2026-2027学年济南历城区唐冶中学九年级9月份数学月考考试试题（原卷版+答案版）

唐治中学9月九年级月考数学试题（满分150分时间120分钟）一、选择题（每题4分，共40分）1.如图所示几何体的俯视图是（）2.如图，AB∥CD∥EF，BC=5，CE=8，则DFAD=（A.32B.53C.853.若关于x的方程x2+mx-6=0有一个根为2，则另一个根为（）A.1B.-3C.3D.-14.在平面直角坐标系中，将二次函数y=(x-1)2+3的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得函数表达式为（）A.y=(x+1)2+1B.y=(x-3)2+5C.y=x2+3D.y=x2+15.如图，点P是△ABC边AC上一点，连结BP，以下条件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（）A.∠ABP=∠CB.∠APB=∠ABCC.ABAP=ACABD.BP6.如图，四边形OABC为菱形，若OA=2，∠AOC=45°，则点B的坐标为（）A.(2+2,2)B.(2-2,2)C.(-2+2,2)D.(-2-2,2)7.如图，夜晚冬冬从点A出发沿直线走向点B，行进路线经过某路灯的正下方。在此过程中，他的影子会（）A.一直变长B.一直变短C.先变长，后变短D.先变短，后变长8.如图，△ABC是等边三角形，被一矩形所截，AB被截成三等分，EH∥BC，若图中阴影部分的面积是18。则△ABC的面积为（）A.64B.54C.44D.349.如图，在△ABC中，按如下步骤作图：①在CA和CB上分别截取CM，CN，使CM=CN，分别以点M和N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠ACB内交于点O，作射线CO交AB于点D；②分别以点C和D为圆心，以大于12CD的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线PQ交AC于点E，交BC于点F。根据以上作图，若ADBD=32，BC=5A.922B.92C.510.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°，AE、AF分别交BD于M、N，连接EN、EF，有以下结论：①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角形；③BE+DF=EF；④若点F是DC的中点，则CE=23CB；⑤当AE=AF时，BEEC=22A.5B.4C.3D.2二．填空题（每题4分，共20分）11.若a+bb=32，则ab12.二胡是中国老的民族拉弦乐器之一。音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳。如图，一把二胡的琴弦AC长为80cm，千斤线绑在点B处，则B点下方的琴弦BC长为cm。13.若关于x的一元二次方程(m+1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是。14.如图1，将边长为2的正方形剪成四块，将这四块图形恰好无缝隙无重叠地拼成如图2所示的图形（点D，G，H，C在同一直线上，点D，F，B在同一直线上），则FG的长为。15.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E为BC上一点，CE=2BE，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，连接DF，则线段DF的长为。三、解答题。16.(5分×2，共10分)解方程(1)x(x-5)=3x-15;(2)x2-4x-1=0。17.（8分）如图，在矩形ABCD中，点M在CD上，AM=AB，BN⊥AM，垂足为N。求证：AD=BN。18.（8分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O(0,0)，A(2,1)，B(1,-2)。（1）画出△OAB向上平移1个单位，再向左平移2个单位后得到的△O1A1B1；（2）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2:1；（3）判断△O1A1B1和△OA2B2是位似图形吗？若是，请直接写出位似中心的坐标；若不是，请说明理由。19.（12分）综合与实践【项目背景】研究玩偶的销售利润与售价之间的关系。【素材呈现】素材1：世界杯期间，某商店以每个30元的成本价新进一批玩偶。素材2：在销售过程中发现，该玩偶的售价定为50元时，每天可卖出100个，在此基础上，售价每降低1元，该玩偶每天可多卖出10个。素材3：商店准备采用降价销售的方式尽快清空库存，获取合理的利润。【问题解决】（1）若该玩偶的售价定为40元，商店每天卖出该玩偶的数量是个，每天的利润为元；（2）已知商店每天销售该玩偶的利润是2240元，求该玩偶的售价；（3）商店每天销售该玩偶的利润能否达到2500元？若能，求出该玩偶的售价；若不能，请说明理由。20.（8分）已知函数y=(m-1)xm（1）求m的值；（2）写出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标；（3）当-1≤x≤2时，y的最大值为，最小值为。21.（10分）定义：设x1，x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，若满足|x1+x2|=|x1·x2|，则称此类方程为“和谐方程”。例如，方程x2=0是“和谐方程”。