2026-2027学年天津市益中学校高二（上）学情调研数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年天津市益中学校高二（上）学情调研数学试卷一、单选题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知直线经过点A(2,−8)，B(5,1)，则直线的斜率为(

)A.−3 B.13 C.3 D.2.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，设AA1=a，AB=b，A.AM=12a+12b+3.若直线l1：mx+3y−1=0与直线l2：2x+(m−5)y+1=0垂直，则m=(

)A.−3 B.−1 C.3 D.64.已知直线l1：ax+9y+3=0，l2：x+ay−1=0，则“a=3”是l1//A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知向量a=(23,0,2)，向量b=(1,0,3)A.(12,0,32) B.6.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=AB=AA1=2A.12

B.22

C.7.{a,b,c}是空间的一个单位正交基底，向量p=a+2A.p=(a+b)+2(a−b)+3(8.著名数学家华罗庚曾说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：(x−a)2+(y−b)2可以转化为平面上点M(x,y)与点N(a,b)A.37 B.52 C.9.如图，圆锥的轴截面PAB是等边三角形，C是底面圆周上一动点，D是PA的中点，则直线CD与PB所成角的余弦值的取值范围是(

)A.[12,1]

B.[66二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。10.已知直线l过P(−2,−1)，且与以A(−4,2)，B(1,3)为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围为

．11.直线2x−3y−4=0关于x轴对称的直线方程为

．12.对任意实数m，坐标原点O到直线(3+m)x+(2−m)y+1=0距离的最大值为

．13.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，AD=4，AA114.过点P(4,3)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为

．15.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2AD=2AA1=6，点E在棱AB上，BE=2AE，动点P满足BP=3PE，若点P在平面ABCD内运动，则点P所形成的阿氏圆的半径为

；若点P在长方体ABCD−A三、解答题：本题共5小题，共49分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题9分)

根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：

(1)斜率是−12，经过点A(8,−2)；

(2)在x轴和y轴上的截距分别是32，−3；

(3)经过两点P117.(本小题8分)

如图，在多面体ABC−A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，四边形A1ACC1为矩形，A1B1//AB，AB=AC=AA1=3，A18.(本小题9分)

过点P(2,1)作直线l，与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，求：

(1)△AOB面积的最小值及此时直线l的方程；

(2)求直线l的两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程；

(3)求|PA|⋅|PB|的最小值及此直线l的方程．19.(本小题11分)

长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=23,AA1=3，E，F分别为A1D1，C1B1中点，且CG=2GC120.(本小题12分)

已知四棱锥P−ABCD的底面为直角梯形，AB//DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2．

(1)求AC与PB所成的角的余弦值；

(2)证明：平面PAD⊥平面PCD；

(3)设M是PB上一点，且直线CM与平面PCD夹角的正弦值为1010，求PMPB

1.【答案】C

2.【答案】A

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】D

6.【答案】A

7.【答案】D

8.【答案】D

9.【答案】C

10.【答案】(−∞,−311.【答案】2x+3y−4=0

12.【答案】213.【答案】214.【答案】3x−4y=0或x−y−1=0

15.【答案】29

16.【答案】x+2y−4=0；

2x−y−3=0；

x+y−1=0

17.【答案】解：(1)证明：连接A1C，交AC1于点E，连接DE，

因为四边形A1ACC1为矩形，

所以点E为A1C中点，

又D为BC的中点，

所以ED//A1B，

因为ED⊂平面AC1D，A1B⊄平面AC1D，

所以A1B/​/平面AC1D.

(2)因为A1A⊥平面ABC，AB，AC⊂平面ABC，

所以A1A⊥AB，A1A⊥AC，

又AB⊥AC，

所以A1A，AB，AC两两垂直，

以点A为原点，以AB，AC，A1A为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，B(3,0,0)，C(0,3,0)，B1(1,0,3)，C1(0,3,3)，

因为D为BC的中点，

所以D(32,32,0)，

则BC=(−3,3,0)，BB1=(−2,0,3)，AC1=(0,3,3)，AD=(32,32,0)．

设平面BCB1的法向量为n1=(x118.【答案】解：(1)设直线AB的方程为xa+yb=1(a>0,b>0)，

∵点P(2,1)在直线上，

∴2a+1b=1，

由基本不等式1=2a+1b≥22a⋅1b=8ab，当且仅当a=4且b=2时，等号成立，

∴ab≥8，可得△AOB的面积S=12ab≥4，

因此△AOB的面积S的最小值为4，

此时的直线方程为x4+y2=1，即x+2y−4=0；

(2)：设∠PAO=θ，则可得θ∈(0,π2)，

过P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，

则Rt△PDB中，tanθ=|BD||PD|，可得|BD|=|PD|tanθ=2tanθ，

cosθ=|PD||PB|，可得|PB|=|PD|cosθ=2cosθ，

同理，在Rt△PAC中，有|AC|=|PC|tanθ=1tanθ，|PA|=1sinθ，

∴|OA|+|OB|=|OC|+|AC|+|OD|+|BD|=3+1tanθ19.【答案】解：(1)证明：以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

由AB=AD=23，AA1=3，得各点坐标：

D(0,0,0)，A(23,0,0)，B(23,23,0)，C(0,23,0)，

D1(0,0,3)，A1(23,0,3)，B1(23,23,3)，C1(0,23,3)，

E为A1D1中点，故E(3,0,3)，

F为C1B1中点，故F(3,23,3)，

由CG=2GC1，得G在CC1上且CG=2，故G(0,23,2)，

GF=(3,0,1)，FB=(3,0,−3)，FE=(0,−23,0)，

GF⋅FB=3×3+0×0+1×(−3)=3−3=0，故GF⊥FB，

GF⋅FE=3×0+0×(−23)+1×0=0，故GF⊥