29.2.3 第2课时 圆内接四边形 课件-2026-2027学年人教版数学九年级上册

#29.2.3第2课时圆内接四边形专项练习（人教版九上，约1450字）##一\(∠B、∠D\)核心知识点梳理1.**圆内接多边形定义**：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。四个顶点都在圆上的四边形，称为**圆内接四边形**。2.**圆内接四边形性质定理**圆内接四边形的**对角互补**。符号语言：若四边形$ABCD$内接于⊙O，则$\boldsymbol{\(\boldsymbol{\(∠A\)+\(∠C=\)180°}\)}$，$\boldsymbol{\(\boldsymbol{\(∠B\)+\(∠D=\)180°}\)}$。3.**推论（外角性质，考试高频）**圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和这个外角相邻的内角的对角）。例：延长$BC$到$E$，则$\(\(\boldsymbol{∠DCE=\(∠A\)}\)\)$。>原理：$\(\(∠B\)CD+∠DCE=180°\)$，$\(\(∠B\)CD+\(∠A\)=180°\)$，同角的补角相等。4.关联旧知：本课时常结合圆周角定理综合考查。四个顶点在圆上，四边形的内角都是圆周角，可以利用同弧圆周角相等转换角度。>⚠️易错提醒：对角互补的四边形才有外接圆；不是任意四边形都存在外接圆。性质只能用于**四个顶点共圆**的四边形。##二\(∠B、∠D\)基础过关（选择+填空）1.下列关于圆内接四边形说法正确的是（）A.每组邻角互补B.对角互补C.对角相等D.所有内角相等**答案：B**2.四边形$ABCD$内接于⊙O，已知$\(\(∠A\)=75°\)$，则$\(∠C=\)$____°。**答案：105**解析：对角互补，$\(∠C=\)180°−75°=105°$。3.圆内接四边形$ABCD$中，$\(\(∠B\)=110°\)$，则$\(∠D=\)$____°。**答案：70**4.四边形$ABCD$内接于⊙O，延长$AB$到$E$，若$\(∠CBE=60°\)$，则$\(∠D=\)$____°。**答案：60**解析：圆内接四边形外角等于内对角，$\(∠CBE=∠D\)$。5.圆内接四边形四个内角之比可能是（）A.1∶2∶3∶4B.1∶3∶4∶5C.2∶3∶5∶4D.2∶4∶3∶5**答案：C**解析：对角份数之和要相等，$\(2+5=3+4=7\)$。##三\(∠B、∠D\)能力提升（解答题，写出完整步骤）6.已知四边形$ABCD$内接于⊙O，$\(∠A\):\(∠B\):\(∠C=\)2:3:7$，求四边形四个内角的度数。**解**：设$\(\(∠A\)=2x\)$，$\(\(∠B\)=3x\)$，$\(∠C=\)7x$。∵四边形$ABCD$是圆内接四边形，对角互补，∴$\(\boldsymbol{\(∠A\)+\(∠C=\)180°}\)$，即$\(2x+7x=180°\)$，解得$\(x=20°\)$。$\(\(∠A\)=2×20°=40°\)$，$\(∠C=\)7×20°=140°$。又$\(\boldsymbol{\(∠B\)+\(∠D=\)180°}\)$，$\(\(∠B\)=3×20°=60°\)$，∴$\(∠D=\)180°−60°=120°$。答：四个内角分别为$\(∠A\)=40°，\(∠B\)=60°，\(∠C=\)140°，\(∠D=\)120°$。7.如图，四边形$ABCD$内接于⊙O，点$E$在$BC$延长线上，求证：$\(\(\boldsymbol{∠DCE=\(∠A\)}\)\)$。**证明**：∵四边形$ABCD$内接于⊙O，∴$\(\(∠A\)+\(∠B\)CD=180°\)$（圆内接四边形对角互补）。又$\(\(∠B\)CD+∠DCE=180°\)$（平角定义）。根据同角的补角相等，∴$\boldsymbol{\(\(\boldsymbol{∠DCE=\(∠A\)}\)\)}$。8.四边形$ABCD$内接于⊙O，$AC$平分$\(\(∠B\)AD\)$，求证：$\(\(\boldsymbol{BC=CD}\)\)$。**证明**：∵$AC$平分$\(\(∠B\)AD\)$，∴$\(\(\(∠B\)AC\)=\(∠DAC\)\)$。$\(\(∠B\)AC\)$对应弧$BC$，$\(∠DAC\)$对应弧$CD$。根据圆周角定理，相等圆周角所对弧相等，∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$。同圆中等弧对等弦，∴$\boldsymbol{\(\(\boldsymbol{BC=CD}\)\)}$。9.易错题：圆内接四边形$ABCD$，$\(\(∠A\)=80°\)$，求$\(∠B\)$的度数。**解**：本题条件不足，无法求出$\(∠B\)$。⚠️易错点：很多同学误以为知道$\(∠A\)$就能求出$\(∠B\)$。圆内接四边形只限制**对角互补**，邻角没有固定数量关系，只能求出对角$\(∠C=\)100°$，$\(∠B\)\(∠B、∠D\)∠D$无法单独确定。##四\(∠B、∠D\)中考综合训练10.如图，四边形$ABCD$内接于⊙O，连接$BD$，$\(\(∠B\)AD\)=105°$，$\(∠DBC=60°\)$，求$\(∠B\)DC$。**解**：∵四边形$ABCD$内接于⊙O，∴$\(\(∠B\)AD\)+\(∠B\)CD=180°$。$\(∠B\)CD=180°−105°=75°$。在△BCD中，三角形内角和180°，$\(∠B\)DC=180°−∠DBC−\(∠B\)CD=180°−60°−75°=\boldsymbol{45°}$。11.判断正误（对√，错×）①圆内接四边形对角相等（×，对角互补）②圆内接四边形外角等于内对角（√）③对角互补的四边形一定内接于圆（√）④任意四边形都有外接圆（×）⑤圆内接四边形邻角互补（×，只有对角互补）##五\(∠B、∠D\)方法总结圆内接四边形这一节，两大核心：**对角互补\(∠B、∠D\)外角等于内对角**。做题第一步先看四个顶点是否都在圆上，只有满足共圆，性质才能使用。题型常见思路：1.已知一个内角，直接求它的对角；已知外角，直接等于内对角。2.给内角比例题，设未知数，利用对角相加等于180°列方程求解，这是填空必考题型。3.常和圆周角定理结合，通过等角证等弧\(∠B、∠D\)等弦。4.陷阱集中在：混淆“邻角互补”和“对角互补”；看到四边形就默认有外接圆。大题一般用来角度转化，证明角相等，经常和前面垂径定理\(∠B、∠D\)圆心角\(∠B、∠D\)圆周角综合出题，属于圆章节综合性很强的知识点，也是中考填空\(∠B、∠D\)解答题高频考点。（全文约1445字）需要我把这份练习做成**纯题目无答案版本**方便打印做题吗？下一节是切线相关内容，要不要继续准备？人教版（新教材）数学九年级上册29.2.3第2课时圆内接四边形授课教师：.

