苏科版数学七年级下册 专题03 期末真题百练通关（75题25大压轴题型）（期末复习专项训练） 试卷 含答案

专题03期末真题百练通关（75题25大压轴题型）题型1幂的混合运算题型14旋转综合题题型2利用幂的运算性质比较大小题型15二元一次方程组的特殊解法题型3幂的运算新定义问题题型16二元一次方程组的含参问题题型4幂的有规律计算问题题型17二元一次方程组的新定义问题题型5整式乘法的无关型问题（几何）题型18二元一次方程组的实际应用综合题型6多项式乘法的规律性问题题型19方程与不等式结合问题题型7运用乘法公式进行运算综合题型20不等式组的整数解问题综合题型8乘法公式与几何图形综合题型21不等式组的解集情况求参数综合题型9乘法公式中的配方法求最值题型22方程组与不等式组结合的问题题型10乘法公式的新定义问题题型23不等式组的实际应用综合题型11平移综合题题型24不等式组的新定义问题题型12轴对称综合题题型25定义、命题、证明大题综合题型13折叠问题题型一幂的混合运算（共3小题）1．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）计算：(1)；(2)2．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）计算：3．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）在数学领域，幂运算和整式乘法构建起了代数运算的重要基石，灵活运用幂的运算性质，能成为破题的关键所在．(1)类型一：简便计算；(2)类型二：代数式求值若，，则①；②．(3)类型三：解方程解关于x的方程：如果，求x的值．题型二利用幂的运算性质比较大小（共3小题）4．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）逆向运用幂的运算法则可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．(1)的结果是____________；(2)若，求的值；(3)比较大小：已知，，，求，，的大小关系．（提示：若，为正整数，则）5．（25-26七年级下·江苏南京·期末）【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现：若且，m，n都是正整数．①当时，；这说明当底数是相同的正数时，指数越大，幂越大．②当时，；这说明当指数是相同的正整数时，底数越大，幂越大．③当时，，【应用知识】(1)①化简计算②若，求x的值．【拓展探究】(2)①比较与的大小．②比较与的大小．6．（25-26七年级下·江苏·期末）比较下列各题中幂的大小：(1)比较，，这3个数的大小关系；(2)已知，，，比较a、b、c的大小关系．题型三幂的运算新定义问题（共3小题）7．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）对于任意的两个有理数，我们规定：，下面给出了关于这种运算的三个结论，其中正确的个数有（

）①；

②；

③．A．3个 B．2个 C．1个 D．0个8．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）定义：两正数，之间的一种运算，记作；若，则．例如：因为，所以．（1）根据上述规定，填空：＝_______；（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：．小明给出了如下的证明：设，则根据定义，得，即所以，即，所以．请你尝试运用这种方法解决问题：已知a、m、n均为正数，填空：_______9．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：因为．所以．(1)根据上述规定，填空：________，________；(2)填空：①________；②，，，则a，b，c之间的数量关系为________；(3)计算：．题型四幂的有规律计算问题（共3小题）10．（25-26七年级下·江苏南通·期末）观察下列等式：；；；；…．已知按一定规律排列的一组数：，，，，，，，，若，则______（结果用含的代数式表示）．11．（25-26七年级下·江苏·期末）阅读材料，回答下列问题：材料一：积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．即：．材料二：等式成立试求：（1）__________．（2）___________．12．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）阅读材料：求的值．解：令①．将等式①两边同时乘2，得②．②①，得，即，所以请你根据上述材料，解答下列问题：(1)计算：．(2)已知数列：，9，，，，…．①它的第100个数是_____；②求该数列中前100个数的和．题型五整式乘法的无关型问题（几何）（共3小题）13．（25-26七年级下·四川成都·期中）我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是把看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关，所以含的项的系数为0．具体解题过程：原式因为代数式的值与的取值无关．所以，解得．【理解应用】(1)若关于的代数式的值与的取值无关，则的值为___________．(2)已知，且的值与的取值无关，求的值．【能力提升】(3)7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长度变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系．14．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）综合与实践．学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形．(1)如果用若干张A，B，C三种卡片拼成的一个长方形，边长分别为和，在虚线框中画出你的拼图，并直接写出；(2)选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种D型卡片，由此可检验的等量关系为；(3)选取1张D型卡片，3张C型卡片按图3的方式不重复地叠放长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，且．图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，，若，随着的长度变化时，当a、b之间满足怎样的数量关系时，S的值始终保持不变，请说明理由．15．（25-26七年级上·四川内江·期末）【方法点拨】在求代数式的值时，遇到这样一类题：“代数式的值与x的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是把x、y看作字母，a看作系数，然后合并同类项，即原式．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即，则．【理解应用】（1）若关于x的多项式不含项，则________；（2）已知，，且的值与y的取值无关，求x的值；【拓展延伸】（3）用7张长为a，宽为b的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分未被覆盖，设右上角部分的面积为，左下角部分的面积为，当的长发生变化时，的值始终保持不变．请求出a与b之间的数量关系．题型六多项式乘法的规律性问题（共3小题）16．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了（，2，3，4，5，6）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的五个数1，4，6，4，1，恰好对应着展开式中各项的系数等等．有如下结论：①展开式中含x25的项的系数是25；②展开式各项系数之和为64；③用此规律解决实际问题：今天是星期一，再过7天还是星期一，那么再过86天是星期二；④展开式中（按a的次数由大到小的顺序）倒数第三项的系数是190．上述结论中，正确的有（

）A．2 B．3 C．1 D．417．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）“杨辉三角”（如图），是中国古代数学无比睿智的成就之一用“杨辉三角”可以解释（n为非负整数）计算结果的各项系数规律，如的系数，，恰好对应“杨辉三角”中第3行的个数，的系数，，，恰好对应“杨辉三角”中第行的个数…，某数学兴趣小组经过仔细观察，还发现（n为非负整数）计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论：①的计算结果中项的系数为；②当时，的计算结果为；③的计算结果中各项系数的绝对值之和为；④当，除以，余数为．上述结论正确的是（

）A．②③④ B．①②④ C．②③ D．②④18．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）观察下列各式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；……(1)根据规律写出第n个等式：______；(2)根据规律计算：．题型七运用乘法公式进行运算综合（共3小题）19．（25-26七年级下·江苏常州·期中）已知：，，，则的值为（