（1）下列方程是“和谐方程”的是____。①x2-x=0；②x2-4x+4=0；③(x+1)(x-12（2）若方程x2-(m+2)x+2m=0是“和谐方程”，求m的值。（3）若方程ax2+bx+c=0(a≠0)为“和谐方程”，直接写出b，c满足的数量关系。22.（10分）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上一点，连接AC、BE，它们相交于点F，且∠ACB=∠ABE。（1）求证：AE2=EF·BE；（2）若AE=2，EF=1，求BF的长。23.（12分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9cm，BC=12cm，现有动点P从点C出发，沿CA方向向点A运动，动点Q从点B出发，沿BC方向向点C运动，如果点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，它们同时出发，当有一点到达终点时，点P，Q就停止运动，设运动时间为t秒，求：（1）填空：CP=，CQ=；（用含t的代数式表示）（2）当t为多少时，PQ平分△ABC面积；（3）当t为多少时，以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似。24.（12分）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=nBC，P为AB上的一点（不与端点重合），过点P作PM⊥AB交AC于点M，得到△APM。（1）【问题发现】如图1，当n=1时，P为AB的中点时，CM与BP的数量关系为；（2）【类比探究】如图2，当n=2时，△APM绕点A顺时针旋转，连接CM，BP，则在旋转过程中CM与BP之间的数量关系是否发生变化？请说明理由；（3）【拓展延伸】在（2）的条件下，已知AB=4，AP=2，当△APM绕点A顺时针旋转至B，P，M三点共线时，请直接写出线段BM的长。答案一、选择题（每题4分，共40分）1.如图所示几何体的俯视图是（B）2.如图，AB∥CD∥EF，BC=5，CE=8，则DFAD=（CA.32B.53C.853.若关于x的方程x2+mx-6=0有一个根为2，则另一个根为（B）A.1B.-3C.3D.-14.在平面直角坐标系中，将二次函数y=(x-1)2+3的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得函数表达式为（A）A.y=(x+1)2+1B.y=(x-3)2+5C.y=x2+3D.y=x2+15.如图，点P是△ABC边AC上一点，连结BP，以下条件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（D）A.∠ABP=∠CB.∠APB=∠ABCC.ABAP=ACABD.BP6.如图，四边形OABC为菱形，若OA=2，∠AOC=45°，则点B的坐标为（D）A.(2+2,2)B.(2-2,2)C.(-2+2,2)D.(-2-2,2)7.如图，夜晚冬冬从点A出发沿直线走向点B，行进路线经过某路灯的正下方。在此过程中，他的影子会（D）A.一直变长B.一直变短C.先变长，后变短D.先变短，后变长8.如图，△ABC是等边三角形，被一矩形所截，AB被截成三等分，EH∥BC，若图中阴影部分的面积是18。则△ABC的面积为（B）A.64B.54C.44D.349.如图，在△ABC中，按如下步骤作图：①在CA和CB上分别截取CM，CN，使CM=CN，分别以点M和N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠ACB内交于点O，作射线CO交AB于点D；②分别以点C和D为圆心，以大于12CD的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线PQ交AC于点E，交BC于点F。根据以上作图，若ADBD=32，BC=5A.922B.92C.510.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°，AE、AF分别交BD于M、N，连接EN、EF，有以下结论：①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角形；③BE+DF=EF；④若点F是DC的中点，则CE=23CB；⑤当AE=AF时，BEEC=22A.5B.4C.3D.2二．填空题（每题4分，共20分）11.若a+bb=32，则ab=12.二胡是中国老的民族拉弦乐器之一。音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳。如图，一把二胡的琴弦AC长为80cm，千斤线绑在点B处，则B点下方的琴弦BC长为（405﹣40）cm。13.若关于x的一元二次方程(m+1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是m＜0且m≠﹣1。14.如图1，将边长为2的正方形剪成四块，将这四块图形恰好无缝隙无重叠地拼成如图2所示的图形（点D，G，H，C在同一直线上，点D，F，B在同一直线上），则FG的长为3﹣5。15.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E为BC上一点，CE=2BE，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，连接DF，则线段DF的长为1255三、解答题。16.(5分×2，共10分)解方程(1)x(x-5)=3x-15;(2)x2-4x-1=0。