工程流体力学课件(孔珑第四版)

工程流体力学主讲:张勇课时:32学时教材:孔珑.工程流体力学.

中国电力出版社(第3版)2026/10/20专业基础课1第一章绪论(前言/序言/概述)《工程流体力学》课程教学课程的研究内容课程的研究方法课程的科技地位课程的专业地位课程的内容目录课程的基本要求2026/10/20专业基础课2《工程流体力学》——第一章绪论一、课程的研究内容四大力学的重要分支《理论力学》、《流体力学》、《弹性力学》、《材料力学》《流体力学》是研究流体的平衡、运动规律的科学。包括：静力学——"静止”流体的平衡条件、压力分布；运动学——流体运动的特征、规律；动力学——在外力作用下流体的运动规律及固体壁面的作用力、阻力；2026/10/20专业基础课3二、课程的研究方法《工程流体力学》——第一章绪论研究方法进行步骤优点缺点理论分析建立理论模型→建立方程组与定解条件→求解析解→算例验证普适性好数学难度大，分析解有限实验研究建立实验模型并选取实验介质→测定有关物理量→拟合实验数据找出准则方程式发现新现象、新原理，验证其它方法得到的结论普适性差数值计算建立理论模型→建立方程组与定解条件→编制计算程序→计算并分析答案应用面广泛，结果直观——数值实验近似性、不稳定性2026/10/20专业基础课4三、课程的科技、工程地位《工程流体力学》——第一章绪论流体力学航空航天气象生物环境机械冶金石油化工交通土建采矿水利2026/10/20专业基础课5航空航天《工程流体力学》——第一章绪论——课程的工程地位2026/10/20专业基础课6《工程流体力学》——第一章绪论——课程的工程地位兵器2026/10/20专业基础课7水利《工程流体力学》——第一章绪论——课程的工程地位2026/10/20专业基础课8采矿通风《工程流体力学》——第一章绪论——课程的工程地位2026/10/20专业基础课9交通土建《工程流体力学》——第一章绪论——课程的工程地位2026/10/20专业基础课10石油化工《工程流体力学》——第一章绪论——课程的工程地位2026/10/20专业基础课11机械冶金《工程流体力学》——第一章绪论——课程的工程地位2026/10/20专业基础课12环境《工程流体力学》——第一章绪论——课程的工程地位2026/10/20专业基础课13气象《工程流体力学》——第一章绪论——课程的工程地位2026/10/20专业基础课14生物《工程流体力学》——第一章绪论——课程的工程地位2026/10/20专业基础课15《工程流体力学》——第一章绪论——课程的工程地位电子设备2026/10/20专业基础课16四、课程的专业地位《工程流体力学》——第一章绪论过程设备（塔器、反应器、换热器、储罐等)。过程流体机械

（压缩机、泵、分离机)。配套与附件（管道、阀门、控制仪表)。是后续《热力学》、《传热学》、过程设备、过程机械、工业化学等课程的基础。

2026/10/20专业基础课17《工程流体力学》——第一章绪论五、课程的内容目录第一章绪论第二章流体及物理性质第三章流体静力学第四章流体运动学、动力学第五章相似理论及量纲分析第六章管道流动、水力计算第七章气体一维流动第八章理想流体的有旋/无旋流动第九章粘性流体绕过物体流动第十章气体的二维流动2026/10/20专业基础课18六、课程的基本要求《工程流体力学》——第一章绪论1.熟悉和掌握流体平衡、运动的基本规律、基本方程及工程典型应用。

2.学习方法浏览预习：把握内容、疑难点听课理解：疑难点课后作业：理解、思考、应用课外拓展：文献、资料、网站、论坛2026/10/20专业基础课19人类对流体力学的认识最早从治水、灌溉、航行等方面开始。中国古代提水灌溉所用风车大禹治水《工程流体力学》——第一章绪论——流体力学发展简史2026/10/20专业基础课20

都江堰李冰（302-235BC)《工程流体力学》——第一章绪论——流体力学发展简史2026/10/20专业基础课21

发现了物体在流体中所受浮力的基本原理——阿基米德原理。Archimedes

(285-212BC)欧美诸国历史上有记载的最早从事流体力学现象研究的是古希腊学者阿基米德。《工程流体力学》——第一章绪论——流体力学发展简史2026/10/20专业基础课22LeonardodaVinci(1452-1519)系统地研究了物体的沉浮、孔口出流、物体的运动阻力以及管道、明渠中水流等问题。文艺复兴时期（14世纪到16世纪)之后，流体力学得到长足发展。

《工程流体力学》——第一章绪论——流体力学发展简史2026/10/20专业基础课23Galileo(1564-1642)

在流体静力学中应用了虚位移原理,并首先提出运动物体的阻力随着介质密度的增大和速度的提高而增大。

《工程流体力学》——第一章绪论——流体力学发展简史2026/10/20专业基础课24

提出了密闭流体能传递压强的原理——帕斯卡原理。B.Pascal

(1623-1662)《工程流体力学》——第一章绪论——流体力学发展简史2026/10/20专业基础课25I.Newton(1642-1727)

建立了牛顿内摩擦定律,为粘性流体力学初步奠定了理论基础,并讨论了波浪运动等问题。

《工程流体力学》——第一章绪论——流体力学发展简史2026/10/20专业基础课26D.Bernoulli(1700-1782)建立了流体位势能、压强使能和动能之间的能量转换关系——伯努利方程。《工程流体力学》——第一章绪论——流体力学发展简史2026/10/20专业基础课27

从18世纪中叶工业革命开始,流体力学的研究逐渐沿着理论流体力学和应用流体力学两个方向发展。

经典流体力学的奠基人,涡轮机理论的奠基人。提出连续介质模型建立连续性微分方程建立理想流体的运动微分方程提出研究流体运动的两种方法提出速度势概念L.Euler

(1707-1783)《工程流体力学》——第一章绪论——流体力学发展简史2026/10/20专业基础课28J.leR.d’Alembert(1717-1783)1744年提出了达朗贝尔佯谬,即在理想流体中运动的物理既没有升力也没有阻力。

《工程流体力学》——第一章绪论——流体力学发展简史2026/10/20专业基础课29

提出了新的流体动力学微分方程,使流体动力学的解析方法有了进一步发展。

J.–L.Lagrange

(1736-1813)《工程流体力学》——第一章绪论——流体力学发展简史2026/10/20专业基础课30C.-L.–M.–H.Navier

(1785-1836)G.G.Stokes

(1819-1905)纳维第一个提出了不可压缩粘性流体的运动微分方程组。斯托克斯又严格地到导出了不可压缩粘性流体的运动微分方程组。N-S方程《工程流体力学》——第一章绪论——流体力学发展简史2026/10/20专业基础课3119世纪末开始,针对复杂的流体力学问题,理论分析和实验研究逐渐密切结合起来。

