2026初中数学9年级上(湘教)专题3.1 比例线段(讲义)(解析版)

专题3.1比例线段（举一反三讲义）





1

............................................................................................................................................1



2!"#$

................................................................................................................3



3%&

................................................................................................................................5



4'(

............................................................................................................................................7



5)*+,%&

..................................................................................................................................10



6)*+,'(

..................................................................................................................................12

知识点1比例线段

1.定义：如果=（或=），那就说成比例。两条线段的长度的比叫做两条线段的比.

푎푐

푎:푏푐:푑푏푑푎,푏,푐,푑

对于四条线段如果=（或表示为=），那么叫做成比例线段，简称比例线段．这

푎푐

푏푑

时，线段，푎,是푏,比푐,例푑,外项，线段푎:푏，푐:푑是比例内项.푎,푏,푐,푑

2.性质：푎푑푏푐

基本性质：===,=

푎푐푏푑푐푑

푏푑⟺푎푑푏푐,푎푐푎푏

合比性质：==,==

푎푐푎+푏푐+푑푎푐푎−푏푐−푑

푏푑⟺푏푑푏푑⟺푏푑

等比性质：==k===k

푎푐푎+푐푎푐

푏푑⟺푏+푑푏푑

知识点2黄金分割

如果点把线分割成和（＞）两段，其中是和的比例中项，即这种分割为黄金分割，

点称为线段푃퐴퐵的黄金퐴푃分割点푃퐵.퐴푃푃퐵퐀퐏퐀퐁퐏퐁

푃与的比值퐴퐵5称为黄金分割数（简称黄金数）黄金分割数是一个无理数，在应用时取其接近值0.618。

2.

−1

퐴푃푃퐵

【题型1成比例线段】

1

-24-25./01·2345·67819:;7<=>-8

A?=4cm@=6cm@=5cm@=10cm

B?푎=2cm@푏=3cm@푐=4cm@푑=6cm

푎푏푐푑

C?=2cm@=3cm@=4cm@=1cm

D?푎=2cm@푏=3cm@푐=2cm@푑=3cm

AB

푎B푏푐푑

+C

D

EFGH?IJKLMNOP@QRSQTMN@UVWXMN@YZ

[\>]M^?



I_`GH

abc7W=N\^dUVW=N\@e<=f

@ghi:jklm+C?

no

o

A?5×64×10@p<=q@rqst

Iu

B?3×4=≠2×6@p<=ust

Iu

C?3×41×2@p<=q@rqst

Iu

D?2×3≠2×3@p<=q@rqst

Iu

rj

B?≠

vw1-1

-24-25x/0y·yz{|·}~8€>@7k@=2@=4@e=?

AB

8푐푎푏푎푐푏

+C

‚

EFƒ7k„…@ab†‡ˆk>W=M‰@Š=‹=@Œ

푐푏2

cfŽab7k?_`7k„…Š%o?푎푐푐푎푏

no

o

>@7k@

=@∵푐푎푏

2

∴푐=2푎푏@=4@

∵푎=4=푐8@

22

∴rAB‡

푏8

vw1-2

-24-25x/0y·‘’t“·678€==9@>7k@e=

-””8푎1,푏푐푎푏푐

A?1B?3C?5D?9

AB

B

+C

D

EFƒ7k@@•~JKM–—>o

˜?

_`

I™š=@™›=@%›=3@Š™šAB?

푎푐2

푐푏푐푎푏푐

no

o

==9@>7k@

=@∵푎1,푏푐푎푏

푎푐

푐푏

∴=@

2

∴푐=1푎푏×9@

2

∴푐=±3@

∴푐>@

∵푐>0@

∴푐=3@

rj

∴푐B?

vw1-3

-24-25x/0y·œžŸ·678€a@b@c@d>@

=2@=3@=4@e

d4¡>-8푎푏푐

A?2B?3C?4D?6

AB

D

+C

‚

EFƒ„…?<=>@_`„…@

™=@¢=2@=3@=4@Š%™푎푏&?푐푑

푎푐

푏푑

no

o

푎푏>@푐=2@푑=3@=4

=@∵푎푏푐푑푎푏푐

푎푐

푏푑

∴23

Š@

4=

=6푑?

∴rj

푑D?

