北京市丰台区2025-2026学年第二学期期末练习高二数学试卷（含答案）

北京市丰台区2025-2026学年第二学期期末练习

高二数学

一、选择题：本大题共10小题，共50分。

I.集合M={x|3x-1>5},N={0,1,2},则MnN=()

A.{1,2,3}B.{2,3}C.0D.{3}

2.设复数z满足z(l+i)=2,则0=()

A.-yB.1C.\f2D.2

3.下列散点图中所对应的成对样本数据呈现正相关关系的是()

4.下列关于命题“若实数%>1,则2x+l>5”的否定，正确的是()

A.若x>1,则2x+1W5

B"壬意实数%,满足%>1,贝1」2X+1工5

C.存在一个实数％,满足%>1,则2%+1工5

D.存在一个实数X,满足工工1,则2X+1W5

5.下列求导运算正确的是()

A.(InZ),=1B.Q)=

C.(cosx)=sinxD.(e-x+1)

6.在(6-规7的展开式中，若%2的系数为-14,则a的值为()

A.2B.1C.-1D.-2

7.已知随机变量X〜NO，。?)。>0),若P(|X-Ml<1)=0.6,则P(X>^+1)=()

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4

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8.已知xy>0,则“y工2%”是?+多>4”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

9.某中学举办主题为“十八而志承大任，芳华待灼赴海赢”的高三成人礼活动，现有语言类节目2个、歌

唱类节目2个、舞蹈类节目1个，共5个节目登台演出.若要求同一类型的节目不能连续表演，则不同的

节日表演顺序的种数为()

A.24B.32C.44D.48

10.已知集合4={xWN*|l4x420},且集合%,%,B3,%满足如下两个条件：

色悔个集合均恰有5个元素；

②之U%U/U%=4.

称集合々中元素的最大值与最小值之和为B,的特征数X&=123,4),

则力+>2+/+〉4的值可能为()

A.64B.65C.102D.103

二、填空题：本大题共5小题，共25分。

11.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(2』)，则复数5=.

12.从集合{1,2,3,4}中依次不放回地随机抽取两个不同的数，分别记为a和8.已知Q是偶数，则Q+b>5的

概率为.

234

13.已知(1-3x)4=a。_3a/+9a2x-27a3x+81a4x，则展开式中各二项式系数的和为；at+

。2+。3+。4=•

14.已知集合A={xeZ\ax2-(a24-a)x+a2<0,aeR],若集合A中恰有两个元素，则a的一个取值

为•

15.曲线y=f(x)在不同两点4。1，%),8(42，、2)处的切线斜率分别是七,品，规定9(48)=

"I

与B之间的距离)叫做曲线y=/(%)在点4与点8之间的“弯曲度”.给出下列四个结论：

⑦设函数/(无)=kx+b,则其图象上任意两点之间的“弯曲度”都为0；

②设函数/•(%)=?,则其图象上存在两点之间的“弯曲度”为0；

③已知力(匕/1Q))与B(x+7^,/'(x+7^))是函数/■(x)=sin%图象上两点，则当xw(—1,])时，Q(,4,B)不存在

最大值；

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@已知/(%/(%))与8。+1,/。+1))是函数/。)=e>图象上两，点，则奴48)随着x的增大而增大，且

Vm>0,3xGR,使得|s(4B)-1|Vm.

其中所有正确结论的序号为.

三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.2026年“五一”假期，北京文旅市场持续火热，相关数据显示，颐和园、天坛公园、故宫博物院、景

山公园、奥林匹克公园成为北京热度前五的景区.现有4名游客，计划在五月五日当天，每人从这5个景

区中选择1个景区参观.

(1)若这4名游客选择参观的景区互不相同，那么共有多少种不同的选择方法？

(2)若这4名游客中，恰有2名游客选择了同一个景区，那么共有多少种不同的选择方法？

17.某班级数学兴趣小组共有6名同学，其中2名男生，4名女生.

(1)该小组甲、乙两名同学参加•项闯关游戏.已知甲同学闯关成功的概率为系乙同学闯关成功的概率为

《，且两人闯关的结果互不影响.求甲、乙两人中恰有一人闯关成功的概率；

(2)若从这6名同学中随机选出3名同学组成一个竞赛小组，设选出的3名同学中女生的人数为X,求随机

变量X的分布列和数学期望.

18.已知函数/(x)=x3-ax2+a(aGR).

(1)若a=1,求/(%)的极值；

(2)若/(%)在区间［0,+8)上的最小值小于零，求a的取值范围；

(3)若Q>0,设/(工)=|/(%)|,记F(x)在区间上的最大值为g(a).当g(a)最小时，直接写出一个满足

条件的Q的值.