1883年用实验验证了粘性流体的两种流动状态——层流和紊流的客观存在,找到了实验研究粘性流体运动规律的相似准则——雷诺数,以及判别层流和紊流的临界雷诺数。

O.Reynolds

(1842-1912)《工程流体力学》——第一章绪论——流体力学发展简史2026/10/20专业基础课32L.Prandtl(1875-1953)建立边界层理论,解释了阻力产生的机制针对紊流边界层,提出混合长度理论《工程流体力学》——第一章绪论——流体力学发展简史2026/10/20专业基础课33儒科夫斯基H.E.(1847-1921)

找到了翼型升力和绕翼型的环流之间的关系,建立了二维升力理论的数学基础,为近代高效能飞机设计奠定了基础。

《工程流体力学》——第一章绪论——流体力学发展简史2026/10/20专业基础课34提出了分析带旋涡尾流及其所产生的阻力的理论——卡门涡街提出了计算紊流粗糙管阻力系数的理论公式T.vonKarman

(1881-1963)《工程流体力学》——第一章绪论——流体力学发展简史2026/10/20专业基础课35

主要从事物理学的基础理论中难度最大的两个方面,即爱因斯坦广义相对论引力论和流体力学中的湍流理论的研究与教学并取得出色成果

。

在动力、制导、气动力、结构、材料、计算机、质量控制和科技管理等领域具有丰富知识,为中国火箭导弹和航天事业的创建与发展作出了杰出的贡献。

周培源(1902－1993)钱学森（1911－)《工程流体力学》——第一章绪论——流体力学发展简史2026/10/20专业基础课362026/10/20专业基础课37《工程流体力学》——第二章流体及物理性质主要内容一、流体的定义、特征二、流体的连续介质的假设三、作用在流体上的力四、流体的密度五、流体的压缩性、膨胀性六、流体的粘性七、流体的表面性质2026/10/20专业基础课38一、流体的定义、特征《工程流体力学》——第二章流体及物理性质1.定义：能够流动的物质为流体；力学定义，则在任何微小切力的作用下都能发生连续变形的物质称为流体。

2.特征：流动性、压缩、膨胀性、粘性分子间的作用力、分子间距离的影响下物态固定体积固定形状自由液面明显压缩抵抗微小剪力抵抗力固体有有否否能拉、压液体有无有否否压气体无无无是否压2026/10/20专业基础课39《工程流体力学》——第二章流体及物理性质二、流体的连续介质的假设微观上,流体分子之间存在间隙,流体不连续。宏观上,当讨论问题的特征尺寸远大于流体的分子平均自由程时,可将流体视为在时间和空间连续分布的函数。

流体分子流体微团流体质点例外超声速气流中出现激波、在空气非常稀薄的情况。0

C,1mm3水含3.4×1019个分子气体含2.7×1016个分子2026/10/20专业基础课40《工程流体力学》——第二章流体及物理性质三、作用在流体上的力2026/10/20专业基础课41《工程流体力学》——第二章流体及物理性质四、流体的密度表征流体的质量在空间的密集程度,单位为kg/m3。

2026/10/20专业基础课42《工程流体力学》——第二章流体及物理性质四、流体的密度4℃水的密度ρ=1000kg/m30℃水银的密度ρ=13600kg/m30℃空气的密度ρ=1.29kg/m32026/10/20专业基础课43《工程流体力学》——第二章流体及物理性质五、流体的压缩性、膨胀性可压缩性

在一定温度T下,单位压强升高引起的流体体积变化率。

一般地，水和其它液体可视为不可压缩流体，而将气体视为密度可变的可压缩流体。水下爆炸、水击、热水采暖需考虑水的压缩性和膨胀性;当气体流速比声速小很多时，也可视为不可压缩流体。

2026/10/20专业基础课44《工程流体力学》——第二章流体及物理性质五、流体的压缩性、膨胀性膨胀性在一定压强P下，单位温升引起的体积变化率，单位（1/k)。

2026/10/20专业基础课45《工程流体力学》——第二章流体及物理性质六、流体的粘性1.粘性——流体微团之间发生相对滑移时，产生的切向阻力。

vF’Fxyoyh2.牛顿内摩擦定律——流体运动产生的内摩擦力与速度梯度成正比，与接触面的面积成正比，与流体的物理性质有关。

3.流体粘度μ，与流体的种类、温度、压强有关，在一定的温度压强下为常数，单位Pa·s2026/10/20专业基础课46

y

x

t

《工程流体力学》——第二章流体及物理性质六、流体的粘性4.角变形速度=流体的速度梯度。矩形流体微团→平行四边形。

2026/10/20专业基础课475.流体粘性的形成因素

通常情况下形成流体粘性的因素有两个方面：一是流体分子间的引力在流体微团相对运动时形成的粘性;二是流体分子的热运动在不同流速流层间的动量交换所形成的粘性。

当温度升高时:气体的粘性增大，液体的粘性减小。

对于气体,形成粘性的主要因素是分子的热运动对于液体,形成粘性的主要因素是分子间的引力《工程流体力学》——第二章流体及物理性质六、流体的粘性2026/10/20专业基础课48如图所示,转轴直径d=0.36m,轴承长度l=1m,轴与轴承之间的间隙=0.2mm,其中充满动力粘度=0.72Pa·s的油,如果轴的转速n=200r/min,求克服油的粘性阻力所消耗的功率。

d

n解:油层与轴承接触面上的速度为零，与接触面上的速度等于轴面上的线速度:轴表面上的切向力为:克服摩擦所消耗的功率为:《工程流体力学》——第二章流体及物理性质六、流体的粘性例题12026/10/20专业基础课49例题2如图所示,上下两平行圆盘的直径为d,两盘之间的间隙为,间隙中流体的动力粘度为,若下盘不动,上盘以角速度旋转,不记空气的摩擦力,求所需力矩M的表达式。

d

rdr解:假设两盘之间流体的速度为直线分布，上盘半径r处的切向应力为:所需力矩为:《工程流体力学》——第二章流体及物理性质六、流体的粘性2026/10/20专业基础课506.理想流体:假设没有粘性的流体，即=0。

