北师大版高中数学高三年级上册第11章数列测试卷及答案

北师大版高中数学高三年级上册第11章数列测试卷及答案第1页共1页北师大版高中数学高三年级上册第11章数列测试卷及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）（每小题只有一个选项符合题意，请把正确选项的字母填在题后括号内）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足关系式S_n=n(a_n+1)，则该数列的通项公式a_n是A.2n-1B.n+1C.2nD.n-1参考答案：C2.一个等比数列的前三项分别是2,6,18。求这个数列的第四项是A.54B.56C.58D.60参考答案：A3.已知数列{a_n}是等差数列，且a_3=7，a_7=15，则a_10的值是A.19B.20C.21D.22参考答案：C4.某工厂生产一种产品，其日产量与生产时间的关系可以用等差数列模型来描述。假设该工厂第一天生产了10件产品，以后每天比前一天多生产2件，则第10天该工厂生产的产品数量是A.28B.29C.30D.31参考答案：C5.一个等比数列的前五项和为31，后五项和为93。求这个数列的中位数是A.7B.8C.9D.10参考答案：B6.某投资者将资金分成两部分，分别按等差数列和等比数列的规律增长。已知前3年资金总额增长了18，后3年资金总额增长了54，则该投资者最初投入的资金总额是A.100B.150C.200D.250参考答案：D7.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足关系式S_n=3a_n-2n，则该数列的通项公式a_n是A.3^nB.2^nC.n^3D.n^2参考答案：B8.一个等差数列的前五项和为25，后五项和为55。求这个数列的公差d是A.2B.3C.4D.5参考答案：B9.某射手每次射击命中目标的概率为0.8，他连续射击3次，恰好有2次命中目标的概率是A.0.128B.0.256C.0.384D.0.512参考答案：C10.一个袋子里有5个红球和3个白球，它们除了颜色外完全相同。从中随机取出2个球，取出的2个球颜色不同的概率是A.3/8B.5/8C.3/4D.5/4参考答案：B二、填空题（共10小题，每题2分）（请把正确答案直接填写在题中横线上，填写不完整的不得分）1.在等差数列{a_n}中，若a_3=5,a_7=11，则该数列的通项公式a_n=______。参考答案：4n-72.已知数列{b_n}的前n项和S_n=n²+2n，则b_4=______。参考答案：153.一个等比数列的前三项依次为2,6,18，则该数列的第四项是______。参考答案：544.若数列{c_n}满足c_n=n(n+1)/2，则c_5+c_6+c_7=______。参考答案：555.在等差数列{d_n}中，若a_1=-3,d=2，则S_10=______。参考答案：806.已知数列{e_n}的前n项和为S_n=3^n-1，则e_3=______。参考答案：247.一个等比数列的前三项和为19，公比为2，则该数列的第三项是______。参考答案：768.若数列{f_n}满足f_n=f_{n-1}+5(n≥2),f_1=1，则f_10=______。参考答案：569.在等差数列{g_n}中，若a_4+a_6=10，d=1，则a_1=______。参考答案：-510.已知数列{h_n}的前n项和S_n=n(n+1)/2，则h_6=______。参考答案：21三、判断题（共10小题，每题2分）（正确的打“√”，错误的打“×”，把判断符号填在题后括号内）1.等差数列的前n项和公式为S_n=n(a_1+a_n)/2，其中a_n是数列的第n项。参考答案：√2.如果数列{a_n}满足a_n=a_{n-1}+d（d为常数），那么这个数列一定是等比数列。参考答案：×3.等比数列的任意一项都不可能为零。参考答案：×4.数列{a_n}的前n项和为S_n=3^n-2，那么这个数列一定是等比数列。参考答案：×5.一个数列既是等差数列又是等比数列，那么这个数列一定是常数列。参考答案：√6.如果数列{a_n}是递增的，那么它的前n项和S_n一定随着n的增大而增大。参考答案：×7.等差数列的公差d可以是负数。参考答案：√8.等比数列的公比q可以是零。参考答案：×9.数列{a_n}的前n项和S_n=n^2+n，那么这个数列的通项公式a_n=2n+1。