【题型2由比例的性质判断结论正误】

2

€<=a@b@c@d£¤=@e19^w¥„¦>-””8

푎푐

푏푑

A?=B?=C?=D?=

22

푎푐푎+푐푎푎푐2푎+푐푎

푑푏+푑푏2푑+푏

AB

B푏푏푏푑

+C

_`™šad§bc@A@_`+wC@_`+wS

B@D?

no

o

A€=™ad§bc@rjkqst

Iu

푎푐

푏푑

B_`+wt@^w¥„¦@rjkst

Iu

C_`+w¨^wq¦@rjkqst

Iu

D_`+wt@^wq¥„¦@rjkqst

I?

rj

B?

—©

D

EFƒ@@•~JK„…>o

˜?

11

vw2-1

-24-25ª/01·yz·}~8«^w×1=1׬­w@#®>-8

205254

11

A?:1=1:1B?:1=1:1

204255452520

11

C?:1=1:1D?:1=1:1

254205525204

AB

A

+C

D

EFƒ@¯oWˆk°\^dWVk°\>oAoA˜?

_`Wˆk°\^dWVk°\±lm¬­Š?

no

o

_`™

1111

«^w×1=1׬­w‡

1=1?

20525420

425

5

rj

A?

vw2-2

-23-24x/0·yz{|·678€=@e19w²#®>-””8

2

A?=2B?=1C?2푎=53푏D?=4

33225

푎푎−푏푎+푏푎+

푏푏푏푏+

AB

C

+C

D

EFƒ>@_`ˆk°\^dVk°\@i:Xjklm³¯´µ@Š%ouJ

K“

=@e=?”>o

˜?

푎푐

푏푑

no

o

A.³¯™푎푑푏푐=@!"¶$@rqst

Iu

B.³¯™=@!"¶$@rqst

Iu3푎2푏

C.³¯™3푎=4푏@!"#®@rst

Iu

D.³¯™2푎=3푏@!"¶$@rqst

Iu

rj

C?5푎4푏−2

5

vw

-x/0yyz}~8

-·‡#¸8@e19w²q¥„

2-324-25··===7bdf

푎푐푒

푏

¦>-””8푑푓

A?=B?=5

7

푎+푏2푎+푐−푒

푎−푏2푏+푑−푓

−65

C?=5D?=5

777

푐+푒푎+푎+푐+푒+

푑+푓푏+푑+푓+

AB

B푏+

+C

D

EFƒ@•~JK>oAD

˜?id¹¸a@b@c@d@ºb

5

df·‡#¸@ab=@e=?===@bdf·‡#¸@™

=5@=5@=5

7777

푎푐푎+푐푎푎푐푒

푏푑푏+푑푏푏푑푓

@@+++70@»!t¼k+CŠ?푎푏푐푑푒

5

no

o

푓푎≠푏푏푑푓≠@·‡#¸@

===7bdf

푎푐푒

∵푏푑푓

=5@=5@=5@@+++70@

777

∴푎푏푐5푑푒푓푎≠푏푏푑푓≠

7

A?=5==@rqst

Iu

푎+푏7푏+푏5푏+7푏

푎−푏푏−푏55푏−7푏−6

?@

B===7

푎푐푒

∵푏푑푓5

@

===7

2푎푐−푒

푑−푓

½∴2푏+0O

5

2푏푑−푓@rst

Iu≠

=7

2푎+푐−푒

∴2푏+푑−푓5

?@

C===7

푎푐푒

∵푏5푑5푓5

@@

=77=7

푐+푒푎+

푏+

∴푑+푓5

@rqst

Iu

=7

푐+푒푎+

푏+

∴푑+푓5

?@·‡#¸@@

D===7bdf+++70

푎푐푒

∵푏푑5푓푏푑푓≠

5=@rqst

Iu

77

푎+푐+푒+

∴rj푏+푑+B푓+?

【题型3由比例的性质求值】

3

-23-24x/0y·¾¿À·6Á8€===@e=-8

2푎2푏2푐

푏+푐

A?1B?±1C?1‹푎+푐푎+푏푘D?2푘

AB

C−2

+C

D

EFƒ@•Â^>o

˜?+WÃÄÅlmÆ"

½++0

①푎푏푐≠

O@_`^Çș›!bu½++=0O@e+=@ÉÊ=Çș›!b?

2푐

no

o

+WÃÄÅ

②푎푏푐푎푏−푐푘푎+푏

½++0O@™==1u

2푎+2푏+2푐

①½푎+푏+푐=≠0O@푘푏+푐+푎+푐+푎+푏

e②+푎=푏푐@==u

2푐

ËyÌÍ@푎푏−푐k&‡푘푎1+푏‹−2?

rj

C?−2

11

vw

-8@e§?