理想流体是假想的流体模型,客观上并不存在。实际流体都是有粘性的。

可以把实际流体看成理想流体的情况:实际流体的粘性显现不出来，如静止的流体、等速直线运动的流体等粘性不起主导作用采用理想流体假设可以大大简化理论分析过程。《工程流体力学》——第二章流体及物理性质六、流体的粘性2026/10/20专业基础课517.牛顿流体和非牛顿流体牛顿流体切向应力和流体的速度梯度成正比的流体,即满足牛顿粘性应力公式的流体。

非牛顿流体不满足牛顿粘性应力公式的流体。其一般表示式为:式中,为流体的表观粘度,k为常数,n为指数。

DACB

0τoA:牛顿流体，如水和空气B:理想塑性体，存在屈服应力τ。如牙膏C:拟塑性体，如粘土浆和纸浆D:胀流型流体，如面糊《工程流体力学》——第二章流体及物理性质六、流体的粘性2026/10/20专业基础课522026/10/20专业基础课538、流体粘性的测量物理实验:小钢球在甘油中匀速下落，通过测量下落速度求出粘度。

恩格勒粘度计:

时将

蒸馏水注入贮液罐1，迅速提起针阀，使蒸馏水经锥形短管3流出，测量流出

蒸馏水时所需的时间

。用同样程序测量待测流体流出

所需的时间

。待测液体在给定温度下的恩氏度为:《工程流体力学》——第二章流体及物理性质六、流体的粘性2026/10/20专业基础课54《工程流体力学》——第二章流体及物理性质七、液体的表面性质1.表面张力σ液体分子间存在吸引力,影响距离很小,在10-8-10-6cm,形成吸引力影响球。水面下的影响球的吸引力达到平衡。在水面临近,吸引力不能平衡,存在向下的合力。此合力把水面紧紧向内部拉。在自有表面上处处产生拉力。表面张力——单位长度界面液体间的拉力。

所有液体的表面张力随温度升高而降低。液体中加入有机溶剂、盐,可明显改变表面张力。在表面张力的影响下,液体总是趋于表面自由能最小。水滴总是圆形、球形。表面张力也成内聚力。

2026/10/20专业基础课55《工程流体力学》——第二章流体及物理性质七、液体的表面性质2.毛细现象液体与固体接触时，存在两种力：①内聚力：液体分子之间的吸引力;②附着力：液体与固体分子间的吸引力。

出现两种情形:①润湿:内聚力＞附着力，液体依附于固体壁面。如:水倒在玻璃上。

②不润湿:内聚力＜附着力，液体相聚成团，不依附壁面。例如:水银倒在玻璃上。

2026/10/20专业基础课56《工程流体力学》——第二章流体及物理性质七、液体的表面性质2.毛细现象毛细液柱与毛细直径成反比;当玻璃管的直径大于20mm时，不计毛细现象。

2026/10/20专业基础课57《工程流体力学》——第三章流体静力学一、流体静压强及其特性二、流体静力平衡方程三、重力场中流体的平衡四、液柱式测压计五、液体的相对平衡六、静止液体中平面上的作用力七、静止液体中曲面上的作用力八、静止液体的浮力流体静力平衡——流体相对于惯性坐标系（地球)静止，或非惯性坐标系相对静止时。流体处于静力平衡状态。流体作用力仅为表面力；不存在粘性力；研究流体平衡的条件及压强分布规律研究流体与固体间的相互作用及其工程应用2026/10/20专业基础课581、流体静压强——当流体处于静止或相对静止状态时，内法向表面力称为压强。作用在流体上的力只有法向应力，没有切向应力。2.特性特征一：在静止流体中，流体静压强的方向沿作用面的内法线方向。如果不沿法向，切向方向必存在分量，即亦存在切向压力，产生流动，和静止矛盾。

《工程流体力学》——第三章流体静力学一、流体静压强及其特性2026/10/20专业基础课59特性二:静止流体中任一点流体静压强的大小与作用面在空间的方位无关，是点的坐标的连续可微函数。

xyzpxpzpypn

x

y

zABCD

如图所示,在静止流体中的点A取一微元四面体,与坐标轴相重合的边长分别为x、y、z,三角形BCD的面积设为S,各微小平面中心点上的压强分别为px、py、pz,单位质量力在三个坐标轴方向上的投影分别为fx、fy、fz。

由于流体静止，则作用在四面体上的力平衡，即:《工程流体力学》——第三章流体静力学一、流体静压强及其特性在x方向上的平衡方程为:2026/10/20专业基础课601.微元体及受力以P点为定点作微元六面体dxdydz；采用微元增量表示各面上的压力。

《工程流体力学》——第三章流体静力学二、流体静力平衡方程2026/10/20专业基础课61欧拉平衡微分方程适用于任何种类的平衡流体。平衡流体在哪个方向上有质量分力,则流体静压强沿该方向必然发生变化。假如可以忽略流体的质量力,则这种流体中的流体静压强必然处处相等。压力P(x,y,z)是标量。

《工程流体力学》——第三章流体静力学二、流体静力平衡方程2026/10/20专业基础课623.2静止流体的平衡方程静力平衡全微方程2026/10/20专业基础课633.3静止流体平衡方程应用重力场中静止流体2026/10/20专业基础课64§2.2

流体平衡微分方程式1.

流体平衡微分方程式

在静止流体中取一边长分别为x、y、z的微小立方体，中心点为a（x,y,z)，该点的密度为，静压强为p。

abcxzy

x

y

zfx作用在立方体上的力在x方向的平衡方程为:2026/10/20专业基础课65§2.2

流体平衡微分方程式以微小立方体的质量x

y

z除以上式，得a点在x方向的平衡方程:写成矢量形式:

上式即为流体平衡微分方程，又称为欧拉平衡微分方程。

该式的物理意义为:在静止流体内的任一点上，作用在单位质量流体上的质量力与静压强的合力相平衡。

该方程对不可压缩流体和可压缩流体的静止和相对静止状态都适用,是流体力学的基本方程。

2026/10/20专业基础课66§2.2

流体平衡微分方程式2.

压强差公式和等压面等压面将流体平衡微分方程的两端分别乘以dx、dy、dz，然后相加，得:即:在流场中压强相等的点组成的面,dp=0,p(x,y,z)=const。

压强差公式,表明流体静压强的增量取决于单位质量力和坐标增量。

等压面的微分方程,表明在静止的流体中作用于任一点的质量力垂直于经过该点的等压面。

写成矢量形式:2026/10/20专业基础课67§2.3

重力场中流体的平衡1.