参考答案：×10.数列{a_n}的通项公式为a_n=(-1)^n2^n，那么这个数列是等比数列。参考答案：√四、简答题（共8小题，每题2分）（请分点作答，语言简明、要点齐全，写在对应题目下方的横线上）1.已知数列{a_n}是等差数列，且a_3=7,a_5=11，求该数列的通项公式。参考答案：a_n=2n+12.已知数列{b_n}是等比数列，且b_1=2,b_4=16，求该数列的前6项和S_6。参考答案：S_6=1263.在等差数列{c_n}中，若a_1+a_5+a_9=27，求a_6+a_10的值。参考答案：214.在等比数列{d_n}中，若d_2d_8=64，求d_5的值。参考答案：d_5=85.已知数列{e_n}的前n项和S_n=n^2+n，求该数列的通项公式。参考答案：e_n=2n-16.判断下列数列是否为等差数列，并说明理由：{f_n}，其中f_n=n+1。参考答案：不是等差数列7.判断下列数列是否为等比数列，并说明理由：{g_n}，其中g_n=2^n。参考答案：是等比数列8.已知数列{h_n}是等差数列，公差d=2，且h_1=1，求h_1+h_2+...+h_10的值。参考答案：255五、应用题（共8小题，每题3分）（请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写最后结果不得分）1.医疗器械公司生产一种消毒液，其生产成本C（元）与产量x（吨）满足关系式C=5000+60x。若消毒液售价为每吨80元，为使公司不亏本，至少应生产多少吨消毒液？参考答案：至少应生产250吨消毒液2.某工厂有一条自动化生产线，其运行时间y（分钟）与生产量x（件）满足关系式y=20+0.5x。若工厂每天工作8小时，为使生产量达到最大，每天至少应运行多少分钟？参考答案：每天至少应运行320分钟3.一个家庭购买了一台太阳能热水器，其初始购买费用为2000元，使用寿命为10年。假设每年维护费用为100元，且热水器的残值为500元。求该热水器使用10年的平均成本是多少元？参考答案：该热水器使用10年的平均成本是2050元4.某城市公交公司运营一条公交线路，其运营成本C（元）与乘客数量x（人）满足关系式C=1000+2x。若公交公司希望获得至少10万元的年利润，且每名乘客的票价为10元，求该公交线路年乘客数量至少是多少人？参考答案：该公交线路年乘客数量至少是10000人5.一个农场种植了一种经济作物，其产量y（吨）与种植面积x（亩）满足关系式y=50x-0.5x²。为使农场获得最大产量，应种植多少亩该作物？参考答案：为使农场获得最大产量，应种植25亩该作物6.某公司投资建设一个项目，其投资成本为1000万元，项目使用寿命为5年。假设每年收益为200万元，且每年维护费用为20万元。求该项目的内部收益率是多少？参考答案：该项目的内部收益率是10%7.一个工厂生产一种产品，其生产成本C（元）与产量x（件）满足关系式C=5000+50x。若产品售价为每件100元，为使工厂获得至少10万元的年利润，每年至少应生产多少件产品？参考答案：每年至少应生产2000件产品8.一个家庭购买了一台空调，其初始购买费用为3000元，使用寿命为8年。假设每年维护费用为200元，且空调的残值为1000元。求该空调使用8年的平均成本是多少元？参考答案：该空调使用8年的平均成本是4375元标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：C解析：本题考查等差数列的通项公式。由S_n=n(a_n+1)可得a_n+1=S_n/n，即a_n+1=a_1+(n-1)d/n。又因为S_n=n(a_n+1)，所以a_n+1=S_n/n=a_1+(n-1)d/n。将n=3和a_3=7代入可得8=a_1+2d/3，将n=7和a_7=15代入可得16=a_1+6d/7。解这个方程组可得a_1=2，d=3。所以a_n=2+(n-1)×3=3n-1。故选C。其他选项错误的原因：A.2n-1是等差数列但公差不为3；B.n+1不是等差数列；D.n-1不是等差数列。2.参考答案：A解析：本题考查等比数列的通项公式。由等比数列的性质可得q=a_2/a_1=6/2=3。所以a_4=a_3×q=18×3=54。故选A。其他选项错误的原因：B.56不是18的3倍；C.58不是18的3倍；D.60不是18的3倍。3.参考答案：C解析：本题考查等差数列的性质。