3-1==3b+d+3≠03

푎푐푎+푐+

푏푏+푑+

1푑

AB

?

3

+C

Î(^%o?

1

no

o

-8@

==3b+d+3≠0

푎푐

11∵푏푑

§?

33

푎+푐+

푏+푑+

∴1

rAB‡?

3

—©

‚

EFƒ

ÏÐ'(lmÇÈ?

1

vw

º@e&‡-8

3-2===3+0

푎푐푒푎−2푐+3푒

푏푑푓푏−2푑+3푓

11푏−2푑3푓≠15

????

A6B3C2D6

AB

B

1

+C

ÑÎ(+wÒD™š@ÓÔ_`^oÕÖ

?

===3

푎−2푐3푒

푏

1−2푑3푓

no

o

@

===3

푎푐푒

∵푏1푑푓

@

===3

푎−2푐3푒

−2푑3푓

¢∴푏+0@

푏−2푑=3푓1≠

3

푎−2푐+3푒

푏−2푑+3푓

rj∴B

—©

D

EFƒ@JK׸>o

˜?

2

vw

€@e½﹣O@§-””8

3-3===3b+dm≠0

푎푐푛푎+푐−푛

푏푏+푑−푚

푑푚2

A?﹣1B?1C?2D?

33

AB

D−

2

2

+C

_`€=Ø===­›=2@=2@=2@ÉÊ´µ™š3@!t

3333

푎푐푛푎+푐−푛(푏+푑−푚)

푏푑푚2푎푏푐푑푛푚푏+푑−푚푏+푑−푚

@%›&‡?

+03

푎+푐−푛

푏푑−푚≠푏+푑−푚2

no

o

@

===3

푎푐푛

∵푏푑푚

=2@=2@=2@

333

∴푎+푏푐0@푑푛푚

∵푏푑−푚2≠2222

3333?

===3

푎+푐−푛푏+푑−푚(푏+푑−푚)

rj

∴푏+푑−푚D푏+푑−푚푏+푑−푚

—©

D

EFƒÒD@oÕÖ

˜>•~JKÒD@Ù(ÒD

ÚwvÛ@ÉÊÌ%w²@Ü

Ýw´µ?

【题型4比例的应用】

4

-24-25x/0y·Þßàá´·678Râãäå@Ræçèmå@‰Oéêëìíîïðë?€

2

äåñòWë7—O@èmåmîƒóôu½äåšõö—O@èmåmîƒ?êðWëM÷

524km

øùúûü-(o8

AB

êðWëM÷30úû

+C

D

EFƒ'(@¯o

I>o

˜?_`mîOý9@»oŠ?

no

o

þêðWëM÷úû@

1

e:2=@푥

25

푥:241

2=24×@

52

푥

2=12@

5

푥=30@

푥A

êðWëM÷30úû?

vw4-1

€ÿĀāĂ=Ø

w=@c7F1,F2,L1@L2·q‡ă@(F1,F2,L2ɸwĄąL1#®

퐹1퐿2

퐹2퐿1

>()

A?=B?=

퐹1퐹2퐿2

퐿1퐿2퐿1퐹1퐹2

C?=D?=

퐹2퐿2퐹1

1퐹11퐹2퐿2

AB

퐿C퐿

+C

_`¬­Š.

no

=

퐹1퐿2

∵퐹2퐿1

F1L1=F2L2@

∴=.

퐹2퐿2

1퐹1

∴rj퐿C.

—©

D

EFƒÒD@abab=cd‹=@Œad=bc@Šˆk°\ĆVk°\M

푎푐

∶∶푏푑

^uć°@abad=bc@Œab=cd‹=-bd≠08.

푎푐

푏푑

vw4-2

-23-24Ĉ/0y·ĉĊċ∶∶·ċ

EČ8¥ýčĎ(ďĐđë?(Ē4>3+û#ďÛďĐ@

ēĎ960Ĕ@ab¬(Ē4‡2+û#ďÛďĐ@ēĎøùĔü

AB

2160Ĕ

+C



I

čëĕĕ\>¥„@eďĐĕ\ĆÌēĎďĐĔ¸ć@`‚Š9

%o?

no

o

þēĎpĖďĐĔ@

2×2×=3×3×960푥

=8640푥

4푥=2160

푥A

ēĎpĖďĐ2160Ĕ?

