人数为人，根据题意，可列方程：，解得．答：参加本次活动的学生人数是190人．【变式6-1】《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是元，购进B款哪吒玩偶的金额是元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍．(1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？(2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过元，问：有多少种进货方案？【答案】(1)A款哪吒玩偶的单价是元，B款哪吒玩偶的单价是8元(2)4种【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．（1）设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是元，利用数量总价单价，结合用元购进A款哪吒玩偶的数量比用元购进B款哪吒玩偶少个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即B款哪吒玩偶的单价），再将其代入中，即可求出A款哪吒玩偶的单价；（2）设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进个B款哪吒玩偶，根据“购进B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出共有4种进货方案．【详解】（1）解：设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是元，根据题意得：，解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意，∴（元）．答：A款哪吒玩偶的单价是元，B款哪吒玩偶的单价是8元；（2）解：设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进个B款哪吒玩偶，根据题意得：，解得：，又∵m为正整数，∴m可以为，，，，∴共有4种进货方案．答：该超市共有4种进货方案．【变式6-2】为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A、B两种机器，A型机器比B型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等．B型机器每天处理多少吨垃圾？【答案】B型机器每天处理60吨垃圾【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．设型机器每天处理吨垃圾，则型机器每天处理吨垃圾，根据题意列出方程即可求出答案．【详解】解：设型机器每天处理吨垃圾，则型机器每天处理吨垃圾，根据题意，得，解得．经检验，是所列方程的解．答：B型机器每天处理60吨垃圾．基础巩固通关测基础巩固通关测一、选择题1．下列各式中，属于分式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分式的定义为：若A、B是整式，B中含有字母且，则式子是分式．根据分式定义判断即可，需注意是常数，不是字母．【详解】解：A、的分母是常数，不含字母，属于整式，不是分式，不符合题意；B、的分母是含字母的整式，符合分式的定义，属于分式，符合题意；C、的分母是常数，不是字母，属于整式，不是分式，不符合题意；D、的分母是常数，不含字母，属于整式，不是分式，不符合题意．2．若分式有意义，则x的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据分式有意义时分母不为0，列不等式求解即可得到x的取值范围．【详解】解：∵分式有意义，∴，解得．3．若，则的值为（

）A． B．3 C． D．4【答案】C【分析】本题可通过分式拆分或设参数代入的方法求解，利用分式的基本性质结合已知条件计算目标分式的值．【详解】方法一：∵，∴，∴；方法二：∵，∴设，（），则．4．下列分式变形正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据分式的基本性质逐项判断即可．【详解】A选项：，变形错误；B选项：，变形错误；C选项：分式中b作为分母，隐含，分子分母同乘，符合分式基本性质，可得，变形正确；D选项：，变形错误，只有选项C正确．5．下列说法正确的是（