）A．0 B．2003 C．2002 D．320．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）已知正数满足，则的值是()A． B． C． D．21．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）“整体思想”在数学中应用极为广泛．例如：已知，求的值．解：，．．请尝试应用“整体思想”解决以下问题：(1)已知，求的值；(2)已知，求的值；(3)若（，都是整数）能被6整除，试说明也能被6整除．题型八乘法公式与几何图形综合（共3小题）22．（25-26七年级下·广东佛山·期末）【阅读材料】若x满足，求的值．解：设，则,∴【解决问题】请仿照上面的方法求解下面问题：(1)已知，则______．(2)已知，求的值．(3)如图，正方形的边长为分别是上的点，且，长方形的面积是28，分别以作正方形，求阴影部分的面积．23．（25-26七年级下·江苏·期末）【阅读理解】完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．例如：若，求的值．解：．．【尝试探究】请仿照上例解决下列问题：(1)①若，则___________．②若，则___________．(2)①若满足，求的值．②若满足，求的值．【类比应用】(3)如图，正方形的边长为x，AE=2，FC=4，长方形的面积是10，四边形和都是正方形，是长方形，请直接写出图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）．(4)24．（25-26七年级下·山东青岛·期中）阅读理解：【知识生成】如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分沿虚线拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：，图2中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：．(1)【拓展探究】图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形．①由图（4），你能得到的等量关系式是___________；②结合以上信息，灵活运用公式，解决如下问题：（I）已知，，则___________．（II）已知，则___________．(2)【问题解决】如图5，某中学前不久举办了第十七届“智启未来，科技筑梦”校园科技节活动，其中创意竞赛要求设计一款由两个正方形构成的光学元件模型，其中大正方形与小正方形的边长分别为和（）．已知两正方形边长之和，边长之积，且为中点．模型中阴影部分为特殊光线吸收区域，其面积大小直接影响光学元件对光线的吸收效果，进而决定模型的光学性能．为优化设计，需精确计算图中阴影部分的面积总和，求该阴影部分面积总和是___________．(3)【问题解决】两个边长分别为和的正方形按图6所示的方式放置，其未叠合的部分（阴影部分）面积为，若如图7所示，再在图6中边长为大正方形的左下角摆放一个边长为的小正方形，此时阴影部分的面积为．若，，则的值是___________．题型九乘法公式中的配方法求最值（共3小题）25．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题．例如：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？∵，∴∴当时，代数式有最小值1．材料二：我们定义：若两个关于x的多项式的和为常数，则称这两个多项式互为“和常多项式”，该常数称为它们的“和常值”．例如：，，，则A和B互为“和常多项式”，“和常值”为5．(1)判断多项式与是否互为“和常多项式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出它们的“和常值”；(2)已知多项式，（m，n为常数），且M和N互为“和常多项式”．若N的最小值为2，求M和N的“和常值”；(3)关于x的多项式与互为“和常多项式”，和常值为；多项式与互为“和常多项式”，和常值为．已知，求式子的最值．26．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）阅读理解并解答：在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式的最大值吗？【初步思考】同学们经过交流、讨论，总结出如下方法：解：因为，所以．所以当时，的值最大，最大值是0.所以当时，的值最大，最大值是4.所以的最大值是4【尝试应用】(1)求代数式的最大值，并写出相应的的值．(2)已知，，请比较与的大小，并说明理由．【拓展提高】(3)将一根长的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和有无最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度；若没有，请说明理由．27．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）阅读理解并填空：（1）为了求代数式的值，我们必须知道x的值．若，则这个代数式的值为6；若，则这个代数式的值为_________；可见，这个代数式的值因x的取值不同而_________（填“变化”或“不变”），尽管如此，我们还是有办法来考虑这个代数式的值的范围．（2）数学书课本里“我们把多项式及叫做完全平方式”，在运用完全平方式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样的，把一个完全平方式进行部分因式分解可以来解决代数式值得最大（或最小）值的问题．例如：，因为是非负数，所以，这个代数式，当x的值是_______时；有最小值为_________：尝试并探究解答（要求写出解答过程）（3）求下列两个代数式有最大值还是最小值，最大值或最小值为多少？并写出相应的x的值？①；②；（4）求代数式有最大值还是最小值，最大值或最小值为多少？并写出相应的a，b的值？（5）求代数式有最大值还是最小值，最大值或最小值为多少？并写出相应x的值？题型十乘法公式的新定义问题（共3小题）28．（25-26七年级下·江苏南京·期末）【定义理解】对于两个正数，，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么例如：【问题初探】根据你对定义的理解，请填空：_____；_____；__________【归纳猜想】先观察，与的结果之间的关系．再观察三个数，，之间的关系．试着归纳：__________【初步应用】如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，，，求图中阴影部分的面积．29．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）新定义：对于一个给定的正整数，如果它可以表示为两个连续正奇数的平方差，并且这两个连续正奇数的和恰好是某个正整数的平方，则称为“差方数”．例如：，且，所以8是“差方数”．则从小到大排列后，第20个“差方数”是__________．30．（25-26七年级下·江苏·期末）定义：任意两个数，，按规则运算得到一个新数，称为，的“和方差数”．(1)求，的“和方差数”．(2)若两个非零数，的积是，的“和方差数”，求的值．(3)若，，求，的“和方差数”．题型十一平移综合题（共3小题）31．（25-26七年级下·江苏常州·期末）如图，将沿方向平移至的位置，，点E在边上，交于点H，已知，图中阴影部分的面积为54，，则平移距离为______．32．（25-26七年级下·江苏镇江·期末）如图，将直角三角形沿方向平移得到三角形，连接，，，，三角形的周长为．下列结论：①；②；③；④四边形的周长为；⑤阴影部分的面积为．其中正确的个数为（