流体静力学基本方程式xyzz2z1p1p212p0o在重力场中，单位质量力只有重力，即:代入压力差公式得:

积分得:方程两边同除以g，得:如图所示，上式可写成:流体静力学基本方程式,适用于重力作用下静止的不可压缩流体。

2026/10/20专业基础课68§2.3

重力场中流体的平衡2.

流体静力学基本方程式的物理意义z——单位重量流体的位置势能p/(g)

——单位重量流体的压强势能z+p/(g)

——单位重量流体的总势能

方程的物理意义是:在重力作用下，静止的不可压缩流体中单位重量流体的总势能保持不变。

xzzhpapp0hob如图所示，玻璃管上端抽真空，对于a点和b点，流体力学基本方程式为:即a点与真空的压强差对单位重量流体做的功变成了单位重量流体的位置势能。2026/10/20专业基础课69计示静水头线§2.3

重力场中流体的平衡3.

流体静力学基本方程式的几何意义水头单位重量流体的势能具有长度的单位,可以用液柱高度来表示。

z——位置水头p/(g)——压强水头z+p/(g)——静水头z1z2AA1p1p22p0z1z2A’A’1p1p22p0pa完全真空静水头线2026/10/20专业基础课70§2.3

重力场中流体的平衡积分常数根据自由表面上的边界条件确定:4.

重力作用下静止液体内的静压力分布在重力场中，单位质量力只有重力，即:代入压力差公式积分得:xyzz0zp0oh所以任意坐标z处的压强为:在重力作用下静止有自由表面的不可压缩流体中，静压强由两部分组成:自由表面上的压强p0淹没深度为h、密度为的流体柱产生的压强gh帕斯卡原理:自由液面上的压强将以同样的大小传递到液体内部的任意点上2026/10/20专业基础课71§2.3

重力场中流体的平衡5.

绝对压强、计示压强、真空和真空度绝对压强以完全真空为基准计量的压强,如p=pa+

gh中的p。

计示压强（相对压强)以当地大气压强为基准计量的压强,如pe=p-pa=

gh中的pe。

真空当流体的绝对压强低于大气压强时,该区域处于真空。

计示压强为负值时，负计示压强用真空度表示，即:pv=-pe=pa-p真空度ppepvppp=0pap<pap>pa2026/10/20专业基础课72§2.3

重力场中流体的平衡6.

液柱式测压计测压管是一种最简单的液柱式测压计。为了减少毛细现象所造成的误差,采用一根内径为10mm左右的直玻璃管。测量时,将测压管的下端与装有液体的容器连接,上端开口与大气相通。

测压管hp0p

pahpap

2026/10/20专业基础课73§2.3

重力场中流体的平衡U形管测压计这种测压计是一个装在刻度板上两端开口的U形玻璃管。测量时,管的一端与被测容器相接,另一端与大气相通,U形管内装有密度ρ2大于被测流体密度ρ1的液体工作介质,如酒精、水、四氯化碳和水银等。一定要注意,工作介质不能与被测流体相互掺混。

h1h2pap

112

2由于1和2点在同一流体的等压面上，故:故有:其中:被测液体的压强高于大气压强2026/10/20专业基础课74§2.3

重力场中流体的平衡被测液体的压强低于大气压强h1h2pap

112

22026/10/20专业基础课75§2.3

重力场中流体的平衡U形管压差计hh2h1B

1

1A

212

由于1.2两点在同一等压面上，故有：A.B两点的压强差为：

若被测流体为气体,由于气体的密度很小,

1gh可以忽略不计。

2026/10/20专业基础课76§2.3

重力场中流体的平衡倾斜式微压计用于测量气体的压强,测量精度较高,可测较微小的压强和压强差。

A2A1paph

hl00

两液面的高度差为:所测的压强差为:2026/10/20专业基础课77§2.3

重力场中流体的平衡例题1h1h2h3h4h511223344BBA

1

1

2

3已知h1=600mm，h2=250mm，h3=200mm，h4=300mm，h5=500mm，1=1000kg/m3，

2=800kg/m3，

3=13598kg/m3，求A.B两点的压强差。

解：图中1-1、2-2.3-3均为等压面，可以逐个写出有关点的静压强为：联立求解得:A.B两点的压强差为：2026/10/20专业基础课78§2.3

重力场中流体的平衡F2F1hped1d2aa例题2两圆筒用管子连接，内充水银。第一个圆筒直径d1=45cm，活塞上受力F1=3197N，密封气体的计示压强pe=9810Pa；第二圆筒直径d2=30cm，活塞上受力F2=4945.5N，开口通大气。若不计活塞质量，求平衡状态时两活塞的高度差h。(已知水银密度=13600kg/m3)。

解：在F1.F2作用下，活塞底面产生的压强分别为：

图中a-a为等压面，第一圆筒上部是计示压强，第二圆筒上部的大气压强不必计入，故有:2026/10/20专业基础课79§2.4

液体的相对平衡1.

水平等加速直线运动容器中液体的相对平衡单位质量液体上的质量力沿坐标轴的分量为:代入压强差公式得:积分上式得:根据边界条件:x=0，y=0，z=0时p=p0，代入上式得积分常数C=p0，故有:水平等加速直线运动容器中液体静压强的分布规律流体静压强的分布规律ayz

p0xg-afo

2026/10/20专业基础课80§2.4

液体的相对平衡等压面方程

以（xs，ys，zs)表示自由液面上点的坐标，由于在自由液面上的任意一点都有p=p0，所以由静压强的分布规律可得自由液面的方程为：将质量力代入等压面方程得:积分上式得:等压面方程,不同的积分常数C1代表不同的等压面。

等压面与水平面之间的夹角为:2026/10/20专业基础课81§2.4

液体的相对平衡如果y坐标都相同，对于液面内任意一点，有:将上式代入静压强分布规律得:ayz

p0xo

h

等加速直线运动容器中,液体内任一点的静压强仍然是液面上的压强p0与淹没深度为h密度为的液柱产生的压强gh之和。

2026/10/20专业基础课82§2.4

液体的相对平衡2.

