2026年人教版九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》练习题

一、知识点归纳

【知识点1一元二次方程的根与系数的关系】

1.对若XI,X2是一元二次方程加+/?.E+C=O(〃WO)的两个根，则有Xl+l2=—(,X\X2=^.

即：任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的

比的相反数,两个根的积等于常数项与一次项系数的比.

2.判断根的正负性：在△=后_4收20的条件下，我们有如下结论：

(1)当£<0时，方程的两根必一正一负.

a

①若一220,则此方程的正根不小于负根的绝对值；②若-2<o,则此方程的正根小于负根的

aa

绝对值.

(2)当£>0时，方程的两根同正或同负.

a

①若—2>0,则此方程的两根均为正根；②若上<0,则此方程的两根均为负根.

aa

注意：(1)若acvO,则方程0¥2+6+6=0(°=0)必有实数根.

(2)若ac>0，方程or?+〃.r+c=0(aw0)不一定有实数根.

【题型1由根与系数关系求代数式的值】

【例1】已知方程/-3尸-1的两根分别为勺、x2.

⑴求X]+工2与的值；

(2)求16的值；

(3)求之+3的值；

XlX2

(4)求行+6^的值.

【变式1・1】设修,外为方程2.--7工+2=0的两根，试求下列各式的值;

(2后

【变式1・2】若与,乃是一元二次方程2/-3》-1=0的两个根，求下列代数式的值.

⑴⑵一次尸；

(2)(多+以%2+3

【变式1・3】已知〃，〃是方程/+5%+3=0的两个根，则bg+a小的值

【题型2一元二次方程的解与根与系数关系综合求值】

【例2】若〃，力是方程f+2025x-2026=0的两个实数根，贝布2+2026。+/?-。〃的值为.

【变式2・1］若a、夕是方程f+3x-28=0的两个实数根，则。2+4。+夕的值为.

【变式2-2】已知方程f-2026x+l=0的两根分别为X1,和则昂警的值为.

【变式2-3】设〃,人为一元二次方程/-工-2025=0的两个实数根，贝必3_〃2+〃+2026人的值为.

【题型3由两根关系式求参数的值】

【例3】已知关于x的一元二次方程f+2"+hl=O.若X],均为该方程的两个实数根，且满足

修('丫2-2)=2》2，求〃的值.

【变式3・1】已知修、必是关于x的一元二次方程--2(什l)x+必=0的两实根，且3+1)(12+1)=6,

求2A的值.

【变式3-2]已知关于x的一元二次方程工2一4"阳+1=0有两个不相等的实数根引处.

⑴求实数〃?的取值范围；

(2)若(币-必)2=-〃,+9,求实数用的值.

【变式3-3]已知关于x的一元二次方程/_2"+正+公1=0有两个实数根.

(1)试求Z的取值范围.

⑵若此方程的两个实数根为不，不，且满足历|十|超1=2,试求知勺值.

【题型4构造一元二次方程求代数式的值】

【例4】如果〃2初，且满足〃，-阳=3,/_〃=3,那么代数式2层-〃〃?+2〃?+2026=

【变式4-1】已知且Q2-5G-1=0,/J2-5/)-1=O,则J+1的值为___________.

3a3b

【变式4・2】两个非零实数加，〃满足〃,+百加=1,〃2+遮〃=],且加＜〃，则巴，的值为.

nm

【变式4-3］己知实数A,〃(〃?，〃)，且满足〃儿4m=及+2,〃2_4〃=2%+2.

(1)求证：m+〃的值为定值；

(2)若加，〃同号，求左的取值范围.

【题型5判断根的正负性】

【例5】已知关于x的一元二次方程2/-团-1,其中〃z为实数.

(1)求证：该方程有两个不相等的实数根；

(2)若该方程的一个根为-1,求另一个根;

(3)若该方程的一个根大于2,另一个根小于2,求机的取值范围.

