2026-2027学年济南天桥区宝华中学九年级9月份数学月考考试试题以及答案

年九年级数学阶段性素养大赛（2026.9）本试卷满分150分，考试用时120分钟。一、选择题（本大题共10小题，共40分）1.下列投影中，是平行投影的是()2.发展工业是强国之梦的重要举措，如图所示零件的左视图是()3.如图，直线l1∥l2∥l3，若AB=3，BC=6，DE=2，则DF的长()A.4B.5C.6D.74.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，添加一个条件仍不能判定△ADE与△ACB相似的是()A.∠ADE=∠ACBB.DE//BCC.AEAB=ADACD.AD5.在平面直角坐标系中，已知点E(−4,2)，F(−2,−2)，以原点O为位似中心，将△EFO放大为原来的2倍，则点E的对应点E1的坐标是()A(−2,1)B.(−8,4)C.(−8,4)或(8,−4)D.(−2,1)或(2,−1)6.如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD=60∘，BP=1，CD=2，则△ABC的边长为()A.3B.4C.5D.67.已知二次函数y=4x2+4，下列结论错误的是（）A.抛物线开口向下，顶点为(0,−4)B.抛物线开口向上，对称轴是直线x=0C.函数图象与x轴没有交点D.当x<0时，y随x增大而减小8.如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE:CE=2:3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF:S△EBF:S△ABF=()A.4:10:25B.4:9:25C.2:3:5D.2:5:259.在矩形ABCD中，E是对角线AC上一点，连接BE并延长交AD于H，∠ABH=∠DAC，F是BC的中点，连接AF，若AC=8，AE=2，则AF的长度为()A.72B.3C.154D.10.如图，在边长为2的正方形ABCD中，P是BC边上一动点(不含B、C两点)，将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA.则以下结论中正确的是()①△CMP∽△BPA；②△CNP的周长始终不变；③当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线；④线段AM的最小值为5；⑤当△ABP≌△ADN时，BP=22−2.A.2个B.3个C.4个D.5个二、填空题（本大题共5小题，共20分）11.已知ab=23，则a+ba12.已知点P是线段AB的黄金分割点且PA<PB，若AB=20，则PB=.13.如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，将矩形纸片ABCD折叠，使C与点A重合，则折痕EF的长为.14.如图，线段AB=9，AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，AC=2，BD=4，点P为线段AB上一动点，且以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似，则AP的长为.15.如图，n个边长为1的正方形的一边均在同一直线上，点M1,M2,M3,…,Mn为边B1B2,B2B3,B3B4,…,BnBn+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…BnCnMn的面积为11020，则n=三、解答题（本大题共10小题，共90分）16.（本题6分）解方程：x2+4x−1=0.17.（本题6分）如图1，是一个长方体截成的几何体，请在网格中依次画出这个几何体的三视图.18.（本题7分）如图，平行四边形ABCD，DE交BC于F，交AB的延长线于E，且∠EDB=∠C.(1)求证：△ADE∽△DBE；(2)若DC=9cm，BE=16cm，求DE的长.19.（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点坐标分别为A(2,1)、O(0,0)、B(1,−2).(1)P(a,b)是△AOB的边AB上一点，△AOB经平移后点P的对应点为P1(a−3,b+1)，请画出上述平移后的△A1O1B1；(2)以点O为位似中心，在y轴的右侧画出△AOB的一个位似△A2OB2，使它与△AOB的相似比为2；(3)若△A2OB2与△A1O1B1是关于某一点Q为位似中心的位似图形，请在图中标出位似中心Q，并写出点Q的坐标；20.（本题9分）我国快递行业迅速发展，经调查，某快递公司今年2月份投递快递总件数为20万件，4月份投递快递总件数33.8万件，假设该公司每月投递快递总件数的增长率相同.(1)求该公司投递快递总件数的月增长率；(2)若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变，那么5月份投递快递总件数是否达到45万件？21.（本题10分）如图，已知直线AB经过x轴上的点A(2,0)且与抛物线y=ax2相交于B、C两点，与y轴交于点D，已知点B坐标为(1,1).(1)求直线和抛物线的解析式；(2)求△OBC的面积；(3)请直接写出CDBD的值22.（本题10分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过点D分别作DE//AC，DF//AB，分别交AB、AC于点E、F.（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）若AB=12，AC=8，求菱形的边长.23.（本题10分）综合与实践.现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度.首先根据光源确定人在地面上的影子；再测量出相关数据，如高度，影长等；最后利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据.已知灯柱AB，在灯柱AB上有一盏路灯P，在路灯下，人站在点D和点G的位置都有影子，B、D、G三点在同一水平线上.