30.2 三角形的内切圆 课件-2026-2027学年人教版数学九年级上册

#30.2三角形的内切圆专项练习（人教版九上\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)约1450字）##一、核心知识点梳理1.**内切圆、内心定义**与三角形**三边都相切**的圆\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)叫做三角形的内切圆\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)内切圆的圆心叫做**内心**；这个三角形叫做圆的外切三角形。内心是三角形**三条角平分线的交点**。>核心性质：①内心一定在三角形内部；②内心到三角形**三边距离相等**\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)距离就是内切圆半径$r$；③内心与各顶点连线平分对应的内角。2.**内切圆半径公式**①通用公式：三角形面积$\boldsymbol{\(S=\)\dfrac12(a+b+c)r}$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)变形得$\boldsymbol{\(r=\)\dfrac{2S}{a+b+c}}$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)$\(\(a,b\),c\)$为三边长。②直角三角形专用公式：两直角边$\(a,b\)$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)斜边$c$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)内切圆半径$\boldsymbol{\(r=\)\dfrac{a+b-c}{2}}$。3.**切点线段关系（切线长定理）**⊙I是△ABC内切圆\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)切点D、E、F。设$\(AE=AF=x\)$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)$\(BD=BF=y\)$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)$\(CD=CE=z\)$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)则$\begin{cases}x+y=AB\\y+z=BC\\x+z=AC\end{cases}$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)用于求切点分割的线段长。4.**内心角度公式**I为△ABC内心\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)则$\boldsymbol{\(\(∠BIC\)=\)90^\circ+\dfrac12∠A}$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)填空选择直接使用。5.**内心与外心对比（高频易混）**-内心（内切圆圆心）：三条角平分线交点\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)到**三边距离相等**；-外心（外接圆圆心）：三边垂直平分线交点\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)到**三个顶点距离相等**。>易错提醒①任意三角形有且只有1个内切圆；一个圆可以有无数个外切三角形；②内心到三边距离相等\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)**不是到顶点距离相等**；③看到内切圆切点\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)优先使用切线长相等列方程。##二、基础过关（选择+填空）1.三角形内心是（）A.三条高线交点B.三条中线交点C.三条角平分线交点D.三边垂直平分线交点**答案：C**2.Rt△ABC\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)直角边6、8\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)斜边10\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)内切圆半径$\(r=\)$（）A.1B.2C.3D.4**答案：B**解析：$\(r=\)\dfrac{6+8-10}{2}=2$3.△ABC内心为I\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)$∠A=70^\circ$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)则$\(\(∠BIC\)=\)$____°。**答案：125**解析：$\(\(∠BIC\)=\)90^\circ+\dfrac12×70^\circ=125^\circ$4.三角形内切圆半径$\(r=\)2$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)周长为20\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)则三角形面积$\(S=\)$____。**答案：20**解析：$\(S=\)\dfrac12×20×2=20$5.△ABC内切圆与AB切于F\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)BC切于D\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)AC切于E\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)AF=4\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)则AE=____。**答案：4**##三、能力提升（解答题\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)写出完整步骤）6.已知△ABC三边长$AB=7\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)BC=8\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)AC=9$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)内切圆分别切三边于D、E、F\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)求AF、BD、CD。**解**设$\(AF=AE=x\)$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)$\(BF=BD=y\)$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)$\(CD=CE=z\)$$\begin{cases}x+y=7\\y+z=8\\x+z=9\end{cases}$三式相加：$\(2(x+y+z)=24\)$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)$\(x+y+z=12\)$$x=12-8=4$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)$y=12-9=3$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)$z=12-7=5$答：$AF=4\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)BD=3\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)CD=5$。7.