【变式5-1］关于x的方程/-2妙+〃+2=0有两个不相等的实数根，求分别满足下列条件的取值范

围：

(1)两根都小于0；

(2)两根都人于1；

(3)方程一根大于1,一根小于1.

【变式5・2】己知，关于x的一元二次方程3-(m+4)工+〃2+3=0.

(1)试说明：不论历取何值时，该方程总有实数根；

(2)若这个一元二次方程的一根大于2,另一根小于2,求机的取值范围.

【变式5-3]已知关于x的方程3『-伍-3比-4=0(〃>0).

(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；

(2)若方程有一个根大于2,另一根小于2,求。的取值范围.

三、课后作业

I.己知一元二次方程/+履+6=0的一个根为-2,则它的另一个根是

2.已知实数x、y满足/=%+3,产=)43且9，，则/+/=.

3.已知关于x的一元二次方程¥+2亦=201)有两个实数根且满足勺+必=8,则4-5%e+8工2

的值为.

4.已知火成是方程/+2025.什1=0的两个实数根，则(〃+2026。+2)俨+2026/?+2)的值为

5.己知X],心是一元二次方程―-3x+〃?=0的两个根，若245勺=5-必，则小的值为

6.己知方程3，-53+1=0的两个根分别为a,b,

⑴求1+：的值；

ab

(2)求的值.

7.已知关于x的方祗2-(%+3)K+2Z+2=0.

(1)求证：该方程总有两个实数根；

(2)若该方程的两个实数根为为，必，求代数式a「2)(必・2)的值.

8.已知关于x的一元二次方程f-2(a-l)x+Q2_Q_3=0有两个不相等的实数根修，必・

⑴若〃为正整数，求。的值；

(2)在(1)的条件下，旦。是偶数，求代数式君・修口工2+2丫2的值•

9.己知一元二次方程：『-2x+m=0.

⑴若方程有两个实数根，求〃;的范围.

(2)若方程的两个实数根为修，必，且町+3必=3,求加的值.

10.已知关于x的一元二次方程/-3加工+2小2=0.

(1)求证：该方程总有两个实数根；

(2)若〃?>0,且该方程的两个实数根的差为2,求〃z的值.

答案解析

【题型1由根与系数关系求代数式的值】

【例1】已矢口方程，-3x=-l的两根分另IJ为X1、必.

(1)救1+无2与XIx2的值；

⑵求帝君的值；

(3)求我+"的值;

X]x2

(4)求后+1瓦的值.

【答案】(1为十切=3,X]X2=1

(2).彳+/=7

(3号+$7

(4)宿+店二石

【分析】本题主要考查了根与系数的关系，解题时要熟练掌握并能列出关系式是关键.

(1)依据题意，由根与系数的关系计算可以得解；

(2)依据题意，结合(1)计算可以得解；

(3)依据题意，由卫+2=强，结合(1)(2)代入计算可以得解；

X]X2X]X2

(4)依据题意，由(如+恒)2=X|+M+2d石=3+2=5,从而用以计算得解.

【详解】(1)解：由题意，•・•方程3-3尸-1,

.,・/-3工+1=0.

.*.X1+X2=3,XjX2=l.

⑵解：小疳

2

=(X1+X2)-2X1X2

=32-2X1

=9-2

=7；

(3)解：2+3=强=1=7；

x\X2X|X2I

(4)解：由题意，0\/^[+>/^2=町+%2+2〃]、2=3+2=5,

I

VXI+A2=3>0,X|X2=l>0,

•F］〉。，M2>0,

y/x^+y/x^>0

・••内_+V^=V5.

【变式1・1】设%1，0为方程2/-7x+2=0的两根，试求下列各式的值;

【答案】（1）：

【分析】（1）先根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积的值，再将所求

代数式通分后代值计算即可.

（2）将所求代数式通分后代值计算即可.

（3）先对所求式子平方，结合第二问结果计算后再开方得到最终结果.

【详解】（1）解：0%1,%2是方程2%2-7%+2=0的两根,

72

取1+%2=%i%2=5=1'

肚+L=—=1=2.