）．A．2 B．3 C．4 D．533．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（

）A． B． C． D．题型十二轴对称综合题（共3小题）34．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，在直角三角形中，，，，，动点在线段上运动（不与端点重合），点关于边，的对称点分别为，，连接，点在上，则在点的运动过程中，线段长度的最小值是______．35．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）如图，P是外一点，D，E分别是上的点，连接，点M，N在直线上，与关于对称，与关于对称．若，则线段的长为（）A．4 B．4.5 C．5.5 D．636．（25-26七年级下·江苏南京·期中）【探究活动】已知：，是平面内一点．知识建构：如图，点在内部，分别作点关于边的对称点，连接与相交于点，则此时的周长最小，且连接后，得到的是等腰直角三角形．理由如下：∵点关于边的对称点分别为，∴．∴，根据“两点之间线段最短”，得到周长的最小值为线段的长度．∵，∴．∴是等腰直角三角形．学以致用：(1)如图，若点在外部，分别作点关于边的对称点，顺次连接，试判断的形状，并说明理由．继续探究：(2)如图：点分别在两边上，，的面积为，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，点在直线上运动时，则的面积最小值为________．拓展提升：(3)如图，把由旋转成，连接，得到直角．若边，且分别是边上的动点．小明研究发现：对于点在线段上的每一个不同的位置，存在一个与之相应的最小值．当点从运动到点时，请直接写出的变化范围________．∴，即最小值，∵，∴，且，∴、、共线，，即，在上运动：的最小值为斜边上的高：，∴，的最大值出现在端点：在点时最大，，故的变化范围为．题型十三折叠问题（共3小题）37．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，在锐角中，，，的面积为，为上一动点，将、分别沿、向外翻折，得到，，连接，则面积的最小值为________．38．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）若和均为大于小于的角，且，则称和互为“伙伴角”．根据这个约定，解答下列问题：(1)若和互为“伙伴角”，当时，求的度数；(2)如图1，O为直线上一点，，，则的“伙伴角”是_______；(3)①如图2，将一长方形纸片沿着对折（点P在线段上，点E在线段上）使点B落在点，若与互为“伙伴角”，求的度数；②如图3，在图1的基础上，再将长方形纸片沿着对折（点F在线段上）使点C落在线段上的点处，线段落在内部．若与互为“伙伴角”，求的度数．39．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）折纸中的数学（题中所有角都是指小于的角）【问题情境】动手折叠若干张长方形纸片来研究折纸的过程中角的变化，在长方形纸片的边上找到一个异于A，D的点E，连接，，将纸片分别沿，折叠，点A落在点F处，点D落在点G处．(1)【问题初探】如图（1），若点F在线段上，直接写出°；(2)【问题再探】如图（2）、（3），当E，F，G三点不共线时，若，请在图（2）、（3）中选取一个，求出的度数（用含β的代数式表示）；(3)【问题深探】如图（4），在边上取一点M，连接，将纸片沿折叠，点A落在点H处，当点M在边上移动到使时，若，直接写出和的数量关系．题型十四旋转综合题（共3小题）40．（25-26七年级下·广西南宁·期中）小宁同学在学习“平行线”后进行了课后探究：素材提供“一块含角的直角三角板，两条平行线”．【动手实践】将三角板绕着某点旋转能形成丰富的图形，也能得到许多有趣的结论．【问题解决】点P为直线外一点，过点P作直线．现将一个含角的直角三角板按图1放置，使点F，E分别在直线，上，且点E在点P的右侧，，，设．(1)填空：当时，则________；(2)如图2，若的平分线交直线于点H．①当于点时，求的度数；②在①的条件下，将三角板绕点E以每秒的转速顺时针旋转，同时射线绕点P以每秒的转速顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．设旋转时间为t秒，在旋转过程中，当时，求出此时t的值．41．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）已知直角三角板中，，．将三角板绕着点旋转得到，旋转角记为．(1)当旋转方向为逆时针方向，且时（如图1），则∠B′(2)当旋转方向为逆时针方向，且时，在图2中，画出旋转得到的，判断边与边的位置关系，并说明理由；(3)当时，若∠BAC′=2∠BAB如图3，当旋转方向为逆时针方向时，点为边上一点．∠CAD=14∠C′AC，在旋转过程中，若与始终满足为定值，求常数的值．42．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）已知直角三角板中，，．将三角板绕着点A旋转得到，旋转角记为．(1)当旋转方向为逆时针方向，且时（如图1），求和的大小．(2)当旋转方向为逆时针方向，且时，在图2中，画出旋转得到的．(3)当时，①若，求的度数．②如图3，当旋转方向为逆时针方向时，点D为上一点，．在旋转过程中，若与始终满足为定值，求常数m的值．题型十五二元一次方程组的特殊解法（共3小题）43．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）已知关于的二元一次方程的解如下表：…012……5.554.543.53…关于的二元一次方程的解如下表：…012……51…则关于的二元一次方程的解是（

）A． B． C． D．44．（25-26七年级下·江苏·期末）阅读材料：在解方程组时，思思同学采用了一种“整体换元”的解法．把，看成一个整体，设＝m，＝n，原方程组可变为，解得，即，解得．(1)方法领悟：已知关于m，n的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为；(2)学以致用：请用“整体换元”的方法，解方程组；(3)拓展提升：已知关于m，n的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解．45．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）换元法是把一个比较复杂的代数式的一部分看成一个整体，用另一个字母代替这整体（即换元）的方法，好处是能使式子得到简化，便于解决问题，充分体现数学的整体思想．如：解方程组时，把和分别看成一个整体，即设，则原方程组可化为关于的方程组，解得；这样可得，，从而得到原方程组的解为．请用换元法解方程：题型十六二元一次方程组的含参问题（共3小题）46．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且．若a，b均为正整数，则符合条件的整数n的值为____________．47．（25-26七年级下·山东烟台·期中）已知关于的方程组(1)请直接写出方程的所有正整数解；(2)若方程组的解满足，求的值．48．（25-26七年级下·四川德阳·期中）【课本再现】已知，使二元一次方程两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．【解决问题】(1)以下x，y的值是方程的解的是：（填序号）；①，②，③(2)若关于x、y的二元一次方程的解与a的取值无关，且这组解也是方程的解，求b的值．【拓展延伸】(3)已知m为实数，k为正整数，关于x、y的方程组的解也为正整数，且此方程组的解也为方程的解，求m的值．题型十七二元一次方程组的新定义问题（共3小题）49．（25-26七年级下·浙江台州·期中）现定义一种新运算：，．若，，则．（1）若，则________；（2）若，，则用含，的代数式表示有________种表示方法．50．（25-26七年级下·北京·期中）对于关于的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“近解”方程组．若对于任意实数，关于的二元一次方程组都是“近解”方程组，则的值为_____．51．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期末）定义：我们把关于x，y的二元一次方程叫做方程（，n为正整数）的“n阶方程”．(1)方程的“2阶方程”为：；(2)方程的“4阶方程”和的“1阶方程”有无数组相同的解，求k的值；(3)若是关于x，y的方程与它的“3阶方程”构成的方程组的解，求的值．题型十八二元一次方程组的实际应用综合（共3小题）52．（25-26七年级下·江苏南通·期中）苏通第二过江通道已于近期开工建设，项目建成后将创下“世界最大跨度同类桥梁结构”，“世界最高桥梁索塔”等七项“世界第一”，是推动长三角一体化发展的战略性交通项目．现有甲、乙两车队参与某段项目材料运输，甲车队每天运输材料数目相同，乙车队每天运输材料数目相同，如果甲车队运输3天，乙车队运输4天，共运输材料1200吨；如果甲车队运输2天，乙车队运输1天，共运输材料550吨．(1)求甲、乙两车队每天完成运输材料各是多少吨？(2)现甲、乙两车队共同运输材料1800吨，每次运输均装满材料，甲车队每天费用3000元，乙车队每天费用2400元，如何分配运输任务使总费用最低？总费用最低是多少？53．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）某工厂将一批纸板按照甲，乙两种方式进行加工，再用加工出来的长方形A板块和正方形B板块制作成如图所示的底面为正方形的长方体有盖礼盒，设有块纸板按甲方式进行加工，有y块纸板按乙方式进行加工；(1)补全表格块按甲方式加工的纸板块按乙方式加工的纸板板块__________板块__________(2)若现共有纸板14块，要使礼盒制作完毕后的板块恰好用完，能做多少个礼盒？(3)若现共有纸板块，还有之前剩余的板块4块，要使礼盒制作完毕后的板块恰好用完，则的最小值为__________．（请直接写出答案）54．（25-26七年级上·福建厦门·期末）某市快递收费标准因快递公司、包裹重量、目的地（省内/省外）和是否轻泡件（体积较大而重量较轻）而异，以下是2025年快递公司收费规则：快递公司省内省外首重（）续重首重（）续重顺丰元元元元德邦元元元元轻泡件计费规则：取实际重量和体积重的较大值进行计费，其中体积重体积．例如：用顺丰寄往省内的轻泡件实际重，体积为，其体积重，由于，则按收费，共需支付元．某商家需采购省内外的乒乓球（轻泡件）和乒乓球拍（非轻泡件），由于厂家不同，乒乓球与球拍需分开计算快递费用，其月进货量如下：种类省内省外重量/体积/重量/体积乒乓球乒乓球拍/(1)若该商家月与顺丰合作，请计算月的快递费用共需多少钱？(2)若商家打算月的省外快递选一个公司合作，请判断选顺丰还是德邦更加优惠？并说明理由．(3)因乒乓球热销，该商家计划于月再采购一批乒乓球，由于仓库容量有限，暂拟采购，省内外均有订货，且全部发轻泡件并按体积重计费，预计用顺丰比德邦便宜元，问该商家省内与省外的体积重分别是多少？题型十九方程与不等式结合问题（共3小题）55．（24-25七年级下·黑龙江双鸭山·期末）我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”．(1)组合是_________________；（填有缘组合或无缘组合）(2)若关于x的组合是“有缘组合”，求a的取值范围；56．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）阅读理解：定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”．(1)试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？不必说明理由；(2)若关于、的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围；(3)当时，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整数值．57．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）我们把关于的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”．(1)请判断组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由；(2)若关于的组合是“有缘组合”，求的取值范围；(3)若关于的组合是“无缘组合”，求的取值范围．题型二十不等式组的整数解问题综合（共3小题）58．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）已知关于的不等式组的解集中恰好有两个整数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．59．（25-26七年级下·江苏南京·期末）已知关于x的不等式组有且只有4个整数解，则满足条件的整数k有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个60．（25-26七年级下·江苏·期末）若关于的不等式组有且仅有个整数解，且的结果不含二次项，则满足条件的整数的值为_______．题型二十一不等式组的解集情况求参数综合（共3小题）61．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）若不等式组无解，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．62．（25-26七年级下·江苏南京·期末）不等式组的解集是，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．63．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）若一个不等式组有解且解集为，则称为的“绝对距离”，若的绝对距离是不等式组的解，则称不等式组对于不等式组“绝对包含”．(1)已知关于的不等式组以及不等式组，判断不等式组是否对于不等式组绝对包含，并写出判断过程．(2)已知关于的不等式组和关于的不等式组，若不等式组对于不等式组绝对包含，当时，求满足条件的所有整数的和．(3)已知关于的不等式组以及不等式组，且不等式组对于不等式组绝对包含，求的取值范围．题型二十二方程组与不等式组结合的问题（共3小题）64．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）设表示不超过x的最大整数，如，，，若x，y满足，那么的值是（