19.某科技公司为优化旗下的人工智能助手“小智”的性能，针对“语音交互”和“图像识别”两项核心

功能设计了相应的优化方案：方案4与方案8.为了解“小智”的全体用户(18岁及以上)对新方案的支持情

况，对“小智”的青年用户(18-35岁)和中老年用户(36岁及以上)进行简单随机抽样，获得数据如下

表：

青年用户中老年用户

支持不支持支持不支持

方案4400人200人200人200人

方案8350人250人150人250人

假设所有用户对方案是否支持相互独立.用频率估计概率.

(1)分别估计“小智”的青年用户和中老年用户支持方案力的概率;

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(2)从“小智”的全体青年用户中随机抽取2人，全体中老年用户中随机抽取1人.估计这3人中恰有2

人支持方案力的概率；

(3)用切=1(A=1,2,3)分别表示“小智”的青年用户、中老年隹户以及全体用户支持方案B,用"=

0(A=1,2,3)分别表示“小智”的青年用户、中老年用户以及全体用户不支持方案B.写出方差Df],Dh，

的大小关系.(结论不要求证明)

20.已知函数/1(X)的定义域为(0,+oo),其导函数/''(X)=ae"-1—：(a>0),且/'(1)=a+Ina.曲线y=

/(x)在点A(l,/(1))处的切线为直线，.

(1)若直线/与％轴平行，求a的值；

(2)求证：除切点力外，曲线y=f[x)在直线[的上方；

(3)若Q>1,直线[与x轴、y轴分别交于8、C两点，。为坐标原点.是否存在实数a,使得ABOC的面积为

2?若存在，求出满足条件的a的个数；若不存在，说明理由.

21.设neN)考虑止整数数列为、取、…、时，将其以九为周期构造成无穷数列，即对所有止整数3均有

%+i=4•.当该无穷数列满足如下两个条件时，我们称其为“C数列”：

@1<a2<…<an<a1+n：

每个i=l、2、…、ri,均有“Wn+i—l.

(1)当九=4时，判断下列两个数列Qi，Q2是否为“。数列”？

Qi：2、23、4、22、3、4、2^2、3、4、…；

Qz：2、4、4、6、2、4、4、6、2、4、4、6、…；

(2)若正整数数列由、。2、…、％、。1、。2、…、时、…为“C数列”,则

⑴求证：对每个i=l、2、…、n,均有《Wn+i-l；

(ii)求证：%+取+…+an&*•

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1.【答案】c

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】D

6.【答案】A

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】0

10.【答案】C

11.【答案】2-i

12.【答案吗/0.5

13.【答案】16；15

14.【答案】4/答案不唯一，满足3VaW4即可

15.【答案】（T）@@

16.【答案】解：（1）根据题意，共有=5x4x3x2=120种;

（2）选范两名游客共有*=6种，

这两名游客与其他两名游客有鹿=60种选法，

故共有6x60=360种选择方法.

17.【答案】解：（1）记事件4甲同学闯关成功，记事件8：乙同学闯关成功，事件E：甲、乙两人中恰有

一人闯关成功，

则尸（E）=P（AB+AB）=P（AB）+P（4月），

乂甲同学闯关成功的概率为右乙同学闯关成功的概率为|,且法人闯关的结果互不影响，

所以P(E)=PfAB)+P(A豆)=P(4)P(F)4-=lx|+|x^=-^.

(2)易知X的可能取值为1,2,3,

P(X=1)=等=今p(X=2)=^=^=l，P(X=3)=^=±=j,

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所以X的分布列为

F(X)=lxi+2x1+3x|=2.

OOO

18.【答案】解：(1)当Q=1时，fW=x3-x2+1,则广(>)=3，-21

令/'(x)=0得3好-2x=x(3x-2)=0,解得x=0或X=|

列表得

2

X(一8,0)0

闯3修,+8)

广⑴+0—0+

fM单调递增极大值1单调递减极小值掾单调递增

所以/■(%)的极大值为1,极小值为掾.

(2)广(%)=3x2-2ax=x(3x—2d),令/'(x)=0解得乃=0或x=等

当GW00寸，^<0,在［0,+8)上广(无)N0恒成立，

即/(》)单调递增,则/■(%)min=/(0)=a<0,Q<0符合条件;

当G>0时，y>0,/(%)在［0专上单调递减，在俘,+8)上苴调递增，

则/GOmin=/(引=一3+原令一舞+QV0，

即G(1—号")<0,因为a>0,所以1—授■<(),解得a>与三

综上所述，a的取值范围是Q<0或Q>浮.