根据上述内容，解答下列问题：(1)已知人站在点D时路灯下的影子为DE，请画出路灯P及人站在点G时路灯下的影子GH；(2)如图，若身高为1.7米的小明站在点D影长DE为3m，沿BD方向走5m到点G，DG=5m，此时影长GH为4m，求路灯P到地面的高度PB.24.（本题12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=4cm，BC=3cm，点P由点B出发沿BA的方向向点A匀速运动，速度为1cm/s，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s，连接PQ.设运动的时间为t(s)，其中0<t<4.解答下列问题：(1)AP=______，AQ=______；(用含t的代数式表示)(2)当t为何值时，△APQ∽△ABC；(3)当P、Q在运动过程中，△APQ能否成为等腰三角形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由.25.（本题12分）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片ABC和ADE中，AB=AD=3，BC=DE=4，∠ABC=∠ADE=90∘.【初步感知】(1)如图1，连接BD，CE，在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究BDCE【深入探究】(2)如图2，在纸片ADE绕点A旋转过程中，当点D恰好落在△ABC的中线BM的延长线上时，求DM的长.【拓展延伸】(3)在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究C，D，E三点能否构成直角三角形.若能，直接写出所有直角三角形CDE的面积；若不能，请说明理由.答案一、选择题（本大题共10小题，共40分）1.下列投影中，是平行投影的是(B)2.发展工业是强国之梦的重要举措，如图所示零件的左视图是(D)3.如图，直线l1∥l2∥l3，若AB=3，BC=6，DE=2，则DF的长(C)A.4B.5C.6D.74.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，添加一个条件仍不能判定△ADE与△ACB相似的是(D)A.∠ADE=∠ACBB.DE//BCC.AEAB=ADACD.AD5.在平面直角坐标系中，已知点E(−4,2)，F(−2,−2)，以原点O为位似中心，将△EFO放大为原来的2倍，则点E的对应点E1的坐标是(C)A(−2,1)B.(−8,4)C.(−8,4)或(8,−4)D.(−2,1)或(2,−1)6.如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD=60∘，BP=1，CD=2，则△ABC的边长为(A)A.3B.4C.5D.67.已知二次函数y=4x2+4，下列结论错误的是（A）A.抛物线开口向下，顶点为(0,−4)B.抛物线开口向上，对称轴是直线x=0C.函数图象与x轴没有交点D.当x<0时，y随x增大而减小8.如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE:CE=2:3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF:S△EBF:S△ABF=(A)A.4:10:25B.4:9:25C.2:3:5D.2:5:259.在矩形ABCD中，E是对角线AC上一点，连接BE并延长交AD于H，∠ABH=∠DAC，F是BC的中点，连接AF，若AC=8，AE=2，则AF的长度为(D)A.72B.3C.154D.10.如图，在边长为2的正方形ABCD中，P是BC边上一动点(不含B、C两点)，将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA.则以下结论中正确的是(B)①△CMP∽△BPA；②△CNP的周长始终不变；③当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线；④线段AM的最小值为5；⑤当△ABP≌△ADN时，BP=22−2.A.2个B.3个C.4个D.5个二、填空题（本大题共5小题，共20分）11.已知ab=23，则a+ba12.已知点P是线段AB的黄金分割点且PA<PB，若AB=20，则PB=105﹣10.13.如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，将矩形纸片ABCD折叠，使C与点A重合，则折痕EF的长为25.14.如图，线段AB=9，AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，AC=2，BD=4，点P为线段AB上一动点，且以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似，则AP的长为1或3或8.15.如图，n个边长为1的正方形的一边均在同一直线上，点M1,M2,M3,…,Mn为边B1B2,B2B3,B3B4,…,BnBn+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…BnCnMn的面积为11020，则n=128三、解答题（本大题共10小题，共90分）16.（本题6分）解方程：x2+4x−1=0.解：x=﹣4±x1=﹣2+5，x2=﹣2﹣517.（本题6分）如图1，是一个长方体截成的几何体，请在网格中依次画出这个几何体的三视图.18.（本题7分）如图，平行四边形ABCD，DE交BC于F，交AB的延长线于E，且∠EDB=∠C.(1)求证：△ADE∽△DBE；(2)若DC=9cm，BE=16cm，求DE的长.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∵∠EDB=∠C，∴∠A=∠EDB，又∵∠AED=∠DEB，∴△ADE∽△DBE。