在Rt△ABC中\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)$∠C=90^\circ$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)$AC=5\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)BC=12$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)求内切圆半径。**解**斜边$AB=\sqrt{5^2+12^2}=13$直角三角形内切圆半径：$\(r=\)\dfrac{a+b-c}{2}=\dfrac{5+12-13}{2}=2$答：内切圆半径$\(r=\)2$。8.I是△ABC内心\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)$\(∠ABC\)=50^\circ\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)\(∠ACB\)=60^\circ$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)求$\(∠BIC\)$度数。**解**∵I是内心\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)IB平分$\(∠ABC\)$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)IC平分$\(∠ACB\)$$∠IBC=\dfrac12\(∠ABC\)=25^\circ$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)$∠ICB=\dfrac12\(∠ACB\)=30^\circ$$\(\(∠BIC\)=\)180^\circ-(25^\circ+30^\circ)=125^\circ$答：$\(\(∠BIC\)=\)125^\circ$。9.易错题：判断正误（对√\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)错×）①三角形内心到三个顶点距离相等（×\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)内心到三边距离相等）②直角三角形内切圆半径$\(r=\)\dfrac{a+b-c}{2}$（√）③内心一定在三角形内部（√）④三角形外接圆圆心是角平分线交点（×\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)外心是垂直平分线交点）##四、中考综合训练10.△ABC周长24\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)面积24\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)求内切圆半径$r$。**解**由内切圆面积公式$\(S=\)\dfrac12(a+b+c)r$代入$\(S=\)24$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)周长$\(a+b+c=24\)$$24=\dfrac12\times24\timesr$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)解得$\(r=\)2$。答：内切圆半径为2。11.如图\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)△ABC的内切圆⊙I与BC、AC、AB相切于D、E、F\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)$AB=10\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)BC=11\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)AC=9$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)求BF的长。**解**设$\(BF=BD=x\)$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)$CD=CE=11-x$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)$AE=AF=10-x$。$\(AE+CE=AC\)$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)$(10-x)+(11-x)=9$$21-2x=9$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)$\(2x=12\)$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)$\(x=6\)$。答：$\(BF=6\)$。12.已知I是△ABC内心\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)连接AI并延长交△ABC外接圆于M。求证：$\(MB=MI\)$。**证明**∵I是内心\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)∴AI平分$\(∠BAC\)$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)BI平分$\(∠ABC\)$。$\(∠BIM=∠BAI+∠ABI\)$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)$\(∠IBM=∠CBM+∠CBI\)$。同弧BM\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)$\(∠CBM=∠BAI\)$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)$\(∠ABI=∠CBI\)$。∴$\(∠BIM=∠IBM\)$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)∴$\(MB=MI\)$。##五、方法总结本节核心两个板块：**内心性质、内切圆半径计算**。解题思路：1.看到内心\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)立刻想到：角平分线\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)到三边距离相等；求$\(∠BIC\)$直接套公式$90^\circ+\dfrac12∠A$。2.切点线段计算题：用切线长设未知数\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)列三元方程组\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)是填空高频题型。3.求内切圆半径：普通三角形用$\(r=\)\dfrac{2S}{C}$；直角三角形优先用$\(r=\)\dfrac{a+b-c}{2}$简化计算。高频陷阱：1.混淆内心、外心\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)记错两者定义；2.求切点线段时\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)边长代错；3.直角三角形公式中\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)忘记$c$是斜边。本节和上节课切线长定理紧密关联\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)中考常和切线、圆周角综合出题\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)常放在圆大题第一问求线段或者角度。（全文约1448字）需要我生成**无答案纯题目版本**打印练习吗？下一课是正多边形和圆\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)继续写吗？人教版（新教材）数学九年级上册30.2三角形的内切圆授课教师：.