等角速旋转容器中液体的相对平衡

作用在半径为r处的液体质点上的单位质量力沿坐标轴的分量为:流体静压强的分布规律代入压强差公式得:积分上式得:yxyoo

2r

2y

2xhz

p0

r2026/10/20专业基础课83§2.4

液体的相对平衡根据边界条件:r=0，z=0时p=p0，代入上式得积分常数C=p0，故有:等角速旋转容器中液体静压强的分布规律等压面方程将质量力代入等压面方程得:积分上式得:等压面方程,是以z轴为旋转轴的旋转抛物面方程,不同的积分常数C1代表不同的等压面。

2026/10/20专业基础课84§2.4

液体的相对平衡

以下标s表示自由液面上点的坐标，由于在自由液面上的任意一点都有p=p0，所以由静压强的分布规律可得自由液面的方程为:如果考察的是相同半径r处的情况，则由上式得液面下任一点处:将上式代入静压强分布规律得:

上式表明,等角速旋转容器中液体相对平衡时,液体内任一点的静压强仍然是液面上的压强p0与淹没深度为h密度为的液柱产生的压强gh之和。

2026/10/20专业基础课85§2.4

液体的相对平衡3.

两个特例特例一:顶盖中心开口的旋转容器zoRpa代入压强差公式并积分得:根据边界条件:r=0，z=0时p=pa，代入上式得积分常数C=pa，故有:作用在顶盖上的计示压强为:2026/10/20专业基础课86§2.4

液体的相对平衡特例二:顶盖边缘开口的旋转容器代入压强差公式并积分得:根据边界条件:r=R，z=0时p=pa，代入上式得C=pa-

2R2/2，故有:作用在顶盖上的真空度为:zoRpa2026/10/20专业基础课87§2.4

液体的相对平衡例题1h2h1Lazyo汽车上有一与

水平运动方向平行放置的内充液体的U形管,已知L=0.5m,加速度a=0.5m/s2,试求U形管外侧的液面高度差。

解:质量力在坐标轴方向的分量为:代入压强差公式并积分得:在y=0，z=0处，p=pa求得C=pa，即:在y=-L，z=h1-h2处，p=pa，代入上式得:即:2026/10/20专业基础课88§2.4

液体的相对平衡例题2圆筒形容器的直径d=300mm，高H=500mm，容器内水深h1=300mm，容器绕中心轴等角速旋转，试确定（1)水正好不溢出时的转速n1；（2)旋转抛物面的顶点恰好触及底部时的转速n2；（3)容器停止旋转后静水的深度。

dh2h1Hz

解:设坐标原点始终位于凹液面的最低点。

当水恰好触及容器口时，自由液面所包容的体积等于原来无水部分的体积，即:其中:所以:2026/10/20专业基础课89§2.4

液体的相对平衡

当自由液面形成的抛物面恰好触及容器底部时，抛物面所包容的体积正好为容器体积的一半，此时:当容器停止转动时容器中水的高度为:2026/10/20专业基础课90§2.5

液体对壁面的作用力1.

静止液体作用在平面上的总压力液体作用在平面上的总压力是作用于平面各点上的平行力系的合力。

通常情况下要研究的工程设备都处于大气环境中,壁面两侧都受到大气压强的作用,因此只需按静止液体的计示压强去计算总压力。

xypao

hhChDdFpdFxxCxDdACDA总压力的大小和方向

在平面上取一微元面积dA，其中心的淹没深度为h，到oy轴的距离为x，液体作用在该微元面积上的微元总压力为:

在平面上积分上式，可得液体作用在平面上的总压力:2026/10/20专业基础课91§2.5

液体对壁面的作用力上式中，为平面对oy轴的面积矩，xc为平面形心的x坐标，故：

液体作用在平面上的总压力等于以该平面为底、平面形心的淹没深度为高的柱体内液体的重量,并垂直指向平面。

四个容器底面上的总压力相等2026/10/20专业基础课92§2.5

液体对壁面的作用力总压力的作用点总压力Fp对oy轴的力矩等于各微元总压力对oy轴的力矩的代数和，即:式中，为面积A对oy轴的惯性矩，故有：

根据惯性矩平行移轴定理Iy=Icy+xc2A(Icy为面积A对通过其形心并平行于oy轴的坐标轴的惯性矩)，代入上式，得：2026/10/20专业基础课93§2.5

液体对壁面的作用力同理可求得压力中心的y坐标:

若通过形心的坐标系中有任何一轴是平面的对称轴,则Icxy=0,yD=yc,压力中心便在通过平面形心平行于x轴的直线上。

式中,yc为平面形心的y坐标,Ixy、Icxy分别为平面对oxy坐标系和通过平面形心并

平行于oxy的坐标系的惯性积。

由于Icy/(xcA)恒为正值,故xD>xc,即压力中心永远在平面形心的下方。

2026/10/20专业基础课94§2.5

液体对壁面的作用力例题一矩形闸门宽度为b，两侧均受到密度为的液体的作用，两侧液体深度分别为h1.h2，试求作用在闸门上的液体总压力和压力中心。

h1h2xDxD1xD2F2F1Foyxb解:对于闸门左侧同理,对于闸门右侧2026/10/20专业基础课95§2.5

液体对壁面的作用力两侧总压力的合力为:

方向向右。设合力F的作用点的淹没深度为xD，根据合力矩定理，对oy轴取矩，有:合力作用点的y坐标为b/2。2026/10/20专业基础课96§2.5

液体对壁面的作用力2.

静止液体作用在曲面上的总压力总压力的大小作用在曲面不同点的静压强的大小和方向都不同,组成一空间力系。

在静止液体中有一二维曲面，面积为A，它的母线与oy轴平行，它在oxz平面上的投影为曲线ab。在淹没深度为h的地方取一微元面积dA，则液体作用在该微元面积上的微元总压力为:abdAAxAzxzhcxhopadFp

dFpxdFpdFpzdAdAxdAz微元总压力在坐标轴上的投影为:2026/10/20专业基础课97§2.5

液体对壁面的作用力总压力的水平分力式中，为投影面积Ax对oy轴的面积矩，hcx为Ax的形心淹没深度。故上式成为：

静止液体作用在曲面上的总压力沿x方向的水平分力等于液体作用在该曲面的投影面积Ax上的总压力,作用点在Ax的压力中心。

2026/10/20专业基础课98§2.5

液体对壁面的作用力总压力的垂直分力式中，为曲面上的液体体积，称为压力体。故上式成为：

静止液体作用在曲面上的总压力的垂直分力等于曲面上压力体的液体重量,其作用线通过压力体的中心总压力大小2026/10/20专业基础课99§2.5

液体对壁面的作用力总压力的作用方向总压力与垂线之间的夹角为:并指向曲面。总压力的作用点

总压力的水平分力Fpx的作用线通过Ax的压力中心指向受压面,垂直分力Fpz的作用线通过压力体的重心指向受压面,故总压力的作用线一定通过这两条作用线的交点并与垂线成角。

abDAxAzpadFp

dFpxdFpz2026/10/20专业基础课100§2.5

液体对壁面的作用力3.压力体由受压曲面、曲面边缘向自由液面所作的垂直面以及自由液面或自由液面的延长面所组成的封闭体。实压力体液体在曲面上面,压力体充满液体,垂直分力方向向下。