(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC=9cm，∴AE=AB+BE=9+16=25cm，∵△ADE∽△DBE，∴AEDE=DEBE，即25∴DE2=25×16=400，∵DE>0，∴DE=20cm。19.（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点坐标分别为A(2,1)、O(0,0)、B(1,−2).(1)P(a,b)是△AOB的边AB上一点，△AOB经平移后点P的对应点为P1(a−3,b+1)，请画出上述平移后的△A1O1B1；(2)以点O为位似中心，在y轴的右侧画出△AOB的一个位似△A2OB2，使它与△AOB的相似比为2；(3)若△A2OB2与△A1O1B1是关于某一点Q为位似中心的位似图形，请在图中标出位似中心Q，并写出点Q的坐标；（1）（2）（3）如图所示Q（﹣6，2）20.（本题9分）我国快递行业迅速发展，经调查，某快递公司今年2月份投递快递总件数为20万件，4月份投递快递总件数33.8万件，假设该公司每月投递快递总件数的增长率相同.(1)求该公司投递快递总件数的月增长率；(2)若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变，那么5月份投递快递总件数是否达到45万件？(1)解：设该公司投递快递总件数的月增长率为x。根据题意，得20(1+x)2=33.8解得x1=0.3,x2=−2.3x2=−2.3不符合题意，舍去。答：该公司投递快递总件数的月增长率为30%。(2)解：根据题意，得33.8×(1+30%)=43.94（万件）43.94<45答：若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变，那么5月份投递快递总件数不能达到45万件。21.（本题10分）如图，已知直线AB经过x轴上的点A(2,0)且与抛物线y=ax2相交于B、C两点，与y轴交于点D，已知点B坐标为(1,1).(1)求直线和抛物线的解析式；(2)求△OBC的面积；(3)请直接写出CDBD的值解：设直线AB的解析式为y=kx+b，将A(2,0)、B(1,1)代入得：2k+b=0解得k所以直线解析式为y=−x+2。将B(1,1)代入y=ax21=a×12解得a=1，所以抛物线解析式为y=x2。(2)解：联立直线与抛物线解析式：x2=−x+2整理得x2+x−2=0解得x1=1,x2=−2将x=−2代入y=x2得y=4，即C(−2,4)令直线解析式中x=0，得y=2，即D(0,2)，OD=2S△OBC=S△OCD+S△OBD=2+1=3（3）222.（本题10分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过点D分别作DE//AC，DF//AB，分别交AB、AC于点E、F.（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）若AB=12，AC=8，求菱形的边长.(1)证明：∵DE∥AC，DF∥AB∴四边形AEDF是平行四边形∵AD平分∠BAC∴∠EAD=∠FAD∵DE∥AC∴∠ADE=∠FAD∴∠EAD=∠ADE∴AE=DE∴平行四边形AEDF是菱形(2)解：设菱形AEDF的边长为x，则AE=DE=x∵AB=12∴BE=AB−AE=12−x∵DE∥AC∴△BDE∽△BAC∴DEAC=即x8=解得x=4.8答：菱形的边长为4.8。23.（本题10分）综合与实践.现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度.首先根据光源确定人在地面上的影子；再测量出相关数据，如高度，影长等；最后利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据.已知灯柱AB，在灯柱AB上有一盏路灯P，在路灯下，人站在点D和点G的位置都有影子，B、D、G三点在同一水平线上.根据上述内容，解答下列问题：(1)已知人站在点D时路灯下的影子为DE，请画出路灯P及人站在点G时路灯下的影子GH；(2)如图，若身高为1.7米的小明站在点D影长DE为3m，沿BD方向走5m到点G，DG=5m，此时影长GH为4m，求路灯P到地面的高度PB.(1)如图所示，点P、线段GH即为所求。延长EC于点P，找到路灯P的位置，连接PF并延长，交射线BD于点H，即为人FG在路灯下的影子。(2)解：∵CD∥AB，∴△EPB∽△ECD，∴CDPB=DEBE，即1.7PB∵FG∥AB，∴△HFG∽△HPB，∴FGPB=HGHB，即1.7PB由①②得：33+BD=解得BD=15∴1.7PB=解得PB=10.2答：路灯P离地面的高度为10.2m。24.（本题12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=4cm，BC=3cm，点P由点B出发沿BA的方向向点A匀速运动，速度为1cm/s，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s，连接PQ.设运动的时间为t(s)，其中0<t<4.解答下列问题：(1)AP=______，AQ=______；(用含t的代数式表示)(2)当t为何值时，△APQ∽△ABC；(3)当P、Q在运动过程中，△APQ能否成为等腰三角形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由.(1)5﹣tt(2)∵∠A=∠A，∴当APAB=AQAC时，△APQ∴5﹣t∴t=209（3）t=52或251325.（本题12分）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片ABC和ADE中，AB=AD=3，BC=DE=4，∠ABC=∠ADE=90∘.【初步感知】(1)如图1，连接BD，CE，在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究BDCE【深入探究】(2)如图2，在纸片ADE绕点A旋转过程中，当点D恰好落在△ABC的中线BM的延长线上时，求DM的长.【拓展延伸】(3)在纸片ADE绕点A旋转过