湖南省长沙市2026-2027学年高三上学期期中考试数学自编卷（范围：高考范围）（解析版）

湖南省长沙市2026-2027学年高三上学期期中考试自编卷数学试题（解析版）题号12345678910答案CBDBACDCACDACD题号11答案BCD1．C【分析】根据三角函数的图象变换进行选择.【详解】由的图象变换为的图象，有以下两种思路：（1）先将的图象向右平移个单位，得的图象，再把所得函数图象上任一点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得的图象，故C正确，D错误；（2）先将的图象上任一点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得的图象，再把所得函数图象向右平移个单位，得的图象，故AB错误.故选：C2．B【分析】利用二项式定理展开，再求解精确到的近似值.【详解】故选：B.3．D【详解】将数据从小到大排列，得到48，58，66，75，78，78，82，84，86，91，由于，故从小到大选取第8个和第9个数的平均数作为第80百分位数，所以这组数据的第80百分位数是.4．B【分析】先根据最值以及周期得出，根据正弦函数的图象解不等式得出答案.【详解】由题意可知，解得由，则由得出令，，则函数的图象如下图所示由图可知，此人的血压在之间的时长约为故选：B5．A【分析】利用导数研究函数的单调性，又对任意，都有，即可确定答案.【详解】因为恒成立，所以函数在定义域上单调递减，当时，，即函数图象过点，且对任意，都有，所以对任意，都有，所以结合选项可知A满足.故选：A6．C【分析】结合表面积,侧面为半圆,建立等式,即可.【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，高为，则，，所以，，.【点睛】本道题考查了立体几何表面积计算公式,结合题意,建立方程,计算结果,即可,属于基础题.7．D【分析】分别为的中点，证明平面平面，得点在线段上，取得最小值时为线段的中点，求出，余弦定理求的余弦值即可.【详解】如图，取的中点，的中点，连接，所以，又分别为的中点，所以，故，平面，平面，所以平面，又，，所以四边形为平行四边形，故，平面，平面，平面，又平面，，故平面平面，所以当平面时，平面，则点在线段上，当时，取得最小值，易知，此时为线段的中点.由平面几何知识可知，，，，.所以的余弦值为.故选：D.【点睛】方法点睛：平面，则点在过与平面平行的平面内，分别为的中点，由平面平面得点在线段上，且为线段的中点，三角形中余弦定理求的余弦值.8．C【解析】先由题意得出的表达式，易知是奇数，再根据选项求出的解析式，判断在上是否单调即可.【详解】解：，关于对称，又，关于对称，设的周期为，，而，；对A，当时，，又关于对称，，解得：，又，，，当时，，显然不单调，所以A错误；对B，是奇数，显然不符合；对C，当时，，又关于对称，，解得：，又，，，当时，，显然单调，所以C正确；对D，是奇数，显然不符合.故选：C.【点睛】方法点睛：求三角函数的解析式时，由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标，则令(或)，即可求出，否则需要代入点的坐标，利用一些已知点的坐标代入解析式，再结合函数的性质解出和，若对。的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.9．ACD【分析】根据是第一象限角，得到的范围判断.【详解】解：因为是第一象限角，所以，则，，所以，不确定，，，故选：ACD10．ACD【分析】由线线平行及锥体体积求法即可判断A；由平面向量数量积的运算律即可判断B；由扇形弧长公式即可判断C；由余弦定理即可判断D．