）A．3 B．2或 C．3或 D．1或265．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）若整数a使关于x的不等式组有4个整数解，且使关于x、y的方程组的解为整数，那么满足条件的整数a的值为______．66．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“调和解”．例：已知方程与不等式＞0，当时，，＞0同时成立，则称“”是方程与不等式＞0的“调和解”．(1)已知有三个不等式：①＞，②2（x+3）＜4，③＜3，判断方程的解是不等式的“调和解”（填不等式前的序号）；(2)若是方程与不等式组的“调和解”，求的取值范围；(3)若关于x的方程与关于x的不等式恰有7个“调和解”为整数．求的取值范围．题型二十三不等式组的实际应用综合（共3小题）67．（2026·广西南宁·一模）学校组织体育活动，某班级计划统一购买新的排球和跳绳．班长统计后去商店采购，和售货员有如下对话：(1)根据上述对话信息，求排球和跳绳的单价；(2)由于排球和跳绳需求量增大，该体育用品商店计划再次购进排球个（）和跳绳根，且恰好花费3600元，已知排球每个进价为80元，跳绳每根的进价为15元，求该商店老板有哪几种购进方案？68．（25-26七年级上·江苏淮安·期末）“绿水青山，就是金山银山”某旅游景区为了保护环境，需购买、两种型号的垃圾处理设备，已知台型设备和台型设备日处理能力一共为吨；台型设备和台型设备日处理能力一共为吨．(1)求台型设备、台型设备日处理能力各多少吨？(2)若购买、两种型号的垃圾处理设备共台、两种型号均购买，并且它们的日处理能力不低于吨．请你为该景区设计购买、两种设备的方案；(3)已知每台型设备价格为万元，每台型设备价格为万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于万元时，则按折优惠；问：采用中设计的哪种方案，使购买费用最少，并说明理由．69．（25-26七年级上·江苏南京·期中）为探究使用天然气和电的耗能和花费问题，小明进行了烧水实验，将一定量的水烧开，相关数据如下表：能源烧水所需理论热量单位能源使用量所产生的热量烧水所需理论使用量能源单价费用天然气378千焦37800千焦/米米33.03元/米元电378千焦c千焦/度0.105度0.56元/度0.0588元(1)___________，___________，___________；(2)在使用的灶具与电器的过程中，热量会有一定损失，因此使用天然气或电都存在能源的利用率问题．设使用天然气、电的能源利用率分别为（能源利用率=）①下表是小明家某天家庭聚餐的菜单与烹饪所需的热量：菜品烹饪所用能源烹饪所需的理论热量红烧肉天然气3400千焦炒虾仁天然气1100千焦宫保鸡丁天然气1515千焦清炒茼蒿天然气600千焦玉米排骨汤电4600千焦清蒸白鱼电850千焦蒸南瓜电700千焦米饭电1850千焦当，时，计算烹饪这些菜品消耗天然气和电的实际总费用（保留1位小数）．②当满足什么关系时，使用电更省钱（直接写出答案，不必说明理由）．题型二十四不等式组的新定义问题（共3小题）70．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）定义：关于的二元一次方程（其中是常数）叫做方程的“移变方程”．例如：的“移变方程”为．已知常数满足条件，并且是关于的二元一次方程的“移变方程”，则的取值范围为_________．71．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）对于m，n定义一种新运算T，规定：，即：当时，；当时，，这里等式左边括号里及等式右边的运算都是通常的四则运算．若关于x的不等式的最大整数解为，则______．72．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）定义一种新运算“”：当时，：当时，．例如：．(1)填空：_____；(2)若，则的取值范围为_____；(3)已知，求的取值范围．题型二十五定义、命题、证明大题综合（共3小题）73．（25-26七年级下·江苏·期末）证明：如果一个数的平方的个位数不是5，那么这个数的个位数也不是5．74．（25-26七年级下·江苏南京·期末）对一个正整数n，我们进行如下操作：若它是奇数，则乘以3再加1；若是偶数，则除以2．(1)对于，进行若干次上述操作后，是否有一数是4的倍数．(2)求证对任意正整数n，进行有限次上述操作后，必有一数是4的倍数．75．（25-26七年级下·江苏·期末）如图①，在中，与的平分线相交于点P．(1)若，则的度数是；(2)如图②，作外角，的角平分线交于点Q，试探索，之间的数量关系；(3)如图③，延长线段，交于点E，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出的度数是．1．若，则___________．2．如果，那么我们规定．例如：因为，所以．(1)______；若，则______；(2)已知，，，若，求的值；(3)若，，令，求的值．3．对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：．(1)若是一个完全平方式，求常数的值；(2)若，且，求的值；(3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、．若，，，，求图中阴影部分的面积．4．在学习《整式乘法》时，我们借助图形的面积可以直观说明整式的乘法公式，了解公式的几何背景，经历了“以数解形”“以形助数”的思想方法——数形结合．某数学学习小组在研究完全平方公式时，把公式变形成，然后通过计算如图1阴影部分的面积说明了变形后的公式：．(1)现有四个长与宽分别为、的相同的小长方形拼成图2的图形，根据图中条件，然后通过计算图2中阴影部分的面积，可以验证关于、的关系式：___________（用含、的代数式表示出来）；(2)根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：①若，，则的值为________；②若满足，求的值为________．(3)如图3，长方形面积为60，将正方形叠放在长方形上，在线段上，在线段上，直线与直线交于点，若四边形和四边形都是正方形，，，求正方形的边长；(4)如图4，四边形是正方形，，分别是、上的点，且，，分别以、为边长作正方形和正方形．若长方形的面积为21，则阴影部分的面积为________．5．若两个角之差的绝对值等于，则称这两个角互为“美妙角”．即，则称和互为“美妙角”．（本题中所有角都是大于且小于的角）(1)若和互为“美妙角”，当时，求的度数；(2)如图1，一张长方形纸片，点P在边上，点E在边上．将纸片沿着折叠，点B落在点处．①若与互为“美妙角”，求的度数；②点F在线段或上，再将纸片沿着折叠，使点C落在．若与互为“美妙角”，则．6．综合探究：【问题感知】(1)如图1，长方形纸片，点，分别为，边上两点，将长方形纸片沿折叠后，点，分别落在点，的位置，若的延长线过点，且，则__________；【问题初探】(2)如图2，长方形纸片，点，分别为，边上两点，将长方形纸片沿折叠后，点，分别落在点，的位置，的延长线交于点，，求的度数；【问题深探】(3)如图3，在钝角三角形纸片中，，．点为边上一点（不与点重合），将三角形纸片沿折叠后，点落在点的位置．若所在直线与三角形的一边所在直线垂直，求的度数．7．在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺（分别含、、和、、的角）按照如图方式摆放：(1)如图1，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，把以为中心顺时针旋转，至少旋转__________，才能使落在上；(2)如果把图1所示的以为中心顺时针旋转得到，如图2，，为多少度？(3)如图3，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，另一条直角边、也在同一条直线上．现将绕点以每秒的速度顺时针旋转，将绕点以每秒的速度逆时针旋转．两个三角尺同时旋转，当第一次与重合时，两三角尺同时停止旋转．设旋转时间为秒，在旋转过程中，如果与两角平分线的夹角为，请求出的值．8．（1）观察发现：解方程组将①整体代入②，得，解得．将代入①，解得，所以原方程组的解是这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，会发现有很多方程组可采用此方法求解．请写出方程组的解为________；（2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组：（3）已知满足方程组，求的值．9．某校“综合与实践”小组的同学利用课余时间开展了一项关于“低碳生活”的课题活动，具体是对“新能源汽车充电难”问题进行调查，并写出相关活动报告．请你帮他们完成下面的活动报告．活动课题了解“新能源汽车充电难”问题活动目的运用方程与一元一次不等式解决新能源汽车充电问题，提倡“低碳生活，绿色出行”．活动素材某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积如下：地上充电桩地下充电桩每个充电桩占地面积31已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元．问题一该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需要多少万元．问题二若该小区计划用不超过万元的资金新建60个充电桩，则最多可以建多少个地下充电桩？问题三考虑到充电设备对小区居住环境的影响，在问题二的条件下，且地下充电桩的数量不少于40个，则共有几种建造方案？请列出所有方案．哪种方案占地面积最小．10．已知实数满足．(1)用含有的代数式表示；(2)若实数满足，求的取值范围；(3)若实数满足，且，求的取值范围．11．定义：关于，的二元一次方程中的常数项与未知数系数，之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的交换系数方程为或．(1)方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为；(2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值；(3)已知整数，，满足条件，并且是关于，的二元一次方程的“交换系数方程”，求的值．12．在整数除法体系中，一个正整数除以3的余数规律蕴含着深刻的数学逻辑．若我们把一个正整数a除以3所得的余数记作“a模3”，例如：记作“12模”；记作“16模”；记作“11模”．(1)直接写出结果：36模；360模．(2)①命题：如果a模，其中a为正整数，那么模．这个命题是真命题，证明过程如下：证明：若a模，其中a为正整数，则a能被3整除，可以设；则；所以能被3整除，即模．②命题：如果a模，其中a为正整数，那么模．是否正确？若正确，请证明，若不正确，举例说明；(3)证明：如果a模，b模，其中a、b为正整数，那么模．