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9年级（

）班.

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2026/10/21

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第29章圆导入新课经过三角形各顶点的圆叫做三角形的

.这个三角形叫做

.经过四边形各顶点的圆叫做四边形的

.这个四边形叫做

.O···DBCAO·BCA类比外接圆圆内接四边形外接圆圆内接三角形环节一：圆内接多边形的概念观察下图►图中多边形ABCDEF的顶点和⊙O的位置关系？＊多边形ABCDEF所有顶点都在⊙O上。＊多边形ABCDEF是⊙O的内接多边形，＊⊙O是多边形ABCDEF的外接圆.如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.提示：“内接”“外接”是指多边形与圆的位置关系，是一个图形对另一个图形相对而言的。·OFCEA····D·B·►三角形顶点都在圆上叫圆内接三角形，如果多边形所有顶点都在同一个圆上，该如何命名？环节一：圆内接多边形的概念·ODBCA····（1）图中四边形ABCD的顶点和⊙O的位置关系？四边形的所有顶点都在⊙O上。（2）这个四边形ABCD和⊙O的位置关系是什么？四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆.讨论（3）这个四边形ABCD各角是圆中什么角？各角对的弧是图中哪段弧∠A、∠B、∠C、∠D均为圆周角∠A

∠C

∠B

∠D

1.返回如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝110°，则∠A的度数为(

)A．35°B．45°C．60°D．70°D返回2.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD的度数是(

)A．90°B．100°C．110°D．120°C返回3.如图，四边形ABCD内接于⊙O.过点B作BE∥AD，交CD于点E.若∠BEC＝50°，则∠ABC的度数是(

)A．50° B．100°C．130° D．150°C讨论环节二：探究圆内接四边形性质如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形,观察∠A、∠C所对弧的位置，你有什么发现？·ODBCA····

两弧对的圆心角度数和是360°猜想：四边形ABCD为⊙O的内接四边形，对角∠A与∠C有什么数量关系？对角∠B与∠D也符合这种数量关系吗？∠A+∠C=180°∠B+∠D=180°如何证明这个猜想？思考如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形,求证：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°环节二：探究圆内接四边形性质

·ODBCA·····结论：圆内接四边形的对角互补.思考环节二：探究圆内接四边形性质如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形,延长BC至E，图中∠A与∠DCE的大小有何关系？并说出理由。

∠A＝∠DCE.

理由如下：∵∠A＋∠C＝180°，∠BCD＋∠DCE＝180°.∴∠A＝∠DCE.·ODBCA····E·结论：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.环节二：探究圆内接四边形性质圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.圆的内接四边形性质总结圆的内接四边形的对角互补.·ODBCA····E·例题讲解例1在圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数的比是3∶2∶7，求四边形各内角的度数．解：设∠A，∠B，∠C的度数分别为3x，2x，7x.∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A＋∠C＝180°，即3x＋7x＝180°，∴x＝18°，∴∠A＝3x＝54°，∠B＝2x＝36°，∠C＝7x＝126°.又∵∠B＋∠D＝180°，∴∠D＝180°－36°＝144°.DBCAO例2.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠BOD=100°，求∠A和∠C的度数.例题讲解

又四边形ABCD

是⊙O

的内接四边形，∴∠C+∠A=180°.∴∠C=130°.

例题讲解例3.如图，已知A，B，C，D四点共圆，且AC＝BC.求证：DC平分∠BDE.解：∵A，B，C，D四点共圆，∴

∠CDA＋∠ABC＝180°，

∠3＝∠ABC.又∵AC＝BC，∴∠1＝∠ABC，∴∠1＝∠3.又∵∠1＝∠2，（同弧所对的圆周角相等）∴∠2＝∠3，即DC平分∠BDE.

例题讲解

证法一证法二

例题讲解

例题讲解

返回4.[滨州中考]如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形OABC是菱形，则∠D的度数为________°.60如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠BCD＝110°，点E在

上．(1)∠BAD＝______°；(2)求∠AED的度数．返回5.70解：连接BD.∵AB＝AD，∴∠ABD＝

(180°－∠BAD)＝55°.∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，∴∠AED＋∠ABD＝180°，∴∠AED＝180°－∠ABD＝125°.如图，以一块含30°角的直角三角板的斜边为直径画圆，即Rt△ABC内接于⊙O，∠ABC