(3)由第二问可知，ff(x)=3x2-2ax=x(3x—2a),

当a>0时，f(x)在(一8,0)上单调递增，在［0专上单调递减，

在停,+8)上单调递增，

因为xG［—1,1］，

当G冶时，/⑺在上单调递增，在［0,1］上单调递减，

F(0)=|/(0)|=a,F(-l)=F(l)=1,所以g(a)=max{a,1}=a.

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□

此时g(a)>-；

当OVav|H寸，F(0)=|/(0)|=a,F(-l)=F(l)=1,

F管)=|f管)|=时警,因为a-察<如

当。Va41时，g(a)=1：

当1<aV5时，9(a)=a,此时1V0(a)<

综上所述，g(a)=1，所以当0<a<l时g(a)取最小值，

此时a可取1.

19.【答案】解：(1)由图表知，方案A的青年用户共600人，支持方案4的青年用户共400人，

方案4的中老年用户共400人，支持方案4的中老年用户共200人，

所以“小智”的青年用户和中老年用户支持方案力的概率分别为黑=,、款=1.

□0034002

(2)由(1)知青年用户支持方案4的概率为今中老年用户支持方案A的概率为:

则所求概率为P=停)2xi+C|xix|xi=^=^

(3)由题知A服从0-1分布，则=p(l-p),其中P为对应群体支持方案8的概率，

又由题知青年用户支持方案3的概率为pi=篇=卷，所以咐=得x鲁=含，

中老年用户支持方案B的概率为口2=提=看所以以2=数/=奈

全体用户支持方案B的概率为P3=能司，所以以3=|x|=i,

又〉含,春所以以3>贴>g.

20.【答案】解：(1)根据题意可得/■'⑴=。、。一一牛二。一1,因为与x轴平行的直线斜率是0,所以

a-1=0,解得a=1.

当a=l时，/(I)=1+ini=1=60,符合题意，故a=l.

(2)证明：根据题意可得直线2的方程y-(a+Ina)=(a-1)(%-1),

设函数九(%)=/(x)-[(a-1)(%-1)+a+Ina],%>0,

因为M(x)=%'(%)=aex-1-i-(a-1),则M'(%)=aex~x+5

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因为a>0,尸1>0,盘>0,环以M'(x)>0,即y=/i'(x)在(0,+8)单调递增，

又因为八’(1)=0,所以当0<%<1时，hf(x)</iz(1)=0,即用以在(0,1)上单调递减:

当X>1时，九'(%)>九’(1)=0,即M%)在(1,+8)单调递增,因此九(乃之九(1)=0,

所以除切点4外，曲线y=/(x)在直线/的上方.

(3)由(2)知，切线的方程y-(a+Ina)=(a-l)(x-1),

令『0得如=_詈，则以-詈,0),

令%=0得yc=1+Ina,则(0,lna+l),

因为Q>1,则lna+l>0,—也U<。，

a-l

所以s・8"=31孙•九1=；•芹竽=2，整理得写臀=4,

所以(Ina+I)2=4(Q-1),即Ina+1=2Va-1在aG(1,+8)时有解，

设F(a)=Ina+1—2\/a-1(a>1),则/'(a)=---^i=='

Qva-1aVa-1

因为a>l,所以即a>7a-1,所以『'(tOvO,

所以F(a)在(1,+8)上单调递减，

因为F(l)=1>0,尸(e)=2-2/e^l<0,

所以存在唯一的劭W(l,e),使得F(ao)=O,故F(a)在(1,+8)上有且只有1个零点，

所以满足条件的a，且满足条件的。只有1个.

21.【答案】解：(1)对于数列Qi，对任意的"WN*,。什4=%，即数列Qi是以4为周期的周期数列,

且满足由<a2<a3<a4<a}-^-4t

a=a==

a]22<4+l—1=4,aC2=a2=2<4+2—1=5,aa3=a33<44-3—1=6,

aaji=a4=4<4+4-l=7,

数列Qi满足(W，故数列Qi为“C数列”；

对于数列Q2,对任意的n€N*,Qn+4=Q”，即数列Q2是以4为周期的周期数列，

且满足为<a2<a3<a4<

a<“=。2=4W4+1-1=4，Ga2=。4=6>4+2-1=5，故数列Q2满足①，但不满足②，

故数列Q2不是“C数列”.

(2)⑴假设存在i€N・，使得4>n+i—l,

考虑使这个不等式成立的最小的3则%>%_i>->fli>n+i,

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因为数列的周期性和a”，<n+i-1>所以cij=1+kn、2+kn、…、i—1+kn(kEN*),

又G>n+i,可得%>2n+1,

因为的+