—©

D

EFƒ'(@o

˜>

I9›ďô?

vw4-3

-24-25x/0y·yzėĘ·678aę@Ětě×42ĜĜěS18ĜĜěĝĞğ

?Ĝě-30Ĝ8ĆĜěĠt@ĜěĆĜě-60Ĝ8Ġt?

Ĝěġí‡퐵7000Ģ/+?%퐶

퐴퐵퐶퐷퐴

(1)Ĝěġíu

(2)³X×ģĤíĥ-Ħ®š퐷0.1%8

AB

(1)1500Ģ/+

(2)78.6%

+C

D

EFĜěħĨ7ġíĆĜ¸×ĩĤíĥÇÈ@o

˜>g`ĠtĜě‰OýĜ¸

ġòM‰9w@Î(ĝĞĜěġíM^òĪ%o@ī®(Ĥíĥ

wÇÈ?

-18_`ĜěħĨĬ¯@MĭĠtĜě@cġíĆĜ¸ć×@ŠĜ¸Įø@ġíĮį@ºġí

ĆĜ¸N\>¥X„&@9›oAŠu

-28_`Ĥíĥ=×100%ŠoA?

푉퐴−푉퐷

푉퐴

no

-18o

þĜěġí‡Ģ/+?

݇@ĜěĆĜěĠt@퐵푥

Ìİ@ġíĆ퐴Ĝ¸N\^d퐵ġíĆĜ¸N\@9w™

7000×퐴30=퐴퐵퐵

=7000×30=42푥5000-Ģ/+8

42

푥݇@dĜěSĜěĝĞ@Z[ġíM‰@ÌİĜěġíı>5000Ģ/+?

þĜěġí‡퐵Ģ/+?Ĝě퐶ĆĜěĠt@ġíĆ퐶Ĝ¸N\^dġíĆĜ¸N\@

9w™

퐷푦퐶퐷퐶퐶퐷퐷

5000×18=

=5000×18=60푦1500-Ģ/+8?

60

푦-28o

݇Ĝěġí‡7000Ģ/+@Dġí‡1500Ģ/+@

_`

I™

퐴×100%=5500×100%78.6%?

70007000

7000−1500

≈

【题型5由黄金分割求值】

5

-24-25./01·ÞßàTĊ·678—CD>WX)*+,—@

=2@e4

‡-8퐴퐵퐴퐵퐶퐷

A?5B?22C?25D?2

AB

3−C−4−43−

+C

D

EFƒ)*+,@SIJ@

I™==5=5@»SIJÇ

2

−1

Ȋ™o?퐴퐶퐵퐷퐴퐵−1

no

o

aę

@

—CD>WX)*+,—@

∵==5퐴퐵=5@

2

−1

∴퐴퐶=퐵퐷+퐴퐵=5−1+5=25@

∴rj

퐶퐷C퐴퐶?퐵퐷−퐴퐵−1−1−2−4

vw5-1

-24-25x/0y·ijàĴĵ·678aę@—C@—D>WX)*+,—@—C

-Ķ>‹q>8¥X)*+,—?퐴퐵

퐴퐷

AB

>

+C

D

EFƒ)*+,

Ú+W=S->8@ºķ>S7

k-Š=8@fŽÚ퐴퐵)*+,@—퐴퐶CfŽ퐵퐶퐴퐶)*+,—?c7퐵퐶퐴퐶퐴퐵퐵퐶=5

2

−1

퐴퐵:퐴퐶@ĸº퐴퐶:퐵퐶)*+,—ĹWX?퐴퐵퐴퐵퐴퐶

Î()*+,„…™š퐴퐵≈0.618퐴퐵퐴퐵=5=5@==@»Ąą›

22@

−1−1

퐴퐷퐴퐵,퐵퐶5퐴퐵퐴퐷퐵퐶퐴퐶퐵퐷

==5@ÓÔÇț=@éğ—C>AD)*+,—?