解：（x﹣5）（x﹣3）=0x=4x1=5，x2=3x=2±5x1=2+5，x2=2﹣517.（8分）如图，在矩形ABCD中，点M在CD上，AM=AB，BN⊥AM，垂足为N。求证：AD=BN。证明：∵四边形ABCD是矩形，∴D=90°，CD∥AB，∠AMD=∠BAN，∵BN∥AM，∴∠ANB=90°，∠D=∠ANB=90°在△AMD\)和△BAN中，∠∴△AMD≌△BAN(AAS)，∴AD=BN。18.（8分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O(0,0)，A(2,1)，B(1,-2)。（1）画出△OAB向上平移1个单位，再向左平移2个单位后得到的△O1A1B1；（2）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2:1；（3）判断△O1A1B1和△OA2B2是位似图形吗？若是，请直接写出位似中心的坐标；若不是，请说明理由。（1）（2）如图所示（3）△O1A1B1和△OA2B2是位似图形.理由如下.如图所示,连接A2A,B2B,OO,并延长交于一点，:.这个点即为位似中心，坐标为(-4,2).19.（12分）综合与实践【项目背景】研究玩偶的销售利润与售价之间的关系。【素材呈现】素材1：世界杯期间，某商店以每个30元的成本价新进一批玩偶。素材2：在销售过程中发现，该玩偶的售价定为50元时，每天可卖出100个，在此基础上，售价每降低1元，该玩偶每天可多卖出10个。素材3：商店准备采用降价销售的方式尽快清空库存，获取合理的利润。【问题解决】（1）若该玩偶的售价定为40元，商店每天卖出该玩偶的数量是个，每天的利润为元；（2）已知商店每天销售该玩偶的利润是2240元，求该玩偶的售价；（3）商店每天销售该玩偶的利润能否达到2500元？若能，求出该玩偶的售价；若不能，请说明理由。（1）2002000(2)设该玩偶的售价为x元。当售价为x元时，相比50元降低了(50-x)元，则多卖出的数量为10(50-x)个，所以每天的销售量为(100+10(50-x)=100+500-10x=600-10x（个）。已知利润为2240元，根据利润公式可列出方程(x-30)(600-10x)=2240。解得x1=46，x2=44。答：该玩偶的售价为44元或46元。(3)设该玩偶的售价为y元，每天的销售量为100+10(50-y)=600-10y（个）。若利润达到2500元，则可列出方程(y-30)(600-10y)=2500。整理得y2-90y+2050=0。∵△=b2-4ac=(-90)2-4×1×2050=8100-8200=-100<0。因为△<0，所以此方程无实数根，即商店每天销售该玩偶的利润不能达到2500元。20.（8分）已知函数y=(m-1)xm（1）求m的值；（2）写出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标；（3）当-1≤x≤2时，y的最大值为，最小值为。(1)由题意可知，函数y=(m-1)xm∴m解得m2=1，即m=1或m=-1。又∵m≠1，∴m=-1。(2)当m=-1时，该二次函数的解析式为：y=-2x2+4x-5∵a=-2,b=4,c=-5∴对称轴为直线x=-b2a当x=1时，y=-3。∴顶点坐标为(1,-3)。(3)-3﹣521.（10分）定义：设x1，x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，若满足|x1+x2|=|x1·x2|，则称此类方程为“和谐方程”。例如，方程x2=0是“和谐方程”。（1）下列方程是“和谐方程”的是____。①x2-x=0；②x2-4x+4=0；③(x+1)(x-12（2）若方程x2-(m+2)x+2m=0是“和谐方程”，求m的值。（3）若方程ax2+bx+c=0(a≠0)为“和谐方程”，直接写出b，c满足的数量关系。（1）②③(2)∵x1+x2=m+2,x1·x2=2m，∵方程x2-(m+2)x+2m=0是“和谐方程”，∴|m+2|=|2m|，∴(m+2)2=4m2，即3m2-4m-4=0，解得：m=2,m=-23(3)对于ax2+bx+c=0(a≠0)，则x1+x2=-ba,x1·x2=c∵方程ax2+bx+c=0(a≠0)为“和谐方程”，∴﹣ba=|∴|b|=|c|，即b2=c2或b=±c。22.（10分）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上一点，连接AC、BE，它们相交于点F，且∠ACB=∠ABE。（1）求证：AE2=EF·BE；（2）若AE=2，EF=1，求BF的长。(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC∴∠ACB=∠EAF∵∠ACB=∠ABE∴∠EAF=∠ABE又∵∠AEF=∠BEA∴△AEF∽△BEA∴AEBE=∴AE2=EF·BE(2)解：将AE=2,EF=1代入AE2=EF·BE，得22=1×BE∴BE=4∴BF=BE-EF=4-1=3答：BF的长为3。23.（12分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9cm，BC=12cm，现有动点P从点C出发，沿CA方向向点A运动，动点Q从点B出发，沿BC方向向点C运动，如果点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，它们同时出发，当有一点到达终点时，点P，Q就停止运动，设运动时间为t秒，求：（1）填空：CP=，CQ=；（用含t的代数式表示）（2