虚压力体液体在曲面下面,压力体是空的,垂直分力方向向上。

FpzFpzFpz2026/10/20专业基础课101§2.5

液体对壁面的作用力例题1贮水器的壁面上有三个半球形的盖子,已知d=0.5m,h=1.5m,H=2.5m。试求作用在每个盖子上的总压力。

paHhddd123解:由于作用在底盖上的压强左右对称，其总压力的水平分力为零，垂直分力方向向下，大小为:顶盖上总压力的水平分力为零，垂直分力方向向上，大小为:2026/10/20专业基础课102§2.5

液体对壁面的作用力侧盖上总压力的水平分力为:侧盖上总压力的垂直分力应为作用在半球上的上半部分和下半部分垂直分力的合力，即半球体积水的重量:故侧盖上的总压力:由于总压力的作用线与球面垂直,所以它一定通过球心。

2026/10/20专业基础课103§2.5

液体对壁面的作用力例题2一圆筒形容器，筒径为d，质量为m，筒内充满密度为的液体，并绕轴线以的角速度旋转;顶盖的质量为m1，其中心装有开口直管，当管内液面的最低点高为h时，作用在螺栓组1和2上的拉力各位多少？dhHz

om1m1122解:坐标原点选在直管中心的液面上，z轴铅直向上。由于容器处于大气环境中，只需按计示压强进行计算。在顶盖的下表面上有z=-h，故有:作用在顶盖上的计示压强的合力与顶盖的重力之差就是螺栓组1受到的拉力:2026/10/20专业基础课104§2.5

液体对壁面的作用力螺栓组2受到的拉力为:下面用压力体的概念求解该题。筒壁处自由液面的高度为:顶盖上压力体的体积为:故螺栓组1受到的拉力为:螺栓组2受到的拉力为:结果与积分法求得的结果相同。2026/10/20专业基础课105§2.6

浮力浮体当浸没物体所受的浮力大于物体的重力,物体漂浮在液面上。

潜体当浸没物体所受的浮力等于物体的重力,物体在液体中任何位置均处于平衡状体。

沉体当浸没物体所受的浮力小于物体的重力,物体沉底。

（a)浮体

（b)潜体

（c)沉体2026/10/20专业基础课106§2.6

浮力abcdFpz1Fpz2pagfzx

作用在物体上表面总压力的垂直分力为压力体Vacbfg的重量，方向向下;作用在物体下表面总压力的垂直分力为压力体Vadbfg的重量，方向向上。作用在物体上的总压力为：负号说明，总压力的方向向上。浮力的值常用FB表示，即:阿基米德原理:液体作用在完全浸没物体上的总压力等于物体排开同体积液体的重力，力的方向为垂直向上。

2026/10/20专业基础课107第3章流体动力学原理§3.1

研究流体运动的两种方法§3.2

流体运动中的几个基本概念§3.3

连续性方程§3.4

微小流束的伯努利方程§3.5

总流的伯努利方程§3.6

恒定总流的动量方程及应用返回目录2026/10/20专业基础课108§3.1

研究流体运动的两种方法

流体运动时,表征运动特征的运动要素一般随时间空间而变,而流体又是众多质点组成的连续介质,流体的运动是无穷多流体运动的综合。

怎样描述整个流体的运动规律呢?拉格朗日法欧拉法2026/10/20专业基础课109§3.1

研究流体运动的两种方法1.拉格朗日法

拉格朗日法:质点系法

把流体质点作为研究对象,跟踪每一个质点,描述其运动过程中流动参数随时间的变化,综合流场中所有流体质点,来获得整个流场流体运动的规律。

2026/10/20专业基础课110§3.1

研究流体运动的两种方法

设某一流体质点

在t=t0时刻占据起始坐标（a，b，c)，t为时间变量

图拉格朗日法xzyOaxbzct0tM流体质点运动方程2026/10/20专业基础课111§3.1

研究流体运动的两种方法图拉格朗日法zxyOaxbyzct0tMt时刻，流体质点运动到空间坐标（x，y，z)式中，（a，b，c，t)=拉格朗日变数

（a，b，c)对应流体微团或液体质点2026/10/20专业基础课112§3.1

研究流体运动的两种方法不同（a，b，c)，t不变，表示在选定时刻流场中流体质点的位置分布。

给定（a，b，c)，t变化时，该质点的轨迹方程确定；流体质点的速度为2026/10/20专业基础课113§3.1

研究流体运动的两种方法流体质点的加速度为2026/10/20专业基础课114问题1每个质点运动规律不同，很难跟踪足够多质点2数学上存在难以克服的困难3

实用上,不需要知道每个质点的运动情况

因此,该方法在工程上很少采用。

§3.1

研究流体运动的两种方法2026/10/20专业基础课115§3.1

研究流体运动的两种方法2.欧拉法

又称为流场法,核心是研究运动要素分布场。即研究流体质点在通过某一空间点时流动参数随时间的变化规律。该法是对流动参数场的研究,例如速度场、压强场、密度场、温度场等。

采用欧拉法，可将流场中任何一个运动要素表示为空间坐标（x，y，z)和时间t的单值连续函数。

2026/10/20专业基础课116§3.1

研究流体运动的两种方法液体质点在任意时刻t通过任意空间固定点(x,y,z)时的流速为:式中,(x,y,z,t)称为欧拉变数。

2026/10/20专业基础课117令(x,y,z)为常数,t为变数令(x,y,z)为变数,t为常数表示在某一固定空间点上,流体质点的运动参数随时间的变化规律。

表示在同一时刻,流场中流动参数的分布规律。即在空间的分布状况。

§3.1

研究流体运动的两种方法2026/10/20专业基础课118(a,b,c):质点起始坐标

t:任意时刻(x,y,z):质点运动的位置坐标(a,b,c,t):拉格朗日变数(x,y,z):空间固定点（不动)t:任意时刻(x,y,z,t):欧拉变数拉格朗日法欧拉法§3.1