由等差数列的性质可得4d=a_7-a_3=15-7=8，所以d=2。所以a_10=a_7+3d=15+3×2=21。故选C。其他选项错误的原因：A.19不是7加上6个2；B.20不是7加上6个2；D.22不是7加上6个2。4.参考答案：C解析：本题考查等差数列的应用。由等差数列的性质可得a_n=a_1+(n-1)d。已知a_1=10，d=2，n=10，所以a_10=10+(10-1)×2=10+18=28。故选C。其他选项错误的原因：B.29不是10加上9个2；D.31不是10加上9个2。5.参考答案：B解析：本题考查等差数列的性质。由等差数列的性质可得2a_3=a_1+a_5，2a_7=a_6+a_8。又因为a_1+a_5=31，a_6+a_8=93，所以2a_3=31，2a_7=93。解得a_3=15.5，a_7=46.5。因为等差数列的中位数是第n/2项，所以中位数是a_4=(a_3+a_7)/2=(15.5+46.5)/2=31/2=15.5。故选B。其他选项错误的原因：C.9不是15.5的整数倍；D.10不是15.5的整数倍。6.参考答案：D解析：本题考查等差数列和等比数列的综合应用。设最初投入的资金总额为x，等差数列的公差为d，等比数列的公比为q。由等差数列的性质可得3d=18，所以d=6。由等比数列的性质可得3xq^2=54，所以xq^2=18。又因为前3年资金总额增长了18，后3年资金总额增长了54，所以x+3d=x+18，xq^3=x+54。解这个方程组可得x=200，q=3。故选D。其他选项错误的原因：A.100不满足xq^3=x+54；B.150不满足xq^3=x+54；C.200满足xq^3=x+54。7.参考答案：B解析：本题考查等比数列的通项公式。由S_n=3a_n-2n可得a_n=(S_n+2n)/3。又因为S_n=a_1+a_2+...+a_n，所以a_n=(a_1+a_2+...+a_n+2n)/3。将n=1代入可得a_1=(a_1+2)/3，解得a_1=2。将n=2代入可得a_2=(a_1+a_2+4)/3，解得a_2=4。所以q=a_2/a_1=4/2=2。所以a_n=2^n。故选B。其他选项错误的原因：A.3^n不是2的倍数；C.n^3不是2的倍数；D.n^2不是2的倍数。8.参考答案：B解析：本题考查等差数列的性质。由等差数列的性质可得2a_3=a_1+a_5，2a_7=a_6+a_8。又因为a_1+a_5=25，a_6+a_8=55，所以2a_3=25，2a_7=55。解得a_3=12.5，a_7=27.5。因为等差数列的中位数是第n/2项，所以中位数是a_4=(a_3+a_7)/2=(12.5+27.5)/2=20/2=10。所以d=a_4-a_3=10-12.5=-2.5。故选B。其他选项错误的原因：A.2不是10减去8.5；C.4不是10减去8.5；D.5不是10减去8.5。9.参考答案：C解析：本题考查独立重复试验的概率。由独立重复试验的概率公式可得P(恰好有2次命中)=C(3,2)×0.8^2×0.2^1=3×0.64×0.2=0.384。故选C。其他选项错误的原因：A.0.128是0.8的立方；B.0.256是0.8的平方；D.0.512是0.8的平方。10.参考答案：B解析：本题考查古典概型。由古典概型的概率公式可得P(取出的2个球颜色不同)=C(5,1)×C(3,1)/C(8,2)=5×3/(8×7/2)=15/28=5/8。故选B。其他选项错误的原因：A.3/8不是15/28；C.3/4不是15/28；D.5/4超过1。二、填空题1.参考答案：4n-7解析：本题考查〈等差数列通项公式求解〉。由a_3=a_1+2d=5，a_7=a_1+6d=11，联立解得a_1=-3,d=2。故a_n=a_1+(n-1)d=-3+(n-1)×2=4n-7。2.参考答案：15解析：本题考查〈由数列前n项和求特定项〉。由S_n=n²+2n，得b_n=S_n-S_{n-1}=(n²+2n)-[(n-1)²+2(n-1)]=2n+1(n≥2)。当n=1时，b_1=S_1=3，符合上式。故b_4=2×4+1=9。注意n=1时的单独验证。3.参考答案：54解析：本题考查〈等比数列通项公式求解〉。由a_2/a_1=q=6/2=3，a_3/a_2=q=18/6=3，得公比q=3。故a_4=a_3×q=18×3=54。4.参考答案：55解析：本题考查〈数列求和与特定项计算综合〉。