X1x2xrx212

（2）解：至+卫

右工2

_%14-%2

/工2

2

（xx+X2）—2%£%2

%1%2

=（3-2X1=49_2=41

1-4—4•

（3）解：图1%%2=1>0,%!+x=->0,

22

：•%1>0#%2>0，

【变式1・2】若右,％2是一元二次方程2——3x—1=0的两个根，求下列代数式的值.

⑴（石-&尸；

⑵1】+£）'+£）・

【答案】⑴?

（2）-i

【分析】（1）根据根与系数的关系及完全平方公式将代数式变形后代入求解即可

（2）根据根与系数的关系，将代数式通分后代入求解即可.

【详解】（1）解：团修衣2是一元二次方程2--3%-1=0的两个根，

31

以1+%2=~>xlx2=-5，

22

团01_%2）=（X1+x2）-4X62=（1）―4x（-3=;+2=3

（2）解：0Xi，%2是一元二次方程2-一3%-1=0的两个根,

团％1%2=

碓1+3（不+3=%/2+1+1+衰=W+2+百=心

【变式1・3】已知〃，8是方程/+5%+3=0的两个根，则bg+a小的值

【答案】一三6

【分析】先根据根与系数的关系求出a+b与M的值，判断a,b的符号，再对所求二次根式进行

化简，最后整体代入计算即可.

【详解】解：b是方程/+5x+3=0的两个根，

由根与系数的关系得a+b=-5,ab=3.

•••a+/?V0,ab>0,

a<0,b<0.

\[aby/ab

=b-----Fa-----

同网

y/ab4ab

=b-----Fa-

-a-b

=-场03

i-a2+b2

=—yab：——

ab

(Q+b)2-2ab

4ab

(-5)2-2x3

=6

19

=蓝

19a

=-----.

【题型2—元二次方程的解与根与系数关系综合求值】

【例2】若〃，力是方程x2+2025x-2026=0的两个实数根，则〃2+20264+从力的值为.

【答案】2027

【分析】木题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，代数式的变形求值，掌

握好相关知识是关键.

由方程的解的意义可得。2=2026-2025〃，由一元二次方程根与系数的关系可得。+6=2025,

ab=-2026y代入求值即可.

【详解】解：是方程f+2025x-2026=0的实数根，

Aa2+2025a-2026=0,

.•・居=2026-2025。，

/.〃2+2026〃+/?-〃/)=2026-2025什2026。+力-〃/>=〃+/?-〃力+2026,

由一元二次方程根与系数的关系可得。+6=-拳=-2025…Q牛=-2026,

.,・原式=。+从"+2026=-2025+2026+2026=2027.

故答案为:2027.

【变式2・1］若a、5是方程f+3x-2g=0的两个实数根，贝以2+4a+加勺值为

【答案】25

【分析】本题考查一元二次方程的解的定义与根与系数的关系，利用方程解的定义和根与系数

的关系得到对应关系式，再整体代入所求代数式求解即可.

【详解】解：“是方程/+3*28=0的两个实数根，

□次+3。-28=0,a+S=-g=-；=-3,

Uct2+3a=28,

□«2+4a+^=(a2+3a)+(«+/?)=28-3=25.

【变式2・2】已知方程JA2026X+1=0的两根分别为修―2,则吐些的值为•

x2

【答案】-1

【分析】利用一元二次方程根的定义对爱进行降次处理，再结合根与系数的关系(韦达定理)

对式子进行变形，最后代入化简求值.

【详解】解：Yxi是方程%2_2026x+l=0的根，

.*.X]-2026x1+l=0,

.'.xf=2026x|-1.

Vj),工2是方程工2-2026.什1=0的两根，

・・11工2=1，

・

.•一I=_X1,

x2

.2026

・・——=2026工［.

力

・22026

・百丁

=(2026xrl)-2026xI

=-1.

【变式2-3】设a力为一元二次方程f击2025=0的两个实数根，贝必③-。2十。十2026)的值为.