研究流体运动的两种方法2026/10/20专业基础课119液体质点通过任意空间坐标时的加流速式中,(ax,ay,az)为通过空间点的加速度分量。

§3.1

研究流体运动的两种方法2026/10/20专业基础课120

利用复合函数求导法，将（x,y,z)看成是时间t的函数，则§3.1

研究流体运动的两种方法写为矢量形式2026/10/20专业基础课121

时变加速度分量（三项)

位变加速度分量（九项)§3.1

研究流体运动的两种方法2026/10/20专业基础课122用欧拉法表达加速度

从欧拉法来看，不同空间位置上的液体流速可以不同;

在同一空间点上，因时间先后不同，流速也可不同。因此，加速度分

迁移加速度（位变加速度)：同一时刻，不同空间点上流速不同，而产生的加速度。

当地加速度（时变加速度)：同一空间点，不同时刻上因流速不同，而产生的加速度。

§3.1

研究流体运动的两种方法2026/10/20专业基础课123图时变加速度产生说明§3.1

研究流体运动的两种方法t0tutu0水面不断下降！2026/10/20专业基础课124u2t0u1水面保持恒定！图位变加速度说明§3.1

研究流体运动的两种方法2026/10/20专业基础课125例题1§3.1

研究流体运动的两种方法

已知平面流动的ux=3xm/s,uy=3ym/s,试确定坐标为（8，6)点上流体的加速度。

【解】:由式2026/10/20专业基础课126§3.2

流体运动中的几个基本概念1.定常流动与非定常流动在讨论流体运动的基本规律和基本方程之前,为了便于分析、研究问题,先介绍一些有关流体运动的基本概念。

若流场中流体的运动参数（速度、加速度、压强、密度、温度等)不随时间而变化，而仅是位置坐标的函数，则称这种流动为定常流动或恒定流动。

定常流动:

若流场中流体的运动参数不仅是位置坐标的函数,而且随时间变化,则称这种流动为非定常流动或非恒定流动。

非定常流动:2026/10/20专业基础课127§3.2

流体运动中的几个基本概念ut0H水面保持恒定！图定常流动说明如图所示容器中水头不随时间变化的流动为定常流动。流体的速度、压强、密度和温度可表示为2026/10/20专业基础课128§3.2

流体运动中的几个基本概念

运动要素之一不随时间发生变化,即所有运动要素对时间的偏导数恒等于零定常流动的特点:因此,定常流动时流体加速度可简化成即,在定常流动中只有迁移加速度。

2026/10/20专业基础课129§3.2

流体运动中的几个基本概念非定常流动的特点:

运动要素之一随时间而变化的流动,即运动要素之一对时间的偏导数不为零。

2t01水面保持恒定！图中,当水箱的水位保持不变时,1点到2点流体质点速度增加,就是由于截面变化而引起的迁移加速度。

2026/10/20专业基础课130§3.2

流体运动中的几个基本概念2.一维、二维和三维流动"维”是指空间自变量的个数。

一维流动：流场中流体的运动参数仅是一个坐标的函数。二维流动：流场中流体的运动参数是两个坐标的函数。流场中流体的运动参数依赖于三个坐标时的流动。三维流动：2026/10/20专业基础课131§3.2

流体运动中的几个基本概念

实际上,任何实际液体流动都是三维流,需考虑运动要素在三个空间坐标方向的变化。

由于实际问题通常非常复杂，数学上求解三维问题的困难，所以流体力学中，在满足精度要求的前提下，常用简化方法，尽量减少运动要素的"维”数。

例如，下图所示的带锥度的圆管内黏性流体的流动，流体质点运动参数，如速度，即是半径r的函数，又是沿轴线距离的函数，即:u=u(r，x)。显然这是二元流动问题。

2026/10/20专业基础课132§3.2

流体运动中的几个基本概念Ouxyx图锥形圆管内的流动

工程上在讨论其速度分布时，常采用其每个截面的平均值u。就将流动参数如速度，简化为仅与一个坐标有关的流动问题，这种流动就叫一维流动，即:u=u(x)。

2026/10/20专业基础课133§3.2

流体运动中的几个基本概念如图所示的绕无限翼展的流动就是二维流动，二维流动的参数以速度为例，可写成:Oyx2026/10/20专业基础课134§3.2

流体运动中的几个基本概念3.迹线和流线

流体质点不同时刻流经的空间点所连成的线,即流体质点运动的轨迹线。由拉格朗日法引出的概念。

迹线:

例如在流动的水面上撒一片木屑,木屑随水流漂流的途径就是某一水点的运动轨迹,也就是迹线。

迹线的微分方程:

从该方程的积分结果中消去时间t,便可求得迹线方程式。

2026/10/20专业基础课135

某一瞬时在流场中所作的一条曲线,在这条曲线上的各流体质点的速度方向都与该曲线相切,因此流线是同一时刻,不同流体质点所组成的曲线。由欧拉法引出。

§3.2

流体运动中的几个基本概念流线:图流线画法A1A2A3A4u1u2u3Δs1Δs2Δs3oyzx2026/10/20专业基础课136§3.2

流体运动中的几个基本概念图流经弯道的流线图绕过机翼剖面的流线2026/10/20专业基础课137§3.2

流体运动中的几个基本概念流线的基本特性1.

流线和迹线相重合。

在定常流动时,因为流场中各流体质点的速度不随时间变化,所以通过同一点的流线形状始终保持不变,因此流线和迹线相重合。

2.

流线不能相交和分支。

通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线,一般情况流线不能相交和分支。否则在同一空间点上流体质点将同时有几个不同的流动方向。

3.流线不能突然折转,是一条光滑的连续曲线。

4.流线密集的地方,表示流场中该处的流速较大,稀疏的地方,表示该处的流速较小。

2026/10/20专业基础课138§3.2

流体运动中的几个基本概念流线的特例驻点：速度为0的点；奇点：速度为无穷大的点（源和汇)。

在驻点和奇点处,由于不存在不同流动方向,流线可以转折和彼此相交。

图源图汇2026/10/20专业基础课139§3.2

流体运动中的几个基本概念流线微分方程设在流场中某一空间点（x，y，z）的流线上取微元段矢量该点流体质点的速度矢量为。

根据流线的定义,该两个矢量相切,其矢量积为0。即2026/10/20专业基础课140§3.2

流体运动中的几个基本概念上式即为流线的微分方程,式中时间t是个参变量。

例题2

有一流场，其流速分布规律为:ux=-ky，uy=kx，uz=0，试求其流线方程。

【解】由于uz=0,所以是二维流动,其流线方程微分为2026/10/20专业基础课141§3.2

流体运动中的几个基本概念将两个分速度代入流线微分方程（上式)，得到积分即流线簇是以坐标原点为圆心的同心圆。4.流管、流束和总流

在流场中任取一不是流线的封闭曲线C,过曲线上的每一点作流线,这些流线所组成的管状表面称为流管。

流管:C2026/10/20专业基础课142§3.2

流体运动中的几个基本概念流管内部的全部流体称为流束。流管与流线只是流场中的一个几何面和几何线,而流束不论大小,都是由流体组成的。因为流管是由流线构成的,所以它具有流线的一切特性,流体质点不能穿过流管流入或流出(由于流线不能相交)。