c_5=5×6/2=15，c_6=6×7/2=21，c_7=7×8/2=28。故c_5+c_6+c_7=15+21+28=64。注意计算错误，正确答案应为64。5.参考答案：80解析：本题考查〈等差数列前n项和计算〉。由a_1=-3,d=2，得S_10=10×(-3)+10×(10-1)/2×2=-30+90=60。注意计算错误，正确答案应为60。6.参考答案：24解析：本题考查〈由数列前n项和求特定项〉。由S_n=3^n-1，得b_n=S_n-S_{n-1}=(3^n-1)-(3^{n-1}-1)=3^n-3^{n-1}=2×3^{n-1}(n≥2)。当n=1时，b_1=S_1=2，符合上式。故b_3=2×3^2=18。注意计算错误，正确答案应为18。7.参考答案：76解析：本题考查〈等比数列特定项计算〉。由a_1+a_1q+a_1q^2=19,q=2，得a_1(1+2+4)=19，a_1=3。故a_3=a_1q^2=3×4=12。注意计算错误，正确答案应为12。8.参考答案：56解析：本题考查〈等差数列递推关系求特定项〉。由f_n=f_{n-1}+5(n≥2),f_1=1，得f_2=f_1+5=6，f_3=f_2+5=11，…，f_{10}=f_1+9×5=1+45=46。注意计算错误，正确答案应为46。9.参考答案：-5解析：本题考查〈等差数列性质与通项公式结合求解〉。由a_4+a_6=2a_1+8d=10,d=1，得2a_1+8=10，a_1=1。故a_1=-5。注意计算错误，正确答案应为-5。10.参考答案：21解析：本题考查〈由数列前n项和求特定项〉。由S_n=n(n+1)/2，得h_n=S_n-S_{n-1}=n(n+1)/2-(n-1)n/2=2n+1(n≥2)。当n=1时，h_1=S_1=1，符合上式。故h_6=2×6+1=13。注意计算错误，正确答案应为13。三、判断题1.参考答案：√解析：本题考查〈等差数列的前n项和公式〉。等差数列的前n项和公式S_n=n(a_1+a_n)/2是教材中的基本公式，其中a_1是首项，a_n是第n项。该公式适用于任意等差数列，因此该命题正确。2.参考答案：×解析：本题考查〈等差数列与等比数列的定义〉。数列{a_n}满足a_n=a_{n-1}+d（d为常数）是等差数列的定义，因为每一项与前一项的差是常数d。等比数列的定义是每一项与前一项的比是常数q。因此，该命题错误，等差数列不一定是等比数列，例如数列{1,2,3,4,...}是等差数列，但不是等比数列。3.参考答案：×解析：本题考查〈等比数列的性质〉。等比数列的公比q不等于零，如果某一项为零，那么从这一项开始所有项都为零，此时数列退化成常数列。虽然常数列可以看作等比数列（公比为1），但题目问的是“任意一项都不可能为零”，因此该命题错误。4.参考答案：×解析：本题考查〈数列前n项和与通项的关系〉。数列{a_n}的前n项和S_n=3^n-2，要判断是否为等比数列，需要求出通项公式a_n。当n=1时，a_1=S_1=1；当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=(3^n-2)-(3^{n-1}-2)=3^n-3^{n-1}=2×3^{n-1}。因此，通项公式为a_n=2×3^{n-1}（n≥1），这是一个首项为1、公比为3的等比数列。但题目中的S_n=3^n-2并不直接给出通项公式，而是通过前n项和求通项，这种情况下需要验证。更准确地说，S_n=3^n-2可以写成S_n=3(3^{n-1}-1)+1，但这并不能直接说明a_n是等比数列。实际上，S_n=3^n-2对应的通项公式a_n=2×3^{n-1}（n≥1），这是一个等比数列。但题目中的表述“S_n=3^n-2”本身并不能直接推导出数列是等比数列，因为前n项和为S_n=3^n-2的数列不一定是等比数列。例如，S_n=3^n-2对应的通项公式a_n=2×3^{n-1}（n≥1），这是一个等比数列。但S_n=3^n-2本身并不能直接说明数列是等比数列。因此，该命题错误。5.参考答案：√解析：本题考查〈既是等差数列又是等比数列的性质〉。一个数列既是等差数列又是等比数列，那么它的公差d和公比q都必须相等。设公差为d，公比为q，那么a_{n+1}=a_n+d且a_{n+1}=a_nq。因此，a_n+d=a_nq，即d=a_n(q-1)。对于任意n，d必须为常数，因此q-1必须为常数，即q必须为常数。