专题03期末真题百练通关（75题25大压轴题型）题型1幂的混合运算题型14旋转综合题题型2利用幂的运算性质比较大小题型15二元一次方程组的特殊解法题型3幂的运算新定义问题题型16二元一次方程组的含参问题题型4幂的有规律计算问题题型17二元一次方程组的新定义问题题型5整式乘法的无关型问题（几何）题型18二元一次方程组的实际应用综合题型6多项式乘法的规律性问题题型19方程与不等式结合问题题型7运用乘法公式进行运算综合题型20不等式组的整数解问题综合题型8乘法公式与几何图形综合题型21不等式组的解集情况求参数综合题型9乘法公式中的配方法求最值题型22方程组与不等式组结合的问题题型10乘法公式的新定义问题题型23不等式组的实际应用综合题型11平移综合题题型24不等式组的新定义问题题型12轴对称综合题题型25定义、命题、证明大题综合题型13折叠问题题型一幂的混合运算（共3小题）1．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）计算：(1)；(2)【答案】(1)(2)【详解】（1）解：原式；（2）解：原式．2．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）计算：【答案】4【分析】分别计算有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂和立方运算，再按照运算顺序进行加减运算．【详解】解：．3．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）在数学领域，幂运算和整式乘法构建起了代数运算的重要基石，灵活运用幂的运算性质，能成为破题的关键所在．(1)类型一：简便计算；(2)类型二：代数式求值若，，则①；②．(3)类型三：解方程解关于x的方程：如果，求x的值．【答案】(1)(2)17；72(3)【分析】（1）利用积的乘方逆运算进行简便计算；（2）①先根据同底数幂乘法逆运算法则计算，然后求和；②先利用同底数幂乘法逆运算法则转化后代入计算即可；（3）将方程中各项化为同底数幂，然后根据同底数幂的乘除运算法则化简方程，最后求解【详解】（1）解：；（2）解：∵，，∴，①；②；（3）解：∵，∴，∴，∴，∴．∴．题型二利用幂的运算性质比较大小（共3小题）4．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）逆向运用幂的运算法则可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．(1)的结果是____________；(2)若，求的值；(3)比较大小：已知，，，求，，的大小关系．（提示：若，为正整数，则）【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据积的乘方的逆运算法则，同底数幂的乘法的逆运算法则，即可解答；（2）根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方的运算法则，进行计算即可；（3）先将，，转化为同指数幂，再比较底数的大小，即可解答．【详解】（1）解：．（2）解：，且，，，．（3）解：，，，且，，即．5．（25-26七年级下·江苏南京·期末）【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现：若且，m，n都是正整数．①当时，；这说明当底数是相同的正数时，指数越大，幂越大．②当时，；这说明当指数是相同的正整数时，底数越大，幂越大．③当时，，【应用知识】(1)①化简计算②若，求x的值．【拓展探究】(2)①比较与的大小．②比较与的大小．【答案】(1)①；②(2)①；②【分析】（1）①把原式变形为，进一步变形为，据此求解即可；②根据得到，进一步得到，则，解方程即可得到答案；（2）①根据题意可得，，据此可得答案；②根据题意可得，则可证明，据此可得答案．【详解】（1）解：①；②∵，∴，∴，∴，∴，∴；（2）解：①，，∵，∴，∴；②∵，∴，∴，∵，∴．6．（25-26七年级下·江苏·期末）比较下列各题中幂的大小：(1)比较，，这3个数的大小关系；(2)已知，，，比较a、b、c的大小关系．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则（），将不同的幂转化为同底数或同指数的形式进行比较是解题的关键．（1）将三个幂转化为指数相同的形式，再比较底数大小；（2）将三个幂转化为底数相同的形式，再比较指数大小．【详解】（1）解：，，，∵，∴；（2）解：，，，，，．题型三幂的运算新定义问题（共3小题）7．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）对于任意的两个有理数，我们规定：，下面给出了关于这种运算的三个结论，其中正确的个数有（