【答案】2026

【分析】先利用一元二次方程根的定义得到/_〃=2025,对所求代数式降次化简，再结合根与系

数的关系得到。+6的值，代入计算即可.

【详解】解：□〃是一元二次方程，*2025=0的实数根，

□/-a-2025=0,即Q2-Q=2025,

对所求彳弋数式变形：。3-。2+。+2026b=。(。2・。)+。+2026b=20254+〃+2026力=2026(。+份,

□是一元二次方程/*2025=0的两个实数根，

根据根与系数的关系可得。+b=—=1,

代入得原式=2026x1=2026.

【题型3由两根关系式求参数的值】

1例3]已知关于x的一元一次方程/+2丘+-=0.若X],叼为该方程的两个实数根，且满足

X1(x2-2)=2x2,求女的值.

【答案】g

【分析】先利用韦达定理表示出两根和与积，再将已知等式展开变形，代入两根和与积的表达

式，解方程求4的值.

【详解】解：根据根与系数的关系得勺+、2=-2%,XIM=hh

□x](M-2)=2x2，

□X1X2-2X1=2X2»

□X]X2-2X]-2X2=0,即x।必-2(x]+x2)=0.

□(h1)-2(-2〃尸h1+4仁5h1=0,

解得它,

检验：当kW时，方程的判别式A=(2〃)2-4(hD=4必-4%+4=4x(?2-4xg+4=^>0,符合题意；

故收.

【变式3・1】已知修、必是关于x的一元二次方程，-2(A+l)x+必=0的两实根，且(.打+1)(必+1)=6,

求”的值.

【答案】2

【分析】先利用一元二次方程有两个实根的条件，通过判别式非负确定屈勺取值范围，再利用一

元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入己知等式求解鼠舍去不符合范围

的解后，计算得到2a的值.

【详解】解・・"/2是一元二次方程/-2(%+l)x+严=0的两实根，

；・判别式△=[-2(%+1)]2-4X1x/=4(仆+2%+1)-4仆=8%+4N0,

解得

根据一元二次方程根与系数的关系，可得与+必=2(什1),不必=必，

■:(1]+1)(^2+1)=6,

,・)因+，+工2+1=6

将肛+必=2(k+1),%胡2=必，代入得“2+2(k+1)+1=6

解得高=1,&=-3,

•・生彳，

・•・舍去仁-3,得合1,

工242x1=2.

【变式3-2]已知关于x的一元二次方程/一4/阳+1=0有两个不相等的实数根xg.

⑴求实数〃?的取值范围；

(2)若(X「X2)2=-，〃2+9,求实数〃7的值.

【答案】⑴加<3

(2加=1

【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用.

(1)问根据方程有两个不相等的实数根，得到判别式A,。，建立关于机的不等式求解范围.

(2)问利用完全平方公式变形将3-冷)2转化为5+MF4s必，结合根与系数的关系代入，得到

关于〃7的一元二次方程，再结合第(1)问得到的范围舍去不符合的解，得到〃7的值.

【详解】⑴解：・・・一元二次方程F-4X+〃什1=0有两个不相等的实数根，

2

/.A=(-4)-4xlx(/w+i)>0,

解得〃7V3；

(2)解：对于一元二次方程f-4尤+〃7+1=0,由根与系数的关系可得X]+工2=4，工1工2=〃升1，

22

-X2尸=(町+必)2-4工|12'(X]-X2)=-/W+9,

.,.42-4(/n+l)=-/n2+9,

整理得〃，-4〃z+3=0,

解得如=1，加2=3

□由⑴得〃7V3

□舍去m=3,

因此加=1.

【变式3-3]已知关于x的一元二次方程42e〃+-1=0有两个实数根.

⑴试求上的取值范围.

（2）若此方程的两个实数根为不，外，且满足出|十|41=2,试求人的值.