【详解】对于A，连接，由得点在线段上，由为直四棱柱得，，又，所以的面积为定值，又点平面的距离为定值，所以四面体的体积是定值，故A正确；对于B，如图，若的外心为，过点作于点，则是的中点，因为，所以，故B错误；对于C，如图，在平面中作，垂足为，由已知得，平面，且平面，所以，又平面，且，所以平面，因为底面是菱形，，所以，在中，因为，所以，则点在以点为圆心，为半径的圆上运动，设此圆与交于点，因为，且，所以，则点的轨迹长度为，故C正确；对于D，若，则点与点重合，把沿着进行翻折，使得四点共面，此时有最小值，在中，，所以，所以，所以，在中，由余弦定理得，解得，故D正确；故选：ACD.11．BCD【分析】根据正弦定理，，利用正弦定理可判断A；根据外心性质可得在上的投影向量为，从而判断B；利用余弦定理和基本不等式可得，再根据三角形面积公式判断C；利用余弦定理、面积公式和基本不等式，化简求得，再由正弦定理判断D.【详解】根据正弦定理，可得，则，即，所以，对于A，若，则，所以，A错误；对于B，由点向作垂线，垂足为，因为为外接圆圆心，所以为中点，从而在上的投影向量为，则，B正确；对于C，若，则，根据余弦定理，，即，又根据基本不等式，得，则，当且仅当时，等号成立，则，当且仅当时，等号成立，C正确；对于D，，则，又，即，当且仅当时，等号成立，因为，所以，所以，则，即，即，解得，，所以，而，所以，D正确.12．【分析】利用椭圆的点差法求斜率即可求解.【详解】设，则，作差得，，所以，因为的中点坐标为，所以，所以，故答案为:.13．【分析】令，化简，求出的范围，结合不等式恒成立得到，再求出的范围即可．【详解】解：令则．因为，所以，所以，由于不等式对于恒成立可得．所以的取值范围为．故答案为：．14．【详解】如图，设的内切圆与轴相切于实点，根据切线性质及双曲线的定义可得,结合，解得,所以的内切圆与轴相切于实轴端点，因为，故，可得，轴，从而双曲线方程中令得，故答案为.15．(1)(2)【分析】（1）先根据周期可求出，从而可求出函数的单调增区间，然后与取交集即得解；（2）根据整体代换法即可求出值域．【详解】（1）因为图象的相邻对称轴与对称中心之间的距离为，所以的最小正周期，所以，故.令，则，即的单调递增区间为.而，所以函数在上的单调增区间是．（2）当时，，则，所以，即的值域为．16．(1)(2)(3)【分析】（1）直接利用余弦定理的应用求出余弦值.（2）利用正弦定理的应用求出结果.（3）在中，利用正弦定理可求，再利用三角形面积公式求解.【详解】（1）（1）在中，由余弦定理可得：.（2）因为所以，所以，在中，，由正弦定理，，所以.（3）在中，，所以，在中，由正弦定理，可得，，所以，.17．(1).(2)（i）9；（ii）.【分析】（1）由已知可得，的两根是，1，然后可求出答案；（2）由条件可得，（i）用基本不等式可求出的最小值，（ii）在上的解集是空集，可得，结合可求出实数的取值范围．【详解】（1）解：由已知可得，的两根是，1，所以，解得．（2）解：（i）因为，所以，当且仅当时等号成立，因为，，，解得，时等号成立，此时的最小值是9．（ii）在的解集为空集，∴，又因为代入上式可得，解得：．所以实数的取值范围为.18．（1）；（2）.【分析】（1）将平方，结合向量数量积的运算律求出，求出，即可得出结论；（2）根据向量数量积的运算律，分别求出，代入向量夹角公式，即可求解.【详解】（1），，，所以；（2），的夹角为60°，，，，，设向量与的夹角为，所以向量与夹角的余弦值为.19．(1)因为是等边三角形，点是棱的中点，所以，又平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.(2)【分析】（1）先分别证明、，由此即可证明平面，从而由面面垂直的判定定理即可得证.（2）建立适当的空间直角坐标系，设，分别求出求平面与平面的法向量（含有参数），由公式即可表示出（它可以看成是关于的函数），从而将问题转换为了求函数的最小值，从而即可求解.【详解】（1）略（2）在平面中，过点作,由（1）可知，，所以，，又平面，平面，所以，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示：

因为是等边三角形，，所以，，，因为，所以设所以，所以设平面的法向量为，又所以，即，令，得所以平面的一个法向量为设平面的法向量为，又所以，即，令，得所以平面的一个法向量为，