）A．分式是最简分式 B．由分式的基本性质得C．若分式有意义，则 D．由分式的基本性质得【答案】A【分析】本题考查最简分式的判断，分式有意义的条件及分式的基本性质，解题的关键是根据最简分式的定义、分式有意义的条件及分式的基本性质，逐一分析各选项即可．【详解】解：A．∵该分式的分子为，分母为，分子分母无公因式，∴是最简分式，原说法正确，故此选项符合题意；B．当时，得：，与分式的基本性质不符，变形不成立，∴原说法不正确，故此选项不符合题意；C．若分式有意义，则，得，∴原说法不正确，故此选项不符合题意；D．，∴原说法不正确，故此选项不符合题意．故选：A．6．化简的结果是（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】先通分，再合并分子后约分得到结果，运用分式基本性质计算即可．【详解】解：．7．把方程中的分母化为整数，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查分式的基本性质，将方程中分母化为整数时，只需对每个分式的分子分母同乘适当的非零数，使分母变为整数，方程右侧的常数项无需改变，根据分式基本性质化简即可得到结果.【详解】解：∵根据分式的基本性质，分式的分子分母同乘不为0的数，分式的值不变.对，分子分母同乘10，可得；对，分子分母同乘100，可得；方程右侧的常数1保持不变，∴原方程化为.8．分式方程的解为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：，两边同乘最简公分母，得，移项得，检验：当时，，满足分母不为0的要求，∴原分式方程的解为．9．深圳作为“无人机之都”，率先构建低空经济全产业链生态．某外卖订单按照传统方式配送，其行程为，若采用无人机配送，其行程只需，且配送时间比传统方式快．已知无人机配送速度是传统方式配送速度的1.5倍，设传统方式配送速度为，则可列方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据传统配送时间比无人机配送时间多，列方程即可．【详解】解：∵设传统方式配送速度为，无人机配送速度是传统方式配送速度的倍∴无人机配送速度为，∴传统配送时间为，无人机配送时间为，∵无人机配送时间比传统方式快，即传统配送时间比无人机配送时间多，∴列方程得．10．若关于的分式方程有增根，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分式方程的增根是使分式分母为0的根，先确定增根，再将分式方程化为整式方程，代入增根即可求出的值．【详解】解：∵分式方程有增根，∴分母和为0，则增根为．原方程两边同乘，得，将代入上式，得，解得．二、填空题11．已知，则的值是________．【答案】0【分析】利用完全平方公式得到，则可求出的值，再代入求值即可．【详解】解：∵，∴，即，∴，∴，∴．12．若，等式成立，则x应满足的条件是_____．【答案】【分析】本题主要考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质：分子和分母都乘以一个不等于0的数或整式，分式的值不变，解答即可．【详解】解：分式的分子和分母都乘以x（），得，所以x应满足的条件是.故答案为：．13．化简：______．【答案】【分析】先分别将分子分母因式分解，再约去公因式即可得到结果．【详解】解：．14．已知，则的值是_________．【答案】【分析】将已知通分可推导得到，将该式整体代入所求分式，化简后即可得到结果．【详解】解：由，通分可得，，．15．方程的解为_________．【答案】【分析】本题考查解分式方程．解分式方程首先需要去分母，化为整式方程求解，注意最后要检验，才能得出结论．【详解】解：，去分母得，去括号得，合并同类项得，解得，检验：当时，且，∴是原方程的解．16．若关于x的方程的解为整数解，则满足条件的所有整数a的和________．【答案】9【分析】将原方程变形，用含的代数式表示出，根据为整数解，可得为4的因数，求出所有满足条件的整数的值，再根据分式方程的解不能使分母为0进行检验，排除不合题意的值，最后求和即可．【详解】解：解方程，得：，∵方程的解为整数解，∴或或，∴或2或3或或5或，又即，∴，∴满足条件的所有整数a的和为．16．若关于x的方程的解为整数解，则满足条件的所有整数a的和________．三、解答题17．化简：(1)；(2)．【答案】(1)1(2)【分析】（1）先根据分式的乘法法则计算，可得：原式，再根据分式的加法法则进行计算；（2）先根据分式的加法法则把括号里面的计算出来，可得：原式，再根据分式的乘法法则进行计算．【详解】（1）解：；（2）解：．18．解方程：(1)(2)【答案】(1)无解；(2)【详解】（1）解：，，，，经检验，当时，∴原分式方程无解；（2）解：，，，，，经检验，当时，∴是分式方程的解．19．先化简，再求值：，其中．【答案】，【分析】先对分式进行化简，然后再代入求值．【详解】解：，将代入上式得，原式．20．2025年滇超联赛火爆云南大地，首轮8场赛事综合拉动体育及相关行业消费超过亿元，印有联赛专属和热门球员剪影的潮流短袖T恤成为球迷追捧的爆款单品．某体育用品店紧抓“赛事经济”风口，先用12000元购进一批该款T恤；因线下观赛客流激增、订单火爆，店铺紧急追加采购，用50000元购入第二批，所购数量是第一批的4倍，且受货源紧张影响，每件进价较第一批贵5元．该店铺购进第一批、第二批T恤每件的进价分别是多少元？【答案】该店铺购进第一批、第二批T恤每件的进价分别是元、元．【分析】设第一批T恤每件的进价是元，根据等量关系，列出分式方程，求解检验即可．【详解】解：设第一批T恤每件的进价是元，则第二批T恤每件的进价是元，由题可列，，解得，经检验：是方程的解，且符合实际意义，，则该店铺购进第一批、第二批T恤每件的进价分别是元、元．能力提升进阶练能力提升进阶练一、选择题1．在、、、、中分式的个数有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【分析】分母中含有字母的式子称为分式，据此逐一判断即可得到答案．【详解】解：根据分式的定义可知，在、、、、中，分式有、，共2个．2．要使分式有意义，的值是（）A． B． C． D．且【答案】D【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式有意义时分母不为0列不等式，求解绝对值不等式即可得到结果.【详解】解：∵分式有意义的条件为分母不为0，∴，整理得，∴且.3．已知，则的值为（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本题主要考查了分式的求值，根据题意可得，，据此求出，再代入所求式子中求值即可．【详解】解：∵，∴，∴，，∴，，∴，故选：C．4．分式可变形为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查分式的符号变形法则，利用分式的基本性质，提取分子的负号即可得到正确结果．【详解】解：∵==．5．下列分式为最简分式的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】分子和分母不含除1以外的公因式的分式叫做最简分式，判断各选项能否约分即可得到结果．【详解】解：A、，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式；B、，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式；C、分子与分母没有除1以外的公因式，不能约分，是最简分式；D、，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式．6．将通分后，各分式的分子之和为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】此题考查了通分，整式混合运算，关键是根据分式的基本性质对分式进行通分．先找出三个分式的最简公分母，再根据分式的基本性质进行通分计算，最后把通分后的分式的分子相加，根据整混合法则计算即可．【详解】解：∵∴，故选：A．7．计算的结果等于（