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级：

9年级（

）班.

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2026/10/21

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第三十章直线与圆的位置关系

小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？问题1:如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？

OOOO最大的圆与三角形三边都相切情境引入

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当堂练习已知：△ABC.求作：和△ABC的各边都相切的圆

O.MND作法：1.作∠ABC和∠ACB的平分线

BM和

CN，交点为

O.☉O就是所求的圆.ABCO3.以O为圆心，OD为半径作圆O.2.过点

O作OD⊥BC，垂足为

D.三角形的内切圆1.与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.3.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.4.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.BACI☉I是△ABC的内切圆，点

I是△ABC的内心，△ABC是☉I的外切三角形.2.三角形内切圆的圆心是这个三角形三条角平分线的交点.情境引入

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当堂练习如图，☉I

是△ABC的内切圆，那么

AI、BI、CI

有什么特点？BACI

AI、BI、CI

分别平分∠CAB、∠ABC、∠BCA.BACI情境引入

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当堂练习如图，☉I

是△ABC的内切圆，过点I

分别作

AB、AC、BC的垂线，垂足分别为

E、F、G，那么线段

IE、IF、IG之间有什么数量关系？EFG根据角的平分线的性质可得.且IE=IF=IG=内切圆的半径r.IE=IF=IG.三角形内心的性质三角形的内心是三角形三条角平分线的交点.三角形的内心到三角形三边的距离相等.AI、BI、CI分别平分∠CAB、∠ABC、∠BCA，IE=IF=IG.BACI三角形的外接圆和内切圆名称外心(三角形的外接圆圆心，即三角形三边垂直平分线的交点).内心(三角形的内切圆圆心，即三角形三条角平分线的交点).图形性质位置角度关系三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.三角形的内心到三角形三边的距离相等.外心不一定在三角形的内部.内心一定在三角形的内部.

∠BOC=2∠A.1.返回已知⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的(

)A．三条边的垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高线的交点B返回2.如图，在△ABC中，∠ABC＝46°，∠ACB＝84°.⊙O是△ABC的内切圆，连接OB，OC，则∠BOC的度数为(

)A．105°B．110°C．115°D．125°C返回3.如图，点P是△ABC的内心，△PAB，△PBC，△PAC的面积分别为S1，S2，S3，则S1________S2＋S3.(填“<”“＝”或“>”)＜情境引入

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当堂练习情境引入

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当堂练习求AB,BC,ACAB=9,BC=14,AC=13求BF,CD,AE459

切线长定理495切线长

边长如图，△ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于D、E、F，(1)若AF=4，BD=5，CE=9，求AB，BC和AC的长．情境引入

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当堂练习yzz边长

切线长91314xxyAF=4，BD=5，CE=9如图，△ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于D、E、F，(2)若AB=9，BC=14，CA=13，求AF，BD和CE的长．情境引入

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当堂练习面积rrr周长、内切圆半径如图，△ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于D、E、F，(3)若△ABC的周长为33，OE=4，求△ABC的面积.三角形内切圆的半径b-rrrb-ra-ra-rrrr特别地，在直角三角形中，有情境引入

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当堂练习情境引入

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当堂练习新学期，同学们布置教室．如图所示，教室前门ABCD宽度AB=1m，门轴A到墙角E的距离AE=0.5m，设E，A，B在同一条直线上，门打开后被黑板墙EB’阻挡，EB’⊥EA，门边BC靠在墙B‘C’的位置．(1)门打开的最大角度∠BAB’=______；120°情境引入

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当堂练习(2)同学们想充分利用教室的空间，在门后△AB’E中放置一个圆柱形的储物桶，如果购买直径为35cm的圆柱形桶，能放得进去吗？请说明理由．（参考数据：

，

，

）(2)解：能放进直径为35cm的圆柱形桶，理由如下：如图，设圆心为O，△AB’E内切圆半径为rm，连接切点X,Y,Z，则四边形EYQX为正方形，∴，∴，，∵，，，∴，情境引入

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当堂练习∴，∵，∴，∴，解得：

，∴，∴能放进直径为35cm的圆柱形桶．(2)同学们想充分利用教室的空间，在门后△AB’E中放置一个圆柱形的储物桶，如果购买直径为35cm的圆柱形桶，能放得进去吗？请说明理由．（参考数据：

，

，

）返回4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，⊙O与△ABC的三边分别相切于点D，E，F，若⊙O的半径为2，求△ABC的周长．解：连接OE，OF，设AD＝x，由切线长定理得AE＝x.∵⊙O与△ABC的三边分别相切于点D，E，F，∴OE⊥AC，OF⊥BC，BD＝BF.又∵∠C＝90°，OE＝OF，∴四边形OECF为正方形．∵⊙O的半径为2，∴CE＝CF＝2.又∵BC＝5，∴BD＝BF＝BC－CF＝3.在Rt△ABC中