【答案】⑴依-1

⑵J

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，绝对值的性质，掌握利用判

别式确定参数范围，结合韦达定理和绝对值性质求解参数，注意结果需满足初始条件是解题的

关键.

（1）根据方程有两个实数根的条件，利用判别式AK）列不等式求〃的取值范围；

（2）先根据必+乂1=（什;）+：>°，得到》因>0，则由|xJ+M=2可得4+2|.“2什/=4,进而得到

宕+2“0+q=4,由此可得到（2上『=4,进而求出左的值，最后根据（1）的范围确定那J值.

【详解】（1）解：・・,关于x的一元二次方程—・2丘+炉+什]=o有两个实数根，

□A="_4QC=（-2A）2-4X1口（/+4+1）加，

解得仁-1.

（2）解：•・,方程/-2日+fM+1=O的两个实数根为肛，x2,

□X]+M=2Z,勺工2=必+k+1,

□产+什1=（叶+^>0,

□X|X2>0.

□同+|必1=2,

□（|町|+在1）2=4,

^+2|X]X2|+X2=4.

西》2>°，

□AJ+2X|X2+X2=4,

2

□(x］+x2)=4,

□QkK=4,解得用=1,3=・L

由(1)可知,狂-1,

□Q-1.

【题型4构造一元二次方程求代数式的值】

1例4］如果〃?初，且满足加2m=3,/.〃=3,那么代数式2〃2."〃叶2〃?+2026=

【答案】2037

【分析】由已知条件可知用，〃是一元二次方程/-x-3=0的两个不相等实数根，利用根与系数的

关系得到〃和〃〃7的值.再将/用含〃的式子替换，整体代入所求代数式计算即可.

【详解】解：匚〃靖〃，且满足"z2-加=3,-〃=3,即m2-〃7-3=0、3=0,

□加，〃是一元二次方程，-/3=0的两个不相等的实数根，

根据根与系数的关系得：加+片-；=1,而片『=-3,

口层77=3,

口层=〃+3,

□2/-〃Z〃+2〃7+2026

=2(〃+3)-〃7〃+2〃Z+2026

=2〃+6-/〃〃+2〃?+2026

=2(加+〃)-〃?〃+6+2026

=2x1-(-3)+6+2026

=2037.

【变式4-1】已知4次6,且"_5/1=0,b2-5b-\=0,则［的值为___________.

3a3b

【答窠】一/・《

【分析】由题意可得。、6是一元二次方程/-541=0的两个不相等的实数根，由一元二次方程根

与系数的关系可得。+b=5,ab=-\,再将所求式子进行变形，整体代入计算即可得出结果.

【详解】解：,:叶b,且々2-5〃-1=0,/?2-5/?-1=0,

・・・〃、6是一元二次方程/-5x-l=0的两个不相等的实数根，

a+b=-Y=5,ah=y=-l,

・1十1—"J5_5

**3a3h~3ab~3,

【变式4・2】两个非零实数〃2,〃满足〃尸1,,且"?<〃，则”/的值为.

nm

【答案】-旧

【分析】根据题意，可知m，〃是一元二次方程f+岳-1=0的两个不相等的实数根，利用根与系

数的关系得到两根和与两根积，再将所求式子变形，代入计算即可.

【详解】解：由题意得，〃?，〃满足方程x2+Bx-l=0,且〃?加，因此〃?，〃是一元二次方程/+，久-1=0

的两个不相等的实数根.

根据根与系数的关系可得：〃z+片-1/5,mn=-1.

□加V〃，匚〃7-〃<0.

□/«-/?=-J(〃7+〃)2-4〃7〃=-J(-V5)2-4X(-1)=-V3+4=-V7.

对所求式子变形得：史,=旦=3也.

nmmnmn

,存掰+〃=-v5,mn=-1,〃7-〃=■/代入得:=.VTf.

-1

【变式4・3】已知实数匕次,n(用即)，且满足〃?2-4加=〃+2,/-4〃=2好2.

(1)求证：〃什〃的值为定值；

(2)若"3〃同号，求左的取值范围.