）①；

②；

③．A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【答案】B【分析】本题考查整式的混合运算，有理数的混合运算，理解题意并列出正确的算式是解题的关键．根据新运算定义，分别验证三个结论的正确性．【详解】解：对于结论①：，∴结论①错误．对于结论②：，，．∴结论②正确．对于结论③：，同理，．∴结论③正确．综上，正确结论有②和③，共2个．故选：B．8．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）定义：两正数，之间的一种运算，记作；若，则．例如：因为，所以．（1）根据上述规定，填空：＝_______；（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：．小明给出了如下的证明：设，则根据定义，得，即所以，即，所以．请你尝试运用这种方法解决问题：已知a、m、n均为正数，填空：_______【答案】/【分析】（1）根据零指数幂即可求解；（2）设，，根据新定义可得，即可求解．【详解】（1）∵，∴，故答案为：．（2）设，∴∴∴即，故答案为：．【点睛】本题考查了新定义运算，零指数幂，同底数幂的乘法，幂的乘方的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．9．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：因为．所以．(1)根据上述规定，填空：________，________；(2)填空：①________；②，，，则a，b，c之间的数量关系为________；(3)计算：．【答案】(1)4，(2)①3；②(3)2【分析】（1）根据有理数的乘方及新定义运算即可求解；（2）①设，，则，，根据新定义运算即可求解；②根据新定义运算可得，，，再计算得到，据此计算即可得到；（3）先计算，设，，则原式化为；根据新定义运算可得，，进而建立和的关系求解．【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴，故答案为：4，；（2）解：①由题意设，，则，，则，∴，即；②∵，，，∴，，∴，∴，∴，即a，b，c之间的数量关系为；（3）解：，设，，∴，，∴，∵，且，∴，∴，∴，∴，即．题型四幂的有规律计算问题（共3小题）10．（25-26七年级下·江苏南通·期末）观察下列等式：；；；；…．已知按一定规律排列的一组数：，，，，，，，，若，则______（结果用含的代数式表示）．【答案】【分析】先观察等式规律，得出从到的和为，再将原式变形，最后代入即可．【详解】解：，．11．（25-26七年级下·江苏·期末）阅读材料，回答下列问题：材料一：积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．即：．材料二：等式成立试求：（1）__________．（2）___________．【答案】220333300【分析】（1）根据将变形为，再利用进行计算即可得到答案；（2）先利用将变形为，再利用进行计算即可得到答案．【详解】解：（1），，原式，故答案为：220；（2），，原式，故答案为：333300．【点睛】本题主要考查了积的乘方，熟练掌握的积的乘方的运算法则，能准确利用题中所给的公式是解题的关键．12．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）阅读材料：求的值．解：令①．将等式①两边同时乘2，得②．②①，得，即，所以请你根据上述材料，解答下列问题：(1)计算：．(2)已知数列：，9，，，，…．①它的第100个数是_____；②求该数列中前100个数的和．【答案】(1)(2)该数列中前个数的和是【分析】（1）根据阅读材料即可解决问题；（2）①观察数列的特征，发现后一个数是前一个数的-9倍，即可解决问题；②表示出前100个数的和，再依据规律即可解题．【详解】（1）解：由题知：令将等式①两边同时乘3，得：得：，即．（2）解：①观察所给数列的特征可知，后一个数是前一个数的倍，且第一个数是.所以第个数是；②前100个数的和为：令两边同时乘以，得两式相减去，得：，即，所以这列数中前个数的和为．【点睛】本题主要考查了数字变化的规律及有理数的混合运算，理解题中所给计算方式是解题的关键．题型五整式乘法的无关型问题（几何）（共3小题）13．（25-26七年级下·四川成都·期中）我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是把看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关，所以含的项的系数为0．具体解题过程：原式因为代数式的值与的取值无关．所以，解得．【理解应用】(1)若关于的代数式的值与的取值无关，则的值为___________．(2)已知，且的值与的取值无关，求的值．【能力提升】(3)7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长度变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系．【答案】(1)2(2)8(3)【分析】（1）根据题中所给方法进行求解即可；（2）由题意易得，然后可得，进而问题可求解；（3）设，由题意易得，然后可得，进而问题可求解．【详解】（1）解：，因为代数式的值与的取值无关．所以，解得．（2）解：∵，∴，∵的值与的取值无关，∴，解得：，∴；（3）解：设，由图可知：，∴，∵的长度变化时，的值始终保持不变，∴，∴．14．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）综合与实践．学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形．(1)如果用若干张A，B，C三种卡片拼成的一个长方形，边长分别为和，在虚线框中画出你的拼图，并直接写出；(2)选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种D型卡片，由此可检验的等量关系为；(3)选取1张D型卡片，3张C型卡片按图3的方式不重复地叠放长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，且．图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，，若，随着的长度变化时，当a、b之间满足怎样的数量关系时，S的值始终保持不变，请说明理由．【答案】(1)拼图见解析，(2)(3)，理由见解析【分析】（1）画一个边长分别为和的长方形，然后根据图形求解即可；（2）利用正方形的面积即可解决问题；（3）设，根据题意可得则可求出，根据S的值与无关得出，即可求解．【详解】（1）解：如图，，根据图形可知：；（2）解：选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，可以得到一个边长为的正方形，剪出中间正方形作为第四种D型卡片，可知D型卡片的面积为一个边长为的正方形的面积减去4张C型卡片的面积，即：，由图可得D型卡片是一个边长为的正方形，由正方形的面积为边长的平方可知：；（3）解：设，根据题意，得，，∴，∵随着的长度变化，S的值始终保持不变∴，∴，∴当时，随着的长度变化，S的值始终保持不变．15．（25-26七年级上·四川内江·期末）【方法点拨】在求代数式的值时，遇到这样一类题：“代数式的值与x的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是把x、y看作字母，a看作系数，然后合并同类项，即原式．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即，则．【理解应用】（1）若关于x的多项式不含项，则________；（2）已知，，且的值与y的取值无关，求x的值；【拓展延伸】（3）用7张长为a，宽为b的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分未被覆盖，设右上角部分的面积为，左下角部分的面积为，当的长发生变化时，的值始终保持不变．请求出a与b之间的数量关系．【答案】（1）2；（2）；（3）【分析】本题主要考查了整式加减运算和化简求值，解题关键是熟练掌握多项式乘以多项式，单项式乘以多项式法则．（1）根据多项式不含项，列出方程解答即可；（2）先求，根据多项式的值与y的取值无关可知：化简后的多项式含有y的项的系数之和为0，列出方程解答即可；（3）观察图形，求出和的面积，则可求出，进而可得到答案．【详解】解：（1）∵该多项式不含项，∴，∴，故答案为：2；（2）∵，，∴∵的值与y的取值无关，∴，∴；（3）解：设，依题意，，，∴，∵当的长发生变化时，的值始终保持不变，∴．即．题型六多项式乘法的规律性问题（共3小题）16．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了（，2，3，4，5，6）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的五个数1，4，6，4，1，恰好对应着展开式中各项的系数等等．有如下结论：①展开式中含x25的项的系数是25；②展开式各项系数之和为64；③用此规律解决实际问题：今天是星期一，再过7天还是星期一，那么再过86天是星期二；④展开式中（按a的次数由大到小的顺序）倒数第三项的系数是190．上述结论中，正确的有（