22

3−−1

퐴퐶no

o

퐴퐵−퐵퐶—C@—퐴퐵D>퐴퐶:퐴퐷WX)*+,—@

=5∵,=5@퐴퐵

22

−1−1

∴퐴퐷=@퐴퐵퐵퐶퐴퐵

∴퐴퐷퐵퐶=@

∴퐴퐷−퐶퐷퐵퐶−퐶퐷

Š=@

퐴퐶=퐵퐷=5=5@

22

−13−

∴퐴퐶퐴퐵−퐵퐶퐴퐵−퐴퐵5퐴퐵

=55=@

222

3−−1−1

∴퐴퐶:퐴퐷—C>)*+,—?퐴퐵:퐴퐵

rAB‡

>?∴퐴퐷

vw

-x/0yàĺĻļ}~8ĽĆ4>5ľÛf)*ľÛ@)*ľÛĿŀ[

5-224-25··2

−1

İŁłŃń@Ņņ:ŇňøʼnŊŋŌ‡ō™QŎŏŐőb@Œœ(ƒ)*ľÛþÇ?€<ĒÛ

>)*ľÛ<@—P>Ēy¥—@º=45°@e=-8퐴퐵퐶퐷

푃퐷

퐷퐶

(퐴퐵퐵퐶)1퐴퐷∠푃퐵퐶

?5??5?

A2B2C4D1

−13−

AB

A

+C

D

EF)*ľÛİĩ^ŔŕŖŗŖÛ@o

˜>Î()*ľÛĽ4þŘ

¸@ĸ!t^ŔŕŖŗŖÛĒ×%o?

řòþ=@_`)*ľÛĄą›4@»Î(^ŔŕŖŗŖÛ™šM4Ś@lğ%

›?퐴퐵푎퐴퐷

푃퐷

no

o

aę

퐷퐶

þ=@

퐴퐵<ĒÛ푎>)*ľÛ@ºĽĆ4>5@

<2

−1

∵퐴퐵퐶퐷(퐴퐵퐵퐶)

5@

=2

퐴퐵−1

퐵퐶

∴===51@

552

퐴퐵2푎2+

−1−1

∴퐵퐶푎

=45°@=90°@@

∵∠푃퐵퐶=∠퐴=45°@퐴퐵∥퐶퐷

∴∠퐴퐵푃>^ŔŕŖŗŖÛ@e∠퐴푃퐵==@

∴△퐴퐵푃퐴푃퐴퐵푎

=@ğ==51@

2

+

∵푃퐷퐴퐷−퐴푃퐴퐷퐵퐶푎

==51=5@¢==@

22

+−1

5

∴푃퐷퐴퐷−퐴푃1푎−푎5푎퐷퐶퐴퐵푎

=2=5×=@

−1212

푃퐷푎−1−1

rj

∴퐷퐶A?푎

2

vw5-3

aę@AB4‡1@AByō—P1£¤×wAP1§BP1•AB@eAP14Ś‡u

22

AP1yō—P2£¤×wAP2§P1P2•AP1@AP2y—P3£¤×wAP3§P2P3•AP2@ghİ‚

śŜ@APn4Ś‡?

5

AB

5-8n

22

−1−1

+C

_`ęÛv´ŝŞşŠ@Î()*+,„…

ÚAB+W=ACSBC-ACš

BC8@ºķAC>ABSBC7k-Š=8@fŽÚAB)*+,@—CfŽAB

퐴퐶퐵퐶

퐴퐵퐴퐶

)*+,—?c7AC§5?Š™!"?

2AB≈0.618AB

−1

2

no

AB4‡1@AByō—P1£¤×wAP1§BP1•AB@

e∵4Ś‡

5u

AP12

−1

2

AP1yō—P2£¤×wAP2§P1P2•AP1@

e4Ś‡

-582u

AP22

−1

2

AP2y—P3£¤×wAP3§P2P3•AP2@

e4Ś‡

-583u

AP32

−1

ghİ‚śŜ@

4Ś‡

-58n?

APn2

−1

rAB‡

5u-58n?

22

−1−1

—©

D

EFƒ)*+,şŠ

-ęÛv´ś@oÕD

˜>JK)*+,„…?

【题型6黄金分割的应用】

6

-24-25x/01·Ţ¿ţŤ·}~8¥XťŦŧŨLũŪ)*+,—ūQèәŬ?abũ

Ū4‡18û@ťŦŧŭLŨLū@eZ'Ůù»ůûŰQ¯ű?-!bĦ®š0.01û8

퐴퐵퐴

AB

6.88

+C

D

EFƒ)*+,—ÇÈ@+wďôÙ(@JK)*+,ÇÈďŲ>˜?

_`)*+,—ÇÈďŲ9+wďôÇȊ?

no

o

þŮù»ůû@

5