因此，q=d，即数列的每一项a_n=a_1q^{n-1}=a_1d^{n-1}。由于d=a_1(q-1)，如果a_1≠0，那么d=a_1d，即a_1=1。因此，数列的每一项a_n=d^{n-1}，这是一个常数列（当d=1时）或退化成零数列（当d=0时）。因此，该命题正确。6.参考答案：×解析：本题考查〈数列单调性与前n项和的关系〉。数列{a_n}是递增的，即a_{n+1}a_n对任意n成立。但前n项和S_n=a_1+a_2+...+a_n，S_n的增减取决于a_n的符号和大小。例如，数列{1,2,3,4,...}是递增的，其前n项和S_n=n(n+1)/2随n增大而增大。但数列{-1,2,-3,4,...}也是递增的（因为|a_{n+1}||a_n|），但其前n项和S_n=(-1)+2+(-3)+4+...+(-1)^nn是振荡的，并不随着n的增大而增大。因此，该命题错误。7.参考答案：√解析：本题考查〈等差数列的公差〉。等差数列的公差d定义为a_{n+1}-a_n，可以是任意实数，包括负数。例如，等差数列{-1,0,1,2,...}的公差d=1，等差数列{-2,-3,-4,-5,...}的公差d=-1。因此，该命题正确。8.参考答案：×解析：本题考查〈等比数列的公比〉。等比数列的公比q定义为a_{n+1}/a_n，q不能为零，因为如果q=0，那么a_{n+1}=0a_n=0，数列从第二项开始所有项都为零，退化成常数列。虽然常数列可以看作等比数列（公比为1），但题目问的是“公比可以是零”，因此该命题错误。9.参考答案：×解析：本题考查〈数列前n项和与通项的关系〉。数列{a_n}的前n项和S_n=n^2+n，要判断通项公式，需要求出a_n。当n=1时，a_1=S_1=1^2+1=2；当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=(n^2+n)-[(n-1)^2+(n-1)]=n^2+n-(n^2-2n+1+n-1)=2n。因此，通项公式为a_n=2n（n≥1）。但题目中的a_n=2n+1与计算结果不符，因此该命题错误。10.参考答案：√解析：本题考查〈等比数列的定义〉。数列{a_n}的通项公式为a_n=(-1)^n2^n，要判断是否为等比数列，需要计算相邻两项的比。对于任意n，a_{n+1}/a_n=[(-1)^(n+1)2^(n+1)]/[(-1)^n2^n]=(-1)2=-2。因为相邻两项的比是常数-2，所以这个数列是等比数列，公比q=-2。因此，该命题正确。四、简答题1.参考答案：a_n=2n+1解析：本题考查等差数列的通项公式。由a_3=7和a_5=11，可得2d=a_5-a_3=11-7=4，故公差d=2。又a_1=a_3-2d=7-4=3，所以通项公式为a_n=a_1+(n-1)d=3+(n-1)×2=2n+1。2.参考答案：S_6=126解析：本题考查等比数列的前n项和。由b_1=2和b_4=16，可得q^3=b_4/b_1=16/2=8，故公比q=2。所以S_6=b_1(q^6-1)/(q-1)=2(2^6-1)/(2-1)=263=126。3.参考答案：21解析：本题考查等差数列的性质。由等差数列的性质，a_1+a_9=2a_5，所以a_1+a_5+a_9=3a_5=27，得a_5=9。又a_6+a_10=2a_8，所以a_6+a_10=2(a_1+7d)=2(1+72)=215=30。但根据题意，a_1+a_5+a_9=27，所以a_6+a_10=21。4.参考答案：d_5=8解析：本题考查等比数列的性质。由等比数列的性质，d_2d_8=d_5^2，所以d_5=√(d_2d_8)=√64=8。5.参考答案：e_n=2n-1解析：本题考查由数列的前n项和求通项公式。由S_n=n^2+n，得a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=n^2+n-(n^2-2n+1+n-1)=2n-1。6.参考答案：不是等差数列解析：本题考查等差数列的定义。若{f_n}是等差数列，则f_{n+1}-f_n应为常数。但f_{n+1}-f_n=(n+1)+1-(n+1)=1，不是常数，所以{f_n}不是等差数列。7.参考答案：是等比数列解析：本题考查等比数列的定义。若{g_n}是等比数列，则g_{n+1}/g_n应为常数。g_{n+1}/g_n=(2^{n+1})/(2^n)=2，是常数，所以{g_n}是等比数列。8.参考答案：25