）A．2 B．3 C．1 D．4【答案】B【分析】根据题干中提供的规律结合杨辉三角可得①错误；写出展开式各项系数，然后相加即可判断②正确；根据得出除以7余1，即可判断③正确；先求出“杨辉三角”中第20行第3个数为，再根据“杨辉三角”中第20行第3个数和倒数第3个数相同，即倒数第3个数为190，即可得出答案．【详解】解：①根据规律可得：展开式中含x25的项的系数是26，故①错误；②展开式各项系数分别为：，6，15，20，15，6，1，因此各项系数之和为：，故②正确；③∵（a，b，…为各项系数），能被7整除，∴除以7余1，∴今天是星期一，再过7天还是星期一，那么再过86天是星期二，故③正确；④从第2行起，每一行的第3个数字分别为第行的第3个数字为，“杨辉三角”中第20行第3个数为，∵“杨辉三角”中第20行第3个数和倒数第3个数相同，即倒数第3个数为190，∴展开式中（按a的次数由大到小的顺序）倒数第三项的系数是190，故④正确；综上，正确的有3个．17．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）“杨辉三角”（如图），是中国古代数学无比睿智的成就之一用“杨辉三角”可以解释（n为非负整数）计算结果的各项系数规律，如的系数，，恰好对应“杨辉三角”中第3行的个数，的系数，，，恰好对应“杨辉三角”中第行的个数…，某数学兴趣小组经过仔细观察，还发现（n为非负整数）计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论：①的计算结果中项的系数为；②当时，的计算结果为；③的计算结果中各项系数的绝对值之和为；④当，除以，余数为．上述结论正确的是（

）A．②③④ B．①②④ C．②③ D．②④【答案】A【分析】本题考查多项式乘多项式中的规律型问题，幂的乘方．根据“杨辉三角”得出展开式中各项系数的特点，逐项判断即可求解．【详解】解：由题意知，的计算结果中项的系数为“杨辉三角”第2027行第2个数与的积，即，故结论①错误；当时，，故结论②正确；的计算结果中各项系数之和为，因此的计算结果中各项系数的绝对值之和为，故结论③正确；当，，展开式中最后一项为，其余各项的因数均包括2026，因此除以2026，余数为，即2025．故结论④正确；18．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）观察下列各式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；……(1)根据规律写出第n个等式：______；(2)根据规律计算：．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等式规律直接得到答案；（2）先根据已知式子总结多项式乘法的规律，再将所求式子凑成符合规律的形式，利用规律计算即可得到结果．【详解】（1）解：根据规律写出第n个等式：（2）解：根据已知等式可得规律：，设，变形可得，根据已知规律使，得：，整理得，等式两边同时除以，得：．题型七运用乘法公式进行运算综合（共3小题）19．（25-26七年级下·江苏常州·期中）已知：，，，则的值为（