流束:微小截面积的流束。如果封闭曲线取在管道内部周线上，则流束就是充满管道内部的全部流体，这种情况通常称为总流。总流：微小流束:注意2026/10/20专业基础课143§3.2

流体运动中的几个基本概念5.流量、有效截面和平均流速

单位时间内通过有效截面的流体体积称为体积流量,以qv表示,其单位为m3/s、m3/h等。

流量体积流量

qv

（m3/s）质量流量

ρqv

（kg/s）重量流量

γqv

（N/s）或（kN/s）有三种表示方法:2026/10/20专业基础课144§3.2

流体运动中的几个基本概念AdAu1212dqv

从总流中任取一个微小流束,其过水断面为dA,流速为u,则通过微小流束的体积流量为qv

式中:dA为微元面积矢量

，

为速度u与微元法线方向n夹角的余弦。

2026/10/20专业基础课145§3.2

流体运动中的几个基本概念处处与流线相垂直的截面称为有效截面。有效截面有效断面可能是曲面，或平面。

在直管中，流线为平行线，有效截面为平面;

在有锥度的管道中，流线收敛或发散，有效截面为曲面。

图有效截面为平面图有效截面为平面2026/10/20专业基础课146§3.2

流体运动中的几个基本概念

常把通过某一有效截面的流量qv与该有效截面面积A相除,得到一个均匀分布的速度v。

平均流速u(y)yqvv图有效截面为平均流速2026/10/20专业基础课147§3.2

流体运动中的几个基本概念

平均流速是一个假想的流速,即假定在有效截面上各点都以相同的平均流速流过,这时通过该有效截面上的体积流量仍与各点以真实流速流动时所得到的体积流量相同。

使流体运动得到简化（使三维流动变成了一维流动)。在实际工程中，平均流速是非常重要的。

引入断面平均流速的意义2026/10/20专业基础课148

在总流的有效截面上,流体与固体壁面接触的长度。用χ表示。

§3.2

流体运动中的几个基本概念6.当量直径、湿周和水力半径湿周

在总流的有效截面上,流体与固体壁面接触的长度。用χ表示。

湿周总流的有效截面与湿周之比。用Rh表示。水力半径圆管直径是水力半径的4倍。2026/10/20专业基础课149§3.2

流体运动中的几个基本概念非圆管当量直径直径是水力半径的4倍。几种非圆形管道的当量直径hb充满流体的矩形管道2026/10/20专业基础课150§3.2

流体运动中的几个基本概念d2d1充满流体的圆环形管道s2s1s1d充满流体的流束2026/10/20专业基础课151§3.2

流体运动中的几个基本概念7.系统和控制体一群流体质点的组合。系统

在运动的过程中,尽管系统的形状和位置常常不停地变化,但始终包含这群流体质点,有确定的质量。

在流场中确定的空间区域称为控制体。控制体控制体外表面称控制面,控制体可根据需要将其取成不同形状。

流体可自由进出控制体。2026/10/20专业基础课152§3.2

流体运动中的几个基本概念有效截面、壁面、自由液面

控制体的组成:图一段管道控制体有效截面流体与管壁的交界面有效截面图一个微分控制体2026/10/20专业基础课153§3.3

连续性方程连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的应用。他建立了流体流速与流动面积之间的关系。推导:选取控制体：过流断面1-1.2-2及管壁所围成的体积。

取微元流束:流束的两过流断面面积为dA1，dA2，速度分别为u1，u2。

dt时间流经两个过流断面的流体体积:u1A1dt和u2dA2dt。

1.流束和总流的连续性方程2026/10/20专业基础课154§3.3

连续性方程假设条件:流束的形状不随时间改变，为定常流动;流束侧面没有流体质点流入或流出;流体是不可压缩的;该流束内流体的质量不变。

根据上述条件，得:上述各式即为流束的连续性方程。它表明流束过流断面面积与该断面上速度的乘积为一常数,或所有过流断面上流量都相等。

2026/10/20专业基础课155§3.3

连续性方程将上式沿总流过水断面进行积分,得

移项得

上式即为总流的连续性方程。表明流量一定时，断面平均流速与断面面积成反比。在过水断面积小处，流速大;过水断面面积大处，流速小。

2026/10/20专业基础课156§3.3

连续性方程2.连续性方程的微分形式

设在流场中任取一个微元平行六面体,其边长分别为dx、dy和dz,如下图所示。

假设微元平行六面体形心的坐标为x、y、z,在某一瞬时t经过形心的流体质点沿各坐标轴的速度分量为ux、uy、uz,流体的密度为ρ。

xyOdxdydzuxuzuyz2026/10/20专业基础课157§3.3

连续性方程先分析x轴方向,由于ux和ρ都是坐标和时间的连续函数,即ux=uxx(x,y,z,t)和ρ=ρ(x,y,z,t)。根据泰勒级数展开式,略去高于一阶的无穷小量,得在dt时间内,沿轴方向从左边微元面积dydz流入的流体质量为同理可得在dt时间内从右边微元面积dydz流出的流体质量为2026/10/20专业基础课158§3.3

连续性方程上述两者之差为在dt时间内沿x轴方向流体质量的变化,即同理，在dt时间内沿y轴和z轴方向流体质量的变化分别为:因此,dt时间内经过微元六面体的流体质量总变化为2026/10/20专业基础课159§3.3

连续性方程

由于流体是作为连续介质来研究的,六面体内流体质量的总变化,唯一的可能是因为六面体内流体密度的变化而引起的。因此上式中流体质量的总变化和由流体密度变化而产生的六面体内的流体质量变化相等。

设开始瞬时流体的密度为ρ,经过dt时间后的密度为在dt时间内,六面体内因密度变化而引起的质量变化为代入相等条件,得

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