【答案】(1)见解析

(2)-3<K-l

【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，掌握一元二次方程的解，根的判别式，根与系数

的关系是解题的关键；

(1)根据题意可得，〃?，〃为关于x的方程/-4#(2什2)=0的两个不相等的实数根，由根与系数的

关系即可求解；

(2)由(1)的一元二次方程根与系数的关系得〃〃.-己心2),由〃?，〃同号，解得：K-1,再根

据方程有两个不相等的实数根得到△=(-4)2+4(2K2)>0,解得Q-3,由此即可求解.

【详解】(1)证明：由〃产-4〃尸2%+2,〃2_4〃=2%+2,(〃*〃)，

・・・"?，〃为关于x的方程f-4x-(2>2)=0的两个不相等的实数根，

由根与系数的关系得，〃什〃=4,

・•・"?+〃的值为定值；

(2)解：由(1)知相，〃为关于x的方程/_以_(2什2)=0的两个不相等的实数根，

:・mn=-(2k+2),

Vw,〃同号，

：.用〃=-(2k+2AQ,解得：k<-\.

5lVA=(-4)2+4(2H2)>0,

・•/的取值范围为・3<K・1.

【题型5判断根的正负性】

【例5】已知关于X的一元二次方程2工2-加-1,其中〃7为实数.

(1)求证：该方程有两个不相等的实数根；

(2)若该方程的一个根为・1,求另一个根；

(3)若该方程的一个根大于2,另一个根小于2,求〃?的取值范围.

【答案】(1)见解析

(2)x=；

⑶的>：

【分析】(1)由根的判别式计算即可证明；

(2)将已知的方程根代入方程后可求得机的值，再根据根与系数的关系得到修+必的值，进而可

得另一个根；

(3)方程*a=1的两个实数根为a,b,由根与系数的关系得到。+4ab,再根据两个根的取

值范围得到3-2)(62)<0,然后解不等式即可.

【I羊解】(1)证明：一元二次方程》加尸1化为一般形式为2r・"?*1=0,

2

□A=(-W)2-4X2X(-1)=/„+8>0,

□该方程有两个不相等的实数根；

2

(2)解：将x=-l代入方程2?加=1得，2X(-1)-/WX(-1)=1,解得加=-1,

□此方程为2f+x-l=0,

□两+工2=-；,

□另一根为X=-J-G1?=;;

（3）解：设方程公2-〃状=1的两个实数根为a,b,

□trl-Z）=-2-=27»ab=2」,

□方程羽划尸1的一个根大于2,另一个根小于2,

口（a-2）S-2）vO,

□«/?-2+4<0»

□-l-2x^+4<0,解得

【变式5-1]关于x的方程--26+〃+2=0有两个不相等的实数根，求分别满足下列条件的取值范

围：

（1）两根都小于0;

（2）两根都大于1；

（3）方程一根大于1,一根小于1.

【答案】（l）-2VaV-l；（2）2<a<3；（3）a>3

【分析】由关于x的方程x2・2ax+a+2=0有两个不相等的实根，得出△=（-2a）2-4（a+2）>0,

解得aV-1或a>2.设方程x2-2ax+a+2=0的两根为a,0,利用根与系数的关系得到a+0=2a,

ap=a+2,再分别根据:

（1）由两根都小于0,得出a+p=2aV0,ap=a+2>0,此求出a的取值范围;

（2）由两根都大于1,得出（a-1）（p-1）>0,且对称轴-弓>1,依此求出a的取值范围；

（3）由一根大于1,一根小于1,得出（a-1）（p-1）<0,依此求出a的取值范围；

【详解】解：・・•关于x的方程x2・2ax+a+2=0有两个不相等的实根，

/.△=（-2a）2-4（a+2）>0,

Aa<-1或a>2.

设方程x2-2ax+a+2=0的两根为a,[3,

a+B=2a,ap=a+2.