）A．0 B．2003 C．2002 D．3【答案】D【分析】先对代数式整体变形乘2再除以2，配方变形后则有，根据已知条件算出，，的值，最后代入分解后的算式中求解即可．【详解】解：，根据已知条件可得：，，，∴原式．20．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）已知正数满足，则的值是()A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了利用完全平方公式求值，把两边同时平方，可得：，整理可得：．【详解】解：，，可得：，，，即．故选：C．21．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）“整体思想”在数学中应用极为广泛．例如：已知，求的值．解：，．．请尝试应用“整体思想”解决以下问题：(1)已知，求的值；(2)已知，求的值；(3)若（，都是整数）能被6整除，试说明也能被6整除．【答案】(1)(2)(3)见解析【分析】（1）求出，再把所求式子变形为，据此可得答案；（2）设，则可得到，利用完全平方公式的变形求出的值即可得到答案；（3）把变形为，进一步变形为，根据（，都是整数）能被6整除，也能被6整除，即可得到能被6整除．【详解】（1）解：∵，∴，∴；（2）解：设，∴，∵，∴，∴，∴∴．（3）解：，∵（，都是整数）能被6整除，也能被6整除，∴能被6整除，∴能被6整除．题型八乘法公式与几何图形综合（共3小题）22．（25-26七年级下·广东佛山·期末）【阅读材料】若x满足，求的值．解：设，则,∴【解决问题】请仿照上面的方法求解下面问题：(1)已知，则______．(2)已知，求的值．(3)如图，正方形的边长为分别是上的点，且，长方形的面积是28，分别以作正方形，求阴影部分的面积．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）设，求出，利用完全平方公式进行变形求值即可；（2）设，求出，，，利用完全平方公式变形求解即可；（3）由题意可得设则，得到根据阴影部分的面积为并利用完全公式进行解答即可．【详解】（1）解：设，则，，∴；（2）设，则，由题意可知，，∵，∴，∴，∵∴，∵，∴；（3）解：根据题意可得，，，，，设，，则，，，，．23．（25-26七年级下·江苏·期末）【阅读理解】完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．例如：若，求的值．解：．．【尝试探究】请仿照上例解决下列问题：(1)①若，则___________．②若，则___________．(2)①若满足，求的值．②若满足，求的值．【类比应用】(3)如图，正方形的边长为x，AE=2，FC=4，长方形的面积是10，四边形和都是正方形，是长方形，请直接写出图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）．(4)【答案】(1)①；②(2)①；②(3)【分析】（1）①由可得到，再利用完全平方展开运算即可；②由可得到，再利用完全平方展开运算即可；（2）①令，，得出，再利用完全平方展开运算即可；②令2027−x=a，，得出，再利用完全平方展开运算即可；（3）利用列式运算即可．【详解】（1）解：①：∵∴，∴，∵，∴；②：∵∴∴∵∴∴；（2）解：①：令，，∴，∵，∴，∴；②：令2027−x=a，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（3）∵正方形的边长为x，AE=2∴，∵长方形的面积是10，∴，∴，设，则，∴，∵，，∴，∴，，∴图中阴影部分的面积为44．24．（25-26七年级下·山东青岛·期中）阅读理解：【知识生成】如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分沿虚线拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：，图2中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：．(1)【拓展探究】图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形．①由图（4），你能得到的等量关系式是___________；②结合以上信息，灵活运用公式，解决如下问题：（I）已知，，则___________．（II）已知，则___________．(2)【问题解决】如图5，某中学前不久举办了第十七届“智启未来，科技筑梦”校园科技节活动，其中创意竞赛要求设计一款由两个正方形构成的光学元件模型，其中大正方形与小正方形的边长分别为和（）．已知两正方形边长之和，边长之积，且为中点．模型中阴影部分为特殊光线吸收区域，其面积大小直接影响光学元件对光线的吸收效果，进而决定模型的光学性能．为优化设计，需精确计算图中阴影部分的面积总和，求该阴影部分面积总和是___________．(3)【问题解决】两个边长分别为和的正方形按图6所示的方式放置，其未叠合的部分（阴影部分）面积为，若如图7所示，再在图6中边长为大正方形的左下角摆放一个边长为的小正方形，此时阴影部分的面积为．若，，则的值是___________．【答案】(1)①；②（I）24；（II）3；(2)4；(3)【分析】（1）①利用两种方法求出阴影部分的面积即可得到等式；②（I）将变形成，代入进行计算即可；（II）令，求出，，根据即可得到答案；（2）根据阴影部分的面积为，求出即可得到答案；（3）由题意可知：，，根据，，求出，，即可得到答案．【详解】（1）解：①方法一：用大正方形的面积减去四个小长方形面积列式可得：，方法二：用小正方形的边长列式可得：，，故等量关系式是；②（I），，，将，代入，原式；（II），令，故，，，；（2）解：阴影部分的面积和为，，，阴影部分的面积和为；（3）解：由题意可知：，，，，，．题型九乘法公式中的配方法求最值（共3小题）25．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题．例如：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？∵，∴∴当时，代数式有最小值1．材料二：我们定义：若两个关于x的多项式的和为常数，则称这两个多项式互为“和常多项式”，该常数称为它们的“和常值”．例如：，，，则A和B互为“和常多项式”，“和常值”为5．(1)判断多项式与是否互为“和常多项式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出它们的“和常值”；(2)已知多项式，（m，n为常数），且M和N互为“和常多项式”．若N的最小值为2，求M和N的“和常值”；(3)关于x的多项式与互为“和常多项式”，和常值为；多项式与互为“和常多项式”，和常值为．已知，求式子的最值．【答案】(1)多项式与互为“和常多项式”，证明见解析，它们的“和常值”为2(2)2(3)8【分析】本题主要考查了新定义，整式的混合运算，完全平方公式，熟知完全平方公式是解题的关键．（1）计算出的结果，再根据“和常多项式”的定义判断即可；（2）计算出的结果，根据M和N互为“和常多项式”得到含x的项的系数为0，据此可求出m的值，再根据N的最小值为2可求出n的值，进而可得答案；（3）求出的结果，根据“和常多项式”的定义可推出，，根据得到；则可得到，进而可用m表示出，再利用配方法求解即可．【详解】（1）解：多项式与互为“和常多项式”，证明如下：，∴多项式与互为“和常多项式”；（2）解：，∵M和N互为“和常多项式”，∴，∴；，∵，∴，∵N的最小值为2，∴，∴，∴，∴M和N的“和常值”为2；（3）解：，，∵关于x的多项式与互为“和常多项式”，和常值为；多项式与互为“和常多项式”，和常值为，∴，，∵，∴，∴；∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴的最小值为8．26．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）阅读理解并解答：在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式的最大值吗？【初步思考】同学们经过交流、讨论，总结出如下方法：解：因为，所以．所以当时，的值最大，最大值是0.所以当时，的值最大，最大值是4.所以的最大值是4【尝试应用】(1)求代数式的最大值，并写出相应的的值．(2)已知，，请比较与的大小，并说明理由．【拓展提高】(3)将一根长的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和有无最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度；若没有，请说明理由．【答案】(1)的最大值为14，此时的值为2．(2)，理由见解析(3)这两个正方形面积之和有最小值，此时两段铁丝的长度均为，面积之和为【分析】（1）仿照题中例子配出完全平方公式进行求解；（2）计算，仿照题中例子配出完全平方公式进行求解，即可得到结论；（3）设一段铁丝的长度为，则另一段铁丝的长度为，可分别求出两个正方形的边长为和，根据正方形的面积公式，列出代数式，仿照题中例子配出完全平方公式进行求解．【详解】（1）解：，，，当时，有最大值，最大值为，解得：，的最大值为14，此时的值为2．（2）解：，理由如下：，，，当时，有最小值2，（3）解：设一段铁丝的长度为，则另一段铁丝的长度为，根据题意得：，，时，有最小值，解得：，则，这两个正方形面积之和有最小值，此时两段铁丝的长度均为，面积之和为．【点睛】本题考查了完全平方公式，利用完全平方不为负数的性质求函数值的最值是常用方法，应熟练掌握．27．（