）．A．3 B． C． D．【答案】D【详解】解：，，，，，．8．若方程有增根，则a的值为（

）A． B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据增根定义确定增根的值，代入增根计算得到a的值．【详解】解：，方程两边同乘去分母，得，去括号得，则，∵原分式方程分母为，方程有增根，∴增根满足，即，将代入整式方程，得，解得：．9．某新能源汽车生产车间，现在平均每天比原计划多组装30辆新能源汽车，现在组装900辆新能源汽车所需时间与原计划组装600辆新能源汽车所需时间相同．设现在平均每天组装x辆新能源汽车，根据题意，下面所列方程正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设现在平均每天组装辆新能源汽车，则原计划平均每天组装辆，找到“现在组装900辆的时间与原计划组装600辆的时间相等”这一等量关系，分别表示出两个时间即可列出方程．【详解】解：设现在平均每天组装辆新能源汽车，则原计划平均每天组装辆，可得现在组装900辆所需时间为，原计划组装600辆所需时间为，∴可列方程．10．若关于x的分式方程的解是整数，则整数a的个数是（

）A．7个 B．6个 C．5个 D．4个【答案】C【分析】本题考查分式方程的解和解分式方程，首先解分式方程，得到x关于a的表达式，注意分母不为零的条件；然后根据x为整数且，确定整数a的取值；最后验证每个a是否满足原方程有整数解且．【详解】解：∵分式方程，且，两边乘得：，整理得：，∴（其中)．设（t为整数且），则，变形得：．∵a为整数，∴为整数，即是4的约数：，，．∴，对应．但，排除，∴．代入求a：时，；时，；时，；时，；时，．当时，原方程无解，无效．验证各a值均使x为整数且，∴整数a有5个：3，1，，，故选：C．二、填空题11．已知，则的值为______．【答案】【分析】根据分式的加减法则将化为求解即可．【详解】解：∵，∴．12．已知，且，则______．【答案】2【分析】由得到，再代入代数式求值即可．【详解】解：∵，∴，∴．13．无论取何值，分式的值始终保持不变（分母不为零），则的值为______．【答案】【分析】分式值恒为常数，可设该值为常数，整理等式后利用多项式对任意恒成立时对应系数相等求解即可.【详解】解：∵无论取何值，分式的值始终