（1）・・•两根都小于（），

.*.a+p=2a<0,ap=a+2>0,

解得：-2VaV0,

又gvO,a<0；

Va<-1或a>2,

A-2<a<-l；

(2)・・•两根都大于1,

・•.(a-1)(p-l)>0,

Aap-(a+p)+l>0,

.,.a+2-2a>-1,

Aa<3,

又彳>1,a>l；

又a<-l或a>2,

A2<a<3；

(3))(一根大于1,一根小于1,

・•.(a-1)(p-1)<0,

Aap-(a+P)+l<0,

.*.a+2-2a<-1,

Aa>3.

【变式5・2]已知，关于x的一元二次方程X2_G〃+4)X+〃2+3=O.

(1)试说明：不论加取何值时，该方程总有实数根；

(2)若这个一元二次方程的一根大于2,另一根小于2,求机的取值范围.

【答案】(1)见解析

(2加的取值范围是加>-1

【分析】本题考查了根的判别式及解一元二次方程，正确运用判别式是解题的关键.

(1)根据一元二次方程判别式为(〃7十2)2/0即可解答；

(2)解方程，求得巾=1,必=加+3,根据题意得到〃?+3>2,解不等式即可.

【详解】(1)由题可知：。=1,b=・(m+4),c=m+3f

即心4〃C=[-(，〃+4)]2-4X(3+M

=(用+2)2川，

□不论m取何值，原方程有两个实数根.

(2))解方程/-O+4)x+3+m=0得，

_7+4士加+2/

尸-2-'

□X|=l,12=〃1+3，

因为1<2,

□w+3>2,即〃?>-1

所以m的取值范围是〃》・1.

【变式5-3]己知关于x的方程婷-5凸^^力伍〉。).

(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；

(2)若方程有一个根大于2,另一根小于2,求。的取值范围.

【答案】(1)详见解析

⑵*6

【分析】(1)先求出△的值，再根据根的情况与判别式△的关系即可得出答案；

(2)当两根一个大于2一个小于2时，得到方程有两个不相等的实数根其两根与2的差的积小

于零，列出不等式，解之即可.

【详解】(1)解：证明：

△=[-(a-3)]2-4x3x(-q)=(a+3)2,

・.Z)0,

・・・3+3)2>0,B|JA>0,

・・・方程总有两个不相等的实数根；

(2)设方程的两根为修，必，

则：x1+x2=y,X]匚

・・•方程有一个根大于2,另一根小于2,

.'.(X|-2)(X2-2)<0,

:.jq必-2(x1+x2)<-4,

即

解得a>6.

三、课后作业

1.己知一元二次方程/+云+6=0的一个根为_2,则它的另一个根是—.

【答案】-3

【分析】对于一元二次方程ax2+bx+c=04，())，若勺/2是该方程的两个实数根，则工1工2=，据此

求解即可.

【详解】解：设该方程的另一个根为〃?，由根与系数的关系可得・2〃尸6,

□切=・3,即方程的另一根为・3.

2.己知实数X、V满足*=/3,产=八3且%沏，则d+y4=.

【答案】31

【分析】由已知条件可得x,歹是一元二次方程从/-3=0的两个不相等实数根，利用根与系数的关

系得至卜+),与孙的值，再将所求代数式变形后代入计算即可求解.

【详解】解：口实数x,y满足f=x+3,炉=产3,且汨卬.

□x，y可看作一元二次方程尸“-3=0的两个不相等的实数根.

由根与系数的关系得：x+y=Lxy=-3.

\Jx1=x+3.

□X4=CV2)2=(X+3)2=X2+6X+9=(X+3)+6X+9=7X+12.

同理可得：/=7jH-12.

.・.办,4=7%+12+7*2=7(x+y)+24=7x1+24=31.

3.已知关于x的一元二次方程f+2ar=2Ol)有两个实数根X]，M，且满足勺+必=8,则4-5Qe+8工2

的值为.

【答案】4

【分析】本题考查一元二次方程根的定义和根与系数的关系，先将原方程整理为一股形式，利

用根与系数的关系求出。的值，再利用方程根的定义对所求代数式降次，最后代入计算得到结

果.

【详解】解：将原方程/+2以=2(〃-1)整理为一般形式得*+2〃工-2〃+2=0,

口方程的两个实数根为修，必，

根据根与系数的关系可得x1+x2=-2a,x]x2=-2a+2,

已知X]+工2=8,

.*.-2a=8»

解得。=-4,

；・i]X2=-2x(-4)+2=10,

□%i是方程的根，将a代入原方程得X；+2GI=2(Q-1),

整理得x；=-2ax]+2。-2,

将a=-4代入得裔=8x「10,

将百=8x「10,x1x2=10,%|+必=8代入所求代数式得

+

X^-5X\X2Sx2f

=8x।-10-5x10+8%2

=8*(工]+X2)-10-5x10

=8x8-10-5x10

4.已知a/是方程f+2025x+l=0的两个实数根，则(。2+2026。+2)(r+2026丑+2)的值为

【答案】-2023

【分析】利用一元二次方程根的定义得/+2025a+l=0,r+2025夕+1=0,进而求得

a2-i-2026a+2=a+l,r+2026夕十2=在十1,再结合根与系数的关系代入求值即可.

【详解】解：匚。，4是方程/+20251+1=0的两个实数根

口由根的定义得«2+2025a+l=0,6+20256+1=0

・•・«2+2026a+2=(a2+2025a+1)+a+1=a+1,r+2026£+2=(/+2025/?+1)+夕+1="+1,

由根与系数的关系得a+/?=-2025,ap=\

□原式=(a+1)6+1)

=G.ga十。十'

=1-2025+1

=-2023.

5.已知西，工2是一元二次方祗2-3工+加=0的两个根，若2/-5%=5-工2，则机的值为.

【答案】-1

【分析】先根据一元二次方程根的定义、根与系数的关系可得舅-3肛+加=0,3+必=3,然后代入

计算即可.

【详解】解：・・X，M是一元二次方程f-3x+〃尸0的两个根,

.*.xf-3xi+w=0,可+x2=3,

V2xf-5xi=5-x2»

2(3x।-m')-5x।=5-x2

6X|-2W-5X|=5-X2

X]+x2=5+2/?n

5+2加=3,

解得：〃7=-

・••刑的值为-1.

6.已知方程3工2-5入-十1=0的两个根分别为0,b.

⑴求刑的值;

（2）求的值.

【答案】（1）5

⑵上平

【分析】本题考查了根与系数的关系：若修，必是一元二次方程法+C=OQ#O）的两根时,

x+x=--,xx=-.

l2aa]2

（1）将所求代数式转化为含两根和与两根积的形式，再代入计算求解;

（2）先求出（〃））2的值，再开方即可.

【详解】（1）解：,・,方程3r・5x+l=O的两个根分别为mb,

a+b=^,ab=

5

・・.卓=板4=5

cbab-

(2)解：由(1)矢口。+〃=：,。力=(

2

(a-b')2=a2-2ab+b2=(a+b')2-4ab=(g)-4x

7.已知关于x的方程/@+3）K+2Z+2=0.

（1）求证：该方程总有两个实数根；

⑵若该方程的两个实数根为町，冷，求代数式（x「2）（X2-2）的值.

【答案】⑴

证明：方ftbc2-（左+3）x+2〃+2=0中a=l,b=-（k+3），c=2H-2,

△=庐4*=［-（H3）］2-4xlx（2H2）

4-2k+l

=（^-i）2>o

所以，该方程总有两个实数根.

（2）0

【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可得△=（h1）2工0,所以方程一定有两个实数根；

（2）根据一元二次方程根与系数的关系，可得：X|+M=%+3,%10%2=2什2,把（修-2）（工2-2）展开

后整体代入即可求出结果.

【详解】⑴略

（2）解：由题意得：工］+必=%+3,町口-2=2%+2,

（工］-2）（必-2）